*UXQGODJHQGHU3K\VLN Vorlesung im Fachbereich VI der Universität Trier Fach: Geowissenschaften Sommersemester 200 'R]HQW 'U.DUO0ROWHU 'LSORP3K\VLNHU )DFKKRFKVFKXOH7ULHU 7HO )D[ (0DLOPROWHU#IKWULHUGH,QIRV]XU9RUOHVXQJXQWHUKWWSZZZIKWULHUGHaPROWHUJGS Version:.0 25.06.0 /LWHUDWXU 6WURSSH: 3K\VLN, Hanser Fachbuchverlag, 999, ISBN 3-446-2066-0 +HULQJ0DUWLQ6WRKUHU: 3K\VLNI U,QJHQLHXUH, Springer, Berlin; VDI, 999, ISBN 3-540-6635-2 3DXO$7LSOHU: 3K\VLN, Spektrum Akademischer Verlag, 2000, ISBN 3-86025-22-8 *HUWKVHQ: 3K\VLN, Springer Verlag, 999, ISBN 3-540-65479-8 %URQVWHLQ6HPHQGMDMHZ: 7DVFKHQEXFKGHU0DWKHPDWLN, Verlag Harri Deutsch, 2000, ISBN 3-87-2005-2 - UJHQ(LFKOHU: 3K\VLN, Vieweg Verlag, 993, ISBN 3-528-04933-2 +DQV-3DXV: 3K\VLN, Hanser Verlag, 995, ISBN 3-446-737-4.ODXV:HOWQHU: 0DWKHPDWLNI U3K\VLNHU, Vieweg Verlag (nur noch als CD-ROM, ISBN 3-528-06775-6, erhältlich!) 6WHSKHQ:ROIUDP: 7KH0DWKHPDWLFD%RRN, Cambridge University Press, 999, ISBN 0-52-6434-7
Elektrizität und Magnetismus (3) Nachweis elektrischer Ladungen, elektrische Gleichströme (OHNWUL]LWlW Å DFKZHLVHOHNWULVFKHU/DGXQJHQ Eine einfache Art der Ladungsmessung besteht darin, die Anziehungskraft ungleichnamiger Ladungen oder die Abstoßung gleichnamiger Ladungen direkt auszunutzen. Die folgende Abbildung zeigt zwei Geräte, das Blättchenelektroskop (a) und das Braunsche Elektrometer (b), die beide die Abstoßung gleichnamiger Ladungen ausnutzen und über den Ausschlag beweglich aufgehängter Metallblättchen die Ladungsmenge bestimmen. é 0LOOLNDQ9HUVXFK Der Physiker Millikan fand einen genial einfachen Versuch um die Elementarladung H (vgl. []) zu bestimmen.
) $ : Auftriebskraft ) el : Kraft im elektrischen Feld ) 5 : Reibungskraft ) J : Schwerkraft Dazu wird als Ladungsträger ein kleines Flüssigkeitströpfchen zwischen die Platten eines horizontal gelagerten Plattenkondensators gebracht. Im feldfreien Raum sinkt es unter dem Einfuß der Schwere und der Reibungskraft mit konstanter Geschwindikeit, aus der nach dem Stokesschen Gesetz der Radius und damit auch die Masse m des Tröpfchens bestimmt werden kann. Mittels einer regulierbaren Spannung zwischen den Platten kann nun aber das Tröpfchen auch in der Schwebe gehalten werden. Aufgrund des Kräftegleichgewichts (bei genauer Betrachtung muss auch noch die Auftriebskraft des Öltröpfchens in der Luft berücksuchtigt werden!) gilt dann: QE = Q U þþþþ d = mg [] also: Q = þþþþþ mgd. U [2] Die zu messende Ladung ist damit bis auf die Masse des Öltröpfchens durch bekannte Größen dargestellt. Die Masse wird anhand eines Fallversuchs ermittelt, wobei ebenfalls Auftriebs- und Reibungskräfte berücksichtigt werden müssen. Aus Zeitgründen wird auf Einzelheiten hier nicht eingegangen sondern auf die einschlägige Literatur bzw. Darstellungen im Internet verwiesen.
Millikan fand auf diese Weise, dass die Ladung solcher Tröpfchen stets ein niedriges ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung H ist. Auf diese Weise war es erstmals möglich, die Elementarladung relativ genau zu bestimmen. Å (QHUJLHHLQHU/DGXQJVYHUWHLOXQJ Bringen wir Ladungen auf einen Leiter, so müssen wir Arbeit gegen das sich aufbauende elektrische Feld leisten. Um die Energie einer Ladungsverteilung zu ermitteln, denken wir uns, dass wir die Ladung Q in kleinen Schritten dq auf den Leiter aufbringen. In einem Zwischenstadium ist die Ladung q erreicht, die nach Gleichung [2] (eum2) ein Potential j = þþþþþ T ergibt. & Gegen dieses Potential die nächste Ladung dq heranzuführen erfordert die Arbeit: dw = j dq = qdq þþþþ C [3] Die Gesamtarbeit ergibt sich durch Integration über die gesamt aufzubringende Ladung Q: Q q W = Å þþþþ 0 C Çq = Q2 þþ 2C [4] Diese Arbeit ist als potentielle Energie im Leiter gespeichert. Mit Gleichung [2] (eum2) kann man sie auch mittels des Potentials ausdrücken: W pot = þþþþ 2 C j2 [5] Nun können wir auch die Energie eines geladenen Plattenkondensators berechnen, indem wir die Gleichungen [5] und [7 (eum2)] kombinieren: þþþþ 2 e 0 S þþþ d W pl = U 2 = e 0 2 U 2 d 2 Sd = e 0 2 E2 V [6] wobei E = U d die Feldstärke im Plattenzwischenraumist und V = Sd das zwischen den Platten eingeschlossene Volumen.
Allgemein gilt auch für inhomogene Felder für die Energiedichte HEnergie pro VolumenL : w el = þþþ þ 2 e 0 E 2. Å (OHNWULVFKH*OHLFKVWU PH Ladungen in elektrischen Feldern unterliegen Kräften, die dazu führen können, dass diese Ladungen sich bewegen. Dies geschieht beispielsweise, wenn man an einen elektrischen Leiter, beispielsweise einen Draht, eine Potentialdifferenz, also eine Spannung anlegt. Man bezeichnet die im Zeitintervall dt durch den Leiter geflossene Ladung dq als elektrischen Strom,, der definiert ist, als: I = dq þ dt A C þþþþ s E [7] Die Einheit des elektrischen Stroms ist Coulomb/Sekunde bzw. Ampere [A]. Ist der Strom zeitlich konstant, spricht man von einem Geichstrom. Da ein elektrischer Leiter (z.b. Kupferdraht) einen bestimmten Querschnitt hat, durch den der Strom fließt, kann man auch eine 6WURPGLFKWHM definieren: j = di þ da A A m 2 E [8] é 'DV2KPVFKH*HVHW] Messungen an Metalldrähten aus geeignetem Material (z.b. Konstantan oder Manganin) zeigen, das beim Anlegen einer regelbaren Spannung zwischen den Enden des Leiters der fließende Strom proportional zur Spannung ist. Es gilt daher: U = RI [9] Den Proportionalitätsfaktor 5 nennt man RKPVFKHQ:LGHUVWDQG, die Beziehung [40] ist als 2KPVFKHV *HVHW] bekannt. Dei Einheit des ohmschen Widerstands ist [W] = [ þþþþþ 9 ]. $ Nicht alle elektrischen Widerstände gehorchen dem ohmschen Gesetz. Es gibt sogenannte Halbleiterwiderstände, die den Strom in einer Richtung sperren, während sie in der anderen Richtung eine hohe Leitfähigkeit aufweisen. Ein typischer Vertreter dieser Kategorie ist die Halbleiterdiode, deren Kennlinie wie folgt aussieht:
é.lufkkriivfkh*hvhw]h Für elektrische Ströme gilt wie beispielsweise für die elektrische Ladung oder die Energie eine Erhaltungsregel, die sich gemäß Abbildung 4 wie folgt formulieren läßt: 5 Ç I k = 0 k= [0] D.h. die Summe der in einen Knoten fliessenden und der aus einem Knoten fliessenden Ströme ist immer gleich Null. Man bezeichnet dies als die.qrwhquhjho oder.lufkkriivfkhv*hvhw]. Üblicherweise erhalten die in den Knoten fliessenden Ströme ein positives Vorzeichen, die aus dem knoten fliessenden ein negatives.
Mit Hilfe einer weiteren Regel ist die Berechnung beliebiger verzweigter Stromkreise aus ohmschen WIderständen und elektrischen Spannungsquellen möglich. Machen wir uns diese Regel anhand der folgenden Abbildung klar: Die Regel lautet: In jedem beliebigen geschlossenen Stromkreis wie auch in jeder Masche eines Stromnetzes ist die Summe aller Spannungsquellen und Spannungsabfälle an Widerständen gleich Null (0DVFKHQUHJHO oder.lufkkriivfkhv*hvhw]). Die mathematische Formulierung lautet: n Ç i= U i m + Ç R j I j = 0 j= [] Diese Formulierung ist identisch mit der Aussage, dass die Arbeit im elektrischen Feld nach Gleichung [2 (eum2)] auf einem geschlossenen Weg gleich Null ist: W = ) HUL ÇU = Q ( HUL ÇU = 0. [2] Für die Masche in Abbildung 5 gilt daher (Man beachte die Vorzeichen!): U e2 - U e3 + R 3 I 3 + R 4 I 4 - R 8 I 5 - R 5 I 3 = 0 [3]
é 3DUDOOHOXQG5HLKHQVFKDOWXQJYRQHOHNWULVFKHQ:LGHUVWlQGHQ Bei der Reihenschaltung (Serienschaltung) von Widerständen wendet man die Maschenregel an und erhält gemäß folgender Abbildung: U = R ges I = U + U 2 = IR + IR 2 = I H R + R 2 L [4] also R ges = R + R 2. [5] Allgemein gilt also für die 5HLKHQVFKDOWXQJ von Widerständen: R ges n = Ç R i. i= [6] Bei der 5HLKHQVFKDOWXQJ von Widerständen addieren sich diese zum Gesamtwiderstand. Die 3DUDOOHOVFKDOWXQJ von Widerständen läßt sich mit hilfe der Knotenregel berechnen:
Im dargestellten Fall erhält man: I = U þþþ = I R + I 2 = U + ges R U = U J + R 2 R R 2 N [7] und damit þþþ = + R ges R R 2 [8] Allgemein gilt für den Gesamtwiderstand von n parallel geschalteten Widerständen : þþþ R ges n = Ç i= R i [9] Bei der 3DUDOOHOVFKDOWXQJ von Widerständen addieren sich die reziproken Einzelwiderstände (auch Leitwerte genannt) zum Kehrwert des Gesamtwiderstands. Die folgende Abbildung zeigt den schematischen Aufbau eines Vielfachmessers für Strom, Spannung und Widerstand. Das Zeigermessgerät schlägt aus, sobald ein elektrischer Strom durch das Gerät fließt. Versuchen Sie die Schaltung zu analysieren.
é (QHUJLHXQG/HLVWXQJHOHNWULVFKHU6WU PH Wir wissen, dass die Arbeit zum Transport einer Ladung Q im elektrischen Feld zwischen zwei Punkten mit der Potentialdifferenz (Spannung) U W = Q U [20] ist. Fliesst zwischen den beiden Punkten während der Zeitspanne t der Strom I, was einer Ladung Q = I t entspricht, so ist die Arbeit W = U I t [VAs = J = Ws]. Die handelsübliche Kilowattstunde ergibt sich damit zu 3,6 0 6 J. Die Leistung P, definiert als Arbeit pro Zeit, ergibt sich damit aus Gleichung [20] und aus dem ohmsche Gesetz zu: P = UI = I 2 R = U2 R [2] Man bezeichnet die Gleichung [2] auch als -RXOVFKHV*HVHW].