9 Das Riemannsche Integral

1 9 Ds Riemnnsche Integrl 9.1 Definition und Beispiele Sei I = [, ] R mit <. Eine Teilmenge P := {x 0,... x n } von I mit heißt Prtition von I. Die Zhl = x 0 < x 1 <... < x n = (1) P := mx...n x k x k 1 heißt Feinheit oder Korn der Prtition P. Sei f : I C, P := {x 0,... x n } eine Prtition von I und sei ξ k [x k 1, x k ], k = 1,..., n, (2) eine Whl von Zwischenpunkten. Dnn wird R P (f) := f(ξ k )(x k x k 1 ) Riemnnsche Summe von f ezüglich P gennnt. Die Funktion f heißt (Riemnn-) integrierr uf I flls eine Zhl λ C existiert, so dss folgende Bedingung erfüllt ist: Für jedes ε > 0 git es ein δ > 0, so dss für jede Prtition P und jede Whl von Zwischenpunkten (siehe (1),(2)) gilt P < δ f(ξ k )(x k x k 1 ) λ < ε. Die Zhl λ heißt (Riemnnsches) Integrl von f üer [, ] und wird mit f(x)dx oder f(x)dx ezeichnet. Die oen eingeführte Konvergenz von Riemnnsummen wird symolisch durch f(x)dx = lim f(ξ k )(x k x k 1 ) p 0 usgedrückt. Bemerkungen. 1. Ist f : I C integrierr und (R Pn ) eine Folge von Riemnnsummen mit lim n Pn = 0, dnn konvergiert die Folge (R Pn ) gegen f(x) dx. Zum Beispiel gilt f(x) dx = lim f(x k )(x k x k 1 ) n [,]

2 woei x k := + k ( ), k = 0,..., n. n 2. Jede stetige Funktion f : [, ] C ist integrierr (Theorem 9.4.3). 3. Die Dirichletfunktion uf [0, 1] ist nicht integrierr (Aufgenltt 1) Definition. Ist f wenigstens im Punkt R definiert, dnn Ist f uf [, ] integrierr, dnn 9.2 Elementre Eigenschften f(x)dx := 0. f(x)dx := f(x)dx. Stz 9.2.1 (Cuchy-Kriterium). Eine Funktion f : [, ] C ist genu dnn integrierr, wenn zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dss für lle Prtitionen P, P von [, ] und elieige Whlen von Zwischenpunkten P, P < δ R P (f) R P (f) < ε. (3) Beweis. Sei f integrierr und sei ε > 0. Dnn git es ein δ > 0, so dss P < δ R P (f) f(x)dx < ε/2 für jede Whl von Zwischenpunkten. Wenn P < δ und P < δ dnn folgt drus die Cuchyedingung (3) mit Hilfe der Dreiecksungleichung. Sei nun umgekehrt die Cuchy-Bedingung (3) erfüllt. Sei P n = {x (n) k }n k=0 die Folge von Prtitionen mit x (n) k = + k ( ) n und sei ξ (n) k = x (n) k. Dnn ist die zugehörige Folge R P n (f) von Riemnnsummen eine Cuchy-Folge in C. Also ist sie konvergent. Sei λ := lim n R Pn (f) und sei ε > 0. Die Gültigkeit der Cuchy-Bedingung grntiert die Existenz eines δ > 0 pssend zu ε/2, so dss für jede Prtition P mit P < δ R P (f) λ = lim n R P (f) R Pn (f) ε/2 < ε. Dmit ist die Integrierrkeit von f ewiesen.

3 Stz 9.2.2. Sei R(, ) := {f : D C D [, ] und f ist integrierr uf [, ]}. () f, g R(, ) f + g R(, ) und (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + () f R(, ), α C αf R(, ) und αf(x)dx = α f(x)dx. (c) f R(, ) f R(, ) und f(x)dx = f(x)dx. (d) Ist f R(, ) und f M, dnn gilt f(x)dx M( ). (e) Sind f, g R(, ) reellwertig und ist f g, dnn gilt f(x)dx g(x)dx. g(x)dx Korollr 9.2.3. Eine Funktion f : [, ] C ist genu dnn integrierr wenn Re f und Im f integrierr sind und es gilt f(x)dx = Re f(x)dx + i Im f(x)dx. Stz 9.2.4 (Mittelwertstz der Integrlrechnung). Sei f uf [, ] stetig und reellwertig. Dnn existiert ein ξ [, ], so dss Beweis. D f stetig ist gilt f(x)dx = f(ξ)( ). (4) f([, ]) = [m, M] (5) woei m := min x [,] f(x) und M := mx x [,] f(x). Weiter folgt us Stz 9.2.2 (e), dss 1 m f(x)dx M. Also existiert nch (5) ein ξ [, ], so dss (4) gilt.

4 Stz 9.2.5. Es seien < < c reelle Zhlen und es sei f R(, c). Dnn ist f R(, ) R(, c) und es gilt f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Beweis. Sei f R(, c), ε > 0 und sei δ > 0 ds nch Stz 9.2.1 zu f und ε estimmte δ. Zum Beweis dss f R(, ) genügt es nch Stz 9.2.1 zu zeigen, dss für jedes Pr von Prtitionen P, P von [, ] gilt P, P < δ R P (f) R P (f) < ε. (6) Dzu wählen wir n N so dss (c )/n < δ und wir definieren zu gegeener Prtition Q von [, ] und Riemnnsumme R Q (f) Q := Q { x 0,..., x n } R Q(f) := R Q (f) + f( x k )( x k x k 1 ) woei x k := + (c )k/n. Wegen Q = mx{ Q, (c )/n} gilt dnn, nch Whl von δ und n für jedes Pr von Prtitionen P, P von [, ] und zugehörige Riemnnsummen R P (f), R P (f) P, P < δ P, P < δ R P (f) R P (f) < ε. Wegen R P (f) R P (f) = R P (f) R P (f) ist dmit (6) gezeigt, lso f R(, ). Anlog eweist mn f R(, c). Seien nun f R(, c) und seien (R Pn (f)), (R Qn (f)) Folgen von Riemnnsummen mit Prtitionen P n, Q n von [, ] und [, c], für welche lim n Pn = 0 = lim n Qn. Weiter sei T n := P n Q n und R Tn (f) := R Pn (f)+r Qn (f). Letzteres ist eine Riemnnsumme zur Prtition T n. Wegen Tn = mx{ Pn, Qn } folgt lim n Tn = 0, und somit f(x)dx = lim R Tn (f) = lim R Pn (f) + lim R Qn (f) n n n = f(x)dx + f(x)dx. Korollr 9.2.6. Sind,, c R und ist f integrierr uf dem Intervll von min{,, c} is mx{,, c}. Dnn gilt f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

5 9.3 Huptstz der Integrlrechnung Theorem 9.3.1 (Teil 1 des Huptstzes). Sei f : [, ] C integrierr. Ist F eine differenzierre Funktion mit F = f, dnn gilt f(x)dx = F () F (). Beweis. Sei zuerst f reellwertig. Dnn ist uch F reellwertig und der Mittelwertstz der Differentilrechnung, Theorem 8.4.2, ist uf F nwendr. Zu jeder Prtition P = {x 0,..., x n } von [, ] git es lso Zwischenpunkte ξ k (x k 1, x k ) mit F (x k ) F (x k 1 ) = F (ξ k )(x k x k x ) = f(ξ k )(x k x k 1 ). Mit dieser Whl von Zwischenpunkten zu P gilt F () F () = = ( F (xk ) F (x k 1 ) ) f(ξ k )(x k x k 1 ) f(x)dx, ( P 0). Im Fll wo f und F komplexwertig sind folgt ds Theorem nun mit Hilfe von Korollr 8.1.2 und Korollr 9.2.3. Stmmfunktion. Eine uf einem Intervll I differenzierre Funktion F mit F = f heißt Stmmfunktion von f uf I. Mit F ist uch F + c für jedes c C eine Stmmfunktion von f. Wenn umgekehrt F 1 und F 2 zwei Stmmfunktionen von f uf dem Intervll I sind, dnn gilt F 1 F 2 = const (Korollr 8.4.5). Dher hängt F () F () in Theorem 9.3.1 nicht von der Whl der Stmmfunktion. Korollr 9.3.2. Ist F C 1 ([, ]) dnn gilt F (x) = F () + x F (t)dt, x [, ]. Beweis. Folgt us Theorem 9.3.1, d stetige Funktionen integrierr sind. Theorem 9.3.3 (Teil 2 des Huptstzes). Sei f : [, ] C integrierr und sei F (x) := x f(t)dt, x [, ]. Ist f im Punkt x 0 [, ] stetig, dnn ist F in x 0 differenzierr und es gilt F (x 0 ) = f(x 0 ).

6 Beweis. Für jedes h R mit x 0 + h [, ] gilt nch Korollr 9.2.6 F (x 0 + h) F (x 0 ) = = = x0 +h x0 +h x 0 x0 +h Es folgt F (x 0 + h) F (x 0 ) f(x 0 ) h = 1 h f(x)dx f(x)dx x0 f(x)dx x 0 ( f(x) f(x0 ) ) dx + hf(x 0 ). x0 +h x 0 ( f(x) f(x0 ) ) dx sup f(x) f(x 0 ) 0, (h 0), x x 0 h woei Stz 9.2.2 (d) und die Stetigkeit von f in x 0 enutzt wurde. Korollr 9.3.4. Sei I R ein elieiges Intervll. Dnn ht jede stetige Funktion f : I C eine Stmmfunktion uf I. Beweis. D stetige Funktionen integrierr sind (Theorem 9.4.3), folgt us Theorem 9.3.3, dss jede Funktion F (x) = mit I eine Stmmfunktion von f ist. x f(t)dt Die Existenz der Stmmfunktion grntiert nicht dss mn sie uch elementr erechnen knn. Z.B. ist f(x) = e x2 /2 stetig, lso integrierr, er ihre Stmmfunktion F (x) = x 0 e t2 /2 dt lässt sich nicht durch elementre Funktionen usdrücken. Mn findet die Werte der Gussschen Fehlerfunktion F/ 2π telliert in Sttistiküchern. Nottionen. Für F () F () schreit mn uch F, Dmit wird Theorem 9.3.1 zu F (x) x= x=, oder [ F (x) ] x= x=. f(x)dx = F

7 woei F irgend eine Stmmfunktion von f ist. Die Äquivlenzklsse der Stmmfunktionen (ezüglich der Reltion F 1 F 2 F 1 F 2 = const) wird mit f(x)dx (7) ezeichnet und heißt unestimmtes Integrl von f. Oft wird uch ein Repräsentnt dieser Klsse mit f(x)dx ezeichnet. Theorem 9.3.1 lutet somit f(x)dx = f(x)dx ws die Nottion (7) erklärt. Der Prozess der Berechnung des unestimmten Intergrls (7) heißt Integrtion von f. Die Berechnung des estimmten Integrls f(x)dx nennt mn mnchml Qudrtur. Integrtion ist die Inverse der Differentition in folgendem Sinn: Die Aildung d dx : C1 (I)/ C(I) ist ijektiv (surjektiv nch Theorem 9.3.3) und sie ht die Inverse f f(x)dx. Ds heißt d dx f(x)dx = f und d f(x)dx = [f] dx woei [f] := {f + c c C} die Äquivlenzklsse von f ezeichnet. 9.4 Integrierrkeitskriterien Stz 9.4.1. Ist f integrierr, dnn ist f eschränkt. Lemm 9.4.2. Sei f : [, ] C eschränkt und sei P = {x 0,..., x n } eine Prtition von [, ] mit sup f(x) f(y) < δ x,y I k für jedes Teilintervll I k := [x k 1, x k ]. Dnn gilt für jede feinere Prtition P P, dss R P (f) R P (f) < δ( ). Theorem 9.4.3. Ist f : [, ] C stetig, dnn ist f Riemnn-integrierr.

8 Oer- und Untersummen. Sei f : [, ] R eschränkt und sei P = {x 0,..., x n } eine Prtition von [, ]. Wir definieren U P (f) := O P (f) := m k (x k x k 1 ) M k (x k x k 1 ), woei m k := inf x [xk 1,x k ] f(x) und M k := sup x [xk 1,x k ] f(x). Offensichtlich gilt dnn für jede Prtition P. U P (f) O P (f) Lemm 9.4.4. Sei f : [, ] R eschränkt. Dnn gilt sup U P (f) inf O P (f). P P Theorem 9.4.5. Sei f : [, ] R eschränkt. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent. (i) f ist Riemnn-integrierr. (ii) Zu jedem ε > 0 git es eine Prtition P mit O P (f) U P (f) < ε. (Riemnnsches Integrierrkeitskriterium.) (iii) sup P U P (f) = inf P O P (f). Ist (i), (ii), oder (iii) erfüllt, dnn gilt f(x)dx = sup U P (f) = inf O P (f). P P Beweis: Siehe Heuser, Lehruch der Anlysis, Teil 1. Nullmengen. Eine Teilmenge M R heißt Nullmenge (oder Menge vom Mß 0), wenn zu jedem ε > 0 eine zählre Fmilie (I k ) von Intervllen I k R existiert, so dss M k I k und I k < ε. Hier ezeichnet I k die Länge des Intervlls I k. Bemerkungen. 1. Endliche und zählre Teilmengen von R sind Nullmengen. 2. Die Vereinigung von zählr vielen Nullmengen ist wieder eine Nullmenge. k

9 3. Jede Teilmenge einer Nullmenge ist eine Nullmenge. Sei D R und f : D C. Mn sgt f sei fst üerll stetig, wenn die Punkte x D wo f unstetig ist eine Nullmenge ilden. Theorem 9.4.6 (Leesguesches Integrierrkeitskriterium). Eine Funktion f : [, ] C ist genu dnn Riemnn-integrierr, wenn sie eschänkt und fst üerll stetig ist. Beweis: Siehe Heuser, Lehruch der Anlysis, Teil 1. Korollr 9.4.7. () Ist f integrierr uf [, ] und uf [, c] dnn ist f uch integrierr uf [, c]. () Ist f : [, ] C integrierr, so ist uch f integrierr und es gilt fdx f dx. () Sind f, g : [, ] C integrierr, so ist uch fg integrierr. 9.5 Uneigentliche Integrle und Reihen Sei < und sei f : [, ) C uf jedem Intervll [, x], x <, integrierr. Dnn heißt x lim f(t) dt (8) x uneigentliches Integrl der Funktion f von is, und wird mit f(t)dt (9) ezeichnet. Ds uneigentliche Integrl (9) heißt konvergent, wenn der Grenzwert (8) in C existiert. Bezüglich der unteren Grenze uneigentliche Integrle werden nlog definiert. Ein eidseitig uneigentliches Integrl f(t)dt konvergiert per Definition genu dnn wenn es ein c (, ) git, so dss eide uneigentlichen Integrle konvergent sind. Dnn setzt mn f(t)dt und c f(t)dt f(t)dt := f(t)dt + c f(t)dt.

10 Beispiel. Ds uneigentliche Integrl 1 1 x α dx ist für α > 1 konvergent und für α 1 divergent. Ds uneigentliche Integrl 1 0 1 x β dx ist für β < 1 konvergent und für β 1 divergent. Stz 9.5.1. Sei < und seien f, g integrierr uf [, c] für lle c <. () Ist f(x) g(x) für lle x [, ) und ist ds uneigentlich Integrl g dx konvergent, so ist uch f dx konvergent. () Ist f g 0 uf [, ) und ist uneigentliche Integrl g dx divergent, so ist uch f dx divergent. Bemerkung. Nch diesem Stz impliziert Konvergenz von f dx die Konvergenz von f dx. Die Umkehrung dvon gilt nicht! Zum Beispiel ist ds uneigentliche Integrl 0 sin x x dx konvergent, während 0 sin x /x dx divergent ist. Stz 9.5.2. Ist f : [0, ) R positiv und monoton fllend, dnn konvergiert die Reihe k 0 f(k) genu dnn, wenn ds uneigentliche Integrl 0 f dx konvergiert. Bemerkung. Ein nloger Stz gilt für Funktionen f : [n, ) R (n Z) die positiv und monoton fllend sind. Beispiel. Die Reihe n=1 1 n α ist für α > 1 konvergent und für α 1 divergent.