Abbildungen Grundlagen der Mathematik Abbildungen Deinition : Abbildung, Deinitionsbereich, Zielbereich, Bildmenge Eine Abbildung : D Z ordnet jedem Element D eindeutig ein Z zu D heißt Deinitionsbereich und Z der Zielbereich der Abbildung Das Element heißt dann das Bild von und heißt das Urbild zu Die Menge B D aller Elemente Z, zu denen ein Urbild D eistiert, heißt Bildmenge von D D Z D Beispiel ür Abbildung Reelle Funktion h mit Deinitionsbereich D { R > < - } R \ [ -, ] Bildbereich B hd { R > 0 } 0 ;
Abbildungen Grundlagen der Mathematik Deinition : Permutation Eine Permutation von n Elementen mit n Z beschreibt eine Umordnung dieser Elementen, wobei jedem Element als Bild genau ein Element zugeordnet wird Permutationen werden au zwei verschiedene Arten beschrieben: a Matrischreibweise i i i n i n Es wird in der Zeile jeweils das Bild des darüberliegenden Elementes angegeben b Zklenschreibweise m m m k k k k j j j usw Diese Darstellung in Zklen beschreibt, dass im Zklus m in m, m in m und m in m abgebildet, dann im Zklus k in k, k in k und schließlich k in k usw bis alle Zklen abgearbeitet sind Dabei ist n die Summe der Länge aller Zklen Eine Permutation p : M M ist eine Abbildung der Menge M au sich selbst Beispiel ür Permutation Permutation einer Menge M von n Elementen M {,,,,,,, } Permutation p ist eine Abbildung p : M M Deinition : Surjektive Abbildung, Injektive Abbildung, Bijektive Abbildung Eine Abbildung : D Z heißt surjektiv oder eine Abbildung von D "au" Z, wenn zu jedem Element aus Z mindestens ein Urbild in D eistiert, dh es gilt D Z Eine Abbildung : D Z heißt injektiv, wenn zu jedem Element der Bildmenge D genau ein Urbild in D eistiert, dh ür alle, D gilt : Eine Abbildung : D Z heißt bijektiv oder eineindeutig, wenn die Abbildung surjektiv und injektiv ist, dh jedes Element von Z genau ein Urbild in D besitzt
Abbildungen Grundlagen der Mathematik Darstellung von Abbildungen mit Mengendiagrammen a Surjektive Abbildung Jedes Element der Zielmenge ist Bildelement, aber es können mehrere Urbilder eistieren b Injektive Abbildung Jedes Element der Bildmenge besitzt genau ein Urbild c Bijektive Abbildung Die Abbildung ist eineindeutig, dh surjektiv und injektiv
Abbildungen Grundlagen der Mathematik Beispiele Die oben genannte Funktion h ist weder surjektiv noch injektiv, also auch nicht bijektiv, da der Bildbereich nicht alle reellen Zahlen umasst und jeder Funktionswert zweimal angenommen wird Die oben genannte Permutation p ist surjektiv und injektiv also auch bijektiv Daher eistiert eine Umkehrabbildung p - : M M p - Deinition : Verknüpung von Abbildungen Sind : D Z und g : D g Z g zwei Abbildungen, sodass die Bildmenge D eine Teilmenge von D g ist Dann deiniert man die Verknüpung beider Abbildungen g als Hintereinanderausührung beider Abbildungen durch g g Dabei heißt die Funktion innere Funktion und die Funktion g äußere Funktion D D g Z g D g g Beispiele : Innere Funktion : R R ist deiniert durch Äußere Funktion g : R R ist deiniert durch g Die Bildmenge R [ 0 ; ist Teilmenge des Deinitionsbereichs von g Verknüpung g g g Die Verknüpung von Funktionen ist nicht kommutativ! Hier ist g
Abbildungen Grundlagen der Mathematik Nacheinanderausührung von Permutationen ergibt eine Permutation Deinition : Umkehrabbildung Zu einer bijektiven Abbildung : D Z wird die Umkehrabbildung - : Z D deiniert durch - Zu einer injektiven Abbildung kann bei Beschränkung au die Bildmenge D ebenalls eine Umkehrabbildung - : D D deiniert werden Verknüpung von Abbildung und Umkehrabbildung Besitzt die Abbildung : D Z die Umkehrabbildung - : Z D, dann ist auch - bijektiv und es gilt - ür alle D und - ür alle Z, dh - ist die identische Abbildung von D und - die identische Abbildung von Z Beispiele : Aulösung nach ergibt Einsetzen und Ausrechnung ergibt o Umgekehrt gilt o
Abbildungen Grundlagen der Mathematik Permutationen p p - Hier ergibt sich p p - p p - Rechengesetze ür Verknüpungen von Abbildungen a Sind, g, h Abbildungen, sodass g und h g deiniert sind Dann gilt das Assoziativgesetz h g h g h g b Ist die Verknüpung g ür zwei bijektive Abbildungen und g deiniert, dann ist auch g bijektiv und besitzt die Umkehrabbildung g - - g - Beweis : Es gilt h g h g h g Und ebenso h g h g h g Für die Umkehrabbildung gilt dann - g - g - g - g -