1.1.1 Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen

1.1.1 Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen Die Zahlen: 1, 2, 3,... verwendet der Mensch seit jeher, z.b. für das Zählen seiner Tiere. Die Inder führten im 7. Jahrhundert n. Christus die Null ein, weil sie sie bei der Einführung des Dezimalsystems benötigten: Römische Zahlen, z.b. 1904 = MCMIV, benötigten für jede 10er-Potenz einen neuen Buchstaben, weil sie die Null nicht kennen. Das Dezimalsystem mit der Null ist viel einfacher Man nennt die Menge {0,1,2,3, } die natürlichen Zahlen N Die Inder kannten auch bereits die negativen Zahlen Die Schreibweise mit dem Minuszeichen wurde im Mittelalter von italienischen Kaufleuten eingeführt, um Ansprüche und Schulden bezüglich eines Handelspartners in einer einzigen Spalte schreiben zu können. Man nennt die Menge aller natürlichen und negativen Zahlen {,-2, -1, 0,1,2,3, } die ganzen Zahlen Z Die alten Ägypter rechneten bereits vor 3 000 Jahren mit Brüchen, allerdings nur mit dem Zähler 1, also: 1/2, 1/3, usw. (so genannte Stammbrüche) Wir hingegen rechnen mit beliebigen ganze Zahlen im Zähler und im Nenner, im Nenner jedoch nicht Null z.b. 2/3, 3/7, 11/10, -3/4 Man nennt die Menge der ganzen Zahlen und der Brüche die Menge der rationalen Zahlen Q Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1-1- Dezimalbruch Ein Bruch a/b kann auch als Dezimalbruch dargestellt werden: z.b. 17,56 17,56 = 1 Zehner, 7 Einer, 5 Zehntel und 6 Hundertstel Frage: Warum verwenden wir für die Darstellung von Zahlen das Dezimalsystem (Basis 10) und nicht z.b. die Darstellung 2 (Binärsystem) wie die Computer? Jeder Bruch kann durch Ausdividieren von Zähler durch Nenner in einen Dezimalbruch umgewandelt werden (so genannte Dezimalbruchentwicklung). Bsp: 7/20 Ausdividieren 7:20 = 0,35 70-60 100-100 0 Die Division geht entweder ohne Rest auf (abbrechender Dezimalbruch) oder es entsteht ein so genannter nicht abbrechender periodischer Dezimalbruch, z.b. 1/11 = 0,090909 Lösen Sie die Übung 1 im Übungsblatt Falls Sie im schriftlichen Dividieren unsicher sind, so lesen Sie http://www.logischmathe.ch/page/mathe5/pdf/buch_schriftliche_division.pdf Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1-2- 1

Reelle Zahlen, Darstellung auf der Zahlengeraden Es gibt Zahlen, welche sich nicht als Bruch (abbrechender oder periodischer Dezimalbruch darstellen lassen, z.b: 2 = 1,41421356 als die Länge der Diagonalen eines Quadrates mit Seitenlänge 1 π = 3,1415926 die Kreiszahl, mit Kreisumfang = π Kreisdurchmesser e = 2,718281828459... Die Eulersche Zahl als Faktor mit dem ein Anfangskapitel nach einem Jahr bei einem kontinuierlichen Zins von 100% p.a. multipliziert wird Man nennt sie irrationale Zahlen. Zusammen mit den rationalen Zahlen bilden sie die Menge der reellen Zahlen R. Eine anschauliche Darstellung der Zahlen erfolgt auf der Zahlengeraden -4 5,4-10-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Lösen Sie die Übungen 2 und 3 im Übungsblatt Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1-3- 1.1.2 Rechenregeln Die vier Grundoperationen: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sind bei den reellen Zahlen uneingeschränkt anwendbar mit einer Ausnahme: Die Division durch Null ist nicht erlaubt! Es gibt 5 wichtige Rechenregeln: 1. Vertauschungsgesetz oder Kommutativgesetz der Addition: Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge man zwei reelle Zahlen addiert: a+b = b+a für zwei beliebige reelle Zahlen a und b Bsp: 3,4 + 1,2 = 1,2 + 3,4 = 4,6 a und b sind Platzhalter für zwei beliebige reelle Zahlen; sie werden auch Variablen genannt 2. Vertauschungsgesetz oder Kommutativgesetz der Multiplikation: Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge man zwei reelle Zahlen multipliziert: a b = b a für zwei beliebige reelle Zahlen a und b Bsp: 3 4 = 4 3 = 12 Frage: gilt das Vertauschungsgesetz auch für die Subtraktion und Division: a-b = b-a? und a/b = b/a? Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1-4- 2

Rechenregeln (Fortsetzung) 3. Assoziativgesetz: der Addition Es spielt bei 3 Zahlen keine Rolle, ob man zuerst die beiden ersten und dann die dritte addiert oder zuerst die erste und dann die Summe der zwei andern: (a+b)+c = a+(b+c) für beliebige reelle Zahlen a,b,c Die Ausdrücke in den Klammern werden immer zuerst ausgerechnet! Prüfen Sie das Assoziativgesetz nach, indem Sie (2+3)+4 und 2+(3+4) berechnen 4. Assoziativgesetz: der Multiplikation Es spielt bei 3 Zahlen keine Rolle, ob man zuerst die beiden ersten und dann mit der dritten multipliziert oder zuerst die erste und dann mit der Multiplikation der zwei andern: (a b) c = a (b c) für beliebige reelle Zahlen a,b,c Prüfen Sie das Assoziativgesetz nach, indem Sie (2 3) 4 und 2 (3 4) berechnen 5. Distributivgesetz der Addition und Multiplikation: a (b+c) = ab+ac für beliebige reelle Zahlen a,b,c Prüfen Sie das Distributivgesetz nach, indem Sie 2 (3+4) und 2 3 + 2 4 berechnen Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1-5- Ausmultiplizieren und Ausklammern Das Distributivgesetz ist die Basis für jegliches Ausmultiplizieren z.b. (a+b) (c+d) = ac +ad +bc +bd Allgemein: Beim Ausmultiplizieren zweier in Klammern stehender Summen muss man jeden Summanden der einen Klammer mit jedem Summanden der andern Klammer multiplizieren und alle entstehenden Produkte addieren. Lösen Sie die Übung 4 im Übungsblatt (Lesen Sie die Beispiele 3-5 auf Seite 16 oben und 1 und 2 auf Seite 16 unten) Das Distributivgesetz lässt sich auch umgekehrt anwenden: ab+ac = a(b+c) Das ist die Basis jeglichen Ausklammerns Einfaches Beispiel: x + 3ax -2bx = x(1 + 3a 2b) D.h. wenn ein Faktor in jedem Summanden auftritt, so darf er ausgeklammert werden. Lösen Sie die Übung 5 im Übungsblatt (Lesen Sie die Beispiele 1-4 auf Seite 17) Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1-6- 3

Vorzeichenregeln Zu jeder reellen Zahl a gibt es eine Zahl a spiegelbildlich zum Nullpunkt. b -a a -b -10-9 -8-7 -6-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sie heisst entgegengesetzte Zahl und man liest sie als minus a. Ist a positiv, so ist a negativ Ist b negativ so ist b positiv Es gelten die folgenden Vorzeichenregeln für zwei beliebige Zahlen a und b: 1. (-a)(-b) = ab Minus mal Minus = Plus 2. a(-b) = (-a)b = -ab Plus mal Minus = Minus mal Plus = Minus Lesen Sie die Beispiele 1-4 Seite 18,19 Lösen Sie die Übung 6 im Übungsblatt Aus der Anwendung der Vorzeichenregel: (-1) a folgt die Klammerregel: Eine Minuszeichen vor einer Klammer mit einer Summe kann weggelassen werden, falls bei jeden Summand das Vorzeichen geändert wird. Bsp.: -(a-b) = -a + b (Lesen Sie die Beispiele 1-3 Seite 20,21) Lösen Sie als Hausaufgabe die Übungsaufgaben 1-3 ohne 3c) auf Seite 59 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1-7- Binomische Formeln Ein Binom ist ein Ausdruck (a+b) oder (a-b), d.h. die Summe oder Differenz zweier Ausdrücke. Äusserst wichtig sind die so genannten Binomischen Formeln: (a+b) 2 = a 2 +2ab +b 2 1. Binomische Formel (a-b) 2 = a 2-2ab +b 2 2. Binomische Formel (a+b) (a-b)= a 2 -b 2 3. Binomische Formel Diese sollten Sie auswendig lernen Überprüfen Sie die Richtigkeit der 3 binomischen Formeln durch Ausmultiplizieren Beschreiben Sie das Resultat der ersten binomischen Formeln mit Worten: Der erste Summand im Quadrat plus Wenden Sie sie an auf: (2a + 3b) 2 Lösen Sie als Hausaufgabe die Übungsaufgabe 4 auf Seite 59 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1-8- 4

Anwendung der Binomischen Formeln beim Faktorisieren Die binomischen Formeln lassen sich auch umgekehrt von rechts nach links lesen z.b. bei der 1. binomischen Formel: a 2 +2ab +b 2 = (a+b) 2 Damit lässt sich eine Summe unter Umständen faktorisieren (und damit bei einem Bruch ev. kürzen) Bsp: 4x 2-9y 2 = (2x + 3y)(2x 3y) 3. binomische Formel Lösen Sie als Hausaufgabe die Aufgabe 5 auf Seite 59 Vorsicht: d) ist ein Trinom Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1-9- Klammern und häufige Fehler Klammern werden verwendet um die Reihenfolge der Rechenoperationen festzulegen. So ist z.b. a+(b c)+d nicht dasselbe wie (a+b) (c+d) Falls keine Klammern gesetzt sind, sind zuerst die Multiplikationen/Divisionen auszuführen und erst dann erst die Additionen/Subtraktionen. d.h. a+b c+d ist dasselbe wie a+(b c)+d Fehler beim Ausmultiplizieren und Ausklammern hangen häufig mit einer Verletzung dieser Regel zusammen. Finden Sie in den folgenden Aufgaben die Fehler und korrigieren Sie sie: 1. 5+7 x = 12x 2. 2 (ab) = 2a + 2b Ein weiterer häufiger Fehler ist die falsche Verwendung der Vorzeichenregel 1. 2x (y+x) = 2x y+x = 3x-y 2. 48 8+6 = 48 14 = 34 3. -(2x) = (-2) (-x) = 2x 48:8 6 ist hingegen nicht eindeutig und kann (48:8) 6 oder 48:(8 6) bedeuten. Das heisst hier müssen Klammern verwendet werden. Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1-10- 5

Multiplizieren und Dividieren von Brüchen Das Multiplizieren und Dividieren von Brüchen ist ziemlich einfach: Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler und Nenner separat multipliziert a c ac = b d bd Lesen Sie die Beispiele 1-3 Seite 21 unten Dividieren von Brüchen: 3/5:1/5 =? oder wie oft hat 1/5 in 3/5 platz? Man dividiert einen Bruch durch einen zweiten, indem man den ersten mit dem Kehrwert des zweite multipliziert: a c a d ad : = = b d b c bc Bruchstrich und Divisionszeichen bedeuten dasselbe: Berechnen Sie 3/5:1/5 Lesen Sie die Beispiele 1-3 Seite 22 oben a c : = b d a b c d Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1-11- Multiplizieren und Dividieren eines Bruchs mit einer Zahl Ein Spezialfall der Multiplikation zweier Brüche ist die Multiplikation einer Zahl mit einem Bruch: c a c ac a = = d 1 d d a a 1 a a = 1 = = und für die Multiplikation mit -1: Lesen Sie die Beispiele 1-3 Seite 22 unten b b 1 b b Auch diese Formel kann umgekehrt gelesen werden und bedeutet dann das Ausklammern eines Faktors aus dem Zähler: Bsp: a + ab/c = a + a (b/c) = a(1 + b/c) Lesen Sie Beispiel 1 Seite 23 oben Ein Spezialfall der Division zweier Brüche ist die Division eines Bruchs durch eine Zahl: a a a : c = b = b c bc 1 Lesen Sie die Beispiele 1-3 Seite 23 unten Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1-12- 6

Kürzen und Erweitern von Brüchen Die Kürzungsregel bei Brüchen folgt aus einem Spezialfall der Multiplikationsregel von rechts nach links gelesen: ac a c a a 1 a = = 1 = = bc b c b b b D.h. hat ein Bruch im Zähler und im Nenner einen gemeinsamen Faktor, so kann dieser weggelassen (gekürzt) werden. Lesen Sie die Beispiele 1-4 Seite 24 Wird die Kürzungsregel von rechts nach links gelesen, so entsteht die Erweiterungsregel: a a a c ac = 1 = = b b b c bc D.h. in einem Bruch können Zähler und Nenner mit demselben Faktor multipliziert (erweitert) werden, ohne dass der Wert sich ändert. Lesen Sie die Beispiele 2-3 Seite 25 Lösen Sie die Aufgaben 6 und 7 Seite 59 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1-13- Addieren und Subtrahieren von Brüchen Gleichnamige Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem die Zähler addiert bzw. subtrahiert werden und der Nenner beibehalten wird. Eventuell kann der resultierende Bruch gekürzt werden. a b a b + = + c c c Lesen Sie die Beispiele 1-3 Seite 26 Falls die Bruchterme ungleichnamig sind, d.h. verschiedene Nenner haben macht man sie wie folgt gleichnamig: 1. Den gemeinsamen Hauptnenner bestimmen (= das kleinste gemeinsame Vielfache KGV der Nenner) 2. Für jeden Bruchterm den Erweiterungsfaktor bestimmen und erweitern Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1-14- 7

Hauptnenner bestimmen 1. Alle Nenner faktorisieren (Koeffizienten in Primfaktoren, Terme in Produktterme zerlegen 2. Von jedem der Zerlegungsfaktoren die maximale Potenz über alle Nenner nehmen 3. Das Produkt dieser maximalen Potenzen ergibt den Hauptnenner. Bsp: 5a 3a 7a + =? 2x 8x 12b 1. alle Nenner faktorisieren 2x = 2 x 8x = 2 2 2 x = 2 3 x 12b = 2 2 3 b = 2 2 3 b 2. Maximale Potenzen: von 2: 2 3 von 3: 3 von b: b von x: x 3. Hauptnenner = 2 3 3 b x = 24bx Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1-15- Erweiterungsfaktor bestimmen und erweitern Zu jedem Bruchterm den Erweiterungsfaktor bestimmen und damit erweitern. Alle Bruchterme erhalten damit den Hauptnenner. Der Erweiterungsfaktor ist somit definiert als Hauptnenner : Nenner Im vorherigem Beispiel: 5a 3a 7a + =? 2x 8x 12b Für 2x 24bx : 2x = 12b Für 8x 24bx : 8x = 3b Für 12b 24bx : 12b = 2x Erweitern: 5 a 12b 3a 3b 7a 2x 60ab 9ab 14ax 69ab 14ax + = + = 2x 12b 8x 3b 12b 2x 24bx 24bx 24bx 24bx Kann nicht mehr gekürzt werden. Lesen Sie Beispiel 1-3 Seite 28 und bestimmen Sie die Hauptnenner und die Erweiterungsfaktoren selber Lösen Sie die Aufgaben 8 und 9 Seite 59,60 Das Gleichnamigmachen von Brüchen müssen Sie sicher beherrschen! Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1-16- 8

Häufige Fehler beim Bruchrechnen Finden Sie in den folgenden Aufgaben die Fehler und korrigieren Sie sie: q 1 R R R = q 2 2 2 5x 7y x y = 5a 7b a b x 2 + y 2 = x + y x + y 2 9x 16y 3x 4y 2 = 3x 4y Falls Sie im Bruchrechnen noch unsicher sind, so besuchen Sie http://schuelerseite.otto-triebes.de/mathe/bruchrechnung/brueche.htm Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1-17- 1.1.3 Terme Terme sind Ausdrücke in welchen eine oder mehrere Variablen vorkommen Daneben können Zahlen vorkommen, die Grundoperationen +,-, und :, die Vorzeichen +,- und Klammern (), [] und {} nicht jedoch Gleichheits- und Ungleichheitszeichen Beispiele: a, 4+a, x y, e x 1 t Nicht jedoch z.b. 3y+4 = 12. Der Grundbereich eines Terms ist diejenige Zahlenmenge, welche für die Termvariable(n) grundsätzlich in Frage kommt. Normalerweise sind das die reellen Zahlen, manchmal auch nur die natürlichen Zahlen. Es kann aber sein, dass ein Term nicht für alle Werte des Grundbereichs definiert ist. So ist z.b. der Term 1/x für x=0 nicht definiert. Der Definitionsbereich D eines Terms ist deshalb derjenige Teil des Grundbereichs, bei dem, falls dessen Werte für die Variable eingesetzt werden, der Wert des Terms definiert ist. Beispiel: der Term 1/x hat den Grundbereich R (reelle Zahlen) und den Definitionsbereich R \ {0} (alle reellen Zahlen ausser die Null) Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1-18- 9

Gleichungen Eine Gleichsetzung von zwei Termen T 1 = T 2 nennt man Gleichung. Die Lösungsmenge einer Gleichung ist die Menge aller Variablenwerte aus dem Definitionsbereich, welche in die Gleichung eingesetzt, diese erfüllen. Bsp: x+2 = 5 hat die einzige Lösung x=3 Überprüfen Sie anhand der Gleichung x+2 = 5, ob die folgenden Umformungen erlaubt sind, d.h. x immer noch die Lösung 3 hat: Addieren von 4 auf beiden Seiten: x+6 = 9; 9=9 ok Subtrahieren von 5 auf beiden Seiten x -3 = 0; 0=0 ok Multiplizieren mit 2 auf beiden Seiten Multiplizieren mit -2 auf beiden Seiten Multiplizieren mit 0 auf beiden Seiten Dividieren durch 2 auf beiden Seiten Dividieren durch 0 auf beiden Seiten Vertauschen der beiden Seiten Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1-19- Erlaubte Umformungen Die folgenden Umformungen verändern die Lösungsmenge einer Gleichung nicht. Sie helfen uns, eine Gleichung nach ihrer Variablen aufzulösen. - Auf beiden Seiten einer Gleichung darf derselbe Term addiert oder subtrahiert werden Bsp. 2x+7 = x+3 ergibt nach Subtrahieren von x+7 auf beiden Seiten: x = -4 - Beide Seiten einer Gleichung dürfen mit demselben Term multipliziert werden, aber der Term darf nicht Null sein Bsp: (x+1)/(2x+3) = 4 ergibt nach Multiplikation mit 2x+3: x+1 = 8x + 12 Warum verändert das Multiplizieren mit Null die Lösungsmenge? Beide Seiten einer Gleichung dürfen durch denselben Term dividiert werden, aber der Term darf nicht Null sein Bsp: x(e x +1) = 4(e x +1) ergibt nach Division durch e x +1: x=4 Weshalb dürfen die beiden Seiten einer Gleichung nicht durch Null dividiert werden? Die beiden Seiten einer Gleichung dürfen vertauscht werden Bsp: aus 4=x folgt nach Vertauschen die Lösung x=4 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1-20- 10

Lineare Gleichungen Lineare Gleichungen sind Gleichungen mit einer Variablen (z.b. x), welche durch erlaubte Umformungen in die Form ax = b mit a 0 gebracht werden können. Daraus ergibt sich nach Division durch a sofort die Lösung: x = b/a Zu diesem Zweck müssen alle Terme mit x auf die linke Seite gebracht und dann x ausgeklammert werden. Bsp 1, Seite 32: 7x + 3 = 5x -2 Umformung: -5x 2x + 3 = -2-3 2x = -5 :2 x = -5/2 Lesen Sie die Beispiele 2 und 3 Seite 32 und 1 und 2 Seite 33,34 Lösen Sie die Aufgabe 10 und 11 Seite 60 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1-21- Aufgaben bis zur nächsten Präsenz Es gibt viel zu tun, warten Sie nicht bis einen Tag vor der nächsten Präsenz! Lesen Sie das Skript nochmals durch. Lösen Sie die darin angegebenen Übungen aus dem Buch und aus dem Übungsblatt fertig. Lesen Sie Purkert Kap. 1.1 Falls Sie sich zuwenig sicher fühlen, so lösen Sie die folgenden Aufgabenblätter aus Kusch, Arithmetik und Algebra: Ausmultiplizieren und Ausklammern von Summentermen: p. 80-82, a. 35-62 und 1-33 Bruchterme: addieren (gleichnamig machen), multiplizieren, dividieren: p. 120, a 16-41, p. 121 a. 1-31, p. 122, a. 1-22 Binomische Formeln: potenzieren, faktorisieren: p. 146 unten, a. 1-22, p. 147, a. 1-42 Machen Sie den Kurztest Lesen Sie Purkert Kap. 1.2-1.4 für die nächste Präsenz. Bei Problemen Mail an boek@kmu-dir.ch oder epeter@fernfachhochschule.ch Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1-22- 11

Ziele (vergl. Modulplan) Die Studierenden erreichen eine Sicherheit im Rechnen mit reellen Zahlen und Termen, insbesondere: im Ausmultiplizieren von Klammern und umgekehrt im Ausklammern von Faktoren in der Multiplikation, Division und dem Kürzen von Brüchen sowie beim Gleichnamig machen Sie kennen und erkennen die drei binomischen Formeln Sie können lineare Gleichungen lösen. Umfang: Purkert Kap. 1.1 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik für die Betriebsökonomie, Block 1-23- 12