Institut für Phsik Fakultät für Elektrotechnik Universität der Bundeswehr München / Neubiberg EXPERIMENTALPHYSIK I - 7. und letztes Übungsblatt XVI. Geometrische Optik - Strahlenverläufe durch optische Geräte Zur Bearbeitung der folgenden Aufgaben empfiehlt sich ein Studium der Kapitel über geometrische Optik, die Sie in jedem Lehrbuch der Phsik finden. Aufgaben a) Konstruieren Sie die Strahlenverläufe der von einem Objekt ausgehenden Strahlung durch eine Sammellinse und durch eine Zerstreuungslinse, und charakterisieren Sie das entstehende Bild (das Objekt soll sich dabei (i) in einem Bereich vor dem Brennpunkt f befinden, (ii) direkt im Brennpunkt f befinden und (iii) hinter dem Brennpunkt f befinden). b) Konstruieren Sie den Strahlenverlauf durch (i) ein astronomisches und (ii) ein terrestrisches Fernrohr; beziehen Sie dabei das menschliche Auge mit in den Strahlenverlauf ein (Hinweis: das in die Fernrohre einfallende äußere Licht ist parallel). XX. Brechung und Reflexion, Interferenz und Beugung Zur Bearbeitung der folgenden Aufgaben empfiehlt sich ein Studium der folgenden Literatur: Phsik von P.A.Tipler, Seiten 9-3 Spektrum, Akademischer Verlag, Heidelberg - Berlin Aufgaben c) Das Licht einer Natriumdampflampe hat im Vakuum die Wellenlänge λ = 589 nm. Berechnen Sie die Wellenlänge dieses Lichts (i) in Wasser (n =,33) und (ii) in Glas (n =,5). d) Ein Lichtstrahl falle unter einem Winkel von 45 auf die Grenzfläche zwischen Luft und Wasser. Die Brechzahl der Luft ist, und die des Wassers,33. Wie groß ist der Brechungswinkel? e) Eine bestimmte Glassorte habe die Brechzahl,5. Wie groß ist der kritische Winkel der Totalreflexion für den Übergang von diesem Glas in Luft (n =,)?
f) Auf einen Spalt der Breite d falle monochromatisches, paralleles Licht der Wellenlänge λ. Nachdem das Licht am Spalt gebeugt wurde, fällt es in einer Entfernung l >> λ auf eine Wand. Wand und Spalt sind parallel zueinander angeordnet. Erläutern Sie (i) qualitativ die Beugung des Lichts an diesem Spalt mit Hilfe des Hugensschen Prinzips und erklären Sie das entstehende Interferenzbild auf dem Schirm. Anstelle des Spaltes wird nun ein Doppelspalt in den Lichtstrahl gestellt (die Breite der Einzelspalte sei b, der Abstand zwischen den Einzelspalten sei ebenfalls b). Wie ändert (ii) sich das Interferenzbild? g) Zwei Spalte der Breite a =,5 mm haben voneinander den Abstand d =,6 mm und werden mit monochromatischem Licht der Wellenlänge λ = 7 nm beleuchtet. Wieviele helle Streifen lassen sich (i) im zentralen Beugungsmaximum beobachten? Unter welchen Winkeln (ii) α ( α < 9 ) treten Beugungsmaxima und -minima auf? h) Gegeben sind zwei punktförmige Lichtquellen, die beide monochromatisches Licht der Wellenlänge λ aussenden. Der Abstand zwischen beiden Lichtquellen sei d = λ (vergleichen Sie mit der folgenden Abbildung). Unter welchen Winkeln α ergeben sich Interferenzmaxima bzw. minima (betrachten Sie nur den Winkelbereich von α = bis α = 9 )! Anmerkung: Damit Lichtwellen aus verschiedenen Lichtquellen interferieren können, müssen sie unter dem selben Winkel emittiert werden, d.h. sie müssen parallel zueinander verlaufen. Das entstehende Interferenzbild kann auf einem Bildschirm aufgefangen werden. Q λ α d α Q x XXI. Transferaufgabe Klausurvorbereitung III Zur Bearbeitung der folgenden Aufgaben benötigen Sie nur Ihre Vorlesungsmitschrift. Aufgabe i) Gegeben ist ein gleichseitiges Prisma unbekannten Materials der Kantenlänge b (vergleichen Sie die folgende Abbildung). Auf die Prismenkante AC falle unter einem Winkel von α = 5 relativ zum Lot weißes Licht, das durch das Prisma spektral zerlegt wird und an der Prismenkante BC wieder austritt. Eine Spektralfarbenanalse ergibt folgende Austrittswinkel: Wellenlänge Austrittswinkel β i λ = nm β nm = 46,95 λ = 3 nm β 3 nm = 44,55 λ = 4 nm β 4 nm = 43, λ = 5 nm β 5 nm = 4,37 λ = nm β nm = 4,59 i) Errechnen Sie aus diesen Werten die Dispersionskurve des Prismas und skizzieren Sie sie! Um welche Art der Dispersion handelt es sich? ii) Aus welchem Material wurde dieses Prisma gefertigt (benutzen Sie dazu das n(λ) - Diagramm am Ende des Übungsblattes)?
C α β i 9 A B iii) Wie änderst sich die Form des Spektrums, wenn man den Einfallswinkel α erhöht, bzw. erniedrigt? Beantworten Sie die Frage sowohl qualitativ als auch quantitativ! Musterlösungen a,i,ii,iii) Die Konstruktionszeichnungen befinden sich auf dem beigefügten Arbeitsblatt. Charakterisierung des entstehenden Bildes: Sammellinse: Befindet sich das abzubildende Objekt außerhalb der doppelten Brennweite > s > f (auf der Objektseite der Linse), so erhält man ein reales, verkleinertes und umgekehrtes Bild, welches sich innerhalb der doppelten Brennweite befindet f < s < f (auf der Bildseite der Linse). Befindet sich das abzubildende Objekt in der doppelten Brennweite s = f (auf der Objektseite der Linse), so erhält man ein reales, gleichgroßes und umgekehrtes Bild, welches sich ebenfalls in der doppelten Brennweite befindet s = f (auf der Bildseite der Linse). Befindet sich das abzubildende Objekt innerhalb der doppelten Brennweite f > s > f (auf der Objektseite der Linse), so erhält man ein reales, vergrößertes und umgekehrtes Bild, welches sich außerhalb der doppelten Brennweite befindet f < s < (auf der Bildseite der Linse). Befindet sich das abzubildende Objekt in der einfachen Brennweite s = f (auf der Objektseite der Linse), so erhält man ein Bild im Unendlichen (nur dort treffen sich parallele Strahlen) auf der Bildseite der Linse. Befindet sich das abzubildende Objekt innerhalb der einfachen Brennweite f > s > (auf der Objektseite der Linse), so erhält man ein virtuelles, vergrößertes und aufrechtes Bild, welches sich ebenfalls auf der Objektseite der Linse befindet (hier wirkt die Sammellinse als Lupe). 3
Zerstreuungslinse: Bei einer Zerstreuungslinse erhält man stets ein virtuelles, verkleinertes Bild, das sich wie das Objekt auf der Objektseite der Linse befindet. b,i,ii) Die Konstruktionszeichnungen befinden sich auf den beigefügten Arbeitsblättern und 3. c,i,ii) Der Effekt der Lichtbrechung (also der Richtungsänderung des Strahls beim Übergang in ein anderes Medium) läßt sich im wesentlichen dadurch erklären, das Licht in verschiedenen Medien verschiedene Geschwindigkeiten besitzt. Das Verhältnis zwischen der Vakuumlichtgeschwindigkeit c und der Lichtgeschwindigkeit c m in einem Medium wird durch die Brechzahl n des jeweiligen Mediums wiedergegeben c = n. c m In elektrisch nichtleitender Materie müssen Streuprozesse (Streuung der Lichtquanten an den Kristallatomen) berücksichtigt werden, um die Ausbreitung des Lichts im Medium verstehen zu können. Eine Lichtwelle wird von den Atomen des Mediums absorbiert und wieder abgestrahlt - dieser Vorgang geschieht ständig, während sich das Licht durch das Medium bewegt. Dabei bleibt die Frequenz des Lichtes während des Durchgangs konstant (die Atome absorbieren und emittieren das Licht mit der gleichen Frequenz. Allgemein sind Wellenlänge λ und Frequenz ν einer Welle über folgende Beziehung miteinander verknüpft v = ν λ. Daraus folgt c = ν λ und c m = ν λ m. Mit Hilfe der Definition der Brechzahl ergibt sich also c ν λ λ λ = n = = λ m =. c m ν λ m λ m n Hat das Licht der Natriumdampflampe im Vakuum die Wellenlänge λ = 589 nm, so hat es beim Durchgang durch Wasser (n =,33) die Wellenlänge λ = 443 nm und beim Durchgang durch Glas (n =,5) die Wellenlänge λ = 393 nm. d) Nach dem Snelliusschen Brechungsgesetz gilt n sin(θ ) = n sin(θ ). Damit folgt für den Ausfallwinkel ϕ aus (bei einem Einfallwinkel von ϕ ein = 45 und einer Brechzahl von,33 des brechenden Mediums) sin( ϕaus ) sin(45 ) = = ϕaus = arcsin = 3. sin(45 ) n,33,33 e) Mit Hilfe des Snelliusschen Brechungsgesetzes ergibt sich für den kritischen Winkel der Totalreflexion ϕ krit sin( ϕ ) krit = = ϕ = arcsin = 4. sin(9 ) n,5 krit,5 f,i,ii) Die Lösung dieser Aufgabe wird in Phsik von P. A. Tipler, Seiten 9-3, Spektrum Akademischer Verlag, Berlin ausfühlich diskutiert. g,i) Mit a =,5 mm und d =,6 mm ergibt sich V = d/a = 4. Im zentralen Beugungsmaximum treten also links und rechts vom zentralen Interferenzmaximum 4 Nebenmaxima auf. Allerdings fällt das vierte Interferenznebenmaximum mit dem ersten Beugungsmimimum zusammen, daher lassen sich nur insgesamt 3 + + 3 = 7 helle Streifen im zentralen Beugungsmaximum beobachten. ii) Es treten bei folgenden Winkeln Interferenzmaxima, bzw. minima auf (λ = 7 nm, a =,5 mm, d =,6 mm): Maxima: sin(φ) = m λ/d, für m > 85 ist sin(φ) > es gibt 85 Interferenzmaxima Minima: sin(φ) = m λ/a, für m > ist sin(φ) > es gibt Beugungsminima es gibt also 85 = 64 Intensitätsnebenmaxima, also 65 Intensitätsminima 4
Intensitätsmaxima ergeben sich also bei den Winkeln Φ = arcsin(m λ/d), m =,,3, 5,6,7, 8,9,,.... h) Beide Lichtquellen senden monochromatisches Licht der Wellenlänge λ aus. Q λ α d Q Da ihr Abstand a untereinander a = λ beträgt, kann es nur dann ein Hauptmaximum der Interferenz geben, wenn die Phasendifferenz zwischen den ausgesendeten Lichtwellen der Quellen Q und Q Null oder ein ganzzahliges Vielfaches von π beträgt - also ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge λ. In Formeln ausgedrückt bedeutet dies λ sin(α) = n λ, n =,,, 3,.... In der gewählten Anordnung sind nur die Fälle n = und n = möglich. Daraus folgt nun, dass es zu Hauptmaxima der Interferenz bei den Winkeln α = und α = 9 kommt (also zu Maxima der Intensität der resultierenden Lichtwelle). Analog kommt es zu Hauptminima der Interferenz, wenn die Phasendifferenz ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge beträgt, wenn also gilt λ sin(α) = ( n+) λ/, n =,,, 3,.... In dieser Anordnung ist nur der Fall n = möglich. Daraus folgt, dass es bei einem Winkel von α = 3 zu einem Hauptminimum der Interferenz kommt (es kommt also hier zu einem Minimum der Intensität der resultierenden Lichtwelle). Daraus folgt, dass im Winkelbereich < α < 3 die Intensität der resultierenden Lichtwelle abnimmt, während sie im Winkelbereich 3 < α < 9 wieder zunimmt. Dies zeigt auch die folgende Rechnung. Es ist Q (x, t) = sin(ω t k x π sin(α )) und Q (x,t) = sin(ω t k x) ; res (x,t) = Q (x,t) + Q (x,t) = α x {sin(ω t k x π sin(αin+ sin(ω t k x)}. Mitsin(Θ ) + sin(θ ) = cos (Θ Θ ) sin (Θ + Θ ) folgt daraus res (x, t) = cos(π sin(α )) sin(ω t k x π sin(α )). Die Intensität I einer Welle ist gleich dem Quadrat der Amplitude. Somit folgt I(α ) = { cos(π sin(α ))}. Trägt man I(α) über α auf, so ergibt sich 5
6 I(α )/ 8 4 3 5 7 α / G rad 9 i) Vorüberlegungen Die Brechzahl n m eines Mediums m ist definiert als das Verhältnis der Vakuumlichtgeschwindigkeit c zur Lichtgeschwindigkeit im Medium c m : n m = c / c m. Im allgemeinen tritt in den betrachteten Medien Dispersion auf, d.h. die Brechzahl n m des Mediums ist abhängig von der Wellenlänge λ des Lichts: n m = n m (λ). Glasprismen zeigen stets normale (langwelliges Licht wird schwächer gebrochen als kurzwelliges), Beugungsgitter anomale (langwelliges Licht wird stärker gebrochen als kurzwelliges) Dispersion. Die Änderung der Ausbreitungsrichtung des Lichts, die bei Brechung auftritt, wird durch das Snelliussche Brechungsgesetz beschrieben n sin(θ ) = n sin(θ ). Lösung i) Zur Lösung der Aufgabe werden folgende Winkel eingeführt (vergleichen Sie mit der folgenden Skizze). γ α α β Mit dem Snelliusschen Brechungsgesetz ergibt sich für eine beliebige Wellenlänge λ: sin(α ) = n(λ) sin(α ), sin(β ) = n(λ) sin(β ); n(λ) ist die Brechzahl des Prismas für diese Wellenlänge. Weiterhin ist γ = 6, da es sich um ein gleichseitiges Prisma handelt. Damit folgt 8 = 9 - α + γ + 9 - β = 4 - α - β. Daraus folgt 6 = α + β. Mit diesen Beziehungen ergibt sich sin(β ) = sin(6 - α ) = sin(6 ) cos(α ) - cos(6 ) sin(α ) = sin(β ) / n(λ) sin(β ) = sin(6 ) sin (α ) cos(6 ) sin(α ), n(λ( sin(β ) = sin(6 ) n(λ( Löst man dies nach n(λ) auf, so ergibt sich β sin(α ) sin(α ) cos(6 ). n(λ( n(λ( 6
sin(β ) + cos(6 ) sin(α ) n(λ( = + sin (α ). sin(6 ) Setzt man die gegebenen Werte ein, so ergibt sich Wellenlänge Austrittswinkel β i Brechzahlen λ = nm β nm = 46,95 n(λ = nm) =,497 λ = 3 nm β 3 nm = 44,55 n(λ = 3 nm) =,468 λ = 4 nm β 4 nm = 43, n(λ = 4 nm) =,449 λ = 5 nm β 5 nm = 4,37 n(λ = 5 nm) =,44 λ = nm β nm = 4,59 n(λ = nm) =,43 Es handelt sich um normale Dispersion, da das langwellige Licht (z.b. λ = nm) schwächer gebrochen wird als das kurzwellige Licht (z.b. λ = nm). ii) Ein Vergleich mit dem Diagramm ergibt, dass das Prisma aus CaF gefertigt wurde. iii) Vergrößert man α, dann wird α ebenfalls größer und damit werden β und β kleiner. Das Spektrum wird daher schmaler, was die folgenden Zahlen zeigen α = 6 : β nm = 38,64, β nm = 33,6. Verringert man α, dann wird α ebenfalls kleiner und damit werden β und β größer. Das Spektrum wird also breiter. Allerdings ist dabei zu beachten, dass ab einem bestimmten Winkel α an der Prismenkante BC Totalreflexion auftritt. Die kritischen Winkel der Totalreflexion sind β,tot (λ = nm) = 4,9 α = 7,7, β,tot (λ = nm) = 44,33 α =,74. Wie sich also ergibt, werden ab einem Einfallwinkel von α = 7,7 alle Wellenlängen nm totalreflektiert und tauchen im Spektrum nicht mehr auf. Ab einem Einfallwinkel von α =,74 werden alle Wellenlängen nm totalreflektiert. Da nm bereits nahes Infrarot ist, was durch das menschliche Auge nicht mehr wahrgenommen wird, ist also kein Spektrum mehr sichtbar. Stattdessen tritt aus der Prismenkante AB ein weißer Lichtstrahl aus. Dies ist folgendermaßen zu erklären: Auf die Prismenkante BC trifft rotes Licht unter einem kleineren Winkel, als blaues (normale Dispersion). Durch die Totalreflexion an der Kante BC werden die Verhältnisse umgekehrt, so dass nun rotes Licht auf die Prismenkante AB unter einem größeren Winkel trifft, als blaues. Die Brechung an der Kante AB führt nun dazu, dass das spektral zerlegte Licht wieder zusammengebrochen wird - an der Kante AB tritt weißes Licht aus. 7
Arbeitsblatt 8
Arbeitsblatt 9
Arbeitsblatt 3