7 4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen Die Laplace-Transformation wird gerne benutzt, um lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten y n + a n y n +... + a y + a 0 y ft zu lösen, wobei die Inhomogenität f höchstens exponentiell wachsen sollte. In der Regel werden die Startwerte y0 y 0, y 0 y,..., y n 0 y n vorgeschrieben. Die Laplacetransformation überführt die Differentialgleichung in eine algebraische Gleichung. Diese lässt sich lösen, und dann gelangt man dann durch Rücktransformation auch zu einer Lösung der Differentialgleichung. Wir beginnen mit einer Differentialgleichung. Ordnung: y + ay ft, mit Anfangsbedingung y0 A. Man kann schrittweise vorgehen:. Laplace-Transformation Sei yt eine Lösung, Y z : L[yt] und F z : L[ft]. Wendet man auf beide Seiten der DGL die Laplace-Transformation an, so erhält man: z Y z y0 + a Y z F z, also z + a Y z A F z.. Lösung im Bildbereich Die gewonnene Gleichung wird nach Y z aufgelöst: 3. Rücktransformation Y z F z + A z + a. Schließlich wird die Urbildfunktion yt zu Y z gesucht: F z + A yt. z + a Bemerkung: Die allgemeine Lösung der DGL setzt sich aus der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung und einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung zusammen. Das Verfahren der Laplace-Transformation liefert gleich die allgemeine Lösung, in Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen.
8 4 Die Laplace-Transformation 4.3.. Beispiel Wir betrachten die DGL y +y t 4, mit der Anfangsbedingung y0.. Schritt: Laplace-Transformation! z Y z + Y z L[t 4] /z 4/z.. Schritt: Lösung im Bildbereich! z + Y z /z 4/z, also Y z z z + 4 zz + + z +. 3. Schritt: Rücktransformation: Hierfür benötigen wir die folgenden Partialbruchzerlegungen: z az b /a b z a /a b z b und Daraus folgt: z z a /a + /a + /a z z z a. und z + e t, zz + / z / z + e t z z + /4 + / z z + /4 z + 4 + t + 4 e t. So erhalten wir Y z t + 3 e t e t t 5 + 7 e t. Im allgemeinen Fall überführen wir die DGL in die algebraische Gleichung y n + a n y n +... + a y + a 0 y ft P z Y z Qz F z über, wobei P z z n + a n z n + + a z + a 0 das charakteristische Polynom der DGL ist, Qz ein Polynom vom Grad n, dessen Koeffizienten sich aus
4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen 9 den a i und den Startwerten zusammensetzen, und F z die Laplacetransformierte von f. Es folgt Y z Qz P z + F z P z. Durch Rücktransformation berechnen wir daraus yt. Setzen wir u : L /P, so erhalten wir [ Qz ] yt L + u ft. P z Dabei ist Q/P rational, und die nötigen Methoden für die Rücktransformation haben wir schon gesehen. Die Berechnung von u f kann schwierig werden, lässt sich aber häufig vermeiden. Wir betrachten nun eine DGL. Ordnung: y + ay + by ft, mit Anfangswerten y0 A und y 0 B. Auch hier gibt es die drei Schritte:. Laplace-Transformation: z Y z z A B + a z Y z A + b Y z F z, also z + az + b Y z z + aa B F z.. Lösung im Bildbereich: Y z 3. Rücktransformation: F z + z + aa + B. z + az + b Wir machen eine Fallunterscheidung:. Fall: Das charakteristische Polynom P z z + az + b hat zwei verschiedene reelle Nullstellen, d.h. es ist P z z s z s mit s, s R und s s. Dann ist a s + s, und es gilt: P z [ ] ut s s z s z s und z + a P z z s s z s z s z s [ s s s + s ] s s z s z s z s [ s s ] s s z s z s s z s z s s s e s t e s t. s s [s e s t s e s t ].
0 4 Die Laplace-Transformation Dann ist yt [ e s t e s t ft + B As e st + As B e t] s. s s. Fall: P z besitzt ein relle Nullstelle mit Vielfachheit, d.h. es ist Dann ist a s, und es gilt: also z + a P z P z z s mit s R. z s s z s z s s z s, Y z F z P z + A z s Bekannlich gilt t e st z s + B As z s.. Damit folgt: z s yt t e st ft + A e st + B As t e st. 3. Fall: P z besitzt eine komplexe nicht-reelle Nullstelle s α +j β. Dann ist automatisch s α j β die zweite Nullstelle weil P z reelle Koeffizienten hat. Es ist z + az + b z sz s z s + sz + ss, also a s + s α. Daraus ergibt sich: z + a P z A + Az α B + B αa. P z P z P z Weil ss α + β ist, ist P z z αz + α + β z α + β. Wir verwenden jetzt die Formeln sinβt β z, cosβt z + β z + β und e αt ft L fz α. So erhalten wir yt β eαt sinβt ft + A e αt cosβt + B αa β e αt sinβt.
4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen 4.3.. Beispiele A. Wir betrachten die DGL y + y y e t mit der Anfangsbedingung y0 und y 0. Hier ist P z z +z z z+, mit den reellen Nullstellen s, s, sowie A B.. Schritt Laplace-Transformation: Für ft : e t ergibt sich die Laplacetransformierte F z : L fz z +. Die transformierte Gleichung hat also die Gestalt. Schritt: Lösung im Bildraum: P z Y z z + z +. Y z z + P z + P zz + z + z z +. Beim zweiten Term führen wir eine Partialbruchentwicklung durch: mit z z + A z + A lim z z + 9 C lim z und B lim z z 3 z B z + + lim z C z +, z 9. So bekommen wir die Lösung yt 0 9 et 9 e t t 3 e t. B. Betrachtet werde die Differentialgleichung y y + y sin3t mit y0 y 0 0. Die Laplacetransformierte von ft sin3t ist die Funktion F z 3 z + 9, das charakteristische Polynom ist
4 Die Laplace-Transformation P z z z + z + j z j z +. Da die Anfangswerte 0 sind, erhalten wir die transformierte Gleichung P z Y z F z, und damit Y z 3 z + z + 9 L [et sin t] L [sin3t]. Das liefert die Lösung yt e t sin t sin3t. Da die Faltung schwer zu berechnen ist, versuchen wir es mit der bewährten Partialbruchzerlegung. Das geht entweder mit dem Ansatz z + z + 9 A z + j + oder mit dem Ansatz B z j + C z 3j + z + z + 9 Kz + L z z + + Mz + N z + 9. Mit der Limesformel erhält man aus dem ersten Ansatz A 9/j C 7/6j +, B 9/j, und D 7/6j +, D z + 3j und über ein lineares Gleichungssystem erhält man aus dem zweiten Ansatz Kz + L z und Mz + N z 7. Damit ist Y z 6z z + 9 + 33 6z z + /3z 7/3 6z 7 z/3 + z + z/3 z/3 + 7/3 z/3 + 6 z z + + 7 z + und yt 6 cos3t 7 sin3t 6 e t cos t + 7 e t sin t. Mit ähnlichen Methoden kann man auch Systeme linearer Differentialgleichungen. Ordnung behandeln.
4.3 Anwendungen auf Differentialgleichungen 3 Für eine n n-matrix A betrachten wir das System y A y + bt wobei b ein Vektor von höchstens exponentiell wachsenden Funktionen sein soll. Wir stellen die Startbedingung y0 : y 0. Ist Y der Vektor der Laplacetransformierten der in y als Komponenten auftretenden Funktionen und B die Laplacetransformierte zu b, so ist z Y z y 0 A Y z + Bz. Damit ist Y z Lösungsvektor des linearen Gleichungssystems z En A Y z y 0 + Bz. Ist det z E n A 0, so ist diese Lösung eindeutig bestimmt als Y z z E n A y0 + Bz. Mit der Laplace-Rücktransformation kann so die Lösung y t des DGL-Systems gewonnen werden. 4.3.3. Beispiel Wir betrachten das System y 33y + 48y + t y 4y 35y + mit den Startbedingungen y 0 und y 0. In Vektorschreibweise: y 33 48 y t +. 4 35 y Wendet man die Laplacetransformation an, so erhält man: z 33 48 Y z z + 4 z + 35 z z. + z z 33 48 Es ist det 4 z + 35 Damit ist z 33 48 4 z + 35 y z + z 3 z z + 3, also z + 35 48 z z + 3 4 z 33.
4 4 Die Laplace-Transformation Y z z + 35 48 z + z z z + 3 4 z 33 z + z z 3 z z z + 3 + z + 49z + 35 z 3 4z. 33z 4 Um die Rücktransformation durchführen zu können, empfiehlt sich die Partialbruchzerlegung. Der Ansatz Der Ansatz A z + B z + 3 + C z + D z z3 + z + 49z + 35 z z z + 3 A lim z z Y z 7, B lim z 3 z + 3Y z 8 9, D lim z Y z 35 z 0 3 und C lim z Y z 7 z 0 9. A z + B z + 3 + C z + D z z3 4z 33z 4 z z z + 3 A lim z z Y z 8, B lim z + 3Y z z 3 3, D lim z Y z 8 z 0 und C lim z Y z 49 z 0 3. Die Rücktransformation ergibt jetzt y t L Y 7 9 35 3 t + 7et 8 9 e 3t und y t L Y 49 3 + 8t 8et + 3 e 3t. Y z liefert Y z liefert