Übungsaufgaben Mengenlehre Die folgenden Übungsaufgaben beziehen sich auf den Stoff des Skriptes zur Mengenlehre der Lehrveranstaltung Wirtschaftsmathematik und dienen der Klausurvorbereitung. Zuvor werden noch einige wichtige Symbole erläutert. Für alle Existiert mindestens ein Wofür gilt oder teilt ohne Rest Ist Kongruent 1 () Indikatorfunktion, ist 1 wenn Bedingung in Klammern stimmt, sonst 0 Detailliertere Informationen, bzw. weitere Symbolerläuterungen finden Sie im Skript. WICHTIG: Versuchen Sie die Aufgaben zu lösen, bevor Sie in die Lösungen schauen. NOCH WICHTIGER: Falls Sie Fehler finden, welcher Art auch immer, schreiben Sie mir bitte an: Kevin.Normann@stud.h-da.de Vielen Dank! Aufgabe 1 Machen Sie sich mit den wichtigsten Mengen und deren Zusammenhang vertraut: P = {2, 3, 5,...}, die Menge der Primzahlen. N = {1, 2, 3,...}, die Menge der natürlichen Zahlen. Z = {0, 1, 1,...}, die Menge der ganzen Zahlen. Q, die Menge der rationalen Zahlen (also alle Zahlen welche sich als Brüche darstellen lassen). R, die Menge der reellen Zahlen. TIPP: Zeichnen Sie ein Mengendiagramm. Aufgabe 2 Geben Sie die folgenden Mengen im aufzählenden und beschreibenden Verfahren an. a) die Teilmenge A der natürlichen Zahlen, die durch 3 teilbar sind, größer sind als 10 und kleiner als 25. 1
b) die Teilmenge B der natürlichen Zahlen, die echte Vielfache (d.h. nicht 4) von 4 und kleiner oder gleich 96 sind. c) die Teilmenge C der Primzahlen zwischen 1 und 30, welche mindestens einen Primzahlzwilling haben (Primzahlzwillinge sind Primzahlen mit einem Abstand zueinander von 2, z.b. 11 und 13). d) die Teilmenge D der natürlichen Zahlen, welche perfekt sind, größer 2 und kleiner 30 (die Summe der Teiler ergeben wieder die Zahl selbst, z.b. 6 = 1 + 2 + 3). Aufgabe 3 Geben Sie folgende Intervalle in Klammernschreibweise und beschreibender Schreibweise wieder. Grundmenge seien die reellen Zahlen. a) Offenes Intervall von 2 3 bis 19 3. b) Rechts halboffenes Intervall von x bis y. c) Links halboffenes Intervall von 8 bis z. d) Geschlossenes Intervall von 3 bis 4 5. e) Das Intervall aller Zahlen größer oder gleich 2. Aufgabe 4 Bestimmen Sie die Mächtigkeit folgender Mengen. a) A = {1, 2, 3} b) B = {a, b, c} c) C = A B {1,..., 11} Aufgabe 5 Geben Sie zu folgenden Mengen die Relationen (=,,, ) und Verknüpfungen (,, \, ) an (die Grundmenge sei E). A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {2, 4, 6, 8} 2
C = {1, 3, 5} D = {4, 7, 8, 9} E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} TIPP: Schreiben Sie Tabellen. Aufgabe 6 Das Spielfeld des Glücksspiels Roulette ist in drei Farben aufgeteilt: Rot, Schwarz und Grün. Alle Felder haben zudem eine natürliche Zahl und können als Menge aufgeführt werden. Menge Zahlen auf rotem Grund R = {1, 3, 5, 7, 9, 12, 14, 16, 18, 19, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 36}. Menge Zahlen auf schwarzem Grund S = {2, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 15, 17, 20, 22, 24, 26, 28, 29, 31, 33, 35}. Menge Zahlen auf grünem Grund G = {0}. Es gibt nun die Möglichkeit sein sauerverdientes Geld auf Rot, Schwarz, Gerade, Ungerade, einzelne Zahlen etc. zu setzen. Sie nehmen an diesem Spiel Teil und setzen den gleichen Betrag auf Rot und Gerade. Das bedeutet, bleibt die Kugel auf einer schwarzen ungeraden Zahl liegen verlieren Sie. Vereinfachend gilt, gewinnen Sie, gibt es den Einsatz doppelt zurück und 0 zählt zu den ungeraden schwarzen Zahlen. Geben Sie nun die Verknüpfung der Mengen für folgende Ereignisse an und zählen die dazugehörigen Zahlen auf. a) Sie verlieren den gesamten Einsatz. b) Sie machen keinen Gewinn. c) Sie machen keinen Verlust. d) Sie machen weder Gewinn noch Verlust. e) Sie machen einen Gewinn. HILFE: Skizzieren Sie ein Venn-Diagramm und tragen Sie die Zahlen in die richtige Menge ein, ähnlich der folgenden Abbildung. 3
Aufgabe 7 Geben Sie die Potenzmenge zu folgenden Mengen an. Bestimmen Sie vorher die Anzahl der Elemente in der Potenzmenge. a) A = {{1, 2}, {3, 4}} b) B = {1, 2, 3, 4} Aufgabe 8 Geben Sie folgende kartesischen Produkte (A B) explizit wieder, stellen Sie sie graphisch dar und bestimmen Sie die Anzahl der Elemente des kartesischen Produktes. Beachten Sie die angegebenen Relationen. (A auf x-achse, B auf y-achse) a) A = [1, 3] und B = (1, 3] mit A,B N. b) A = (1, 6) und B = [ 1, 3] mit A,B Z. c) A = [0, 5] und B = [0, 5] mit A,B Z und Relation a + b < 6. Die Variablen a und b beschreiben Elemente aus A bzw. B. d) A = [ 5, 5] und B = [ 5, 5] mit A,B Z und Relation a = b. e) A = ( 2, 2) und B = ( 2, 2) mit A,B R und Relation a 2 + b 2 = 1. 4
Lösung zu Aufgabe 1 Es gilt: P N Z Q R. Das bedeutet, anschaulich: Lösung zu Aufgabe 2 Im folgenden werden die Lösungen, in dieser Reihenfolge, angegeben: Aufzählendes Verfahren, beschreibendes Verfahren (mathematisch), beschreibendes Verfahren (ausreichend für diese Lehrveranstaltung). a) A = {12, 15, 18, 21, 24} = {x N 10 < x < 25 x(mod 3) 0} = {x N 10 < x < 25 x ist durch 3 teilbar} b) c) d) B = {8, 12, 16,..., 92, 96} = {x N 8 x 96 x = a 4, a N, a > 1} = {x N 8 x 96 x ist Vielfaches von 4} C = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} = {x, y P x y : x y = 2} = {x P es gibt einen Primzahlzwilling zu x} { } x 1 D = {6, 28} = x N i 1 (i x) = x i=1 = {x N die Summe der Teiler von x ist x} 5
Bemerkung: Wie Sie, besonders in den Aufgabenteilen c) und d), sehen, ist die mathematische Ausdrucksweise nicht immer sonderlich einfach. Deswegen sollten Sie die letzte Schreibweise nutzen, besonders in Hinsicht auf die Klausur, da hier eine Fehlerwahrscheinlichkeit deutlich geringer ist. Lösung zu Aufgabe 3 a) ( 2, 19) = { x R 2 < x < } 19 3 3 3 3 b) [x, y) = {z R x z < y} c) (8, z] = {x R 8 < x z} d) [ 3, 4] = { } x R 3 x 4 5 5 e) [2, ) = {x R 2 x} Lösung zu Aufgabe 4 a) A = 3 b) B = 3 c) C = 3 + 3 + (11 3) = 14 Lösung zu Aufgabe 5 = A B C D E A B C D E A A B B C C D D E E A B C D E A B C D E A A B B C C D D E E 6
A B C D E A B C D E A A A A A E A A B C D A B A B {1, 2, 3, 4, {2, 4, 6, E B B B {} {4, 8} B 5, 6, 8} 7, 8, 9} C A {1, 2, 3, 4, C {1, 3, 4, 5, E C C {} C {} C 5, 6, 8} 7, 8, 9} D A {2, 4, 6, {1, 3, 4, 5, D E D D {4, 8} {} D D 7, 8, 9} 7, 8, 9} E E E E E E E A B C D E \ A B C D E Negation der Menge A {} {1, 3, 5 {2, 4, 6 {1, 2, 3 {} A 7, 9} 7, 8, 9} 5, 6} A = {10} B {} {} B {2, 6} {} B B = {1, 3, 5, 7, 9, 10} C {} C {} C {} C C = {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10} D {} {7, 9} D {} {} D D = {1, 2, 3, 5, 6, 10} E {10} {1, 3, 5, {2, 4, 6, {1, 2, 3, {} E 7, 9, 7, 8, 9, 5, 6, E = {} 10} 10} 10} Lösung zu Aufgabe 6 a) G R = {0, 11, 13, 15, 17, 29, 31, 33, 35} b) G R = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 33, 35} c) G R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 36} d) (G\R) (R\G) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28} e) G R = {12, 14, 16, 18, 30, 32, 34, 36} Lösung zu Aufgabe 7 a) Anzahl Elemente 2 A = 4 P(A) = {{}, {{1, 2}}, {{3, 4}}, {{1, 2}, {3, 4}}} b) Anzahl Elemente 2 B = 16 P(B) = {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}} 7
Lösung zu Aufgabe 8 a) A B = 6 A B = {(1, 2),(1, 3),(2, 2),(2, 3),(3, 2),(3, 3)} b) A B = 20 A B = {(2, 1),(2, 0),(2, 1),... (5, 1),(5, 2),(5, 3)} c) A B = 36 A B = {(0, 0),(0, 1),(0, 2),... (5, 3),(5, 4),(5, 5)} arb = {(0, 0),(0, 1),(0, 2),(0, 3),(0, 4),(0, 5),(1, 0),(1, 1),(1, 2),(1, 3),(1, 4),(2, 0), (2, 1),(2, 2),(2, 3),(3, 0),(3, 1),(3, 2),(4, 0), (4, 1),(5, 0)} 8
d) A B = 121 A B = {( 5, 5),( 5, 4),( 5, 3),... (5, 3),(5, 4),(5, 5)} arb = {( 5, 5),( 4, 4),( 3, 3),( 2, 2),( 1, 1),(0, 0),(1, 1),(2, 2),(3, 3),(4, 4),(5, 5)} e) A B = A B ist explizit nicht aufschreibbar. arb ist explizit nicht aufschreibbar. 9