1. Zahlenmengen Wissensgrundlage Aufgabenbeispiele Gib die jeweils kleinstmögliche Zahlenmenge an, welche die Zahl enthält? R Q Q oder All diejenigen Zahlen, die sich nicht mehr durch Brüche darstellen lassen, wie z. B. heißen irrationale Zahlen, ihre Zahlenmenge wird mit bezeichnet und bildet gemeinsam mit Q die Menge der reellen Zahlen R. 2. Potenz- und Wurzelrechnung Es gilt: Potenzregeln: a) b) c) d) e) Potenzschreibweise der Wurzel: f) g) 1. Vereinfache wie im Beispiel: Aufgabe: - - - ; c 3a+2b c 2a-3b c b-5a 2. Radiziere teilweise wie im Beispiel: Aufgabe: 3. Vereinfache wie im Beispiel: Aufgabe: 4. Schreibe ohne Wurzel wie im Beispiel: - Aufgabe:
3. Bruchrechnung Ein Bruch wird folgendermaßen gebildet: Es gilt immer: Es gelten spezielle Rechenregeln für Brüche: a) Erweitern und Kürzen b) Addition und Subtraktion: Berechne x: a) b) c) d) e) c) Multiplikation und f) Division Faustregel: Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen! 4. Funktionentheorie Darstellungsmöglichkeiten Funktion: Funktionsgleichung: Wertetabelle: x -2-1 0 1 2 f(x) 3 1,5 1 1,5 3 Graph: Beispiel: Stelle zur Funktion die Funktionsgleichung auf und erstelle eine Wertetabelle mit und fertige den dazugehörenden Graphen an. x -3-2 -1 0 1 2 3 f(x) 16 6 0-2 0 6 16 1. Verfahre wie im Beispiel: a) b) c) ]
5. Lineare Funktionen f(x) = mx + b mit m, b Q heißt lineare Funktion. Es gilt: m Steigung der Graphen G f m = b Y-Achsenabschnitt, d. h. der Graph G f schneidet die y Achse in S y (0 b) 1. Bestimme den Funktionsterm einer linearen Funktion g mit Steigung 3 deren Graph durch den Punkt P(5 8) verläuft. Zeichne den Graphen. 2. P(3 4) und Q(-2-5) liegen auf G f. Bestimme die Funktionsgleichung und Nullstelle (f(x)=0) der linearen Funktion f. 3. Liegt R(11 18) oberhalb oder unterhalb von G f? 6. Gleichungssysteme lösen Lineare Gleichungssysteme kann man sowohl rechnerisch als auch graphisch (Untersuchung auf Schnittpunkte beider Graphen) lösen. Graphische Lösung Geraden zeichnen und die Koordinaten gemeinsamer Punkte bestimmen (falls vorhanden) Rechnerische Lösung a) Einsetzungsverfahren (Sonderfall Gleichsetzungsverfahren) Eine der beiden Gleichung nach einer Unbekannten auflösen und diesen Term in die andere Gleichung einsetzen. b) Additionsverfahren Eine (oder beide) Gleichung(en) mit einer geeigneten Zahl multiplizieren, so dass beim Addieren beider Gleichungen eine Unbekannte wegfällt. Nach der verbleibenden Unbekannten auflösen und den so erhaltenen Wert in eine der beiden Gleichungen (in ihrer ursprünglichen Form) einsetzen, um die andere Unbekannte zu berechnen. Lösung ist ein Zahlenpaar leere Menge unendlich viele Zahlenpaare Löse graphisch und rechnerisch: I) x+2y = 1 II) -2x + y = 4 Schnittpunkt I) 6y 4x = -3 II) 2x 3y = 2 echt parallele Geraden I) x 1 = 2y II) 2x 4y = 2 zusammengefallene Geraden
7. Textaufgaben Tobias und Johannes wohnen 17 km voneinander entfernt. Um sich zu treffen, fahren sie sich mit dem Fahrrad entgegen, wobei Tobias durchschnittlich 15 fährt und Johannes im Durchschnitt sogar 21 schafft, aber 20 Minuten später als Tobias losfährt. Wann und wo treffen sich die beiden? [ 40 Minuten nachdem Tobias losgefahren ist und 10 km von Tobias Haus entfernt] Der Preis für Güter wird auf dem Markt durch Angebot und Nachfrage bestimmt. Gehe davon aus, dass die Nachfrage durch f N (x)= - x + 15 und das Angebot durch f A :(x)= x beschrieben wird. Bestimme Gleichgewichtspreis und menge (d. h. das Wertepaar, für das Angebot und Nachfrage einander entsprechen). [ Die Gleichgewichtsmenge liegt bei 8,18 Stück (also 8 Stück), Gleichgewichtspreis bei 0,45 ] 8. quadratische Funktionen und Gleichungen Eine Funktion der Form, mit a 0, f=r, wird als quadratische Funktion bezeichnet; ihr Graph heißt Parabel. Der Graph der Funktion heißt Normalparabel (NP). Veränderungen der Graphen im Vergleich zur Normalparabel: f(x)= x²+e, in y-richtung verschoben, Scheitelpunkt S(0 e) f(x)=(x-d)², in x-richtung verschoben, Scheitelpunkt S(d 0) f(x)=ax², falls a>0 nach oben geöffnet, falls a<0 nach unten geöffnet für a >1 schmaler als NP, für 0< a <1 weiter als NP. Lösen quadratischer Gleichungen (Berechnung der Nullstellen der Funktion): y = 0 ax²+bx+c=0 abc Formel: f(x) = x²-2 f(x) = (x-1)² f(x) = 2x² f(x) = x², h(x) =-2x² g(x)=0,5 x², h(x)=2x² f(x)=-(x-2)²+3 Bestimme zu den oben aufgeführten Funktionsgleichungen die Koordinaten des Scheitelpunktes und der Nullstellen. [ vgl. Graphen] Gebe zur verschobenen Normalparabel mit dem Scheitel S(1-4) die Funktionsgleichung an. Beschreibe wie der Graph von f(x) = -0,5 (x-1)² -2 aus der Normalparabel hervorgeht [ nach unten geöffnet; weiter als NP, um eine Einheit nach rechts und um 2 Einheiten nach unten verschoben]
pq-formel:, mit p= ; q = Löse folgende quadratische Gleichungen: a) x² -5x =0 [x ausklammern, L={-5; 0}] b) 2x²-12x-3 =-13 [alles auf die linke Seite: 2x²-12x+10=0, dann Lösungsformel, L={1;5}] falls c = 0 1. Schritt: x ausklammern 2. Schritt: Satz vom Nullprodukt x (ax + b) = 0 entweder x = 0 oder ax+b = 0 9. Rechengesetze, binomische Formeln und quadratische Ergänzung Rechengesetze: und und (Kommutativgesetze) (Assoziativgesetze) 1. Bestimme die Scheitelpunktsform von f(x) = 2x²+12x+24 und zeichne den Graphen G f. [ quadratische Ergänzung 2. binomische Formel Binomische Formeln: und (Distributivgesetz) Scheitelpunktsform] 2. Bestimme den Scheitelpunkt folgender Funktionen: a) [ S(7-5] b) [ S(-2-3)] Quadratische Ergänzung: Jede quadratische Funktion kann durch quadratische Ergänzung in ihre Scheitelpunktsform gebracht werden. Hierzu muss nach der ersten oder zweiten binomischen Formel gesucht werden. f(x) = a(x-d)²+e mit S(d e) heißt Scheitelspunktform
10. Trigonometrie Im rechtwinkligen Dreieck mit Winkel sin cos = tan = gilt: 1. Bestimme für ein in B rechtwinkliges Dreieck ABC mit a=0,5 cm und =9,5 cm alle Seitenlängen und Winkel. Gebe sin, cos und tan als ganzzahlige Verhältnisse der Seitenlängen an. 2. In der abgebildeten Skizze beschreibt h=50 m die Höhe eines Turms. Die Strecke s=57,5m gibt die Entfernung des Turms von einem Fluss mit der Breite b wieder. Der Winkel beträgt hierbei 7,5. Wie breit ist der Fluss? Im Einheitskreis: 3. Es ist, berechne hieraus die exakten Werte für. Für alle Winkel mit 0 90 gilt: sin = cos(90 - ) und cos = sin(90 - ) (sin )² +( cos )²=1 tan =, [ 90, denn cos(90 )=0]