VERSUCH 5: MAGNETFELDMESSUNGEN MIT HALLSONDEN 37 Magnetische Felder verursachen Kräfte auf bewegte Ladungen. Die Definition der magnetischen Induktion B geschieht implizit mit Hilfe der Kraft F, die auf eine Ladung Q mit der Geschwindigkeit v ausgeübt wird: F = Q v x B [B] = 1 N s C m = 1 N A m = 1 V s m 2 := 1T(esla) Diese magnetische Kraft wird auch als Lorentzkraft bezeichnet. Sie kann zur Bestimmung der magnetischen Induktion B verwendet werden. Besonders e- legant geschieht dies mit Hilfe des nach seinem Entdecker E. H. Hall benannten Hall-Effektes, der im folgenden kurz erläutert werden soll. Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass in einem Leiterstreifen wie im Bild gezeigt positive Ladungsträger mit Ladung q + (z.b. Löcher in einem p-dotierten Halbleiter) in positive x- Richtung fließen. Existiert nun in z- Richtung ein Magnetfeld B z, so erfahren die Ladungsträger durch die Lorenzkraft (siehe oben) eine Ablenkung nach unten in -y - Richtung. Nach einiger Zeit lädt sich die Bodenfläche des Leiters positiv und die Deckfläche entsprechend negativ auf. Diese Raumladungen sorgen schließlich für ein elektrisches Feld E y, dessen Kraftwirkung gerade die Lorentzkraft auf die bewegten Ladungsträger kompensiert. Es gilt dann: q + E y = q + v + B z Multipliziert man beide Seiten mit der Ladungsträgerdichte n + und nutzt die Tatsache, dass sich die Stromdichte j x aus n + q + v + ergibt, so gelangt man schließlich zum Ergebnis: n + q + E y = j x B z oder B z = n + q + E y j x Ey läßt sich nun aus der Höhe des Leiterstreifens und der sog. Hall-Spannung U H (s. Bild) bestimmen. Die Stromdichte j x ist aus dem in x-richtung fließenden Strom und der Querschnittsfläche berechenbar. Die leicht zu messende Spannung U H wird damit zum direkten Maß für die in z-richtung wirkende magnetische Induktion B z. Nach diesem Prinzip arbeitende Messsonden werden meist mit einem stabilisierten Strom betrieben. Mit einer Eichmessung kann dann der Umrechnungsfaktor zwischen Hallspannung und verursachen der magnetische Induktion (Induktionsfeldstärke B) bestimmt werden.
38 Während ruhende Ladungen die Quellen des elektrischen Feldes bilden, werden Magnetfelder durch Ströme in Leitern hervorgerufen. Analog zum Coulombschen Gesetz gibt das Gesetz von Biot-Savart an, welchen Beitrag B der Strom I durch ein hinreichend gerades Leiterstückchen l zur magnetischen Induktion leistet. l entspricht dabei betragsmäßig der Länge des betrachteten Leiterstückchens und ist in Stromrichtung orientiert. Der Ortsvektor r soll vom Leiterstückchen zum Aufpunkt zeigen, an dem das Magnetfeld bestimmt werden soll (s. Bild weiter unten): µ o I l x r B = Gesetz von Biot-Savart 4π r ³ µ o = 4π 10-7 Vs/Am magn. Feldkonstante (Induktionskonstante) Aufgrund des Kreuzproduktes ist dieses Gesetz nicht mehr so anschaulich wie das Coulombsche Gesetz, wo die elektrischen Felder immer radial von den sie erzeugenden Ladungen ausgehen. Genau wie beim Coulombschen Gesetz nimmt die Feldstärke aber auch jetzt quadratisch mit der Entfernung r ab (ein r kürzt sich mit dem Betrag des Ortsvektors r weg). Um das gesamte B-Feld zu erhalten, muss der Leiter in kleine, hinreichend gerade Stückchen zerlegt, für jedes Teilstück der Beitrag B gemäß obigem Gesetz berechnet und schließlich über alle Teilbeiträge aufsummiert werden. In wenigen Spezialfällen gelingt die Summation analytisch durch Integration, indem man zu infinitesimal kleinen Leiterstückchen dl übergeht und vorher meist mit Symmetriebetrachtungen die Richtung des B-Feldes festlegt. Im folgenden wollen wir einige dieser analytisch behandelbaren Geometrien betrachten. B-Feld auf der Achse eines ringförmigen Leiters µ o I dl db = db x = db sin α 4π r² Da r senkrecht zu dl, wird aus dem Kreuzprodukt ein einfaches (Skalar-) Produkt. Summiert man alle Beiträge db, so heben sich die Komponenten senkrecht zur x-richtung auf, da zu jedem Leiterstückchen das entgegengesetzte Element senkrecht zur x-achse genau den entgegengesetzten Beitrag zum B-Feld liefert. Letzlich ergibt sich das Gesamtfeld in x-richtung, was auch auf Grund der Symmetrie des Problems zu erwarten ist. db x hängt nicht von der Lage des Elementes dl auf dem Ring ab, das Gesamtfeld B x ergibt sich damit einfach aus der Leiterlänge l = 2 π R: B x = µ o IR 2r 2 sinα B x = µ o I 2R sin3 α = sinα = R r µ o IR 2 2( R 2 +x 2 ) 3 r = R 2 +x 2
Die Richtung von B ergibt sich aus der Dreifinger- Regel der rechten Hand bzw. "Korkenzieherregel": wird der Korkenzieher in Stromrichtung gedreht, so bohrt er sich in Magnetfeldrichtung. Stellt man 2 dünne Spulen (Länge L<<R) mit je N Windungen im Abstand R voneinander auf und läßt durch sie gleichsinnig den Strom I fließen, so gelangt man zur sogenannten Helmholtz-Anordnung. Man kann zeigen, dass in der Mitte zwischen beiden Spulen das Magnetfeld in besonders guter Näherung konstant ist. Die Stärke des B-Feldes muss in der Mitte 2 B x (x=r/2) des vom Strom NI durchflossenen Ringes betragen oder: B x (Helmholtz, Mitte) = µ = o NIR 2 R 2 +R 2 /4 3 = µ o NI R 1+1/4 3 = Bx = 0,716 µ oni HELMHOLTZ -ANORDNUNG R B-Feld auf der Achse einer ausgedehnten Spule der Länge L mit N Windungen Die Spule kann in dünne Ringe der Dicke dl zerlegt werden, die vom Strom N I dl/l durchflossen werden. Das B-Feld in x-richtung ergibt sich durch Integration über alle infinitesimal dünnen Ringe, wobei man die Integrationsvariable l zur Vereinfachung durch α substituiert: 39 µ o N I dl db x = sin³ α 2R L Substitution: R µ o N I l = x - R cot α dl = dα db x = sin²α dα sin²α 2 L B x = B x = µ o 2 NI α 2 L sinα dα = µ o NI 2 L α 1 (cos α 1 -cos α 2 ) In der Spulenmitte (x=0) ist α 2 = 180 -α 1 und damit cosα 1 = - cos α 2
40 B x (x=0) = µ o NI L cosα 1 = µ o NI L L/2 R 2 +(L/2) 2 = µ o NI (2R) 2 +L 2 Im Grenzfall einer langen Spule (L >> R) ergibt sich daraus die Beziehung B x = µ o N I /L > Mit einer Axialfeldsonde wird das Magnetfeld verschiedener Spulenanordnungen jeweils eines Spulentyps mit bestimmter Windungszahl N untersucht: 1. Zylinderspule 2. 2 Spulen im Abstand von 4cm, 8cm, 12cm, oder 16cm nahezu in Helmholtz- Anordnung (gleichsinniger Stromdurchgang) 3. 2 Spulen im Abstand von 4cm, 8cm, 12cm oder 16cm (Spulenmitte- Spulenmitte) mit gegensinnigem Stromdurchgang Das B-Feld soll dabei jeweils auf der Achse der Anordnung und für den Fall 1 auch 2 cm - 5cm von der Achse entfernt untersucht werden. Mit Hilfe der oben angegebenen Formeln wird außerdem die Windungszahl aus der Mittenmessung der Anordnung 1 und 2 bestimmt. Die Messanordnung ist bereits fertig verdrahtet und muss nur noch eingeschaltet werden. Die stabförmige Messsonde registriert nur Magnetfelder, die längs zur Sonde verlaufen. Auf der Sonde ist ein Maßstab angebracht, mit dem die Verschiebung in x-richtung kontrolliert werden kann. Zum Ablesen dient ein verschiebbares Auflager. Der Nullpunkt der x-achse soll immer in der Mitte der Spulenanordnungen liegen. Der tatsächliche x-wert der Sondenposition kann damit nicht direkt am Maßstab der Sonde abgelesen werden, sondern muss durch Differenzbildung und Addition fixer Strecken bestimmt werden, die Sie aus der tatsächlichen Stellung des Ablesereiters bestimmen müssen. Die Abmessungen der verwendeten Spulen und die Abstände der Spulen können mit einer Schieblehre bestimmt werden. Der Spulenstrom sollte während aller Messungen auf 1,9 A bis 2 A eingestellt werden. Wegen der Widerstandserhöhung der Spulen durch Erwärmung muss dieser Wert kontrolliert und nachgestellt werden. Zur Messung der Positionen 2-4cm neben der Achse (für Fall 1 Einzelspule) kann die Halterung der Sonde gekippt werden. Wählen Sie für diese Versuchsreihen Position 2 bis 4 auf der Winkelskala und vermerken dies in der Tabelle. Der Eichfaktor der Hallsonde beträgt: 1 mv =^ 10mT Im Fall 3 werden die beiden Spulen gegensinnig vom Strom durchflossen. In der Mitte der beiden Spulen wechselt die Hallspannung demzufolge ihr Vorzeichen. Dies wird durch Umpolung am Messinstrument ausgeglichen.
41 Beginnen Sie beim Ausfüllen Tabelle die Messungen bei Position x= 0 und verschieben sie die Sonde um die angegebenen Schrittweiten nach rechts. Kehren Sie anschließend zu x= 0 zurück und verschieben Sie dann nach links. Notieren Sie die Abmessungen der Spulen und die Abstände der Spulen. Abmessung der Einzelspule: mittl. Durchmesser d /cm Spulenradius r= d /2 /cm Spulenlänge l /cm Strom I/A Anordnung SPULE x = -14cm -12-10 -7.5-5 -4-3 -2-1.5-1 -0.5 0 0.5 1 1,5... 12 14 1 Spule axial B/mT 1 Spule nicht axial Position 2, 3 oder 4: B/mT Abstand der beiden Spulen voneinander: 4 cm /8 cm /12cm / 16 cm 2 Spulen Helmholtz axial B/ mt 2 Spulen gegensinnig axial B/ mt
42 / \/ <=>? 1. Tragen Sie Ihre Ergebnisse auf Millimeterpapier auf. Verwenden Sie 1 Blatt DIN A 4 und tragen Sie die vier axialen und nicht axialen Messreihen zusammen in ein Diagramm ein. 2. Berechnen Sie die Windungszahl der zwei gleichen Spulen aus der axialen Messung in Anordnung 1 bei x=0 und 3. Berechnen Sie die Windungszahl der zwei gleichen Spulen aus der axialen Messung in Anordnung 2 beim Maximum. Zu 2. und 3. werden die in dieser Anleitung angegebenen Formeln angewandt.