Wechselsromlehre (Lohar Melching) Inhalsverzeichnis Komplexe Zahlen 2. Arihmeik.............................. 2.2 Polarkoordinaen........................... 2 2 Widersände 3 2. Ohmscher Widersand........................ 3 2.2 Kapaziiver Widersand....................... 5 2.3 Indukiver Widersand........................ 6 2.4 Effekivwere und Impedanz..................... 8 3 Schalungen 8 3. Reihenschalung........................... 8 3.2 Parallelschalung........................... 9 3.3 Siebkee................................ 3.4 Sperrkreis............................... 2 3.5 Hoch- und iefpass.......................... 2 4 echnische Ergänzungen 4 4. Leisung des Wechselsromes.................... 4 4.2 Drei-Phasen-Wechselspannung.................... 4 5 Anwendung: Analyse einer Blackboxschalung 5
Komplexe Zahlen. Arihmeik Zur Erinnerung: für komplexe Zahlen z = a + bi, z 2 = c + di gil i i = ; z + z 2 = (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i ; z z 2 = (a + bi) (c + di) = a c + (b d)i ; z z 2 = (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac bd + (ad + bc)i ; z = a + bi z 2 c + di (a + bi) (c di) = (c + di) (c di) ac + bd + (bc ad)i = c 2 + d 2 ac + bd bc ad = c 2 + + d2 c 2 + d 2 i..2 Polarkoordinaen I z b r φ a R Abbildung : Karesische und Polarkoordinaen Die karesische Darsellung der komplexen Zahlen wird ergänz durch die Darsellung in Polarkoordinaen. Aus Abbildung ennimm man die Bezie- 2
hungen r = a 2 + b 2 ; φ = arcan b a ; a = r cos φ ; b = r sin φ ; z = r (cos φ + i sin φ) = r e iφ. Das leze Gleichheiszeichen is das schwierigse von allen. Die zugrundeliegenden mahemaischen Überlegungen können hier nich dargesell werden. Die Beziehung is aber für die Wechselsromlehre grundlegend wichig und unverzichbar. Sie erlaub, auf die Muliplikaion und Division von komplexen Weren die Poenzgeseze anzuwenden. () Daraus folg u. a. e iπ = und e i π 2 = i. (2) Es is schon merkwürdig, dass man einerseis durch alle Messungen immer nur reelle Were erhäl, andererseis in der heorie mi komplexen Größen arbeie. Solange die heoreischen Schlussfolgerungen mi den beobacheen asachen in Einklang sehen, können wir aber zufrieden dami sein, die Realiä durch eine so elegane heorie zu beschreiben. Wir müssen nur immer wieder danach fragen, welche reellen Größen sie vorhersag. 2 Widersände 2. Ohmscher Widersand Wir gehen bei allen Überlegungen aus von der Spannungsfunkion U() = U 0 e iω. (3) Darin is ω = 2π/ und die Schwingungsdauer des Wechselsroms. (Für den echnischen Wechselsrom. wie er uns im Haushal zur Verfügung seh, is = 0, 02 s.) Es gil R = U/I, folglich I = U/R. Das liefer die Sromfunkion I() = U 0 R Ω e iω = I 0 e iω. (4) Graphisch darsellen kann man nur jeweils den reellen Aneil U 0 cos(ω) bzw. I 0 cos(ω). I und U sind in Phase, und es is I 0 = U 0 /R Ω. Die Leisung errechne sich aus den messbaren Weren von U und I, d. h. aus den reellen Aneilen dieser 3
U() U 0 I() I 0 U 0 I 0 P () Abbildung 2: U, I und P am ohmschen Widersand komplexen Größen. Dami ergib sich die Leisung zu P () = U 0 cos(ω) I 0 cos(ω) = U 2 0 R Ω cos 2 (ω). (5) Auch die Leisung erweis sich als zeiabhängig. Die milere Leisung P erhäl man, wenn man die momenane Leisung über einen längeren Zeiraum miel. Dazu inegrier man die Leisungsfunkion über eine Periodenlänge hinweg, d. h. von 0 bis = 2π/ω und eil das Ergebnis wiederum durch 2π/ω. P = ω 2π = ω 2π 2π ω 0 2π ω 0 P ()d U 2 0 R Ω cos 2 (ω)d (6) = U 2 0 2R Ω. Die maximale Leisung is U 2 0 /R Ω, die milere Leisung is halb so groß, wie in der Abbildung 2 gesrichel angedeue. Die milere Leisung ensprich der Leisung einer Gleichspannung von U 0 / 2. Man nenn diesen Wer den Effek- 4
ivwer der Spannung, ensprechend I 0 / 2 den Effekivwer der Sromsärke. U eff = U 0 2, I eff = I 0 2. (7) Anschaulich gesprochen heiß das, dass eine Wechselspannung mi dem Maximalwer U 0 auf lange Sich genauso viel Energie heranschaff wie eine Gleichspannung von U 0 / 2. Das gil aber wohlgemerk nur für eine ohmsche Las. 2.2 Kapaziiver Widersand Es gil C = Q/U, folglich Q = C U mi U = U(). Das liefer die Ladungsfunkion Q() = CU 0 e iω. (8) Ableien ergib die Sromfunkion I() = Q() = CU 0 iω e iω = I 0 e i(ω+ π 2 ) (wegen i = e i π 2 ). (9) I läuf U um π/2, d. h. um eine Vierelperiode, voraus und es is I 0 = CU 0 ω. Division ergib den Widersand. Dieser is unabhängig von der Zei. R C = U() I() = U 0 e iω CU 0 iω e iω = iωc. (0) Die Leisung P () errechne sich wie oben als Produk der Realeile von U und I. P () = U 0 cos(ω) I 0 cos(ω + π 2 ) = U 0 I 0 cos(ω) cos(ω + π 2 ) () Die milere Leisung ergib sich als P () = ω 2π = ω 2π = 0. 2π ω 0 2π ω 0 P ()d CU 2 0 cos(ω) cos(ω + π 2 )d (2) 5
U() U 0 I() I 0 U 0 I 0 P () Abbildung 3: U, I und P am kapaziiven Widersand Diese milere Leisung is null, wir haben einen leisungsfreien Srom. Die Energie, mi der der Kondensaor zeiweilig aufgeladen wird, bekomm man wieder heraus, wenn sich der Kondensaor im nächsen Augenblick enläd. 2.3 Indukiver Widersand Es gil L = U i / I, folglich I = U i /L. Die induziere Spannung U i is der angelegen Spannung U engegengesez, also gil I = U/L. Wir erhalen als Ableiung der Sromfunkion Dies is die Ableiung von I() = U 0 L eiω. (3) I() = U 0 L iω eiω = I 0 e i(ω π 2 ). (4) I läuf U um π/2, d. h. um eine Vierelperiode, hinerher, und es is I 0 = 6
U() U 0 I() I 0 U 0 I 0 P () Abbildung 4: U, I und P am indukiven Widersand U 0 /ωl. Division ergib die Widersandsfunkion R L = U() I() = U 0 e iω U 0 L iω eiω = iωl. (5) Der Widersand is unabhängig von der Zei. Die Leisung errechne sich als P () Dami ergib sich als milere Leisung = U 0 cos(ω) U0 L cos(ω π 2 ) = U 2 0 L cos(ω) cos(ω π 2 ). (6) P () = ω 2π = ω 2π = 0. 2π ω 0 2π ω 0 P ()d U 2 0 L cos(ω) cos(ω π 2 )d (7) Diese milere Leisung is null, wir haben wieder einen leisungsfreien Srom. 7
2.4 Effekivwere und Impedanz Alle unsere Messgeräe (mi Ausnahme des Oszilloskops, das uns den genauen zeilichen Verlauf anzeig) liefern uns immer nur die Effekivwere von Srom und Spannung. eil man diese Were durcheinander, erhäl man die sogenanne Impedanz Z, einen rein reellen Wer. Wie häng dieser mi all den komplexen Größen zusammen? In einem Sromkreis bilde sich zur Spannung ein Srom U() = U 0 e iω, (8) I() = I 0 e i(ω φ). (9) mi einem hier nich näher bekannen Phasenwinkel φ. Division ergib den Widersand. R = U 0 e iω I 0 e i(ω φ) = U 0 I 0 e iφ = U eff e iφ I eff = Z e iφ. (20) Die Impedanz Z is der Berag des komplexen Widersandes R. Gleichzeiig is φ der Phasenwinkel, die zeiliche Verschiebung des Sromes gegenüber der Spannung. Bei einem posiiven Wer von φ eil der Srom der Spannung nach, bei einem negaiven voraus. 3 Schalungen 3. Reihenschalung Wir berachen eine Reihenschalung aus ohmscher, kapaziiver und indukiver Las. An ihr liege die Spannung und sie werde durchflossen von dem Srom U() = U 0 e iω, (2) I() = I 0 e i(ω φ). (22) Dabei is φ der zunächs noch unbekanne Phasenwinkel, d. h. die zeiliche Verschiebung des Sromes gegenüber der Spannung. 8
Der Srom is in allen eilen der Reihenschalung derselbe. Er ruf in ihnen die eilspannungen U Ω () = R Ω I 0 e i(ω φ), U C () = iωc I 0 e i(ω φ) und U L () = iωli 0 e i(ω φ) (23) hervor. Diese addieren sich zur Gesamspannung U(). U() = U ( Ω () + U C () + U L () = R Ω + ) iωc + iωl I 0 e i(ω φ) (24) Daraus folg für den Gesamwidersand R gesam = U() I() ( R Ω + ) iωc + iωl I 0 e i(ω φ) = I 0 e i(ω φ) = R Ω + iωc ( + iωl = R Ω + i ωl ). ωc (25) Fazi: bei der Reihenschalung addieren sich, wie beim Gleichsrom, die eilwidersände, hier allerdings die komplexen Widersände. Als Impedanz folg ( Z = R 2 0 + ωl ) 2 (26) ωc Die Zusammenhänge kann man sich an einem sogenannen Zeigerdiagramm veranschaulichen. Man sell die eilwidersände in der komplexen Ebene graphisch dar und erhäl durch Addiion den Gesamwidersand. Seine Größe kann man dann genauso wie den Phasenwinkel der Darsellung leich ennehmen. 3.2 Parallelschalung An einer Parallelschalung aus ohmscher, kapaziiver und indukiver Las lieg die Spannung U() = U 0 e iω. (27) Diese ruf an den Lasen die eilsröme I Ω () = U 0 e iω, R Ω I C () = iu 0 ωc e iω, I L () = i U 0 ωl eiω (28) 9
I (R C ) R L R C φ Z R Ω R Abbildung 5: Zeigerdiagramm für die Reihenschalung von Widersänden hervor. Sie addieren sich zum Gesamsrom ( I gesam = + i R Ω ( ωc ωl )) U 0 e iω. (29) eil man den Gesamsrom durch die Spannung, so erhäl man den Kehrwer des Gesamwidersandes. ( ( + i ωc )) U 0 e iω R Ω ωl R gesam = = R Ω + i ( U 0 e iω ωc ) ωl. (30) Die Rechenregeln für komplexe Zahlen besagen: z = r e iφ ha den Kehrwer /z = /r e iφ. Man erkenn, wie einfach sich die Polarkoordinaen des Kehrweres ergeben. Für die Impedanz Z bedeue dies Z = R Ω 2 + ( ωc ) 2. (3) ωl Auch hier hilf ein Zeigerdiagramm. Beache: Im Gegensaz zum vorigen Zeigerdiagramm weis der Kehrwer von R C nach oben, der Kehrwer von R L nach unen, und der Winkel φ gehör ebenfalls zum Kehrwer und ha das engegengeseze Vorzeichen wie der Phasenwinkel φ. Und zur Erinnerung: in der Formel für die Sromsärke wird der Phasenwinkel subrahier. 0
I ( ) R L R C Z φ R L R Ω R Abbildung 6: Zeigerdiagramm für die Parallelschalung von Widersänden 3.3 Siebkee Die Siebkee is eine Reihenschalung aus Spule und Kondensaor. Ihre Impedanz errechne sich nach Gleichung 26 als Z = ωl ωc. (32) Sie is in Abhängigkei von der Kreisfrequenz ω graphisch dargesell. Wie man sieh, kann Z null werden. Z ω ω Abbildung 7: Siebkee, Z in Abhängigkei von ω ω L ω C = 0, ω 2 = LC. (33)
3.4 Sperrkreis Der Sperrkreis is eine Parallelschalung aus Spule und Kondensaor. Seine Impedanz errechne sich gemäß Gleichung 3 als Z = ωc ωl. (34) Wie man sieh, kann der Nenner null, die Impedanz unendlich groß werden. Z ω ω Abbildung 8: Sperrkreis, Z in Abhängigkei von ω ω L ω C = 0, ω 2 = LC. (35) 3.5 Hoch- und iefpass E A E A Abbildung 9: Hochpass (links) und iefpass (rechs) Hier handel es sich um eine Reihenschalung aus Widersand und Kondensaor. Diese wird eingesez als Spannungseiler. Das eilungsverhälnis is 2
frequenzabhängig. Es gelen: R gesam = R Ω i ωc ; Z = R 2 ω + ω 2 C 2 ; ( ) φ = arcan ; ωcr Ω I() = U 0 Z ei(ω φ) ; U Ω () = U 0R Ω Z ei(ω φ) ; U C () = U 0 iωcz ei(ω φ) = U 0 ωcz ei(ω φ π 2 ). (36) Diese Formeln sind unhandlich und unineressan. Ineressan is, wie diese eilspannungen mi der Frequenz zusammenhängen. Dazu besimmen wir zu den eilspannungen die Effekivwere und sellen diese in Abhängigkei von ω graphisch dar. U 0 R Ω ωc U Ω, eff (ω) = 2 ω 2 C 2 R 2 Ω + ; U C, eff (ω) = (37) U 0 2 ω 2 C 2 R 2 Ω +. U A (ω) U 0 Hochpass, U Ω (ω) iefpass, U C (ω) Abbildung 0: Ausgangsspannung an Hochpass und iefpass ω 3
4 echnische Ergänzungen 4. Leisung des Wechselsromes In einem Wechselsromkreis besehe zwischen Spannung und Sromsärke die Phasenverschiebung φ. Es seien also U() I() = U 0 e iω = U 0 (cos ω + i sin ω) und = I 0 e i(ω φ) = I 0 (cos(ω φ) + i sin(ω φ)) (38) Muliplizier man wie gehab die Realeile, so erhalen wir die wirksame Leisung mi dem zeilichen Miel P W irk () = U 0 I 0 cos ω cos(ω φ) (39) P W irk = U 0I 0 2 cos φ, (40) der sogenannen Wirkleisung. Daneben gib es aber immer noch die imaginäre Sromkomponene, die auf der reellen Spannungskomponene dauernd senkrech seh. Sie besag, dass da zusäzlich ein Srom hin und her fließ, ohne ewas Gescheies zu leisen, weil er immer im falschen Momen komm. Diese unwirksame Leisung läss sich ebenfalls berechnen, man bezeichne sie als Blindleisung. P Blind () = U 0 I 0 cos ω sin(ω φ) ; P Blind = U 0I 0 2 sin φ, (4) Mi Messgeräen erfass man die Effekivwere von Srom und Spannung, aber nich deren Phasenlage. Berechne man daraus eine (scheinbare) Leisung, so erhäl man P Schein = U eff I eff = U 0I 0. (42) 2 Diese nenn man mi Rech die Scheinleisung. Zwischen den drei Leisungen beseh der Zusammenhang P 2 Schein = P 2 W irk + P 2 Blind. (43) 4.2 Drei-Phasen-Wechselspannung Für echnische Anwendungen benuz man nich eine, sondern drei Spannungen, die jeweils um /3 der Periodenlänge, also um 2π/3 gegeneinander verschoben sind. Jede dieser sogenannen Phasen wird durch eine eigene Leiung herangeführ. Zur Rückführung gib es einen gemeinsamen Nullleier. Der muss alle Sröme gleichzeiig verkrafen, aber wegen ihrer unerschiedlichen Phasenlage 4
U() U 0 Abbildung : Drei-Phasen-Wechselspannung heiß das nich, dass ihre Beräge zu addieren wären. Im Falle dreier gleichgroßer Sröme ergib die Summe sogar null. Jede Phase ha gegenüber dem Nullleier die Effekivspannung U j, eff = U 0 2, (j =, 2, 3). (44) Schale man zwei Phasen gegeneinander, z. B. die Phasen und 2, so ergib sich die zwischen ihnen herrschende Spannung durch Differenzbildung (wir berachen der Einfachhei halber nur die reellen Aneile) U 2 () = U 0 (cos(ω 2π 3 ) cos ω) = U 0 2 sin(ω π 3 ) sin( π 3 ) = U 0 2 sin(ω π 3 ) sin( π 3 ) 3 = U 0 2 sin(ω π 3 ) 2 = U 0 3 sin(ω π 3 ). (45) Die effekive Spannung is wie die Maximalspannung um den Fakor 3 vergrößer, sie beräg im öffenlichen Sromnez nich 230 V, sondern 398 V. Das bedeue, man kann bei der gleichen Sromsärke mehr Leisung heranschaffen. 5 Anwendung: Analyse einer Blackboxschalung Eine Blackboxschalung is zu analysieren. Es sind begründee Vermuungen über ihren Inhal anzugeben. Die Schalung enhäl auschließlich passive Elemene: Widersände, Kondensaoren, Spulen. Nach außen zugänglich sind nur zwei Buchsen, über die eine Spannung an die Blackbox geleg werden kann. U/V 2,20 3,39 4,2 5,43 6,30 6,78 7,2 8,32 9,26 0,35 I/mA 9,60 4,7 7,9 23,6 27,4 29,5 3,3 36,3 40,3 54,0 abelle : U und I bei Gleichspannung Man leg zunächs eine Gleichspannung an und erhäl abelle, dargesell im Diagramm Abbildung 2. Die Blackbox ha für Gleichspannung einen Widersand von R = 230 Ω. 5
I ma 0 U V Abbildung 2: U und I bei Gleichspannung Als nächses versorg man die Schalung mi einer Wechselspannung der Frequenz f = 50 Hz und erhäl abelle 2, dargesell am Diagramm Abbildung 3. U/V 4,40 5,07 6,07 6,38 7,02 7,69 8,02 8,69 9,35 9,98 I/mA 36,7 42,2 50,7 53,3 58,8 64,2 67,3 72,8 78,6 83,9 abelle 2: U und I bei Wechselspannung Für eine Wechselspannung der Frequenz f = 50Hz beräg die Impedanz der Schalung Z = 20 Ω. Die Impedanz für Wechselspannung is geringer als der Gleichsromwidersand. Das läss darauf schließen, dass ein Kondensaor und ein ohmscher Widersand beeilig sind. Nach Lage der Dinge können sie aber nur in einer Parallelschalung kombinier sein, denn eine Reihenschalung wäre für Gleichsrom undurchlässig. In dieser vorläufigen Inerpreaion berüge der ohmsche Widersand R Ω = 230 Ω. (46) Die Kapaziä des Kondensaors erhiele man folgendermaßen: Z 2 = RΩ 2 + ω 2 C 2 ; ω 2 C 2 = Z 2 R 2 Ω R 2 Ω Z2 = R2 Ω Z2 R 2 Ω Z2 ; C = ; ωr Ω Z 230 C = 2 Ω 20 2 Ω 2 2π 50 Hz 230 Ω 20 Ω 6 = 22, 6 µf. (47)
I ma 0 U V Abbildung 3: U und I bei Wechselspannung (f = 50 Hz) Vielleich kann man Genaueres erfahren, wenn man für verschiedene Frequenzen die Impedanz besimm. Das geschieh in abelle 3 f/hz U/V I/mA Z/Ω f/hz U/V I/mA Z/Ω 6.8.80 7.8 0. 526.3.4 77.9 8. 75.9 2.6 24.9 86.7 692.2 2.06 3. 5.7 89.7 2.45 32.3 75.9 99.9.86 34.7 3.8 00.4 2.68 38.9 68.9 77.8.72 36. 2.6 30.8 3.09 55. 56. 406.4.65 36.9 2. 69. 3.37 74.7 45. 653.3.59 37.2.6 23.6 3.49 94.9 36.8 893.3.55 37.0.3 259.7 3.47.2 3.2 220.5.50 36.8.0 362.4 3.25 35.7 23.9 2556.3.46 36.3 0.7 abelle 3: Frequenz und Impedanz Die Impedanz näher sich asympoisch dem Wer 0Ω. Offenbar muss unsere Vorsellung von der Schalung noch korrigier werden. Naheliegend is es, die beiden Schalungen der Abbildung 5 in Erwägung zu ziehen. Beide sehen mi den bisherigen Überlegungen in Einklang. Um uns für eine von beiden zu enscheiden, müssen wir überprüfen, bei welcher der beiden Schalungen sich die besen Übereinsimmungen mi der abelle 3 bzw. Abbildung 4 ergeben. Man kann so vorgehen, dass man für beide Schalungen den Gesamwidersand und die Impedanz in Abhängigkei von der Frequenz besimm und zusammen mi den gemessenen Weren darsell. Den Gesamwidersand für die reche Schalung erhäl man, indem man ers den Gesamwidersand in der oberen Reihenschalung aus R und C ermiel und diesen dann mi R 2 zu- 7
R Ω 0 000 Abbildung 4: Frequenz und Impedanz f Hz R = 0 Ω C = 22,6 µf C = 22,6 µf R = 0 Ω R 2 = 230 Ω R 2 = 220 Ω Abbildung 5: Zwei denkbare Schalungen sammenfass. In Bezug auf die einzelnen Schalungseile belassen wir es der Einfachhei halber bei den oben angegebenen Weren. R oben = R i ωc R gesam, = R 2 R oben R 2 + R oben ( R 2 R i ) ωc = ( R 2 + R i ) ; ωc Z = R gesam,. (48) Diese Impedanz is in Abbildung 6 dargesell In gleicher Weise behandeln wir die in Abbildung 5 rechs abgebildee Schalung. Diesmal beginn man mi dem rechen eil, der Parallelschalung von R 2 8
R Ω 0 f 000 Hz Abbildung 6: Vergleich mi der ersen Schalung und C. R rechs = + ir 2 ωc R 2 ; R gesam, 2 = R + R rechs R 2 = R + + ir 2 ωc ; Z 2 = R gesam, 2 (49) R Ω 0 f 000 Hz Abbildung 7: Vergleich mi der zweien Schalung Man sieh, die zweie Schalung pass besser zu den experimenell ermielen Weren. Vorbehallich weierer Unersuchungen is der Inhal der Blackbox mi der in Abbildung 5, rechs wiedergegebenen Schalung sinnvoll modellier. 9