46 Maurer: Mathe macht Spass

6 Maurer: Mathe macht Spass 3 Funkttiionen 3.. Deffi initti ion derr Funktti ion und Darrsttel llungsfforrmen Eine wesentliche Aufgabe der Mathematik ist die Beschreibung und Analse, der Beziehungen aller Art, die uns umgeben. Definition Wertemenge Eine FFuunnkkt tioonn f ist eine Zuordnung, die jedem Element aus einer Definitionsmenge (oder Deef finni itioonnssbbeerreei icchh) ID genau ein Element aus einer Zielmenge B zuordnet. Bei reellen Funktionen sind die Definitionsmenge ID und de Zielmenge B Teilmengen der reellen Zahlen, ID IR, B IR. heißt unabhängige Variable oder Argument der Funktion oder (besonders hübsch) Abszisse. heißt Funktionswert oder Ordinate. Die Definitionsmenge ID ist die Menge aller zulässigen -Werte. Der maimale Definitionsbereich ID ma ist die größtmögliche Definitionsmenge, für die eine Funktion definiert ist. Wir werden häufig die Termschreibweise verwenden: f() bezeichnet den Funktionsterm, dabei ist f der Funktionsnamen und die unabhängige Variable. f(3) bedeutet: Ersetze im Funktionsterm überall die Variable durch den Wert 3. Die Menge aller -Werte, die die Funktion annimmt, heißt Wertemenge (oder Wertebereich) \W. \W = { = f(), ID } Darstellung von Funktionen Eine Funktion kann auf verschiedene Arten festgelegt bzw. dargestellt werden: - Funktionsgleichung - Zuordnungsvorschrift - Pfeildiagramm - Wertetabelle - Schaubild Man kann eine Funktion f durch eine Funktionsgleichung festlegen: = f() Dabei bezeichnet f() den Funktionsterm. Beispiel 3. Durch die Gleichung = - + 3, wird eine quadratische Funktion gegeben. Der Funktionsterm ist hier f() = - + 3. f(3) = 3 -. 3 + 3 = 9 - + 3 = 0 Bezeichnungen, Schreibweisen Definitionsmenge Termschreibweise Funktionsgleichung Zuordnungsvorschrift Den Zuordnungscharakter der Funktion macht die Schreibweise f: f(), ID besonders deutlich. Beispiel 3. f: - + 3,

3 Lineare Funktionen 7 Wertetabelle 0 3 f() 3 0-0 3 Schaubild Das zur Frage, wozu sind eigentlich Parabeln gut. f AUUFFGGAABBEE 33..: : Welche der folgenden Pfeildigramme stellen Funktionen dar? a) b) c) a b c d e h 3 5 6 3 5 z r s t 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 0 3 5 6 7 8 9 AUUFFGGAABBEE 33..: : {(;); (;3); (3;6); (;0); (5;5);..} a) Stellt diese Paarmenge eine Funktion dar? b) Wie heißt vermutlich das nächste Paar? AUUFFGGAABBEE 33..33:: Welche der folgenden Kurven sind Schaubilder einer Funktion? heißt: Der Punkt gehört zum Schaubild. heißt: Der Punkt gehört nicht zum Schaubild a) b) c) d) e) f)

8 Maurer: Mathe macht Spass AUUFFGGAABBEE 33..: : Das Schaubild zeigt den Füllstand einer Badewanne in Abhängigkeit von der Zeit. Füllstand Handelt es sich um das Schaubild einer Funktion? Beschreiben Sie den dargestellten Vorgang. Zeit t AUUFFGGAABBEE 33..55: : Ein Schwimmbecken hat den abgebildeten Querschnitt. Es wird über einen Schlauch mit gleichmäßig laufendem Wasser gefüllt. Die Füllhöhe kann als Funktion der Zeit betrachtet werden. Skizzieren Sie, wie der Graph von H(t) prinzipiell verläuft. AUUFFGGAABBEE 33..66: : Gefäße mit den abgebildeten Querschnitten werden über einen Schlauch mit gleichmäßig laufendem Wasser gefüllt. Stellen Sie jeweils die Füllhöhe in Abhängigkeit von der Zeit grafisch dar. a) b) c) d) e) f) AUUFFGGAABBEE 33..77: : Der Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit eines Fahrzeugs und dem Kraftstoffverbrauch eines Fahrzeugs ist bei jedem Gang verschieden. a) Bei welchen Geschwindigkeiten beträgt der Verbrauch 0l pro 00 km? b) Bei welcher Geschwindigkeit ist der Verbrauch im. Gang am geringsten? c) Um wie viel sinkt der Verbrauch, wenn man bei 60 km/h im. Gang statt im 3. Gang fährt?

3 Lineare Funktionen 9 3.. Linearre Funktti ionen.. Deffi initti ion und grraphische Darrsttel llung Definition Eine lineare Funktion ist eine Zuordnung, deren Schaubild eine Gerade ist. Lineare Funktionen lassen sich darstellen durch die Zuordnungsvorschrift m + c, m, c. Oder durch die Funktionsgleichung = m + c, m, c, diese Gleichung heißt auch Hauptform der Geradengleichung. Dabei gibt m die Steigung der Geraden und c den -Achsenabschnitt an, d.h. die Gerade schneidet die - Achse im Punkt S (0 c). Beispiel 3. g Steigungsdreieck -Achsenabschnitt c = -Achsenabschnitt c = - Steigungsdreieck - h Aus dem Steigungsdreieck von g liest man die Steigung von g ab: senkrechte Kathete m = = waagrechte Kathete -Achsenabschnitt von g: c = Geradengleichung von g in Hauptform: g : = + Aus dem Steigungsdreieck von h liest man die Steigung von h ab: senkrechte Kathete m = = = waagrechte Kathete -Achsenabschnitt von h: c = Geradengleichung von h in Hauptform: h : = Spezialfälle α =5 α =35 c > 0 c < 0 Ursprungsgeraden Geraden durch den Ursprung. Funktionsgleichung: = m, d.h. c = 0.. Winkelhalbierende Die. Winkelhalbierende halbiert den. und 3. Quadrant. Funktionsgleichung: =, d.h. m = und c = 0.. Winkelhalbierende Die. Winkelhalbierende halbiert den. und. Quadrant. Funktionsgleichung: = -, d.h. m = - und c = 0. Waagrechte Geraden Waagrechte Geraden haben die Steigung m = 0. Funktionsgleichung: = c

50 Maurer: Mathe macht Spass Wachsende Geraden Wachsende Geraden haben positive Steigung m > 0 Fallende Geraden Fallende Geraden haben negative Steigung m < 0 Senkrechte Geraden Senkrechte Geraden haben Gleichungen der Form = a (Das ist keine Funktionsgleichung.) Beispiel 3. Zeichnen Sie die Geraden g und h mit den Gleichungen g: = 3 + und h: = 5 Lösung: 3 Gerade g: m = Gerade h: m = 5 senkrechte Kathete waagrechte Kathete senkrechte Kathete waagrechte Kathete 3 = = ; c = - 3 ; c = 3 g 3 + - 3 h + TTi ipppp + 5 Zähler und Nenner der Steigung werden gerne vertauscht. Deshalb empfiehlt es sich, wenn die Zeichnung fertig ist, zur Kontrolle nochmals nach der Steigung zu schauen: 3 Steigung von g, m = : m negativ, also fallend, Betrag von m:,5 >, g fällt steiler als die Winkelhalbierende. Steigung von h, m = <, m positiv, also steigend 5 Betrag von m: 0,8 <, h steigt flacher als die Winkelhalbierende. Beispiel 3.3 Überprüfen Sie, ob die Punkte P( - 3 ) und Q( - ) auf der Geraden g: =

3 Lineare Funktionen 5 Puunnkkt tpprroobbee Lösung: Setzt man in der Gleichung von g: =, = -, dann erhält man = -,5. P hat aber den -Wert 3, P liegt also nicht auf g.. Weg: Man kann auch gleichzeitig für = - und für = 3 einsetzen und dann nachrechnen, ob sich eine wahre Aussage ergibt. Dieses Verfahren nennt man Punktprobe. Mit P( 3 ) erhält man 3 = ( ) = -,5 und das ist eine falsche Aussage, P liegt - wie wir bereits wissen nicht auf g. Punktprobe zu Q( ): = =. Dies ist eine wahre Aussage, Q liegt also auf der Geraden g. Beispiel 3. Gegeben sind die beiden Punkte P( - - 3 ) und Q( - ). Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden g, die durch P und Q geht. Skizze Lösung: An der Skizze sieht man, wie man die Steigung erhält Q m = = Q Q P P ( 3) = = ( ) 3. P = Q - P = Q - P Man kann also schon ansetzen: = 3 + c Den -Achsenabschnitt erhält man durch Punktprobe mit einem der Punkte, z.b. Q( - ). Q liegt auf g, daher müssen seine Koordinaten die Gleichung erfüllen: - =. + c. 3 7 Man erhält c =. 3 Insgesamt ergibt sich für g : 7 =. 3 3 Gerade wollte ich fragen, ob es eigentlich keine Aufgaben zu Geraden gibt. ÜBBUUNNGGSSAAUUFFGGAABBEENN AUUFFGGAABBEE 33..88: : Zeichnen Sie die folgenden Geraden in ein Koordinatensstem g : = ; g : = 3 + ; g3 : = - ; 3 g : = 3; g 5 : = ; g 6 : 5 - = 0

5 Maurer: Mathe macht Spass AUUFFGGAABBEE 33..99: : Geben Sie zu den dargestellten Geraden Gleichungen an. m k g AUUFFGGAABBEE 33..00: : Bestimmen Sie die Gleichungen der Geraden g, g, g 3, g, die durch die gegebenen Punkte gehen. Geben Sie, wenn möglich, die Hauptform an. g : P(- 0 ), Q ( 0 3 ) ; g : A ( 7 ), B ( - ) ; g : ( - 3 - ), D( 5 - ) ; g 3 : E ( -,5 ), F ( 5 -,5) AUUFFGGAABBEE 33..: : Untersuchen Sie, ob die drei Punkte P( ), Q( 3 0 ) und R( - 0,5 ) auf einer Geraden liegen. l h Orthogonal?? Ist mir egal!! 3..3 Parrallelittätt und Orrtthogonal littätt Satz g h Zwei Geraden g: = m + c und h: = m + c sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung haben. m = m Beispiel 3.5 Die beiden Geraden g: = + und h: = sind parallel, siehe Abbildung.

3 Lineare Funktionen 53 Definition Orthogonalität Zwei Geraden g und h heißen orthogonal, wenn sie aufeinander senkrecht stehen. In Zeichen: g h Satz - -b a a b Wenn die Geraden g und h nicht achsenparallel sind, dann sind sie orthogonal, wenn für ihre Steigungen m, m gilt: m. m = - oder m = m In Worten: m ist der negative Kehrwert von m Beispiel 3.6 g S P h Gegeben ist die Gerade g: = +. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden h, die orthogonal zu g ist und durch den Punkt P( 3 ) geht. Lösung: Die Steigung m h von h erhält man als negativen Kehrwert aus m g. m h = = =. mg Damit ergibt sich für h der Ansatz: = + c. Punktprobe mit P( 3 ) führt zur Gleichung: 3 =. + c - 3 c = - Damit hat h die Gleichung in Hauptform: = -. 3.. Schnitttt von Gerraden Zwei Geraden in der Ebene können sich in einem Punkt schneiden, (echt) parallel liegen oder überhaupt identisch sein. Die drei folgenden Beispiele zeigen diese drei Möglichkeiten. Beispiel 3.7 Zeichnung siehe Beispiel 3.6 Gegeben sind die beiden Geraden g: = + und h: = -. Wo schneiden sich die beiden Geraden? Lösung: Wir suchen einen Punkt, der sowohl auf der Geraden g, als auch auf der Geraden h liegt, er muss also beide Gleichungen erfüllen. Das führt zum Gleichungssstem:

5 Maurer: Mathe macht Spass g und h haben einen Schnittpunkt () = + () = - Hier bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an: () = () + = - + + 5 = und folglich: = 5 5 Beispiel 3.8 g h g und h sind echt parallel In () eingesetzt erhält man: =. 3 - =. 5 5 3 Das Lösungselement ; kann nun zwanglos als Punkt 5 5 gedeutet werden. Es folgt: 3 Der Schnittpunkt von g und h ist also S. 5 5 Gegeben sind die beiden Geraden g: = + und h: =. Wie liegen die beiden Geraden zueinander? (Siehe Beispiel 3.5) Lösung: Auch hier liefert uns die Lösung eines Gleichungssstems die Antwort. () = + () = Auch hier bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an. () = () + = - + 3 = 0 Man erhält eine falsche Aussage und weiß damit, dass die beiden Geraden keinen gemeinsamen Punkt haben. g und h sind parallel. Zur Unterscheidung von Beispiel 3.9 nennen wir die Geraden g und h echt parallel. Beispiel 3.9 Gegeben sind die beiden Geraden g: - 5 = 0 und h: 5 + 5 =. Wie liegen die beiden Geraden zueinander? Scheiß-Job g und h sind identisch Lösung: Und zum dritten Mal stellen wir ein Gleichungssstem auf: () 5 = 0 5 () 5 + = () 5 = 0 () 5 = 5.. ( )

3 Lineare Funktionen 55 Dieses Mal sind wir mit dem Additionsverfahren besser beraten. Wir erhalten: 0 = 0. Dies ist eine wahre Aussage. Jedes Zahlenpaar, das die Gleichung () löst, löst auch Gleichung (). Oder geometrisch gedeutet: Jeder Punkt auf der Geraden g liegt auch auf der Geraden h. Es gibt also nur eine Gerade, g und h sind identisch. () und () sind zwei verschiedene Gleichungen für dieselbe Gerade. Bemerkung echte Parallelität Hätte man bei Beispiel 3.9 nur die Steigung betrachtet, so hätte man bei g und h jeweils m = gefunden und nach dem Satz 5 vom Anfang des Kapitels festgestellt: g und h sind parallel. Das ist völlig richtig. Allerdings sind die beiden Geraden g und h sogar identisch. Um Beispiel 3.8 davon abzugrenzen, haben wir die echte Parallelität eingeführt, d.h. im Beispiel 3.8 sind die beiden Geraden g und h parallel und verschieden. Beispiel 3.0 Geben ist das Dreieck AB durch A( -3 0 ), B( ) und ( 0 ). a) Zeigen Sie, dass das Dreieck rechtwinklig ist. b) Berechnen Sie die Seitenlängen und den Flächeninhalt des Dreiecks. Lösung: Zeichnung nicht verlangt aber hilfreich Da kann man sich ja krumm rechnen mit den blöden Geraden. b a A B c -3 - - 3 Steigung von Seite a: m a = B B = 0 3 = Steigung von Seite b: m b = A A 0 = = 0 3 3 ( ) 3 Es gilt m a m b = =, d.h. die Seiten a und b sind 3 orthogonal und damit ist der Winkel γ ein Rechter, also γ = 90.

56 Maurer: Mathe macht Spass b) Zur Berechnung der Seitenlängen benötigen wir den Satz von Pthagoras, ein Vorgriff wie gesagt. Der Zeichnung entnimmt man: a = ( ) + ( ) = ( 0) + ( ) B = 6 + 9 = 5 B b = ( ) + ( ) = ( 3 0) + ( 0 ) A = 9 + 6 = 5 c = a + b = 5 + 5 = 5 Flächeninhalt: a b A = =,5 A Herrlich, noch mehr Aufgaben, hoffentlich sind sie wohl geraten. ÜBBUUNNGGSSAAUUFFGGAABBEENN AUUFFGGAABBEE 33..:: Gegeben sind die drei Punkte A(-5 ), B( 3 - ), ( 5 3 ). a) Welche Gleichung hat die Parallele zu (B) durch A? b) Welche Gleichung hat die Parallele zu (A) durch B? AUUFFGGAABBEE 33..33:: Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden h, die auf der Geraden g: =,5 senkrecht steht und durch P( 3 ) geht. AUUFFGGAABBEE 33..:: Gegeben ist das Dreieck AB mit den drei Eckpunkten A( ), B( 0 ) und ( 5 ). a) Zeichnen Sie das Dreieck in ein Koordinatensstem. b) Bestimmen Sie Gleichungen der Geraden, auf denen die Dreiecksseiten liegen. c) Bestimmen Sie eine Gleichung der Höhe h c. Berechnen Sie den Höhenfußpunkt F c auf c. AUUFFGGAABBEE 33..55:: Gegeben sind die drei Geraden g: = +, h: 8 +=3 und k: 5 = 6 + 9. Berechnen Sie die Schnittpunkte. Zeichnen Sie die drei Geraden. Prüfen Sie, ob das Dreieck rechtwinklig ist. AUUFFGGAABBEE 33..66:: Gegeben sind die beiden Geraden g und h durch g: = + und h: = 3-3. 3 a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt von g und h und die Schnittpunkte von g und h mit der -Achse. Zeichnen Sie die beiden Geraden in ein Koordinatensstem. b) Die beiden Geraden bilden zusammen mit der -Achse ein Dreieck. Dieses Dreieck rotiere um die -Achse. Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers.

3 Lineare Funktionen 57 3..5 Zusammenffassung Haauuppt tfoorrm Paarraal lleel lee zzuurr - -Acchhssee = a = m + c m bedeutet die Steigung, c bedeutet den -Achsenabschnitt Allggeemeei innee Geerraaddeennggl leei icchhuunngg A + B + = 0 Diese Form erfasst alle Geraden, auch Parallelen zur -Achse. Ist B = 0 erhält man eine Gleicunh der Form = a. Sind zwei Punkte P ( I ) und P ( I ) einer Geraden gegeben, dann berechnet sich die Steigung durch FFoorrmeel l füürr f ddi iee Steei igguunngg m = Puunnkkt t-steei igguunnggssf foorrm Gegeben ein Punkt P ( I ) und die Steigung m der Geraden g. PSF: g: = m ( ) + Beispiel: Gegeben P( I 3 ) und m =. Ansatz: = m (- ) + = ( ) + 3 = + 3 = AUUFFGGAABBEE 33..77:: Gegeben sind von dem Parallelogramm ABD die drei Eckpunkte A(- 3-0), B( 3-6) und (5 ). Berechne den vierten Punkt D. (Skizze empfehlenswert, Zeichnung nicht sinnvoll.) AUUFFGGAABBEE 33..88:: Zeige, dass das Viereck A( ), B( 6 ), ( 9 6 ) und D( I 9 ) ein Rechteck ist. AUUFFGGAABBEE 33..99:: Gegeben sind die drei Punkte A( 3 ), B( I ) und ( 3 ) a) Untersuche, ob das Dreieck AB gleichschenklig oder gar gleichseitig ist. Zeichne das Dreieck. Streckenlänge mit Pthagoras b) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks AB c) Der Punkt D liege auf der Gerade g: = 3 + 3. Zeichne die Gerade g in das Koordinatensstem des a)-teils. Bestimme rechnerisch den Punkt D so, dass das Dreieck ABD einen Inhalt 5 von FE (Flächeneinheiten) hat.