3 Matrizen und Determinanten

31 Matrizen 311 Matrizen und Gleichungssysteme Grundlegende Begriffe der linearen Algebra und linearen Optimierung sind die Begriffe Matrix, Vektor, Determinante und lineares Gleichungssystem Beispiel 31 Ein volkswirtschaftlicher Bereich bestehe aus drei produzierenden Sektoren A 1, A 2 und A 3, die durch Lieferströme untereinander verbunden sind und (nichtproduzierende) Endverbraucher E x ij sei die Lieferung, die A j von A i erhält, i,j = 1,2,3 y i sei die Lieferung, die E von A i erhält, i = 1,2,3 Dies kann auch durch die folgende Tabelle dargestellt werden: Lieferung an A 1 an A 2 an A 3 an E von A 1 x 11 x 12 x 13 y 1 von A 2 x 21 x 22 x 23 y 2 von A 3 x 31 x 32 x 33 y 3 Für i = 1,2,3 sei nun x i die Gesamtproduktion (Output) von A i, also x 1 = x 11 + x 12 + x 13 + y 1, x 2 = x 21 + x 22 + x 23 + y 2, (31) x 3 = x 31 + x 32 + x 33 + y 3 Definition 32 Ein rechteckiges Schema reeller Zahlen mit m Zeilen und n Spalten a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn heißtm n-matrix oder Matrix vom Typ m n Die Menge aller reellenm n-matrizen wird mit R m n bezeichnet 39

Definition 33 Eine m 1-Matrix heißt auch m-dimensionaler (Spalten-)Vektor Eine 1 n-matrix heißt auch n-dimensionaler Zeilenvektor Die n Spaltenvektoren a 11 a 21 a m1,, a 1n a 2n a mn Rm 1 bzw die m Zeilenvektoren ( a11 a 12 a 1n ),, ( am1 a m2 a mn ) R 1 n heißen Spalten bzw Zeilen von A Bemerkung 34 Wir betrachten die Menge R n der reellen n-tupel Offenbar unterscheiden sich ein n-tupel (a 1,,a n ) R n und ein n-dimensionaler Zeilenvektor ( a1 a 2 ) a n R 1 n sowie ein n-dimensionaler Spaltenvektor a 1 a 2 Rn 1 a n Es ist aber sinnvoll, die in der mehrdimensionalen Analysis verwendetenn-tupel mit den in der Algebra verwendeten n-dimensionalen Spaltenvektoren zu identifizieren: a 1 a 2 (a 1,,a n ) = a n n 2 ( ) a 1 a 2 a n, R n n 2 n 1 = R R 1 n Beispiel 35 (Fortsetzung von Beispiel 31) Das rechteckige Schema x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 R 3 3 x 31 x 23 x 33 40

31 Matrizen ist eine 3 3-Matrix Die dreizeilige Spalte y 1 y = y 2 R 3 1 = R 3 y 3 ist ein3-dimensionaler Spaltenvektor oder eine 3 1-Matrix Die dreispaltige Zeile ( x11 x 12 x 13 y 1 ) R 1 4 ist ein 4-dimensionaler Zeilenvektor oder eine 1 4-Matrix Beispiel 36 (Fortsetzung von Beispiel 31) Setzt man die Menge x ij, die A i an A j liefert ins Verhältnis zur Gesamtmenge x j, die A j produziert, so erhält man die Liefermenge von A i an A j, die zur Produktion einer Einheit von A j erforderlich ist, z ij = x ij x j für i,j = 1,2,3 Die Zahlen z ij heißen Produktionskoeffizienten oder Input-Output-Koeffizienten und können in der Praxis oftmals bestimmt oder geschätzt werden Hierbei ist z ii der prozentualen Anteil der Lieferung von A i an sich selbst, der nötig ist, um eine Einheit zu produzieren Die Produktion macht natürlich nur Sinn, wenn z ii < 1 gilt Aus (31) und den Beziehungen x ij = x j z ij erhalten wir die sogenannte Output-Bilanz x 1 = z 11 x 1 + z 12 x 2 + z 13 x 3 + y 1 x 2 = z 21 x 1 + z 22 x 2 + z 23 x 3 + y 2 x 3 = z 31 x 1 + z 32 x 2 + z 33 x 3 + y 3 (O) Durch Umstellen erhält man das lineare Gleichungssystem (1 z 11 )x 1 z 12 x 2 z 13 x 3 = y 1 z 21 x 1 +(1 z 22 )x 2 z 23 x 3 = y 2 (L) z 31 x 1 z 32 x 2 +(1 z 33 )x 3 = y 3, welches ein spezielles Leontief-Modell darstellt 41

Definition 37 Es seien a ij und b j für i = 1,,m, j = 1,,n reelle Zahlen Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 (G) a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n = b m einlineares Gleichungssystem mitmgleichungenundn Unbekannten Die m n-matrix A und die Spaltenvektoren b R m und x R n mit a 11 a 12 a 1n b 1 x 1 a 21 a 22 a 2n A = (a ij ) i=1,,m;j=1,n =, b = b 2, x = x 2 a m1 a m2 a mn b m x n heißen Koeffizientenmatrix, rechte Seite oder Vektor der Absolutglieder bzw Vektor der Unbekannten von (G) Jeder Vektor der Unbekannten x, welcher den Gleichungen (G) genügt, heißt Lösung des linearen Gleichungssystems (G) Bemerkung 38 Zu untersuchen ist nun: Unter welchen Voraussetzungen an A und b ist (G) lösbar? Welche Struktur besitzt die Lösungsmenge von (G)? Man welchen Verfahren kann über die Lösbarkeit von (G) entschieden werden und wie kann die Lösungsmenge von (G) bestimmt werden? Definition 39 Es sei a 11 a 12 a 13 A = (a ij ) i=1,,3;j=1,3 = a 21 a 22 a 23 a 31 a 23 a 33 eine 3 3-Matrix Dann heißt a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 deta = det a 21 a 22 a 23 = a 21 a 22 a 23 a 31 a 23 a 33 a 31 a 32 a 33 := a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 23 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 (dreireihige) Determinante von A 42

31 Matrizen Bemerkung 310 Der Wert für deta ergibt sich in einfacher Weise nach der Sarrus-Regel als Differenz der Summe der Produkte parallel zur Hauptdiagonale (ցցց) und der Summe über die Produkte parallel zur Nebendiagonalen (ւււ), wenn man die ersten beiden Spalten nochmals anfügt Beispiel 311 Wir setzen Beispiel 31 fort Durch einfache, jedoch etwas aufwändige Rechnung ergibt sich, dass die Lösung von (L) für den jeweiligen Output x 1, x 2, x 3 der Sektoren A 1, A 2, A 3 bei vorgegebenen Lieferungen y 1, y 2, y 3 an die Endverbraucher sich genau dann ergibt als y 1 z 12 z 13 1 z 11 y 1 z 13 y 2 1 z 22 z 23 z 21 y 2 z 23 y 3 z 32 1 z 33 z 31 y 3 1 z 33 x 1 =, x 1 z 11 z 12 z 13 2 =, 1 z 11 z 12 z 13 z 21 1 z 22 z 23 z 21 1 z 22 z 23 z 31 z 32 1 z 33 z 31 z 32 1 z 33 1 z 11 z 12 y 1 z 21 1 z 22 y 2 z 31 z 32 y 3 1 z 11 z 12 z 13 x 3 =, falls 1 z 11 z 12 z 13 z 21 1 z 22 z 23 z z 21 1 z 22 z 23 31 z 32 1 z 33 0 z 31 z 32 1 z 33 312 Spezielle Matrizen Definition 312 Jede Matrix 0 n m R m n, deren Koeffizienten alle Null sind, heißt Nullmatrix, 0 0 0 = 0 n m = 0 0 Definition 313 Es sei A eine m n-matrix Die zu A transponierte Matrix A (sprich: A transponiert) ist diejenigen m-matrix, die durch Vertauschen der Zeilen vona mit den Spalten entsteht: a 11 a 12 a 1n a 11 a 21 a m1 a 21 a 22 a 2n A =, a 12 a 22 a m2 A = a m1 a m2 a mn a 1n a m2 a mn 43

Beispiel 314 2 1 A = 3 2, A = 0 6 ( ) 2 3 0 1 2 6 Definition 315 Eine n n-matrix A heißt (n-reihige) quadratische Matrix Eine quadratische Matrix mit A = A heißt A symmetrische Matrix 3 2 1 Beispiel 316 Die Matrix A = 2 0 6 ist symmetrisch, da sie quadratisch ist und 1 6 3 A = A gilt Definition 317 Die symmetrische Matrix n n-matrix 1 0 0 E = E n = (e ij ) i,j=1,,n = 0 1 0 mit e ij = 0 0 1 heißt n-reihige Einheitsmatrix { 1, i = j 0, i j 44

31 Matrizen 313 Addition und Subtraktion von Matrizen Definition 318 Es seien a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1n a 21 a 22 a 2n A = und B = b 21 b 22 b 2n a m1 a m2 a mn b m1 b m2 b mn m n-matrizen Dann heißen die m n-matrizen a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n A + B := a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn a 11 b 11 a 12 b 12 a 1n b 1n a 21 b 21 a 22 b 22 a 2n b 2n A B := a m1 b m1 a m2 b m2 a mn b mn die Summe bzw die Differenz von A und B Beispiel 319 ( ) ( ) ( ) 3 2 0 1 3 7 2 5 7 + =, 2 8 2 4 0 6 6 8 8 ( ) ( ) ( ) 3 2 0 1 3 7 4 1 7 = 2 8 2 4 0 6 2 8 4 Bemerkung 320 Summe unddifferenz vonmatrizensind nichtdefiniert, wenndie Matrizen verschiedenen Typ haben Beispiel 321 Ein Unternehmen stellt vier Produkte E 1, E 2, E 3, E 4 her und liefert sie an drei Verkäufer V 1, V 2, V 3 Die Stückzahlen der Lieferungen in zwei Quartalen eines 1 Halbjahres werden durch zwei 4 3-Matrizen A 1 und A 2 angegeben: A 1 : Lief 1 Qu E 1 E 2 E 3 E 4 V 1 17 23 45 58 V 2 101 34 16 17 V 3 13 51 53 42 A 2 : Lief 2 Qu E 1 E 2 E 3 E 4 V 1 18 29 46 59 V 2 120 37 18 19 V 3 14 53 60 90 Damit gibt A 1 + A 2 die Lieferungen für das Halbjahr und A 1 A 2 gibt den Zuwachs im 2 45

Halbjahr gegenüber dem 1 Quartal an: Lief 1 Halbj E 1 E 2 E 3 E 4 V 1 35 53 91 117 V 2 221 71 34 36 V 3 27 104 113 92 Zuwachs 2 Qu E 1 E 2 E 3 E 4 V 1 1 6 1 1 V 2 19 3 2 2 V 3 1 2 7 8 Satz 322 Sind A, B und die Nullmatrix 0 vom gleichen Typ, so gelten folgende Rechenregeln: A + 0 = A (0 - Nullmatrix) A + B = B + A (Kommutativgesetz) (A + B) + C = A + (B + C) (Assoziativgesetz) (A + B) = A + B 314 Multiplikation mit einer reellen Zahl (Skalar) Definition 323 Es seien λ eine reelle Zahl und A = (a ij ) i=1,,m; j=1,,n eine m n- Matrix Dann heißt die Matrix λa := (λa ij ) i=1,,m; j=1,,n λ-faches von A oder Produkt der Zahl λ mit der Matrix A Beispiel 324 (Fortsetzung von Beispiel 321) Kann der Unternehmer den durch A 2 A 1 gegebenen Zuwachs im dritten Quartal verdoppeln, d h gilt A 3 A 2 = 2(A 2 A 1 ), wobei A 3 die Lieferungen im dritten Quartal beinhaltet, so gilt für A 3 A 2 und A 3 = (A 3 A 2 ) + A 2 : A 3 A 2 : Zuwachs 3 Qu E 1 E 2 E 3 E 4 V 1 2 16 2 3 V 2 38 6 4 4 V 3 2 4 14 16 A 3 : Lief 3 Qu E 1 E 2 E 3 E 4 V 1 20 41 48 61 V 2 158 43 33 23 V 3 16 57 74 66 Satz 325 Für die Multiplikation von reellen Zahlen λ, µ mit Matrizen A, B gleichen Typs gelten (λµ)a = λ(µa), (λ + µ)a = λa + µa, λ(a + B) = λa + λb 46

31 Matrizen 315 Multiplikation von Matrizen Definition 326 Es seien A eine m p-matrix und B eine p n-matrix Dann heißt a 11 a 12 a 1p b 11 b 12 b 1n a 21 a 22 a 2p A B = b 21 b 22 b 2n a m1 a m2 a mp b p1 b p2 b pn a 11 b 11 + + a 1p b p1 a 11 b 1n + + a 1p b pn := a m1 b 11 + + a mp b p1 a m1 b 1n + + a mp b pn das Produkt der Matrizen A und B (oder: Produktmatrix von A und B) Satz 327 Es gilt A B = C mit C = (c ik ) i=1,,m; k=1,,n und p c ik = a il b lk für i = 1,,m und k = 1,,n l=1 Bemerkung 328 Der Koeffizient c ik der Produktmatrix C = A B ist folglich das Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors ( a i1 a i2 a ip ) von A und des k-ten Spaltenvektors ( bik b 2k b pk ) von B, d h es gilt b 1k b 2k b pk ( ) ai1 a i2 a ip = a i1b 1k + a i2 b 2k + + a ip b pk = c ik Beispiel 329 Es seien A = Beispiel 330 Es seien A = A B = ( ) 0 3, B = 4 2 A B = ( ) 1 1, B = 1 1 ( ) 4 7 6 Dann gilt 2 3 1 ( ) 6 9 3 12 34 26 ( ) 0 1 Dann gilt 1 0 ( ) ( ) 1 1 1 1 = B A 1 1 1 1 47

Beispiel 331 Materialverflechtungsmatrizen: Aus vier Rohstoffen R 1, R 2, R 3, R 4 werden über drei Zwischenprodukte Z 1, Z 2, Z 3 zwei Endprodukte E 1 und E 2 hergestellt: A : R 1 R 2 R 3 R 4 Z 1 14 6 3 2 Z 2 0 1 2 1 Z 3 3 7 1 10 B : Z 1 Z 2 Z 3 E 1 6 9 11 E 2 3 2 7 Der Betrieb benötigt z B 6 Einheiten des Rohstoffes R 2, um eine Einheit des Zwischenproduktes Z 1 herzustellen; und z B 11 Einheiten des Zwischenproduktes Z 3 um 1 Einheit des Endproduktes E 1 herzustellen Die Koeffizienten c ik, i = 1,,4;k = 1,2, der 4 2-Produktmatrix ( ) 14 6 3 2 ( ) 6 0 11 C : = B A = 0 1 2 1 117 113 18 122 =, 3 2 7 63 69 13 78 3 7 0 10 C : R 1 R 2 R 3 R 4 E 1 117 113 18 122 E 2 63 69 12 78 geben die Einheiten des Rohstoffs R i, i = 1,,4, an, die zur Herstellung einer Einheit des Endproduktes E k, k = 1,2, erforderlich sind So benötigt man z B für 1 Einheit von E 1 6 Einheiten von Z 1 und 11 Einheiten von Z 3, die zu ihrer Produktion wiederum 6 14 + 3 11 = 117 Einheiten von R 1 erforderlich machen Beispiel 332 Übergangsmatrizen in der Marktforschung: Es seien P 1, P 2, P 3 Produkte mit den Marktanteilen von 06, 03 bzw 01 zu einem Zeitpunkt T 0 Die Zahl a ik mit 0 a ik 1 sei der Anteil der Käufer von Produkt P i zum Zeitpunkt T 1, der zum Zeitpunkt T 0 das Produkt P k gekauft hatte Dann heißt die quadratische Matrix A = (a ik ) i,k=1,2,3 die Matrix der Käuferfluktuation (Dabei ist z B α 22 100% die prozentuale Markentreue und (α 21 + α 23 ) 100% ist der prozentuale Markenwechsel bzgl P 2 ) Beschreibt beispielsweise 06 01 04 A = 01 09 04 03 00 02 jeweils die Matrix der Käuferfluktuation von T 0 zu T 1 und von Zeitpunkt T 1 zum Zeitpunkt T 2, so beschreibt A A =: A 2 die Matrix der Kundenfluktuationen vom Zeitpunkt T 0 zum Zeitpunkt T 2 : 06 01 04 06 01 04 049 015 036 A 2 = 01 09 04 01 09 04 = 027 082 048 03 00 02 03 00 02 024 003 016 48

31 Matrizen Die Marktanteile der Produkte P 1, P 2, P 3 zum Zeitpunkt T 0 haben sich im Zeitpunkt T 2 folgendermaßen geändert: P 1 : 06 0375, P 2 : 03 0456, P 3 : 01 0169, wie die Rechnung zeigt: 049 015 036 06 0375 027 082 048 03 = 0456 024 003 016 01 0169 Satz 333 Es seien A eine m p-matrix, B eine p q-matrix, C eine q n-matrix, D eine p q Matrix und E die p-reihige Einheitsmatrix Dann gelten (A B) C = A (B C), A (B + D) = A B + A D, (B + D) C = B C + D C, A E = A, (A B) = B A 316 Lineare Gleichungssysteme in Matrizen-Darstellung Wir kehren zum linearen Gleichungssystem (G) mit der Koeffizientenmatrix A R m n, der Seite b R m = R m 1 und dem Vektor der Unbekannten x R n = R n 1 zurück Unter Verwendung der Matrizenmultiplikation lautet es nun A x = b (32) Betrachten wir das Leontief-Modell (L) Mit Z = (z ij ) i,j=1,2,3, y = (y 1,y 2,y 3 ), x = (x 1,x 2,x 3 ) und der dreireihigen Einheitsmatrix E lautet es (E Z) x = y Es ist also auch von der Form (32) mit A = E Z und b = y Zu klären wäre also, unter welchen Voraussetzungen ana undb das Gleichungssystem (32) lösbar ist und wie gegebenenfalls die Lösungsmenge bestimmt werden kann Heuristik: Wenn es eine n m-matrix B derart gibt, dass B A = E n mit der n-reihige Einheitsmatrix E n gilt,so folgt also x = B b, d h, wir hätten (G) gelöst x = E n x = B A x = B b, 49

317 Die inverse Matrix Für eine Zahl a R ist a 1 definiert als diejenige Zahl b R, mit der ab = 1 gilt Ein solches b existiert genau dann, wenn a 0 ist, und dann gilt auch ba = 1 Für eine quadratische m m-matrix A soll nun durch die analoge Gleichung die inverse Matrix A 1 definiert werden A B = E (33) Definition 334 Die m m-matrixaheißt invertierbar, wenn es eine m m-matrixb gibt, so dass (33) gilt Satz 335 Ist A invertierbar, so gibt es genau eine Matrix B mit (33) Definition 336 Ist A invertierbar, so heißt die Matrix B mit (33) die Inverse von A (oder zu A inverse Matrix) und wird mit A 1 bezeichnet Bemerkung 337 1 Neben (33) gilt dann auch B A = E; insgesamt gilt also A A 1 = A 1 A = E (34) 2 Aus der Analogie zu den Zahlen darf man nicht schließen, dass jede quadratische Matrix A 0 invertierbar sei Beispiel 338 Gegeben sei eine 2-reihige Matrix ( a11 a A = 12 a 21 a 22 ) Die Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn und es gilt dann a 11 a 22 a 12 a 21 0, (35) ( A 1 1 a22 a = 21 a 11 a 22 a 12 a 21 a 12 a 11 Dies bestätigt man, indem man die Gültigkeit von (34) verifiziert ) Bemerkung 339 Später werden wir sehen, dass die Bedingung (35) auch notwendig für die Existenz von A 1 bei einer 2 2 Matrix A ist 50

32 Determinanten Hiermit ist z B die Matrix A = ( 1 0 1 0 ) nicht invertierbar Satz 340 Für invertierbare m m-matrizen A, B gelten die folgenden Rechenregeln: (A 1 ) 1 = A, (A 1 ) = (A ) 1, (A B) 1 = B 1 A 1 Bei der letzten Formel beachte man wieder die Änderung der ReihenfolgeMittels der Inversen können wir nun gewisse Matrixgleichungen lösen Beispiel 341 Gegeben seien eine invertierbare m m-matrix A und eine m r-matrix B Gesucht ist eine m r-matrix X mit A X = B Lösung Es gilt (man beachte die jeweilige Rechenregel) A X = B A 1 (A X) = A 1 B (A 1 A)X = A 1 B E X = A 1 B X = A 1 B 32 Determinanten 321 Der Begriff der Determinante Definition 342 Die Determinante deta einer n-reihigen (also quadratischen) Matrix A wird rekursiv definiert durch: Für n = 1 gilt deta = a 11 Für n 2 gilt a 11 a 1n deta = := a n1 a nn n ( 1) i+1 a i1 deta i1 Hierbei bezeichnet A i1, i = 1,,n, die (n 1)-reihige Matrix, die aus A durch Streichen der ersten Spalte und der i-ten Zeile entsteht i=1 Bemerkung 343 1 Für n = 2 erhalten wir die schon bekannte Formel 2 Für n = 3 finden wir ( a22 a deta = a 11 det 23 a 32 a 33 deta = a 11 a 22 a 21 a 12 ) ( a12 a a 21 det 13 a 32 a 33 ) ( a12 a +a 31 det 13 a 22 a 23 = a 11 (a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 21 (a 12 a 33 a 13 a 32 )+a 31 (a 12 a 23 a 13 a 22 ), also ebenfalls die schon bekannte Formel ) 51

Beispiel 344 Es gilt 3 1 5 0 det 0 2 1 1 2 1 1 0 4 2 3 = }{{} 3 det 4 2 3 }{{} 0 det a 2 3 0 2 11 3 0 2 a 21 }{{} Weiter gilt deta 11 = 2 det ( 2 3 0 2 + }{{} 0 det a 31 A 11 ) ( 1 1 4 det 0 2 1 5 0 2 1 1 3 0 2 } {{ } A 31 2 }{{} a 41 det 1 5 0 4 2 3 3 0 2 }{{} ) ( 1 1 +3 det 2 3 A 21 1 5 0 2 1 1 4 2 3 } {{ } A 41 = 2 [( 2) 2 3 0] 4 [1 2 ( 1) 0]+3 [1 3 ( 1) ( 2)]= 13 deta 21 und deta 31 brauchen nicht berechnet zu werden, da sie mit Null multipliziert werden und somit keinen Beitrag liefern Ferner gilt deta 41 = 49 (nachrechnen!) Hiermit erhalten wir schließlich deta = 3 ( 13) 2 ( 49) = 59 Es sei nun A eine beliebige obere Dreiecksmatrix: a 11 a 22 A = ( : beliebige Elemente) 0 a nn Man erhält Hierbei ist zb deta = a 11 deta 11 0 deta 21 + + ( 1) n+1 0 deta n1 = a 11 deta 11 A 11 = a 22 0 a nn wieder eine obere Dreiecksmatrix Daher ergibt sich hier: Satz 345 Für eine obere Dreiecksmatrix A ergibt sich die Determinante deta als Produkt der Hauptdiagonalelemente, deta = a 11 a 22 a nn Die Determinante einer Dreiecksmatrix lässt sich also besonders einfach berechnen ) 52

32 Determinanten 322 Das Rechnen mit Determinanten Sei A K n n, n 2 Definition 346 Sei A eine n n-matrix mit n 2 Mit A ik bezeichnen wir die (n 1)- reihige Matrix, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der k-ten Spalte (also gerade der Zeile und Spalte, in der a ik steht) entsteht Satz 347 (Entwicklungssatz) Die Determinante deta einer n n-matrix A, n 2, kann durch Entwicklung nach einer beliebigen Spalte oder Zeile berechnet werden Dabei bedeutet Entwicklung nach der k-ten Spalte: n deta = ( 1) i+k a ik deta ik, Entwicklung nach der i-ten Zeile: deta = i=1 n ( 1) i+k a ik deta ik k=1 Bemerkung 348 1 Die Vorzeichen ( 1) i+k können nach dem Schachbrettmuster ermittelt werden: + + + + + 2 Dieser Satz eignet sich zur Berechnung einer n-reihigen Determinante, falls n klein ist oder viele Elemente gleich 0 sind Beispiel 349 Die Determinante der Matrix A = 1 3 4 3 2 2 0 2 0 berechnet man zweckmäßig durch Entwicklung nach der 3 Zeile und erhält: Beispiel 350 Es gilt ( ) 1 4 deta = 0 deta 31 2 det +0 deta 3 2 33 = 20 }{{} det A 32 53

1 0 0 0 0 2 3 4 7 3 3 4 7 3 0 0 0 0 0 0 3 1 1 = 1 0 3 1 1 0 0 0 3 6 0 0 3 6 2 0 3 1 1 0 0 3 6 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 1 1 = 1 3 0 3 6 0 0 1 = 1 3 3 3 6 0 1 = 1 3 3 ( 3) = 27, wobei stets nach der ersten Spalte entwickelt wurde Es gilt aber auch 1 0 0 0 0 2 3 4 7 3 3 4 7 3 0 0 3 1 1 = 1 0 3 1 1 3 1 1 0 0 0 3 6 0 0 3 6 = 1 3 0 3 6 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 = 1 3 ( 1) 3 1 0 3 = 1 3 3 ( 3) = 27 Wir betrachten eine n n-matrix A mit den Spalten s 1,,s n, dh, A = (s 1,,s n ) = s 1 s n = s 1,1 s n,1 s 1,n s n,n Satz 351 1 Vertauscht man zwei (verschiedene) Spalten s i und s k, i k, so wechselt die Determinante das Vorzeichen: det(s 1,, s i,, s k,,s n ) = det(s 1,, s k,, s i,,s n ) 2 Herausziehen eines gemeinsamen Faktors aus einer Spalte: det(s 1,, α s i,,s n ) = α det(s 1,,s i,,s n ) (α R) 3 Addition zweier n-reihiger Determinanten, die sich nur in einer Spalte unterscheiden: det(s 1,, s i,,s n ) + det(s 1,, s i,,s n) = det(s 1,, s i + s i,,s n) 4 Addition eines Vielfachen der k-ten Spalte zur i-ten Spalte, k i, ändert die Determinanten nicht: det(s 1,, s i,, s k,,s n ) = det(s 1,, s i + αs k,, s k,,s n ) (α R) 54

32 Determinanten Satz 352 Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn man die Matrix transponiert, deta = deta Bemerkung 353 Wegen Satz 352 gelten alle Eigenschaften aus den Sätzen 351,?? daher auch für Zeilen Satz 354 Für Matrizen n n-matrizen A, B gilt det(a B) = (deta)(detb) Weiter haben wir: Satz 355 (Invertierbarkeitskriterium) Für n-reihige Matrizen A gilt A ist invertierbar deta 0 Wenn deta 0 gilt, so gilt det(a 1 ) = 1 deta Die zweite Aussage des Satzes folgt aus 1 = dete = det(a A 1 )= (det A)(detA 1 ),wobei das dritte Gleichheitszeichen nach Satz 351 mit B := A 1 gilt Beispiel 356 Für die Matrix ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 gilt deta = a 11 a 22 a 12 a 21 Nach Satz 355 ist A also genau dann invertierbar, wenn gilt, vgl Beispiel 338 a 11 a 22 a 12 a 21 0 323 Anwendungen auf lineare Gleichungssysteme im Fall m = n Wir betrachten nun das lineare Gleichungssystem (32) mit m = n, dh, Anzahl der Gleichungen (m) = Anzahl der Unbekannten (n), also ein lineares Gleichungssystem der Form a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a n1 x 1 + + a nn x n = b n, (36) 55

kurz A x = b (37) mit einer Matrix A R n n und einem Spaltenvektor b R n Satz 357 Gegeben sei eine Matrix A R n n Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (b) Für jedes b R n hat das inhomogene lineare Gleichungssystem A x = b genau eine Lösung x (a) Das homogene lineare Gleichungssystem A x = 0 hat nur die triviale Lösung x = 0 (c) Die Matrix A ist invertierbar (d) Es gilt deta 0 Folgerung 358 Ist A invertierbar, so ist die Lösung x von (37) gegeben durch x = A 1 b (38) Satz 359 Für invertierbare n-reihige Matrizen A gilt A 1 = ( 1) i+k deta ik deta Beispiel 360 Die Lösung (x 1,x 2,x 3 ) R 3 des linearen Gleichungssystems x 1 + 2x 2 x 3 = b 1 x 2 + 2x 3 = b 2 x 1 + 3x 2 + x 3 = b 3 ist für einen beliebigen Vektor (b 1,b 2,b 3 ) R 3 zu bestimmen Lösung Für A = 1 2 1 0 1 2 1 3 1 56

32 Determinanten erhalten wir mit Satz 359 1 2 3 1 A 1 1 = 1 2 1 2 1 3 1 0 1 2 1 3 1 2 1 1 2 = 1 1 2 2 1 2 1 1 5 0 5 1 2 1 10 1 10 0 2 0 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 2 1 3 1 1 0 2 1 2 0 1 Nach (38) gilt folglich x 1 x 2 x 3 = 1 1 2 2 1 2 1 1 5 0 5 1 1 10 2 1 10 b 1 b 2 b 3 = 1 2 b 1 + 1 2 b 2 1 2 b 3 1 5 b 1 + 1 5 b 3 1 10 b 1 + 1 2 b 2 1 10 b 3 Abschließend geben wir eine Lösungsdarstellung mittels Determinanten an Satz 361 (Cramer-Regel) Ist A = (a ik ) R n n invertierbar und gilt b R n, dann hat das lineare Gleichungssystem (36) die Lösung x = (x 1,,x n ) mit x i = 1 a 11 a 1i 1 b 1 a 1i+1 a 1n deta det a n1 a ni 1 b n a ni+1 a nn, (39) dh, zur Berechnung von x i wird die i-te Spalte von A durch b ersetzt, i = 1,,n Wegen des hohen Aufwandes bei der Determinantenberechnung hat diese Regel zur praktischen Lösung eines linearen Gleichungssystems nur für n 3 und in einigen Spezialfällen Bedeutung Beispiel 362 Das lineare Gleichungssystem soll nach der Cramer-Regel gelöst werden Lösung Zunächst gilt 2x 1 + x 2 x 3 = 6 x 1 2x 3 = 8 x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 17 deta = det 2 1 1 1 0 2 1 3 4 = 7 57

Wegen deta 0 ist A invertierbar, also die Cramer-Regel anwendbar Nach (39) ist x 1 = 1 6 1 1 7 det 8 0 2 = 2, x 2 = 1 2 6 1 7 det 1 8 2 = 1, 17 3 4 1 17 4 x 3 = 1 7 det 2 1 6 1 0 8 1 3 17 = 3 Das folgende Beispiel demonstriert, dass die Cramer-Regel aber auch für spezielle höherdimensionale Probleme sinnvoll eingesetzt werden kann: Beispiel 363 Betrachte das lineare Gleichungssystem 1 2 3 0 A x = b mit A = 2 3 0 0 3 0 2 1 0 1 0 2 Gesucht ist nur die zweite Komponente x 2 der Lösung x, b = Lösung Mit Entwicklung nach der vierten Zeile erhalten wir 1 3 0 1 2 3 deta = 1 det 2 0 0 + 2 det 2 3 0 = 6 + 2 (6 8 27))= 64 3 2 1 3 0 2 Weiter folgt mit (39) und Entwicklung nach der vierten Zeile 1 2 3 0 det 2 0 0 0 1 2 3 3 1 2 1 = 2 det 2 0 0 = 2 (6 8) = 4 3 1 2 0 0 0 2 und daher x 2 = 1 16 2 0 1 0 33 Zusammenfassung Wir haben gesehen, wie man lineare Gleichungssysteme mit Hilfe von Matrizen schreiben kann Im Falle linearergleichungssysteme mitn Gleichungen undn Unbekanntenhabenwir die Determinanten einerseits als ein Hilfsmittel zur Lösbarkeitsentscheidung kennengelernt aber auch als ein Hilfsmittel zur Berechnung der Lösungen Das Berechnen von Determinanten höherer Ordnung nach den uns bekannten Methoden ist aber sehr aufwändig Für lineare Gleichungssysteme mit m Gleichungen und n Unebekannten, m n, nützen und Determinanten nichts Wir benötigen als bessere Verfahren zur Berechnung von Determinanten und Lösungsverfahren für allgemeine lineare Gleichheitssysteme 58