Lösungen V.1 I: Trapez (zwei parallele Seiten; keine Symmetrie) II: gleichschenkliges Trapez (zwei parallele Seiten, die anderen beiden gleich lang; achsensymmetrisch) III: Drachen(viereck) (jeweils zwei benachbarte Seiten gleich lang; achsensymmetrisch) IV: Parallelogramm (jeweils zwei Seiten parallel / gleich lang (äquivalent!); punktsymmetrisch) V: Rechteck (nur rechte Winkel; zwei Symmetrieachsen, punktsymmetrisch) VI: Raute (alle vier Seiten gleich lang; zwei Symmetrieachsen, punktsymmetrisch) VII: Quadrat (alle vier Seiten gleich lang, drei rechte Winkel; vier Symmetrieachsen, punktsymmetrisch) Pfeile bedeuten ist auch ein (Lambacher-Schweizer Geometrie, S. 150) 7) a) 0 000 dm ; a; 80 000 m ; 8 ha; 0 000 a; km ; 150 000 cm ; 15 m ; 90 000 mm ; 9 dm ; 1 500 000 m ; 150 ha; 5 60 000 dm ; 56 a; 100 000 000 cm ; 10 000 m b) 17 000 m ; 1,7 ha; 85 000 dm ; 8,5 a; 158 000 a; 15,8 km ; 9 000 cm ; 9, m ; 5000 m ; 0,5 ha; 000 a; 0, km ; 1000 cm ; 0,1 m ; 7000 mm ; 0,7 dm ; 11 000 dm ; 1,1 a; 600 dm ; 0,06 a c) 16 800 dm ; 1,68 a; 11 800 cm ; 1,18 m ; 01 500 a; 0,15 km ; 87 500 m ; 8,75 ha; 1 600 mm ;,16 dm ; 11 600 mm ; 1,16 dm ; 500 cm ; 0,5 m ; 800 m ; 0,08 ha; 00 mm ; 0,0 dm ; 700 dm ; 0,07 a d) 150 m ; 0,15 ha; 0 a; 0,00 km ; 15 dm ; 0,015 a; 70 mm ; 0,007 dm ; 5,5 a; 0,055 km ; 80 dm ; 0,008 a; 0,6 cm ; 0,00006 m ; 10 dm ; 0,001 a; 50 mm ; 0,005 dm e) 50 dm ; 0,005 a; 75 a; 0,0075 km ; 0 cm ; 0,00 m ; 75 mm ; 0,0075 dm ; 80 a; 0,008 km ; 150 m ; 0,015 ha; 5 dm ; 0,05 a; 170 m ; 0,017 ha; 90 a; 0,09 km ; 160 dm ; 0,016 a; 60 cm ; 0,06 m 1 f) dm 1 1 ; a; 66 a; km 1 ; 1 cm 1 ; m ; 16 m 1 1 ; ha; 18 mm 11 ; dm ; 00 150 75 600 600 71 dm 1 1 7 ; a; a; km ; 65 m ; 0,065 ha; 760 dm ; 0,076 a; 66 cm ; m 7 10 00 75 g) 100 mm ; 100 dm ; 100 dm ; 100 a; 00 5 cm ; 50 5 m ; 50 mm ; 00 dm ; 66 10 dm 10 ; a; 50 6 mm ; 0,05 6 dm ; 00 15 cm ; 15 m ; 00 150 100 8 dm ; 5 8 a Lösungen V. 8) a) 9,50() DM b) 0 m 9) a),0 m b) 5,8 m 10) a) 5,1 m ; 1, m b) 10,56 ha;,75706 km c) 60 m; 15 m d) 0 cm; 105 cm e) 1 cm; 55,6 cm f) 5,8 m;,616 m g) cm ; 6 cm 8,9 cm h) 9 cm 15,59 cm; 0 cm,6 cm Lösungen V. (Reihenfolge auf Blatt geändert!!! in Klammern jeweils: Lambacher-Schweizer Geometrie ) 1) a) 1,5 cm b), dm c), m d) 10 cm (15/) ) (e 6,8 cm; f 15,01 cm) A = 0 cm ( (e 6,10 cm; f 10, cm) A = 16 cm ) (176/) ) a) 0 cm 69,8 cm b) 7,7 m (9/9) 6) a) 5, cm (15/10)
Lösungen V. ) a) 15,8 cm b) 98,9 cm c) 18,05 m d) 5,16 dm (15/5) 5) a) 6, cm b) 1,785 m c),1 dm d) 175,5 a (15/8) 6) b),5 cm (15/10) 7) a) h c = 1 cm; A = 60 cm b) h a = cm; A = 1 cm c) h b = 5 cm, cm; A = 5 cm,5 cm d) h a = 5, 8 m, m; A =, 5, 8 m 5,8 m (16/8) 8) 6 dm; 7,5 dm (16/9) 9) a) A = 16 cm ; h c = 8 cm,58 cm b) cb =, cm 1,79 cm; c a = 51, cm 7,16 cm (16/15) 5 10) a) h 51,7 m; A 1 m b) h 9,8 m; A 1011 m c) h 5, m; A 89 m d) h 5,87 m; A 8,6 m e) h 59, m; A 165 m (LS 9/8) 11) a)1,5 b) 6,5 c) 9 d) 10,5 (LS 15/7) 1) a) 17,5 b) 9 c) 1 d) 10 (LS 15/6) 1) a) α = 90 ; A = 5 cm b) α, ; A 590 m (01/7) 1) (170/9) a) h = (b + p) (b p) folgt aus h + p = b mit. binomischer Formel rückwärts; p einsetzen: h b + c a b + c a = b + b ; mit c multiplizieren (1. Klammer), dann noch mal (.): c c c h = (bc + b + c a ) (bc b c + a ) = ( (b + bc + c ) a ) (a (b bc + c ) ) mit der 1. und der. binomischen Formel, jeweils rückwärts, ergibt sich die Behauptung 1 b) A = 0,5 c h = c h = 1 [ ( ) ][( ) a ( b c) a b c b + c a ] = mit der. binomischen Formel rückwärts (jeweils in beiden Zählern) gibt das: ( b + c) ( a + ( b c)) ( a ( b c)) (( b + c) + a) (( b + c) a) a + b c a b + c a + b + c a + b + c A = = mit dem angegebenen s kann das dann so geschrieben werden wie behauptet c) A 15 cm d) Viereck ist durch Seitenlängen nicht eindeutig festgelegt Lösungen V.5 (Reihenfolge auf Blatt geändert!!! in Klammern jeweils: Lambacher-Schweizer Geometrie ) 1) e 5,18 cm; f 6,87 cm (1/7) ) β 9,1 ; γ 6,8 ; e 6,1 cm; f 7,0 cm (1/8) Lösungen V.6 ) a) 0,5 cm b) 0,78 m c) 6,75 dm d) 99 a e) 7,15 dm f) 7,95 dm (157/) ) a) (d,61 cm; e 6,71 cm; f 8,5 cm) A=1 cm b) (b,1 cm; e 8, cm; f 6, cm) A=,8 cm (176/, vgl. IV.) 5) a) h,87 cm; A 1,77 cm b) h,6 cm; A 16,0 cm c) A = 11,055 cm d) c,9 cm; A 16,96 cm (157/5) a
6) a) d,89 cm; β, ; γ 16,6 ; δ = 108 ; A 1,1 cm (1/5) b) c,60 m; d,70 m; γ = 75 ; δ = 10 ; A 5,91 m c) α 169,1 ; β 19, ; γ 0,8 ; δ 10,9 ; A 5,0 m d) α 7,05 ; β 5, ; γ 15,6 ; δ 106,95 ; A,8 ha 7) a) 8 b) 16 c) 7,5 d) 8,5 (157/6) 8) a),5 b) 5 c) 57 d) 5 (157/7) 9) 1) etwa 9 cm ) etwa 10 cm (157/8) Lösungen V.7 (Lambacher-Schweizer Geometrie S. 165; vgl. IV.!) 5) a) m 0,08 m 6 b) m =,56 m 6 6) b) cm 5,0 cm c) r Inkreis = h (Höhe = Seitenhalb.) adreieck = r A Dreieck = = 1 ASechseck ; zeichnerisch: Dreiecksseiten halbieren jeweils die 6 gleichseitigen Dreiecke des Sechsecks 7) a) A = r ; u = r b) Umfang: etwa 15,5% größer; Flächeninhalt:, % größer 8) A = r ; u = 8 r (Lambacher-Schweizer Geometrie S. 11) 15) a) Mit Hilfe der Winkelgesetze und der Beziehungen im gleichschenkligen Dreieck zeigt man s r zunächst, dass AD = CS = s gilt. Die Dreiecke ABC und ABD sind ähnlich = r s s Lösen dieser Bruchgleichung führt mit Hilfe der Mitternachtsformel und der zusätzlichen Bedingung, r dass s > 0 sein muss, auf die angegebene Formel s = ( 5 1) b) mit Hilfe des Satzes von Pythagoras folgt: x = 5 r r und damit s = ( 5 1 ) Konstruktionsbeschreibung für das regelmäßige Zehneck: 1) Zeichne eine Strecke [AB] der Länge 5 cm; halbiere diese; errichte in B das Lot; trage auf dem Lot von B aus die Hälfte von AB ab Punkt C; zeichne [AC] ein; Kreis um C mit RadiusCB schneidet [AC] in D; (Kreis um A mit Radius AD schneidet [AB] in E; ) dann ist s = AE = AD. ) Zeichne einen Kreis mit Radius 5 cm; trage darauf 10 mal seine Sehne der Länge s ab. Lösungen V.8 (Lambacher-Schweizer Geometrie S. 50) ) a) 0,1159;,5% b) 0,01890; 0,6% c) 0,0016; 0,0% bzw. 0,00075; 0,0% d) 0,00007; 0,00% e) 0,0069; 0,66% f) 0,00005; 0,0015% (Lambacher-Schweizer Geometrie S. 5) ) a) 7,7 cm b) 11, dm c), m d), m 6) a) 0,16 m b) 0,89 dm c) 0,11 m d) 0,1 dm 10) a) 98 b) 199mal pro Pedal 11) 1,7 mal pro Sekunde a 1) a) 666 km b) 0 000 km 15) r = r + 1 m r + 15,9 cm 16)
(Lambacher-Schweizer Geometrie S. ) ) a) 7, cm b) 177 dm c) 10,8 dm d) 1, m ) a) 98 cm b),1 dm c) 0,66 m d) 1,09 m 5) a) 0,56 m; 1,1 m b) 0,6 dm; 1, dm c), cm; 8,8 cm d) 5,0 m; 10,0 m 8 und 9) 1 1,5% 11) 0, m bzw. 7,5% (Lambacher-Schweizer Geometrie S. 5) 7) a) 0,0796 m ( 0,58 dm ; 0,0088 m ) b) A = u 8) a),5 m ( 5,60 dm; 1,6 cm; 1,96 dm; 5,5 m) b) u = A 9) r = ; u = A = (Lambacher-Schweizer Geometrie S. ) Lösungen V.9 6) 1 cm 7,7 cm bzw. 1,875 cm 0, cm 7) a) r = 10 cm = 5 cm 7,07 cm 1) r = r = r 0,577r 15) A = 0,75 cm 6 cm (Lambacher-Schweizer Geometrie S. 9) 9) 7 cm 10) 000 rote, etwa 8 gelbe (Lambacher-Schweizer Geometrie S. 6) ) a) 1,55 m b) 0,9 dm c) 15,6 cm ) a) 6,7 b) 0,9 c) 7, 5),9 cm (,1 cm) 6),58 10 6 km; 7,85 10 7 km; 9, 10 8 km 7) 7 900 km; 7,7 km/s (Lambacher-Schweizer Geometrie S. 5) 1) 100 km (Lambacher-Schweizer Geometrie S. 7f) 5 5 10) a) b) c) d) e) 10 1 7 f) 11 g) 6 h) 1 11) a) 18 b) 6 c),5 d) 5 e) 10 f) 15 g) 150 h) 88 i) 7,0 j) 57, k) 71,6 l) 16,1 m) 171,9 n) 00,5 o) 57,8 p) 55, 1) 1 7 1 0,618; 6 0,56; 0,785; 1,07; 5 1 1,090; 1,5708; 1,86; 5 11,09;,56;,6180;,8798 6 1
15) a) b 1,05 cm; A 1,05 cm b) α 71,6 ; A = 1, m c) α 10,1 ; A =,5 dm d) b = 0 cm; α 1, e) r 6,56 cm; b,58 cm f) r,0 m; b,6 m g) r = 10 m; α 16,1 16) 6 m (9,6 cm) 17) Landfläche gesamt: 150 Millionen km ; damit: Asien: 105,6 ; Amerika: 100,8 ; Afrika: 7 ; Europa: 6, ; Australien: 1,6 ; Antarktis:,6 18) A = 9 cm 11,06 cm (Lambacher-Schweizer Geometrie S. 9) 0) die Flächeninhalte der Kreissegmente ergeben sich jeweils als Flächeninhalt des Kreissektors minus dem Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks mit Spitzenwinkel α, Schenkellänge r und 1 Basislänge s; aus A Dreieck = r α s sin α, sin = und α 1 r sin = (1 cos α) folgt: s sinα α s s α sinα A Dreieck = und A Sektor = A Segment = 1 cosα 60 (1 cosα) 1 cosα 60 damit ergibt sich für die beiden Segmente: 8 775 mm bzw. 6 75 mm, also gesamt: A 7,55 dm Lösungen zu V.10 (Lambacher-Schweizer Geometrie S. 9) 1) a) A =,5 cm 7,07 cm ; u = 6 cm 18,85 cm d) A = a ; u = ( + )a 10,7a b) A = 1 a 0,15a ; u = ( + )a 5,1a c) A = 1 a 0,57a ; u = a,1a ) a) A = 0,5 cm 1,57 cm 1 ; u = ( + ) cm 5,1 cm b) A = a ; u = a,1a c) A = 1 a 0,57a 1 ; u = a 6,8a ) A = ab = ADreieck ) a) A = 19 a 1,a ; u = 7 a 7,a b) A = c) A = ( ) 1) a,98a 5 ; u = a 6,7a d) A = + a 0,86a ; u = a,188a a 0,705a ; u = a,1a 1 a 5) a) 1 b + 1 c =... = 1 a 1 b 1 c b) + > (mit Satz von Pythagoras) (mit Dreiecksungleichung) 6) a a CD + = 6 a 9 CD = 1 AKreis = a 18
1 a A Schustermesser = 1 a 6 1 a 1 =... = a = A Kreis 18