Theorie zufälliger Matrizen Susanna Röblitz (geb. Kube) Disputationsvortrag Berlin, 17. Dezember 2008
1,000,000 $ Kernphysik Multivariate Statistik 17.12.2008 2/29 Susanna Röblitz
1,000,000 $ Kernphysik Zufallsmatrizen Multivariate Statistik 17.12.2008 3/29 Susanna Röblitz
Zufallsmatrix Zufallsmatrix: Einträge sind Zufallsvariablen gegeben Verteilung der Matrix A gesucht Verteilung von f (A) (z.b. Eigenwerte, Eigenvektoren) für N 17.12.2008 4/29 Susanna Röblitz
Kernphysik Schrödinger-Gleichung ı t ψ = Hψ Atomkern (Neutronenwechselwirkung): H oft unbekannt oder zu komplex H H zufällige hermitesche Matrix Hypothese: Die charakteristischen Energien eines chaotischen Systems verhalten sich lokal wie die Eigenwerte einer Zufallsmatrix. [E.P. Wigner(1951), C.E. Porter, N. Rosenzweig (1960), F. Dyson (1962)] 17.12.2008 5/29 Susanna Röblitz
Multivariate Statistik A = [x 1,..., x n ] Stichprobe aus X N m (µ, Σ) empirische Kovarianz-Matrix S = 1 n 1 n (x i x)(x i x), x = 1 n i=1 n i=1 x i (n 1)S = ZZ W m (n 1, Σ) [J. Wishart (1928)] Anwendungsbeispiel: Hauptkomponentenanalyse Eigenwertverteilung? 17.12.2008 6/29 Susanna Röblitz
Ein Milleniumproblem (1,000,000 $) Riemannsche Zeta-Funktion Im ζ(s) = n=1 1 n s = p prim 1 1 1/p s 2 0 1 Re s C, R(s) > 1 Nullstellen geben Auskunft über Verteilung der Primzahlen! Riemannsche Vermutung (1859, Hilbert 1900): Nullstellen im kritischen Streifen liegen auf Geraden {s R(s) = 1/2} Hilbert-Pólya-Vermutung: Die Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion entsprechen den Eigenwerten des Operators 1 + ıt, T hermitesch 2 1/2 17.12.2008 7/29 Susanna Röblitz
Numerische Verifizierung Wahrscheinlichkeitsdichte der Abstände der Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion (30000 Nullstellen, n 10 12, 10 21, 10 22 ) 1 Wahrscheinlichkeit 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 normalisierte Abstände http//www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta tables/index.html 17.12.2008 8/29 Susanna Röblitz
Weitere Anwendungen lineare Gleichungssysteme zufällige Graphen Datenkomprimierung (compressed sensing) Quantenfeldtheorie... 17.12.2008 9/29 Susanna Röblitz
1. Welche Zufallsmatrizen gibt es? 2. Was möchte man darüber wissen? 3. Wie bekommt man diese Informationen? 17.12.2008 10/29 Susanna Röblitz
Ensemble von Zufallsmatrizen Hermite Laguerre Jacobi (Gauß) (Wishart) (MANOVA) H = (A + A )/2 W = A A J = A/(A + B) A G β (n, n) A G β (m, n) A W β (m 1, n) B W β (m 2, n) 17.12.2008 11/29 Susanna Röblitz
Fragestellung Abstände benachbarter Eigenwerte Abstand zwischen k Eigenwerten mittlere Anzahl von Eigenwerten in einem fixen Intervall Verteilung des größten/kleinsten Eigenwertes... Wie kann man diese Statistiken bestimmen? 17.12.2008 12/29 Susanna Röblitz
Monte-Carlo-Verfahren 1. Matrixverteilung wählen 2. Stichprobe ziehen (N N Matrix A generieren) 3. Eigenwert berechnen 4. Statistik aufstellen Problem: sehr zeitaufwändig für große N Ziel: effiziente Berechnung 17.12.2008 13/29 Susanna Röblitz
Der klügere Weg Drei Schritte zum Erfolg 1. dünn besetztes Matrixmodell 2. Skalierung der Matrix 3. Vernachlässigen kleiner Einträge (cutoff) Werkzeugkasten numerische lineare Algebra orthogonale Polynome Differentialoperatoren 17.12.2008 14/29 Susanna Röblitz
Das Hermite-Ensemble Hermite-Ensemble = Gaußsches Ensemble H β = (A + A )/2, A G β (n, n) Name β Eigenschaft Invarianz orthogonal (GOE) 1 (R) symmetrisch A Q AQ unitär (GUE) 2 (C) hermitesch A U H AU symplektisch (GSE) 4 (H) selbst-dual A S D AS z.b. GUE: A=randn(N)+i*randn(N); H=(A+A )/2; 17.12.2008 15/29 Susanna Röblitz
Tridiagonales Matrixmodell [Trotter (1984), Dimitriu, Edelman (2002)] Eine beliebige N N Matrix A β N aus dem β-hermite-ensemble ist orthogonal ähnlich zu 2G χ(n 1)β H β N 1 χ (N 1)β 2G χ(n 2)β........., β > 0 2β χ 2β 2G χβ χ β 2G Es gibt kein vollbesetztes Matrixmodell für β 1, 2, 4, jedoch ein tridiagonales Modell für beliebige β > 0! Eigenwerte bleiben erhalten! 17.12.2008 16/29 Susanna Röblitz
β χ r r + 1 2 G [B. Sutton (2005)] H β N β H N = 1 2 0 N 1 N 1 0 N 2......... 2 0 1 1 0 Das Modell ist deterministisch! Frage: Was sind die Eigenwerte und Eigenvektoren dieser Matrix? H N = QΛQ 17.12.2008 17/29 Susanna Röblitz
Orthogonale Polynome Hermitesches Polynom: Hermitesche Funktion: Drei-Term-Rekursion: xψ H n (x) = π H m(x)π H n (x)e x2 dx = δ mn ψ H n (x) = π H n (x)e x2 /2 n n + 1 2 ψh n 1(x) + 2 ψh n+1(x) 17.12.2008 18/29 Susanna Röblitz
Drei-Term-Rekursion Matrixschreibweise: N N + 1 xψ H N (x) = 2 ψh N 1 (x) + ψn+1 H 2 (x) diag(x 1,..., x N ) [Ψ H j 1(x i )] i,j=1,...,n = [Ψ H j 1(x i )] i=1,...,n;j=1,...,n+1 T T = 1 2 0 1 1 0 2......... N 2 0 N 1 N 1 0 N 17.12.2008 19/29 Susanna Röblitz
Drei-Term-Rekursion Seien z 1,..., z N die Nullstellen von π H N. diag(z 1,..., z N )[Ψ H j 1(z i )] i,j=1,...,n = [Ψ H j 1(z i )] i,j=1,...,n FH N F F = 1... 1 HN = QΛQ, Λ = diag(z 1,..., z N ), Q ij = ΨH N i (z j) KN 1 H (z j, z j ) Eigenwerte von H N = Nullstellen des Hermite-Polynoms πh N 17.12.2008 20/29 Susanna Röblitz
Die Airy-Funktion Problem: Nullstellen sind unbeschränkt für N Airy-Funktion: Ai(x) = 1 π Nullstellen 0 > ξ 1 > ξ 2... [Szegö (1939)] 0 ( ) t 3 cos 3 + xt dt y 1 0.5 0 0.5 Ai(x) 1 15 10 5 0 5 x z N,k 2N 1 2 N 1/6 ξ k, z N,N+1 k 2N + 1 2 N 1/6 ξ k Um einen Grenzwert bilden zu können, muss man shiften und skalieren. 17.12.2008 21/29 Susanna Röblitz
Der Airy-Operator Setze h = N 1/3, H N H N = 2N 1/6 (H N 2NI N ) x k = hk (k = 1,..., N): ist Finite-Differenzen-Approximation an den Airy-Operator A = d 2 x auf [0, ), dx 2 Eigenwertzerlegung: RB: f (0) = 0, lim f (x) = 0 x A [Ai(x + ξ k )] = ξ k [Ai(x + ξ k )], 0 > ξ 1 > ξ 2 >... NST von Ai Die Eigenvektoren von H N sind diskretisierte Airy-Funktionen: H N v i = λ i v i, λ i = ξ i, v i (k) = Ai(x k + ξ i ), x k = kh (k = 1,..., N) 17.12.2008 22/29 Susanna Röblitz
Cutoff Eigenvektor zum Eigenwert λ 1 = ξ 1 2.34 v 1 (k) = Ai(x k + ξ 1 ), x k = kh (k = 1,..., N) 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 Ai(x+ξ 1 ) cutoff: Bestimme den Index k, so dass 0 0 2 4 6 8 10 x v(i) < ε i > k Ai(x i + ξ 1 ) < ε i > k wähle ε = 2 52 : hk = x k < 16 k < 16/h = 16N 1/3 17.12.2008 23/29 Susanna Röblitz
β < H β N H N + 1 2 β 2G G G 2G G......... G 2G G G 2G, β > 0 H β N = 2N 1/6 (H β N 2NI N ) ist Finite-Differenzen-Approximation an den stochastischen Airy-Operator A β = d 2 dx 2 x + 2 β dw auf [0, ), RB: f (0) = 0, lim x f (x) = 0 Behauptung: Die Verteilung des größten Eigenwertes von A β entspricht der Verteilung des größten Eigenwertes von H β N 17.12.2008 24/29 Susanna Röblitz
Numerische Verifizierung Histogramme der Wahrscheinlichkeitsdichten des skalierten größten Eigenwertes (10 5 Wiederholungen, N = 10 9 ) β=1 β=2 β=4 Wahrscheinlichkeit 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 6 4 2 0 2 4 Wahrscheinlichkeit 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 6 4 2 0 2 4 Wahrscheinlichkeit 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 6 4 2 0 2 4 17.12.2008 25/29 Susanna Röblitz
Effizienz Berechnung des größten Eigenwertes (1 Durchlauf) Laufzeit in Sekunden (1 CPU, Opteron Prozessor, 2.2 MHz) Komplexität N = 10 4 N = 10 6 N = 10 9 N = 10 12 vollbesetzt O(N 3 ) 180 (*) tridiagonal O(N) 0.01 1.1 1200 cutoff O(N 1/3 ) 0.0005 0.001 0.01 0.12 (*) out of memory 17.12.2008 26/29 Susanna Röblitz
Zusammenfassung tridiagonales Matrixmodell Verallgemeinerung des Ensembles auf β > 0 Grenzwert N nur bei geeigneter Skalierung der Matrix Finite-Differenzen-Approximation an stochastischen Operator offene Probleme analytische Resultate für das Laguerre- und Jacobi-Ensemble analytische Resultate für allgemeine β > 0 stochastische Operatoren als möglicher neuer Zugang zur Riemannschen Vermutung 17.12.2008 27/29 Susanna Röblitz
Literatur Einführung und Überblick: M. L. Mehta (2004), Random Matrices, Elsevier, Amsterdam. R. J. Muirhead (1982), Aspects of Multivariate Statistical Theory, John Wiley & Sons, New York. A. Edelmann, N.R. Rao (2005), Random matrix theory, Acta Numerica, 1 65. Stochastische Operatoren: I. Dimitriu, A. Edelmann (2002), Matrix models for beta ensembles, J. Math. Phys., 43(11), 5830 5847. B.D. Sutton (2005), The Stochastic Operator Approach to Random Matrix Theory, PhD thesis, MIT. A. Edelmann, B.D. Sutton (2007), From Random Matrices to Stochastic Operators, J. Statist. Phys., 127(6), 1121 1165. 17.12.2008 28/29 Susanna Röblitz
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! 17.12.2008 29/29 Susanna Röblitz