Zufallsmatrizen in stürmischen Zeiten
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- Catharina Voss
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1 Zufallsmatrizen in stürmischen Zeiten NEC Europe Ltd C&C Research Laboratories Sankt Augustin Gemeinsame Arbeit mit Gabriel Frahm Universität Köln, Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie Statistische Woche, Dresden, 20. September 2006
2 Gliederung 1 Motivation Risikostreuung Portfolio-Optimierung Zufällige 2 Random Matrix Theory Marčenko-Pastur-Verteilung 3 4
3 Risikostreuung bei Investitionen Risikostreuung Portfolio-Optimierung Zufällige Mit welchem Aktienportfolio kann man ruhiger schlafen? Anlagebetrag [e] Portfolio A Portfolio B Air France Air France Lufthansa Deutsche Telekom United Airlines WalMart American Airlines Microsoft All Nippon Airways Toyota Diversifikation! Investition in möglichst unterschiedliche Aktien, verschiedene Sektoren, verschiedene Regionen.
4 Risikostreuung bei Investitionen Risikostreuung Portfolio-Optimierung Zufällige Mit welchem Aktienportfolio kann man ruhiger schlafen? Anlagebetrag [e] Portfolio A Portfolio B Air France Air France Lufthansa Deutsche Telekom United Airlines WalMart American Airlines Microsoft All Nippon Airways Toyota Diversifikation! Investition in möglichst unterschiedliche Aktien, verschiedene Sektoren, verschiedene Regionen.
5 Risikostreuung bei Investitionen Risikostreuung Portfolio-Optimierung Zufällige Mit welchem Aktienportfolio kann man ruhiger schlafen? Anlagebetrag [e] Portfolio A Portfolio B Air France Air France Lufthansa Deutsche Telekom United Airlines WalMart American Airlines Microsoft All Nippon Airways Toyota Diversifikation! Investition in möglichst unterschiedliche Aktien, verschiedene Sektoren, verschiedene Regionen.
6 Risikostreuung Portfolio-Optimierung Zufällige Gleicher Sektor, gleiche Region: Lufthansa Air France
7 Risikostreuung Portfolio-Optimierung Zufällige Verschiedene Sektoren und Regionen: Lufthansa IBM
8 Risikostreuung Portfolio-Optimierung Zufällige Portfolio-Optimierung nach Markowitz Bestimmung des optimalen Gewichtsvektors w für Investition in die Einzelwerte. µ w: Erwartungswert des Portfoliogewinns Funktion des Renditevektors µ. w Σw: Portfolio-Risiko Funktion der Kovarianzmatrix Σ. Maximiere erwarteten Gewinn bei festgehaltenem Risiko. Problem: Schätzung des Renditevektors und der Kovarianzmatrix aus historischen Daten gefährlich.
9 Korreliert? Unkorreliert? Risikostreuung Portfolio-Optimierung Zufällige Erste 100 Tage für einige aus insgesamt 1000 Zeitreihen
10 Lösung: Alle unkorreliert! Risikostreuung Portfolio-Optimierung Zufällige Unkorrelierte synthetische Daten. Die gleichen Zeitreihen über 1000 Tage:
11 Probleme bei Finanzmarktdaten Risikostreuung Portfolio-Optimierung Zufällige Im allgemeinen hochdimensional. Bei d Risikofaktoren gibt es d(d 1) 2. Hohes Risiko zufälliger. Größe n der Stichprobe oft nicht viel größer als d. Asymptotische Betrachtungen können auch für große n problematisch sein! Hier: n, d, n d Q const.
12 Random Matrix Theory Marčenko-Pastur-Verteilung Was tun gegen zufällige? Theorie der Zufallsmatrizen (Random Matrix Theory). Zufällige zeigen sich in einer charakteristischen Verteilung im Eigenwertspektrum der Korrelationsmatrix. Ursprünge in der mathematischen Statistik, 1930er Jahre (Hsu, Wishart). Erste ernsthafte Anwendung der RMT: Energiespektren in der Kernphysik (Wigner, 1955). Viele weitere Anwendungen (Physik, Nachrichtentechnik, Zahlentheorie,... )
13 Random Matrix Theory Marčenko-Pastur-Verteilung Theorie der Zufallsmatrizen (Random Matrix Theory RMT) Kernphysik vs. Ökonomie Mulhall, PhD thesis Plerou et al., 2002
14 Beispiel Motivation Random Matrix Theory Marčenko-Pastur-Verteilung n = 10 Beobachtungen von d = 5 multivariat normalverteilten, unkorrelierten Risikofaktoren. Theoretische Korrelationsmatrix Stichprobenkorrelationsmatrix S S S Eigenwerte von S S S: , , , ,
15 Random Matrix Theory Marčenko-Pastur-Verteilung Eigenwertspektren von zufälligen d = 5, n = 10. λ = , , , ,
16 Random Matrix Theory Marčenko-Pastur-Verteilung Eigenwertspektren von zufälligen d = 50, n = 100.
17 Random Matrix Theory Marčenko-Pastur-Verteilung Eigenwertspektren von zufälligen d = 200, n = 400.
18 Random Matrix Theory Marčenko-Pastur-Verteilung Eigenwertspektren von zufälligen d = 500, n = 1000.
19 Satz von Marčenko & Pastur Random Matrix Theory Marčenko-Pastur-Verteilung Für d, n, aber n/d = Q = const konvergiert für normalverteilte unkorrelierte Daten die Verteilungsfunktion der Eigenwerte der Korrelationsmatrix gegen eine Funktion, die nur von Q abhängt. Die Eigenwerte liegen zwischen λ min und λ max mit λ min,max = (1 ± 1/Q) 2 mit Dichte ρ(λ) = Q (λ max λ)(λ λ min ) 2πλ. Folgerung: Eigenwerte > λ max stammen nicht aus zufälligen. Trennung von Signal und Rauschen (PCA).
20 Beispiel für Aktien aus S&P 500 Random Matrix Theory Marčenko-Pastur-Verteilung Plerou et al., 2002
21 Random Matrix Theory Marčenko-Pastur-Verteilung Zuordnung Eigenvektoren Sektoren Plerou et al., 2002
22 Probleme Motivation Renditen sind nicht normalverteilt... sind die Annahmen der RMT gerechtfertigt? Mantegna & Stanley, 1995
23 Stilisierte Fakten 1 Tagesrenditen sind nicht normalverteilt ( heavy tails /leptokurtisch). 2 Extreme Verluste treten gleichzeitig auf ( tail dependence, Bsp.: Crash). 3 (Zeitreihen zeigen oft Volatilitätscluster, Gedächtniseffekte und Sprünge.) Mit diesen Fakten vereinbares Modell in diesem Vortrag: Verallgemeinert elliptische Verteilungen.
24 Definition () Ein d-dimensionaler Zufallsvektor X wird verallgemeinert elliptisch verteilt genannt, wenn ein k-dimensionaler Zufallsvektor U (k), gleichförmig verteilt auf der Einheitssphäre, eine skalare (generierende) R die von U (k) abhängen darf und ein Vektor µ R d, und eine Matrix Λ R d k existieren, so dass gilt: X d = µ + RΛU (k). G. Frahm, dissertation, 2004.
25 Definition () Ein d-dimensionaler Zufallsvektor X wird verallgemeinert elliptisch verteilt genannt, wenn ein k-dimensionaler Zufallsvektor U (k), gleichförmig verteilt auf der Einheitssphäre, eine skalare (generierende) R die von U (k) abhängen darf und ein Vektor µ R d, und eine Matrix Λ R d k existieren, so dass gilt: X d = µ + RΛU (k). G. Frahm, dissertation, 2004.
26 Definition () Ein d-dimensionaler Zufallsvektor X wird verallgemeinert elliptisch verteilt genannt, wenn ein k-dimensionaler Zufallsvektor U (k), gleichförmig verteilt auf der Einheitssphäre, eine skalare (generierende) R die von U (k) abhängen darf und ein Vektor µ R d, und eine Matrix Λ R d k existieren, so dass gilt: X d = µ + RΛU (k). G. Frahm, dissertation, 2004.
27 Definition () Ein d-dimensionaler Zufallsvektor X wird verallgemeinert elliptisch verteilt genannt, wenn ein k-dimensionaler Zufallsvektor U (k), gleichförmig verteilt auf der Einheitssphäre, eine skalare (generierende) R die von U (k) abhängen darf und ein Vektor µ R d, und eine Matrix Λ R d k existieren, so dass gilt: X d = µ + RΛU (k). G. Frahm, dissertation, 2004.
28 Definition () Ein d-dimensionaler Zufallsvektor X wird verallgemeinert elliptisch verteilt genannt, wenn ein k-dimensionaler Zufallsvektor U (k), gleichförmig verteilt auf der Einheitssphäre, eine skalare (generierende) R die von U (k) abhängen darf und ein Vektor µ R d, und eine Matrix Λ R d k existieren, so dass gilt: X d = µ + RΛU (k). G. Frahm, dissertation, 2004.
29 Simulation einer elliptischen Verteilung
30 Simulation einer elliptischen Verteilung
31 Simulation einer elliptischen Verteilung
32 Simulation einer elliptischen Verteilung
33 Eigenschaften Sehr große Klasse, die die elliptischen Verteilungen umfasst. Insbesondere Multivariate Normalverteilungen. Multivariate t-verteilungen. Multivariate symmetrische verallgemeinert-hyperbolische Verteilungen. Für elliptische Verteilungen ist die Dispersionsmatrix Σ = ΛΛ proportional zur Kovarianzmatrix. Asymmetrien, heavy tails und tail dependence können durch geeignete generierende Verteilung beschrieben werden.
34 ? Bekannte Verallgemeinerung des Satzes von Marčenko & Pastur (Normalverteilung & unkorrelierte Komponenten): MP-Verteilung gilt auch für Zufallsvektoren mit paarweise unabhängigen Komponenten mit Mittelwert 0 und Varianz 1 (Yin, 1986). Unabhängigkeit und Unkorreliertheit sind nur für Normalverteilungen äquivalent. Unkorrelierte Komponenten sind bei elliptischen Verteilungen i.d.r. nicht unabhängig. Bsp.: gleichförmige Verteilung auf dem Einheitskreis.
35 Verifikation des Marčenko-Pastur-Gesetzes I Example Multivariate Verteilung (n = 1000, d = 500), wobei jede Vektorkomponente Standard-t-verteilt mit 5 Freiheitsgraden ist, und die Komponenten paarweise stochastisch unabhängig sind.
36 Verifikation des Marčenko-Pastur-Gesetzes I Example Multivariate Verteilung (n = 1000, d = 500), wobei jede Vektorkomponente Standard-t-verteilt mit 5 Freiheitsgraden ist, und die Komponenten paarweise stochastisch unabhängig sind. Frage Ist die Eigenwertverteilung der Stichprobenkovarianzmatrix konsistent mit der MP-Verteilung?
37 Verifikation des Marčenko-Pastur-Gesetzes I Example Multivariate Verteilung (n = 1000, d = 500), wobei jede Vektorkomponente Standard-t-verteilt mit 5 Freiheitsgraden ist, und die Komponenten paarweise stochastisch unabhängig sind. Frage Ist die Eigenwertverteilung der Stichprobenkovarianzmatrix konsistent mit der MP-Verteilung?
38 Verifikation des Marčenko-Pastur-Gesetzes I Example Multivariate Verteilung (n = 1000, d = 500), wobei jede Vektorkomponente Standard-t-verteilt mit 5 Freiheitsgraden ist, und die Komponenten paarweise stochastisch unabhängig sind. Frage Ist die Eigenwertverteilung der Stichprobenkovarianzmatrix konsistent mit der MP-Verteilung? Antwort Ja!
39 Verifikation des Marčenko-Pastur-Gesetzes II Example Elliptische Verteilung (n = 1000, d = 500) mit t-verteilter (5 Freiheitsgrade) generierender Variablen, und paarweise unkorrelierten Komponenten.
40 Verifikation des Marčenko-Pastur-Gesetzes II Example Elliptische Verteilung (n = 1000, d = 500) mit t-verteilter (5 Freiheitsgrade) generierender Variablen, und paarweise unkorrelierten Komponenten. Frage Ist die Eigenwertverteilung der Stichprobenkovarianzmatrix konsistent mit der MP-Verteilung?
41 Verifikation des Marčenko-Pastur-Gesetzes II Example Elliptische Verteilung (n = 1000, d = 500) mit t-verteilter (5 Freiheitsgrade) generierender Variablen, und paarweise unkorrelierten Komponenten. Frage Ist die Eigenwertverteilung der Stichprobenkovarianzmatrix konsistent mit der MP-Verteilung?
42 Verifikation des Marčenko-Pastur-Gesetzes II Example Elliptische Verteilung (n = 1000, d = 500) mit t-verteilter (5 Freiheitsgrade) generierender Variablen, und paarweise unkorrelierten Komponenten. Frage Ist die Eigenwertverteilung der Stichprobenkovarianzmatrix konsistent mit der MP-Verteilung? Antwort Nein!
43 Lösungsansatz für RMT bei elliptischen Verteilungen [Frahm & Jaekel, 2005, 2006] Unkorreliertheit impliziert i.a. nicht Unabhängigkeit. Ursprung des Problems: heavy tails in der generierenden Verteilung! Extremwert der radialen (generierenden) Variablen wirkt sich selbst für sphärisch verteilte (unkorrelierte) Daten auf fast alle Komponenten aus (tail dependence). Dadurch große artifizielle Beiträge extremer Ereignisse zur Stichprobenkovarianzmatrix. Lösung: Verteilungsfreie Schätzung der Kovarianzmatrix (in der Klasse der verallgemeinert elliptischen Verteilungen).
44 Elimination der generierenden Variablen Frage Wie kann man einen verteilungsfreien Schätzer für die Dispersionsmatrix Σ in der Klasse der verallgemeinert elliptischen Verteilungen gewinnen? Auf die Einheitssphäre projizierte Daten sind unabhängig von der generierenden Verteilung.
45 Elimination der generierenden Variablen Frage Wie kann man einen verteilungsfreien Schätzer für die Dispersionsmatrix Σ in der Klasse der verallgemeinert elliptischen Verteilungen gewinnen? Hinweis Sei P (R = 0) = 0, r (Λ) = d, und µ bekannt. Ein verallg. elliptisch verteilter Zufallsvektor kann per Definition geschrieben werden als X d = µ + RΛU (k). Auf die Einheitssphäre projizierte Daten sind unabhängig von der generierenden Verteilung.
46 Elimination der generierenden Variablen Frage Wie kann man einen verteilungsfreien Schätzer für die Dispersionsmatrix Σ in der Klasse der verallgemeinert elliptischen Verteilungen gewinnen? Hinweis Damit gilt: X µ d RΛU (k) a.s. = X µ 2 RΛU (k) = ± ΛU(k) 2 ΛU (k) =: ±S. 2 Auf die Einheitssphäre projizierte Daten sind unabhängig von der generierenden Verteilung.
47 Elimination der generierenden Variablen Frage Wie kann man einen verteilungsfreien Schätzer für die Dispersionsmatrix Σ in der Klasse der verallgemeinert elliptischen Verteilungen gewinnen? Hinweis Damit gilt: X µ d RΛU (k) a.s. = X µ 2 RΛU (k) = ± ΛU(k) 2 ΛU (k) =: ±S. 2 Auf die Einheitssphäre projizierte Daten sind unabhängig von der generierenden Verteilung.
48 Idee des Spektralschätzers Die Spektraldichte ψ der projizierten Zufallsvektoren ist: s ψ (s) = Γ ( ) d 2 2π d/2 det ( Σ 1) s Σ 1 s d, s 2 = 1, mit positiv definitem Σ = ΛΛ. Maximum Likelihood-Schätzer mit projizierten Daten s i (i = 1... n) führt zur Fixpunktgleichung Σ S = d n n j=1 s j Äquivalent zu Tyler s M-Schätzer. s j s j 1 Σ S s j.
49 Vergleich Stichproben- und Spektralschätzer Farbkodierte Darstellung der wahren Kovarianzmatrix (links) und der Stichprobenkovarianzmatrix (rechts) für eine multivariat t-verteilte Stichprobe (ν = 3).
50 Der Spektralschätzer bei der Arbeit Farbkodierte Darstellung der wahren Kovarianzmatrix (links) und des Spektralschätzers (rechts) für eine multivariat t-verteilte Stichprobe (ν = 3).
51 Der Spektralschätzer in der RMT Vermutung: Der Spektralschätzer führt für beliebige Verteilungen bei unkorrelierten Daten zu Eigenwertverteilung konsistent mit dem Marčenko-Pastur-Gesetz. Die Ergebnisse können für einen Spektralschätzer auf unvollständigen Daten erweitert werden.
52 RMT bei Fat tails Simulation (n = 1000, d = 500) für gemeinsam t-verteilte (ν = 5), unkorrelierte Daten: Stichproben-Kovarianzmatrix führt zu falschen Eigenwerten > MP-Limit. Stichprobenschätzer Spektralschätzer
53 Beispiel mit unvollständigen Daten Simulation (n = 100, d = 50) für gemeinsam t-verteilte (ν = 5), unkorrelierte Daten mit 20% fehlenden Daten. (Gaußscher) EM-Schätzer verallgemeinerter Spektralschätzer
54 Die Theorie der Zufallsmatrizen (RMT) wurde als Instrument zur Trennung von Signal- und Rauschanteilen in hochdimensionalen Finanzzeitreihen vorgeschlagen. Die Voraussetzungen der klassischen Theorie widersprechen den bei Finanzzeitreihen beobachteten stilisierten Fakten. Die RMT ist bei Verwendung gewisser robuster Schätzer dennoch anwendbar.
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