A6 Witr Funktionn: Bispil und Aufgabn Grundsätzlichs Währnd bishr in dn Abschnittn A bis A5 vorrangig Polynom rstn und zwitn Grads (linar bzw. quadratisch Funktionn) zurst formal und dann mit ihrn wichtign ökonomischn Anwndungn btrachtt wurdn, soll in dism Kapitl auf Polynom drittn und höhrn Grads sowi auf Exponntial- und Logarithmusfunktionn hingwisn wrdn. Bginnn wir mit Polynomn drittn Grads. Bispil dafür, wi s richtig gmacht wird Bispil 6.1: Ggbn si das Polynom drittn Grads (6.01). Gsucht sind all rlln Lösungn dr Glichung (6.0) p ( 0. und falls dri rll Lösungn gfundn wrdn di Produktdarstllung ds Polynoms. Wir suchn all x-wrt, drn Polynomwrt Null wird anschaulich bdutt das, dass wir all Stlln suchn, an dnn dr Graph ds Polynoms di waagrcht Achs schnidt. Mit andrn Wortn: Wir suchn all Nullstlln ds ggbnn Polynoms. Es kann maximal dri drartig Stlln gbn. Wi kann man si findn? Schritt 1: Ein rst Nullstll sollt durch Probirn rratn wrdn. Si findt sich oft untr dn Primfaktorn ds absolutn Glids. Unsr Polynom (6.01) hat di Zahl -10 als absoluts Glid. Dssn Primfaktorn sind di Zahln 1, -1,, -, 5 und -5. Schon dr rst Vrsuch schint zum Zil zu führn. Vrmutung: x 1!!1 ist in Nullstll. Schritt : Mit dm HORNER-Schma (sih Abschnitt 4.1. auf Sit 51 im Buch Mathmatik für BWL-Bachlor ) wird übrprüft, ob di Vrmutung zutrifft: 1 6-10 1 1 7 10 1 7 10 0 Bild 6.1: HORNER-Schma zur Übrprüfung dr Vrmutung Schritt : Hat sich wi in Bild 6.1 zu shn di Vrmutung übr di rst Nullstll bstätigt, dann könnn aus dr Fußzil ds HORNER-Schmas di Koffizintn ds Rstpolynoms zwitn Grads abglsn wrdn: (6.0) p( x + 6x + x 10 p ( 1 x + 7 x + 10
44 A6: Witr Funktionn: Bispil und Aufgabn Schritt 4: Mit dr p-q-forml wird vrsucht, zwi rll Nullstlln ds Rstpolynoms zu findn (das muss nicht immr glingn, sih Bispil.6 auf Sit ). Hir abr glingt s: (6.04) 7 7 x ± ( ) 10 x 5, x, Damit wurdn dri rll Lösungn dr Glichung (6.0) gfundn: Dr Graph ds Polynoms (6.01) schnidt bi x1!!1, x!!-!5 und x!!-! di waagrcht Achs. Also kann auch di Zusatzaufgab nach dr folgndn Rgl glöst wrdn: Sind von inm Polynom n-tn Grads p n ( gnau n rll Nullstlln x 1,, x n bkannt, dann kommt man zur Produktdarstllung diss Polynoms mit (6.05) p n( a ( x x1)( x L( x xn wobi di Zahl a gignt zu wähln ist. Dabi könnn auch glich Nullstlln auftrtn, man spricht dann von mhrfachn Nullstlln (sih Bispil.7 auf Sit, dort gab s z. B. in dopplt Nullstll). In Anwndung dr Forml (6.05) kann di Produktdarstllung diss Polynoms anggbn wrdn: ) (6.06a) p ( x + 6x + x 10 a( x 1)( x+ )( x+ 5) Für a muss hir di Eins gwählt wrdn dnn sonst würd bim Ausmultiplizirn dr dri Produkt vor x kin Eins ntsthn: (6.06b) Bmrkung: Knnt man nur inig (und nicht all) Nullstlln x 1,, x m mit m!<!n ins Polynoms p n ( mit führndm Koffizintn Eins, so lässt sich in Til-Produktdarstllung aufschribn: (6.07) p ( ( x 1)( x+ )( x+ 5) p n( ( x x1)( x x )( x xm) qn m( Dabi ist q n-m ( dann in Rstpolynom vom Grad n!-!m. Dis Bmrkung wird nützlich sin für di Lösung dr Aufgab 6.. Bispil 6.: Von inr rtragsgstzlichn Kostnfunktion lign folgnd Angabn vor: Di Fixkostn lign bi 1.000 GE. Bi inr produzirtn Mng von 100 ME lign di Gsamtkostn bi 18.000 GE. Vrdopplt man di produzirt Mng, stign di Gsamtkostn auf 104.000 GE. Ein Halbirn dr hrgstlltn Mng auf 50 ME snkt di Gsamtkostn auf 1.500 GE. Man vrsuch, in polynomial Form dr Kostnfunktion zu findn.
A6: Witr Funktionn: Bispil und Aufgabn 45 Ein rst Übrlgung: Es sind vir Bdingungn ggbn. Mit inr linarn odr quadratischn Form dr Kostnfunktion wrdn sich di vir Bdingungn nicht ralisirn lassn. Vrsuchn wir inn kubischn Ansatz: (6.08a) K ( ax + bx + cx+ d Aus dr Höh dr Fixkostn rgibt sich sofort d!!1000. Damit lautt dr Ansatz nur noch (6.08b) ax + bx + cx+ 1000 Tragn wir nun zusammn, was sich aus dn rstlichn dri Informationn übr di Zusammnhäng zwischn produzirtr Mng und dn jwilign Kostn rgibt: (6.09) x 100) 18000 x 00) 104000 104000 a 00 x 50) 1500 18000 a 100 1500 a 50 + b 100 + b 00 + b 50 + c 100+ 1000 + c 00+ 1000 + c 50 + 1000 Nach Ausmultiplizirn und Zusammnfassn rhält man in Systm von dri linarn Glichungn für dri Unbkannt: (6.10) 10000a+ 100b+ c 60 40000a + 00b+ c 460 500a+ 50b+ c 10 Diss Systm kann systmatisch mit dm GAUSSschn Algorithmus glöst wrdn (sih dazu auch dn Abschnitt A15 auf Sit 101). Wgn dr gringn Dimnsion ist auch in intuitivs Vorghn nach Schulmthodn möglich: Wird zurst di dritt Zil von dr rstn und dann di dritt Zil von dr zwitn Zil abgzogn, so ntsthn zwi Glichungn für di zwi Unbkanntn a und b. Das witr Vorghn führt dann zur Lösung (6.11) a 0,0 b c 60 Antwortsatz: Di gsucht Kostnfunktion lautt 0,0x x + 60x+ 1000. Bispil 6.: Di Produktivität [in Listungsinhitn] ins Untrnhmns, das zum Zitpunkt t!!0 ggründt wurd, lässt sich in Abhängigkit von dr Zit t [in Jahrn] bschribn durch di Funktion (6.1) 0000 P( t) 1800+ ( t 10) Folgnd Fragn sind zu bantwortn: a) Mit wlchr Produktivität startt das Untrnhmn? b) Nach wi viln Jahrn rricht s sin maximal Produktivität?
46 A6: Witr Funktionn: Bispil und Aufgabn Zu a) Für dn Start gilt t!!0. Dann rgibt sich P(t!!0)!!15. Zu b) Di Produktivität wird dann maximal sin, wnn dr Bruch sinn größtn Wrt rricht hat, also wnn dr Nnnr ds Bruchs am klinstn ist (sih dazu auch di Ausführungn übr di Größnvrhältniss von Brüchn in []!, Abschnitt. auf Sit 7). Um das zu rrichn, muss t!-!10 glich Null sin, dnn jdr andr, von Null vrschidn t-wrt vrgrößrt dn Nnnr. Für t!!10 rgibt sich P(t!!10)!16,666667. Antwortsatz: Das Untrnhmn startt mit inr Produktivität von 15 Listungsinhitn. Nach 10 Jahrn rricht s sin maximal Produktivität, si ligt bi 16 / Listungsinhitn. Exponntialfunktionn wrdn häufig vrwndt, um Wachstums- odr Schrumpfungsprozss zu charaktrisirn. Bispil 6.4: Di Nachfragmng N [in ME] nach inm Luxusgut in Abhängigkit vom Einkommn x [in 1000 ] lässt sich durch di Funktion (6.1) N( 0(1 0,x ) bschribn. Folgnd Fragn sind zu bantwortn: a) Wi ntwicklt sich di Nachfragmng, wnn das Einkommn übr all Grnzn wächst? b) Bi wlchm Einkommn ist in Nachfrag von 0 ME zu rwartn? Bginnn wir damit, dass wir fststlln, dass bi fhlndm Einkommn (d. h. x!!0) di Nachfragmng offnsichtlich vrschwindt: (6.14) Wächst das Einkommn daggn, dann folgt gmäß dn grundlgndn Eignschaftn dr Exponntialfunktion (sih z. B. [], Sit 6), dass dr Trm -0,x immr klinr Wrt annimmt. In mathmatischr Trminologi wird das bschribn durch (6.15a) Folglich konvrgirt di Funktion N( für x ggn Unndlich ggn 0: (6.15b) N(0) 0(1 0 x lim, x lim 0(1 x 0 0, x 0 ) 0(1 1) 0 ) 0 Disr Grnzwrt wird als Sättigungsmng bzichnt. Zur zwitn Frag: Um si bantwortn zu könnn, ist di Glichung (6.16) 0 0(1, 0 x ) nach x aufzulösn. Dazu ist zurst dr Exponntialtrm allin auf in Sit zu bringn: (6.17a),x 0,x 0,x 0, 0 0(1 ) 1 1 0 x 1
A6: Witr Funktionn: Bispil und Aufgabn 47 Wi bi solchn Exponntialglichungn üblich, könnn untr dr Vorausstzung, dass bid Sitn positiv sind (was hir rfüllt ist) bid Sitn logarithmirt wrdn: (6.17b) 0,x 1 0,x 1 ln ln ln1 ln ln 0,xln ln 0,x ln (wgn ln x 5,49 0, ln 1) Antwortsatz: Würd das Einkommn übr all Grnzn wachsn, dann rgäb sich dr Sättigungsbtrag von 0 ME. Für Einkommn von 549 rgibt sich in Nachfragmng von 0 ME. Bispil 6.5: Dr Output y ins Untrnhmns wird in Abhängigkit vom Input r durch di Funktion (6.18) y y( r) 0 ln(4r + 1) bschribn. Folgnd Fragn sind zu bantwortn: a) Wi hoch ist dr Output y bi inm Input von r!!10? b) Wlchr Input ist für inn Output von y!!90 notwndig? Di Bantwortung dr rstn Frag ist infach dafür ist auf dr rchtn Sit von (6.18) für r dr Wrt 10 inzustzn: (6.19) y( 10) 0 ln(4 10 + 1) 0 ln(400+ 1) 0ln401 179,8 Zur Bantwortung dr zwitn Frag ist di Glichung (6.0) 90 0 ln(4r + 1) ln(4r + 1) nach r aufzulösn. Das ist möglich, indm bid Sitn dr Glichung als Exponntn in Potnzn zur Basis gschribn wrdn: (6.1) Wgn (6.) ln(4r ln x 4r r r x + 1) rgibt sich dann: + 1 1 4 1,18 4
48 Übungsaufgabn: A6: Witr Funktionn: Bispil und Aufgabn Di Lösungn findn Si ab Sit 17 Aufgab 6.1: Ein rtragsgstzlich Produktionsfunktion bschribt dn Output x in Abhängigkit vom Input r durch (6.) für 0!!!r!!!r max. Wlchn Wrt darf r max nicht übrschritn, um noch zu sinnvolln Aussagn für dn Output zu kommn? Hinwis: Übrlgn Si, wlch Informationn Ihnn di Knntnis dr Nullstlln dr Funktion x(r) dazu lifrn könnn. Aufgab 6.: Von inm Polynom. Grads ist folgnds bkannt: x 0!!1 ist dopplt Nullstll ds Polynoms. Dr Schnittpunkt ds Graphn mit dr snkrchtn Achs ligt bi y!!6. Dr Graph vrläuft außrdm durch dn Punkt P(x!!-!1, y!!1). Wi hißt di Glichung ds Polynoms? Wo ligt di dritt Nullstll ds Polynoms? Aufgab 6.: Bstimmn Si mittls dr Nullstlln di Produktform ds Polynoms (6.4) Aufgab 6.4: Ggbn si in Exponntialfunktion mit f(0)15, f()0 und f(4)90. Zu bstimmn sind a, b und c. Für wlchn Wrt x 0 gilt f(x 0 )!!50? Aufgab 6.5: Wlch Laufzit bsitzt in Sparbrif, wnn man für 7.049,60!! bi 6% jährlichr Vrzinsung am End 10.000!! rhält? Aufgab 6.6: Di abgstzt Mng y ins Produkts kann in Abhängigkit vom Pris p durch folgnd Funktion bschribn wrdn: (6.5) a) Skizzirn Si dn Graphn dr Funktion und lsn Si ab, wlchr Pris höchstns rzilt wrdn kann. b) Wlch maximal möglich Mng y kann abgstzt wrdn? c) Das Untrnhmn konnt in Mng von y!!15 abstzn. Wlchr Pris wurd gfordrt? d) Wlch Mng kann bi inm Pris von p!!7,5 abgstzt wrdn? Aufgab 6.7: Skizzirn Si di Funktion (6.6). Ist dis Funktion sttig? Kann si in Umkhrfunktion (Invrs) bsitzn? (6.6) x x( r) 0,05r + 0,r + 7r p ( + x 5 4 x 5x 9x 18 5 0+ 100 10p y 40 p 1 x f( 9 0,0( x 0) 0 p 10 p> 10 0 x 10 x> 10 f( a+ b c x
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