Unterzug Rupert Walkner, Patrick Wörle Da vorliegende Beipiel behandelt die tatiche Bemeung und die kontruktive Durchbildung eine Unterzuge unter Berückichtigung der Regelungen gemäß ÖNORM EN 199-1-1: 009 und ÖNORM B 199-1-1: 007. Die Bemeung der zugehörigen Platte wurde im vorangegangenem Beipiel Vollplatte einachig gepannt durchgeführt. Bei der uarbeitung de Beipiel wurde großer Wert auf die Nachvollziehbarkeit in der Durchführung der Bemeungchritte gelegt, wenngleich für da Vertändni der Bemeunggleichungen auf die Literatur verwieen werden mu. Inhalt 1 ufgabentellung... Bemeunggrundlagen... 3 3 Bautoffe... 7 4 Dauerhaftigkeit... 9 5 Schnittgrößen... 11 6 Nachweie in den Grenzzutänden der Tragfähigkeit... 14 7 Nachweie in den Grenzzutänden der Gebrauchtauglichkeit... 7 8 Kontruktive Durchbildung... 41 Literaturverzeichni... 49 Normen... 49
1 ufgabentellung Zu bemeen it ein über zwei Felder durchlaufender Unterzug einer einachig gepannten Stahlbetondecke. Die Bemeung der Decke wurde im vorangegangen Beipiel durchgeführt. Der Unterzug wird auf Stahlbetontützen (30/30 cm) gelagert. Die Decke wird al Bürofläche genutzt und befindet ich im witterunggechützten Gebäudeinneren. Horizontallaten de Gebäude au Wind und Imperfektionen werden durch auteifende Bauteile aufgenommen und brauchen für die Bemeung der Decke bzw. de Unterzuge nicht berückichtigt werden. bbildung 1: Unterzug einer einachig gepannten Platte
Bemeunggrundlagen.1 Statiche Sytem Gemäß EN 199-1-1, 5.3..() darf bei durchlaufenden Platten und Balken die Ermittlung der Schnittgrößen unter der nnahme frei drehbarer uflager erfolgen. Die effektive Stützweite lät ich durch die Gleichung (5.8) der EN 199-1-1 berechnen: Dabei it: leff = ln + a1+ a (5.8) EN 199-1-1 l n a i der lichte btand zwichen den uflagerrändern 1 h (=halbe Bauteilhöhe) ai = min 1 t (=halbe uflagertiefe) Für die End- und Zwichenauflagerung ergibt ich: Endauflager min 1 h = 1 50= 5cm a1 = 1 t = 1 30 = 15 cm Zwichenauflager min 1 h = 1 50 = 5 cm a = 1 t = 1 30 = 15 cm Damit ergeben ich die Spannweiten der Felder zu 7,0 m. bbildung : tatiche Sytem
. Einwirkungen..1 Latauftellung Die Einwirkungen au Eigenlaten und Nutzlaten im Hochbau werden EN 1991-1-1 bzw. ÖNORM B 1991-1-1 entnommen. Prinzipiell it zwichen den tändigen Einwirkungen und den veränderlichen Einwirkungen (hier nur die Nutzlat) zu untercheiden. Für die Bemeung der Deckenkontruktion it die Nutzlat al freie Einwirkung in ungüntigter Stellung anzuordnen (iehe EN 1991-1-1, 6..1(1)P). Der Unterzug erhält unter Vollbelatung der beiden Felder der einachig gepannten Platte die größte Belatung. Die Einflufläche de Unterzuge kann au den uflagerreaktionen zufolge einer kontanten Streckenlat der einachig gepannten Decke betimmt werden (vgl. bbildung 7 au Beipiel: Vollplatte einachig gepannt). l E,Feld 1 l E,Feld 7,86 kn/m 6,5 m 0,9 kn = 6,5 = 3,918 m 7,86 kn/m 6,5 m 7,86 kn/m 5,0 m 1,8 kn = 5,0 = 3,368 m 7,86 kn/m 5,0 m l E = 3,918 + 3,368 = 7,86 m bbildung 3: Einflufläche de Unterzuge Die Nutzlat darf in bhängigkeit von der belateten Fläche mit dem bminderungfaktor α abgemindert werden (vgl. EN 1991-1-1, 6..1(4) und 6.3.1.(10)).
α Dabei it: 5 ψ + 0 0 = min 7 (6.1) EN 1991-1-1 1, 0 ψ 0 Kombinationbeiwert für die charakteritiche Kombination 0 =10 m² =0,7 für die Nutzungkategorie B: Bürogebäude die belatete Einzugfläche: = 7,86 7,00 = 51,00 m² Der Reduktionfaktor berechnet ich omit zu: 5 0 5 10 ψ 0 + = 0,7 + = 0,696 α = min 7 7 51 1, 0 charakteritiche Werte der tändigen Einwirkungen 0 cm Stahlbetonplatte 0, m 5 kn/m³ 7,86 m = 36,43 kn/m Fußbodenaufbau maiv 1,60 kn/m² 7,86 m = 11,66 kn/m Unterzug 0,3 m 0,3 m 5 kn/m³ =,5 kn/m g = 50,34 kn/m k charakteritiche Werte der veränderlichen Einwirkungen Nutzungkategorie B Büroräume in Bürogebäuden (ÖNORM B 1991-1-1, Tabelle 1 und Tabelle ) inkluive Zwichenwandzuchlag von 1, kn/m². 4, kn/m² 0,696 7,86 m = 1,30 kn/m q = 1,30 kn/m k Tabelle 1: charakteritiche Werte der tändigen und veränderlichen Einwirkungen
.. Einwirkungkombinationen und Teilicherheitbeiwerte Die Einwirkungkombinationen werden in EN 1990 definiert. Prinzipiell werden folgende fünf Einwirkungkombinationen unterchieden: GZT Grundkombination E = E γ G γ P γ Q γ ψ Q j 1 i> 1 d G, j k, j P k Q,1 k,1 Q, i 0, i k, i Kombination bei außergewöhnlicher Bemeungituation und Erdbeben E = E G P bzw. ψ Q j 1 i 1 d k, j k d Ed, i k, i charakteritiche Kombination E = E G P Q ψ Q j 1 i> 1 d k, j k k,1 0, i k, i GZG häufige Kombination E = E G P ψ Q ψ Q j 1 i> 1 d k, j k 1,1 k,1, i k, i quai-tändige Kombination E = E G P ψ Q j 1 i 1 d k, j k, i k, i Tabelle : mögliche Einwirkungkombinationen gemäß EN 1990 EQU Lageicherheit STR/GEO Struktur und/oder Baugrundveragen ungüntig güntig ungüntig güntig γ G γ G,up 1,10 γ G,inf 0,90 γ G,up 1,35 γ G,inf 1,00 γ Q 1,50 0 1,50 0 Tabelle 3: Teilicherheitbeiwerte für Nachweie de Gleichgewicht und de Bauteilveragen Veränderliche Einwirkung (Nutzlat) ψ 0 ψ 1 ψ Nutzungkategorie B: Bürogebäude 0,7 0,5 0,3 Tabelle 4: Kombinationbeiwerte für die Nutzlat
Für die Bemeung de Unterzuge werden in dieem Beipiel nur die Grundkombination und die quai-tändige Kombination benötigt. Da nur eine veränderliche Einwirkung wirkt, it diee automatich die führende veränderliche Einwirkung Q k1. Die Tabelle vereinfacht ich damit zu: GZT GZG Grundkombination { γ γ } { 1,35 50,34 kn/m 1,5 1,30 kn/m} = E { 67,96 kn/m 31,95 kn/m} E = E g q = E d G k Q k quai-tändige Kombination { ψ } { 50,34 kn/m 0,3 1,30 kn/m} = E { 50,34 kn/m 6,39 kn/m} E = E g q = E d k k Tabelle 5: Zuammentellung der Einwirkungkombinationen 3 Bautoffe 3.1 Beton 3.1.1 Mechaniche Kenngrößen Gewählt wird die Betonfetigkeitklae C5/30. Für diee Fetigkeitklae ergeben ich folgende Spannung- und Formänderungeigenchaften (vgl. EN 199-1-1, Tabelle 3.1 owie die Gleichungen (3.15) und (3.16)): charakteritiche Zylinderdruckfetigkeit: f ck = 5 N/mm² fck 5 Bemeungwert der Betondruckfetigkeit f cd = αcd = 1, 0 = 16, 67 N/mm² γ 1, 5 Mittelwert der Zylinderdruckfetigkeit f = f + 8 N/mm² = 33 N/mm² Mittelwert der zentrichen Zugfetigkeit fctm =,6 N/mm² ( = fct, eff ) charakteriticher 5 %-Quantilwert der zentrichen Zugfetigkeit Bemeungwert der Betonzugfetigkeit cm ck f ctk,0.05 = 1, 8 N/mm² f ctd C fctk,0.05 1, 8 = αct = 1, 0 = 1, N/mm² γ 1, 5 C Elatizitätmodul Stauchung de Beton am Beginn der Platifizierung de Parabel-Rechteck-Diagramm rechneriche Bruchtauchung de Beton bei Verwendung de Parabel-Rechteck-Diagramme E cm = 31000 N/mm² ε c =,0 ε cu = 3,5
Ordnung der Parabel n =,0 bbildung 4: Spannung-Dehnungbeziehung im GZT: Parabel-Rechteck-Diagramm 3. Betontahl Gewählt wird die Stahlgüte B550B ÖNORM B 4707 (= BSt 550 ÖNORM B 400-7) Dieer Stahl hat folgende mechaniche Eigenchaften (vgl. EN 199-1-1, nhang C): charakteriticher Wert der Streckgrenze: Bemeungwert der Streckgrenze: f = 550 N/mm² f yk yd fyk 550 = = = 478 N/mm² γ 1,15 S charakteriticher Wert der Zugfetigkeit: f = 1,08 f = 594 N/mm² tk yk Bemeungwert der Zugfetigkeit: Elatizitätmodul: charakteriticher Wert der Fliedehnung: Bemeungwert der Fliedehnung: f td ftk 594 = = = 517 N/mm² γ 1,15 S E = 00000 N/mm² fyk 550 ε yk = = =,75 E 00000 fyd 478 ε yd = = =,39 E 00000 charakteritiche Dehnung bei Höchtlat: ε uk = 50
Bemeungwert der Dehnung bei Höchtlat: ε = 0,9 ε = 0,9 50 = 45 ud uk bbildung 5: Spannung-Dehnungbeziehung im GZT für den Betontahl 4 Dauerhaftigkeit 4.1 llgemeine Dauerhafte Betonkontruktionen erfordern: entprechend der Umwelteinwirkungen, richtige Wahl der Betonorte (iehe EN 06-1 bzw. ÖNORM B 4710-1); Dichtheit und Qualität der Betondeckung Mindetdruckfetigkeitklaen; Einhaltung von Mindetdicken der Betondeckung; Bechränkung der Ribreite; Einhaltung von kontruktiven Regeln; richtige uführen und Nachbehandeln von Tragwerken au Beton (iehe EN 13670 bzw. ÖNORM B 4704 owie ÖNORM B 4710-1). 4. Umgebungeinflüe (Expoitionklaen) In Öterreich werden die Expoitionklaen gemäß ÖNORM B 4710-1 (nationale Umetzungnorm von EN 06-1) definiert. Beton in Gebäuden im Wohn- und Bürobereich werden der Klae XC1 zugeordnet. Der verwendete Beton trägt damit die Bezeichnung: C5/30/XC1()
4.3 Mindetbetonfetigkeit zur Sichertellung der Dauerhaftigkeit Die Mindetbetonfetigkeitklae it die der maßgebenden Expoitionklae zugeordnete Fetigkeitklae, welche Dichtheit und Qualität der Betondeckung im aureichenden Maß icher tellen ollte. Sie wird auch al indikative Fetigkeitklae bezeichnet und wird in Öterreich gemäß Tabelle 9 ÖNORM B 199-1-1 fetgelegt. Der Expoitionklae XC1 wird die indikative Fetigkeitklae C0/5 zugeordnet und liegt damit unter der vorhandenen Fetigkeitklae C5/30. 4.4 Betondeckung Da Nennmaß der Betondeckung etzt ich au der Mindetbetondeckung und dem Vorhaltemaß zuammen (iehe EN 199-1-1, 4.4.1). Unter Berückichtigung der Regelungen gemäß ÖNORM B 199-1-1 ergibt ich für die Längbewehrung de Unterzuge: Nennmaß der Betondeckung (Planungmaß), c nom cnom = cmin +Δ cdev = 30 mm + 5 mm =35 mm Mindetbetondeckung, c min c min c = max c min, b min, dur = 30 mm Verbundkriterium = 15 mm Dauerhaftigkeitkriterium Verbundkriterium, c min,b c min, b = φ nnahme φ = 30 mm c =30 mm min, b Maximum Dauerhaftigkeitkriterium, c min,dur 15 mm Expoitionklae nach ÖNORM B 4710-1 XC1 XC/XC3/XC4 XD1/XD XD3 c min,dur [mm] 15 5 30 40 Vorhaltemaß, Δc dev Δ c dev = 5 mm Tabelle 6: Betimmung der erforderlichen Betondeckung der Längbewehrung
Für die Bügel de Unterzuge berechnet ich die erforderliche Betondeckung zu: Nennmaß der Betondeckung (Planungmaß), c nom cnom = cmin +Δ cdev = 15 mm + 5 mm = 0 mm Mindetbetondeckung, c min c min c = max c min, b min, dur = 10 mm Verbundkriterium = 15 mm Dauerhaftigkeitkriterium Verbundkriterium, c min,b c min, b = φ nnahme φ = 10 mm c = 10 mm min, b Maximum Dauerhaftigkeitkriterium, c min,dur 15 mm Expoitionklae nach ÖNORM B 4710-1 XC1 XC/XC3/XC4 XD1/XD XD3 c min,dur [mm] 15 5 30 40 Vorhaltemaß, Δc dev Δ c dev =5 mm Tabelle 7: Betimmung der erforderlichen Betondeckung der Bügel Wird die Betondeckung de Unterzuge mit 5 mm fetgelegt, kann die erforderliche Betondeckung der Längbewehrung bei Vorhandenein von Bügeln im Durchmeer von 10 mm eingehalten werden. 5 Schnittgrößen Die Schnittgrößen werden unter den nnahmen gemäß EN 199-1-1, 5.4 ermittelt: ungeriene Querchnitte; lineare Spannung-Dehnung-Linien und Mittelwert de Elatizitätmodul, E cm
5.1 Mitwirkende Plattenbreiten Da e ich um ein einfach tatich unbetimmte Sytem handelt, hat die Steifigkeitverteilung entlang de Bauteil einen Einflu auf die Verteilung der Schnittgrößen. Die Steifigkeit de Unterzuge wird wiederum weentlich von der mitwirkende Plattenbreite betimmt, die ich entlang einer Länge ändert. So it diee im Feldbereich weentlich größer al im Stützbereich. Die mitwirkende Plattenbreite berechnet ich gemäß EN 199-1-1, 5.3..1 au der Gleichung: Dabei it eff eff, i w i = 1 b = b + b b (5.7) EN 199-1-1 b 0, bi + 0,1 l = min 0, l bi eff, i 0 0 b i die tatächlich vorhandene eitliche Gurtbreite 65 cm b1 = = 31,5 cm 475 cm b = = 37,5 cm l 0 btand der Momentennullpunkte (=wirkame Stützweite) Feldbereich: l = 0,85 l = 0,85 700 cm = 595 cm 0 Stützbereich: l = 0,3 l = 0,3 700 cm = 10 cm Für den Feldbereich ergibt ich: 0 b eff 0, 31,5 + 0,1 595 = 1 0, 37,5 + 0,1 595 = 107 = min 0, 595 = 119 + min 0, 595 = 119 + 30 = 56 cm 31,5 37,5 und für den Stützbereich berechnet ich die mitwirkende Plattenbreite zu: b eff 0, 31,5 + 0,1 10 = 83,5 0, 37,5 + 0,1 10 = 68,5 = min 0, 10 = 4 + min 0, 10 = 4 + 30 = 114 cm 31,5 37,5 Für die Ermittlung der Schnittgrößen darf jedoch die Breite de Felde über die geamte Stützweite al kontant angenommen werden (EN 199-1-1, 5.3..1(4)). Die Schnittgrößen de Unterzuge werden damit für einen Zweifeldträger mit kontanter Biegeteifigkeit berechnet.
5. Ergebnie der Schnittgrößenberechnung bbildung 6: Schnittgrößen der Grundkombination bbildung 7: Schnittgrößen der quai-tändigen Kombination
6 Nachweie in den Grenzzutänden der Tragfähigkeit 6.1 Bemeung für Biegung Für die Biegebemeung ind die nnahmen gemäß EN 199-1-1, 6.1 zu treffen. Bezüglich der Spannung-Dehnung-Beziehung de Betontahl kann entweder von einer Stahlverfetigung mit Begrenzung der Stahldehnung oder einem horizontalen Fließplateau ohne Dehnungbegrenzung augegangen werden. Da die Berückichtigung der Stahlverfetigung nur eine geringe Erparni de erforderlichen Stahlquerchnitte liefert wird für diee Beipiel von einem horizontalen Fließplateau augegangen ( Variante in bbildung 5). 6.1.1 Biegebemeung de Stützquerchnitte l Bemeungmoment wird da Moment am Rand de Unterzuge herangezogen, da der Unterzug monolithich mit der Stütze verbunden it und ich die Längdruckpannungen in die Stütze aubreiten können (iehe dazu EN 199-1-1, 5.3.., (3)). Dabei darf da Bemeungmoment nicht kleiner al 65% de Volleinpannmomente ein. M M Ed Ed ( 0,15 m) = 611,95 knm + 437,1 kn 0,15 m 99,91 kn/m = -547,5 knm 6,7 0,65 99,91 = 364,4 knm (65% de Volleinpannmomente) 8 bbildung 8: Stützquerchnitt Für die Betimmung der Nutzhöhe d wird von einem Durchmeer der Bewehrung von 0 mm augegangen. Damit ergibt ich: φ cm d1 = cnom + φplatte + = cm + 1 cm + = 4 cm d = h d1 = 50 4 = 46 cm
Da Bemeungmoment beträgt: M Ed = 547,5 knm Da keine Normalkraft wirkt, it da Moment auf Höhe der Bewehrung, M Ed,, gleich dem Bemeungmoment M Ed. Die Druckzone befindet ich beim Stützquerchnitt unten, damit hat ie die Breite de Unterzuge von 30 cm. MEd = MEd NEd z1 = 547,5 knm MEd 54750 kncm μed = = = 0,5175 b d fcd 30 cm ( 46 cm) 1,667 kn/cm² > μrd,lim = 0,36 Die Bewehrung kommt nicht in Fließen! Da die Biegezugbewehrung nicht in Fließen gerät, wird eine Druckbewehrung eingelegt. Dazu wird die Dehnungebene bei ε 1 =ε yd und ε c =ε cu fetgehalten und da aufnehmbare Moment M Ed,lim betimmt. M b d f Ed,lim = μed,lim cd = 0,36 30 46 1,667 = kncm = 383,1 knm Die Druckzonenhöhe und der innere Hebelarm ergeben ich für diee Dehnungebene zu: εcu 3,5 ξlim = = = 0,594 xlim = ξlim d = 0,594 46 = 7,33 cm εcu + εyd 3,5 +,39 ζ = 1 k ξ = 1 0,416 0,594 = 0,753 z = ζ d = 0,753 46 = 34,63 cm lim a lim lim lim Da zuätzlich zu M Ed,lim aufzunehmende Moment beträgt: Δ MEd = MEd MEd,lim = 547,5 knm 383,1 knm = 164,4 knm Diee Differenzmoment it durch eine Druckbewehrung und eine zuätzliche Biegezugbewehrung abzutragen. Der Hebelarm de Kräftepaar ergibt ich zu d d. Die Größe von d wird unter der nnahmen einer Druckbewehrung vom Durchmeer 6 mm abgechätzt. d =,5 cm + 1 cm + 0,5,6 cm = 4,8 cm Die geamte erforderliche Bewehrungfläche der Biegezugzone berechnet ich zu: 1 ΔM Ed 1, erf= R fcd lim d b NEd f α ξ + + yd d d 1 16440 kncm = 0,810 1,667 kn/cm² 0,594 46 cm 30 cm + 47,8 kn/cm² 46 4,8 = 31,47 cm² Eine mögliche Wahl der Bewehrung wäre: = 11 0 = 34,56 cm² = 31,47 cm² 1, gew 1, erf
Die Stahlpannung in der Biegedruckbewehrung ergibt ich zu: ε = ε d = 4,8 = ε = = f = 478 N/mm² cu 1 3,5 1,89 yd,39 Fließen! ξlim d 7,33 d yd l Druckbewehrung ergibt ich eine erforderliche Bewehrungfläche von:, erf ΔMEd 16440 kncm = = = 8,35 cm² ( d d ) 47,8 kn/cm² ( 46 cm 4,8 cm) d Diee kann beipielweie durch = 6 = 10,6 cm² = 8,34 cm², gew, erf ichergetellt werden. bbildung 9: Wahl der Bewehrung de Stützquerchnitte Mindet- und Höchtbewehrung: Die Querchnittfläche der Längzugbewehrung hat nicht geringer al,min zu ein (iehe EN 199-1-1, Gl. (9.1N)):,min fctm,6 0,6 bt d = 0,6 114 46 = 6,45 cm² = max fyk 550 0,0013 bt d = 0,0013 114 46 = 6,8 cm²
Bei hoch bewehrten Biegequerchnitten darf weder die Zug- noch die Druckbewehrung, außerhalb von Bewehrungtößen, den Wert von ( ),max = 0,04 c = 0,04 114 0 + 30 30 = 17, cm² überchreiten. Kontrolle der Stababtände: Der lichte btand zwichen parallelen Einzeltäben darf einen Mindetwert nicht unterchreiten. Für die Definition diee Werte iehe EN 199-1-1, 8.() unter Berückichtigung der Regelungen gemäß ÖNORM B 199-1-1. Hier ergibt ich für die Biegezugbewehrung: 1, 4 φ = 1, 4 0 = 8 mm an = 100 0 = 80 mm max dg + k = + 0 = mm wird erfüllt! 0 mm Und für die Biegedruckbewehrung: 1, 4 φ = 1, 4 6 = 36,4 mm an = 300 ( 5 + 10 + 6) = 178 mm max dg + k = + 0 = mm 0 mm wird erfüllt! 6.1. Biegebemeung de Feldquerchnitte Der Durchmeer der Biegezugbewehrung wird mit 6 mm angenommen. Damit ergibt ich die Nutzhöhe zu: φ,6 cm d1 = c nom + φ Bügel + =,5 cm + 1 cm + = 4,8 cm d = h d = 50 4,8 = 45, cm 1 bbildung 10: Feldquerchnitt
M = M N z = 381,9 knm μ Ed Ed Ed 1 Ed MEd 38190 kncm = = = 0,0438 μ Rd,lim = 0,36 b d fcd 56 cm 45, cm 1,667 kn/cm² ( Ed ) ( ) ( ) Die Bewehrung kommt in Fließen! 1 ka 0,416 ζ = 1+ 1 χ μ mit χ = 4 = 4 =,055 α 0,810 1 ζ = 1 + 1,055 0,0438 = 0,977 z = ζ d = 0,977 45, = 44,16 cm 1 ζ 1 0,977 ξ = = = 0,055 x = ξ d = 0,055 45, =,50 cm k 0, 416 a ε cu 3,5 ε1 = εcu = 3,5 = 59,68 εyd =,39 ξ 0,055 R 1, erf = MEd NEd 38190 kncm ζ d f + f = 0,977 45, cm 47,8 kn/cm² = 18,08 cm²/m yd yd Mögliche Wahl der Bewehrung: = 4 6 = 1,4 cm² = 18,08 cm² 1, gew 1, erf bbildung 11: Wahl der Bewehrung de Feldquerchnitte
Mindetbewehrung:,min fctm,6 0,6 bt d = 0,6 30 45, = 1,67 cm² = max fyk 550 0,0013 bt d = 0,0013 30 45, = 1,76 cm² Kontrolle der Stababtände: 1, 4 φ = 1, 4 6 = 36,4 mm ( 300 ( 5 + 10) 4 6) an = = 4 mm max dg + k = + 0 = mm 3 0 mm wird erfüllt! 6. Bemeung für Querkraft 6..1 Querkraftnachwei de Stege Der Nachwei der Betondrucktrebe wird direkt am Rand de uflager geführt, während die erforderliche Schrägzugbewehrung, bei direkter Lagerung, im btand d vom Lagerrand ermittelt werden darf (EN 199-1-1, 6..1, (8)). bbildung 1: Bemeungwerte der einwirkenden Querkraft und Nachweitellen
6..1.1 Nachwei der Betondrucktrebe Der Bemeungwert de Querkraftwidertande, der durch die Drucktrebenfetigkeit begrenzt it, berechnet ich für vertikale Bügel gemäß EN 199-1-1, 6..3 (3) au folgender Gleichung: V Rd,max α b z ν f = cotθ + tanθ cw w 1 cd (6.9) EN 199-1-1 Darin bedeutet: α cw ein Beiwert zur Berückichtigung de Spannungzutande im Druckgurt; =1,0 für nicht vorgepannte Tragwerke b w die kleinte Querchnittbreite zwichen Zug- und Druckgurt; =30 cm z ν 1 der innere Hebelarm. Dieer dürfte mit 0,9 d abgechätzt werden. m Rand der Mitteltütze beträgt der Hebelarm jedoch nur 0,753 d. ein fetigkeitmindernder Faktor der Betondrucktrebe; f ck 5 ν1 = ν = 0,6 1 = 0,6 1 = 0,540 50 50 θ Neigung der Betondrucktrebe. Gemäß ÖNORM B 199-1-1 darf tanθ zwichen 0,6 und 1,0 angenommen werden. Der maßgebende Nachwei findet am Zwichenauflager tatt: V α b z ν f 1,0 30 34,63 0,54 1,667 = = = 41,6 kn < VEd = 4,1 kn cotθ + tanθ 0,6 + 0,6 Nachwei it nicht erfüllt! cw w 1 cd Rd,max 1 Da mit einem Drucktrebenneigungwinkel von tanθ = 0,6 der Querkraftwidertand zu gering it, wird der Neigungwinkel etwa erhöht. Mit tanθ = 0,65 ergibt ich: V α b z ν f 1,0 30 34,63 0,54 1,667 = = = 47,3 kn VEd = 4,1 kn cotθ + tanθ 0,65 + 0,65 Nachwei it erfüllt! cw w 1 cd Rd,max 1
6..1. Erforderliche Querkraftbewehrung l Querkraftbewehrung werden vertikale Bügel gewählt. Der Bemeungwert der durch die Fließgrenze der Querkraftbewehrung begrenzte Querkraftwidertand berechnet ich au der Gleichung: V w, = z fywd cotθ (6.8) EN 199-1-1 Rd Für eine gegebene Querkraft von V Ed =376, kn ergibt ich darau die erforderliche Querkraftbewehrung zu: a w, erf w VEd 376, kn cm = = tanθ = 0,65 100 = 14,77 cm²/m z f 34,63 cm 47,8 kn/cm² m ywd Die lät ich durch Bügel vom Durchmeer 10 mm in einem btand von 10 cm ichertellen. a = Bü 10 /10 cm = 15,71 cm²/m a = 14,77 cm²/m w, vorh w, erf Die Mindetquerkraftbewehrung und der maximale Bügelabtand betragen (iehe ÖNORM B 199-1-1, 4.9): a w,min l,max fctm,6 cm = 0,15 bw in( α ) = 0,15 30 1 100 =,45 cm²/m f 478 m ywd ( α ) ( ) 0,75 d 1+ cot = 0,75 46 cm 1+ 0 = 34,5 cm = min 5 cm Für vorgegebene Querkraftbewehrungquerchnitte errechnet ich V Rd, zu: a w, vorh VRd, ( z = 34,63 cm; tanθ = 0,65) Bü 10 /10 = 15,71 cm²/m 400, kn Bü 10 /15 = 10,47 cm²/m 66,8 kn Bü 10 / 0 = 7,85 cm²/m 00,1 kn Bü 10 / 5 = 6,8 cm²/m 160,1 kn Tabelle 8: Querkraftwidertände für vorgegebene Bewehrungquerchnitte Im Bereich de Endauflager kann der innere Hebelarm de Felde von z=44,16 cm herangezogen werden. Darüber hinau wird hier der Querkraftwidertand der Beton-
drucktrebe auch für eine Neigung von tanθ =0,6 erfüllt. Mit Bü 10/5 cm lät ich hier ein Querkraftwidertand von V θ erreichen und it damit aureichend. w 1 Rd, = z fywd cot = 0,068 cm²/cm 44,16 cm 47,8 kn/cm² 0,6 = 1 kn Eine mögliche btufung der Bügelabtände wird in folgender bbildung dargetellt. uf ein Einchneiden der Querkraftlinie wie unter EN 199-1-1, 6..3(5) bechrieben wird verzichtet. bbildung 13: mögliche btufung der Bügelabtände 6.. Schubfeter Gurtcheibenanchlu 6...1 nchlu de Druckgurte Der Längchub v Ed wird über die Längkraftdifferenz im unteruchten Teil de Gurte betimmt. Dabei it die Stababchnittlänge Δx auf den halben btand zwichen Momentennullpunkt und Momentenmaximum zu bechränken (iehe EN 199-1-1, 6..4(3)). Da ich die Gurtkraft bzw. da Biegemoment im erten bchnitt, affin zur Querkraftlinie, tärker ändert al im zweiten bchnitt, wird der Gurtcheibenanchlu für den erten bchnitt Δx nachgewieen. Die Größe von Δx ergibt ich zu 138 cm.
bbildung 14: Maßgebender Längenabchnitt für den Druckgurt Bei der Berechnung der Längkraftdifferenz ΔF d it zu beachten, da die mitwirkende Plattenbreit für da Feld nicht ymmetrich liegt (vgl. bbildung 10). ΔM b Ed eff,1 8600 kncm 119 cm Δ Fd = = = 301 kn z b 44,16 cm 56 cm eff Der Längchub berechnet ich zu: v Ed ΔFd 301 kn = = = 0,109 kn/cm² = 1,09 N/mm² Δx h 138 cm 0 cm f Nachwei der Betondrucktrebe: Für den Nachwei der Tragfähigkeit der Betondrucktrebe wird wiederum der Winkel der Betondrucktrebe möglicht flach gewählt. Bei Druckgurten beträgt der Mindetwert von tanθ f, 0,5 (iehe EN 199-1-1,6..4(4)). Der Längchub mu folgende Bedingung einhalten: ved tanθf 0,8 ν fcd inθf coθf = ν fcd = 0,54 16,67 N/mm² 1+ tan² θf 1+ 0,5 1,09 N/mm² 3,60 N/mm² Der Nachwei der Betondrucktrebe it damit erfüllt. Erforderliche Bewehrung für den Gurtcheibenanchlu: Da ved > 0, 4 fctd 1, 09 N/mm² > 0, 4 1, 0 N/mm² = 0, 48 N/mm² it eine Bewehrung für den chubfeten Gurtanchlu einzulegen. Die für den chubfeten Gurtanchlu erforderliche Querbewehrung, f / f, berechnet ich au:
a f f ved hf tanθf 0,109 kn/cm² 0 cm 0,5 = = 100 cm/m =,8 cm²/m f 47,8 kn/cm² f yd Da eine kombinierte Beanpruchung au Schubkräften zwichen Gurt und Steg und Querbiegung vorliegt, it die Interaktionregel gemäß EN 199-1-1, 6..4(5) anzuwenden. u dem Beipiel Vollplatte einachig gepannt ergibt ich eine erforderliche Biegebewehrung der Platte im Stützbereich von a M =7,47 cm²/m. bbildung 15: erforderliche Bewehrung au Gurtanchlu und Querbiegung a erf, af =,8 cm²/m = max 0,5 af + a, M = 1,14 cm²/m + 7,47 cm²/m = 8,61 cm²/m Da bei der Platte al Stützbewehrung 7,85 cm²/m gewählt wurden und vom Feld 3,57 cm²/m bi zum Unterzug geführt und dort verankert werden, braucht keine zuätzliche Bewehrung eingelegt werden.
6... nchlu de Zuggurte bbildung 16: Maßgebender Längenabchnitt für den Zuggurt Die Längkraftdifferenz ΔF d lät ich über die vom Steg augelagerte Bewehrung berechnen (vgl bbildung 9). ΔMEd f 3440 kncm 4 Δ Fd = = = 361,4 kn z 34,63 cm 11 tot, Der Längchub berechnet ich zu: v Ed ΔFd 361,4 kn = = = 0,07 kn/cm² =,07 N/mm² Δx h 87,5 cm 0 cm f Nachwei der Betondrucktrebe: Für den Nachwei der Tragfähigkeit der Betondrucktrebe wird wiederum der Winkel der Betondrucktrebe möglicht flach gewählt. Bei Zuggurten beträgt der Mindetwert von tanθ f, 0,8 (iehe EN 199-1-1,6..4(4)). Der Längchub mu folgende Bedingung einhalten: ved tanθf 0,8 ν fcd inθf coθf = ν fcd = 0,54 16,67 N/mm² 1+ tan² θf 1+ 0,8,07 N/mm² 4,39 N/mm² Der Nachwei der Betondrucktrebe it damit erfüllt. Erforderliche Bewehrung für den Gurtcheibenanchlu: Da ved > 0, 4 fctd,07 N/mm² > 0,4 1,0 N/mm² = 0,48 N/mm² it eine Bewehrung für den chubfeten Gurtanchlu einzulegen.
Die für den chubfeten Gurtanchlu erforderliche Querbewehrung, f / f, berechnet ich au: a f f ved hf tanθf 0,07 kn/cm² 0 cm 0,8 = = 100 cm/m =6,91 cm²/m f 47,8 kn/cm² f yd uch hier it wiederum die Interaktion au Schubbeanpruchung und Querbiegung durchzuführen (iehe EN 199-1-1, 6..4(5)). bbildung 17: erforderliche Bewehrung au Gurtanchlu und Querbiegung a erf, af = 6,91 cm²/m = max 0,5 af + a, M = 3,46 cm²/m + 7,47 cm²/m = 10,93 cm²/m Da bei der Platte al Stützbewehrung 7,85 cm²/m gewählt wurden und vom Feld 3,57 cm²/m bi zum Unterzug geführt und dort verankert werden, braucht keine zuätzliche Bewehrung eingelegt werden.
7 Nachweie in den Grenzzutänden der Gebrauchtauglichkeit 7.1 llgemeine Die Nachweie in den Grenzzutänden der Gebrauchtauglichkeit umfaen im üblichen Hochbau (iehe EN 199-1-1, 7.1): Begrenzung der Spannungen Begrenzung der Ribreiten Begrenzung der Verformungen 7. Begrenzung der Spannungen Um die Gebrauchtauglichkeit icherzutellen dürfen die Betondruckpannungen und die Stahlzugpannungen unter Gebrauchlat verchiedene Grenzwerte nicht überchreiten (iehe EN 199-1-1, 7.). Genauer it für dieen Plattenbalken zu überprüfen: ob die Druckpannungen de Beton unter der quai-tändigen Belatung unterhalb de Werte von 0,45 f ck liegen. Überchreiten ie dieen Grenzwert it mit nichtlinearem Kriechen und damit ehr großen Langzeitverformungen zu rechnen. da die Stahlpannungen unter der charakteritichen Einwirkungkombination nicht in Fließen kommen und damit unterhalb von f yk bleiben (die gilt für direkte Einwirkungen). Da e ich um einen chlaff bewehrten Plattenbalken de üblichen Hochbaue handelt und darüber hinau die Schnittgrößen linear elatich ohne Umlagerung ermittelt wurden, wird der Nachwei der Begrenzung der Spannungen nicht maßgebend werden und dehalb wird auf dieen Nachwei verzichtet. 7.3 Begrenzung der Ribreiten 7.3.1 llgemeine Die Ribreiten ind o zu begrenzen, da die ordnunggemäße Nutzung de Tragwerke owie ein Ercheinungbild und die Dauerhaftigkeit nicht beeinträchtigt werden (EN 199-1-1, 7.3.1(1)P). Die zuläigen charakteritichen Ribreiten, w k, werden in bhängigkeit der Expoitionklaen angegeben (iehe ÖNORM B 199-1-1, Tabelle 4). Für Bauteile au Stahlbeton, die der Expoitionklae XC1 augeetzt ind, it die Ribreite unter der quai-tändigen Einwirkungkombination auf w k = 0,4 mm zu begrenzen (die dient im Weentlichen der Wahrung de Ercheinungbilde, da unter dieer Expoitionklae die Ribreite keinen negativen Einflu auf die Dauerhaftigkeit hat). Der Nachwei der Begrenzung der Ribreite kann über die direkte Berechnung der Ribreite oder indirekt über die Begrenzung der Stabdurchmeer oder die Begrenzung
der Stababtände geführt werden. Darüber hinau it da Vorhandenein einer Mindetbewehrung zur Ribreitenbegrenzung nachzuweien. 7.3. Mindetbewehrung zur Begrenzung der Ribreite It eine Ribreitenbechränkung gefordert, mu laut EN 199-1-1, 7.3. in Bereichen, in denen Zug erwartet wird, eine Mindetmenge an Bewehrung eingelegt werden. Die Mindetbewehrung reultiert dabei au dem Gleichgewicht der Zugkraft vor dem nri im Beton und der Zugkraft nach dem nri in der Bewehrung. Die tatächliche Lateinwirkung hat dabei keinen Einflu auf die Mindetbewehrungmenge, da ich die aufzunehmenden Kräfte rein au den Zugpannungen im Beton unmittelbar vor der Riaubildung ergeben. ufgrund der unterchiedlichen Druckzonenabmeungen de Plattenbalken im Stütz und Feldbereich, mu der Nachwei der Mindetbewehrung zur Begrenzung der Ribreite owohl im Feld- al auch im Stützbereich geführt werden. 7.3..1 Stützbereich Laut EN 199-1-1, 7.3. mu die Mindetbewehrung zur Bechränkung der Ribreite bei Plattenbalkenquerchnitten für die einzelnen Teilquerchnitte nachgewieen werden (vgl. bbildung 18). Diee Forderung reultiert au der Überlegung, da e bei tark gegliederten Querchnitten, beipielweie bei Plattenbalken, durch die gegeneitigen Dehnungbehinderungen der einzelnen Querchnittteile, zu einer vermehrten Ribildung im Bereich der chwächeren Teilquerchnitte kommen kann (z.b. zufolge unterchiedlicher Schwinddehnungen). bbildung 18: Spannungverteilung der Teilquerchnitte im Zutand de Ertrie 7.3..1.1 Teilquerchnitt 1: Die Mindetbewehrung zur Begrenzung der Ribreite it nach EN 199-1-1, 7.3. au folgender Gleichung zu ermitteln:
k k f Darin bedeutet: k k f c ct, eff ct,min = c ct, eff ct,min = (7.1) EN 199-1-1 Die Fläche der Betonzugzone (iehe bbildung 18) ct = 17,1 30 = 513 cm c k1 ct Mittlere Betondruckpannung, die auf den unteruchten Teil de Querchnitt einwirkt (iehe bbildung 18) = 1,0 N/mm² c Beiwert zur Berückichtigung der uwirkungen der Normalkräfte auf die Spannungverteilung. Bei Druckbeanpruchung gilt: k 1 = 1,5 h k c h = h = 50 cm für h < 1,0 m Beiwert zur Berückichtigung de Spannungzutande. Bei Rechteckquerchnitten und Stegen von Hohlkaten- oder T- Querchnitten ergibt ich k c zu: 1, c kc = 0, 4 1 = 0, 4 1 = 0,77 1 h 1, 5 () 1, 6 k1 f ct, eff h k fct, eff Beiwert zur Berückichtigung von nichtlinear verteilten Eigenpannungen. Da angenommen wird, da ich der Ertri unter äußerem Zwang aubildet, wird k hier mit 1,0 angeetzt. Mittelwert der wirkamen Zugfetigkeit de Beton: f, = f =,6 N/mm ct eff ctm zuläige Spannung im Betontahl unmittelbar nach Ribildung. Die Mindetmenge an riverteilender Bewehrung it abhängig von der zuläigen Spannung im Betontahl unmittelbar nach Ribildung. Diee darf im llgemeinen mit f yk angenommen werden. Wird jedoch eine Ribreitenbechränkung gefordert (für dieen Plattenbalken 0,4 mm), it eine niedrigere Spannung für anzunehmen. Zur Betimmung dieer Spannung kann die Tabelle 5 ÖNORM B 199-1-1 herangezogen werden. Diee Tabellenwerte beruhen jedoch auf einer Betonzugfetigkeit von f ct,eff =,9 N/mm² und ind omit für die verwendete Betonklae zu modifizieren. Die gechieht einfach durch die Multiplikation de Tabellenwerte mit dem Faktor f ct,eff /,9. Im llgemeinen it e jedoch chneller und einfacher direkt in die Beziehung einzuetzen mit welcher die Tabellenwerte berechnet wurden:
S Tabellenwert 6 w, 6 k E,9 N/mm² 6 wk E,9 fct eff wk E fct, eff φ S,9 φ = = = Umformen nach führt zu: 6 w E f 6 0,4 00000,6 = = = 50 N/mm φ 0 k ct, eff It die zuläige Stahlpannung bekannt, die bei gegebenem Stabdurchmeer die Ribreite eine Ertrie bechränkt, kann die Mindetbewehrungmenge ermittelt werden: k k f 0,77 1,0,6 513 = = = 1, 48 cm = 3 0 = 9, 43 cm c ct, eff ct,min vorh, 50 Die vorhandene Bewehrung au dem Grenzzutand der Tragfähigkeit liegt über der Mindetbewehrung zur Begrenzung der Ribreite. Damit braucht keine zuätzliche Bewehrung zur Begrenzung der Ribreite angeordnet werden. 7.3..1. Teilquerchnitt : uch hier berechnet ich die Mindetbewehrung zur Begrenzung der Ribreite au der Gleichung: Mit: k k f k k f c ct, eff ct,min = c ct, eff ct,min = (7.1) EN 199-1-1 die Fläche der Betonzugzone (iehe bbildung 18) ct = 17,1 4 = 1436,4 cm ct F der bolutwert der Zugkraft im Gurt unmittelbar vor Ribildung infolge cr de Rimoment, welche mit f ct,eff berechnet wird Fcr = ct fctm 0,5 = 1436, 4 0,6 0,5 = 186,7 kn k c Beiwert zur Berückichtigung de Spannungzutande. Bei Gurten von Hohlkaten- oder T-Querchnitten ergibt ich k c zu: Fcr 186,7 0,9 = 0,9 = 0, 45 k max ct fct, eff 1436,4 0,6 c = = 0,5 0,5 k Beiwert zur Berückichtigung von Eigenpannungen. k = 1, 0 fct, eff Mittelwert der wirkamen Zugfetigkeit de Beton: f, = f =, 6 N/mm ct eff ctm zuläige Spannung im Betontahl unmittelbar nach Ribildung.
6 w E f 6 0,4 00000,6 = = = 50 N/mm φ 0 k ct, eff k k f 0,5 1 0,6 1436,4 = = = 7, 47 cm = 8 0 = 5,14 cm c ct, eff ct,min vorh, 5 Die vorhandene Bewehrung au dem Grenzzutand der Tragfähigkeit liegt über der Mindetbewehrung zur Begrenzung der Ribreite. Damit braucht keine zuätzliche Bewehrung zur Begrenzung der Ribreite angeordnet werden. 7.3.. Feldbereich Im Feldbereich it der erte Ri an der Untereite de Unterzuge zu erwarten. Die Spannungverteilung unmittelbar bevor ich dieer aubildet, kann folgender bbildung entnommen werden: bbildung 19: Spannungverteilung im Zutand de Ertrie Mit:,min k k f = c ct, eff ct die Fläche der Betonzugzone (iehe bbildung 18) ct = 50 13,7 30 = 1089 cm c h ct ( ) mittlere Betondruckpannung, die auf den unteruchten Teil de Querchnitt einwirkt (iehe bbildung 18) = 0,79 N/mm² c h = h = 50 cm für h < 1,0 m k1 Beiwert zur Berückichtigung der uwirkungen der Normalkräfte auf die Spannungverteilung. Bei Zugbeanpruchung gilt:
k c h k1 = = 0,67 3 h Beiwert zur Berückichtigung de Spannungzutande. Bei Rechteckquerchnitten und Stegen von Hohlkaten- oder T- Querchnitten ergibt ich k c zu: 0,79 c kc = 0, 4 1 = 0, 4 1 + = 0,58 1 h 0,67 () 1,6 k1 f ct, eff h k fct, eff Beiwert zur Berückichtigung von nichtlinear verteilten Eigenpannungen. Da angenommen wird, da ich der Ertri unter äußerem Zwang aubildet, wird k hier mit 1,0 angeetzt. Mittelwert der wirkamen Zugfetigkeit de Beton: f, = f =, 6 N/mm ct eff ctm zuläige Spannung im Betontahl unmittelbar nach Ribildung. 6 wk E fct, eff 6 0,4 00000,6 = = = 19,1 N/mm φ 6 k k f 0,58 1,0,6 1098 = = = 7,58 cm = 4 6 = 1,4 cm c ct, eff ct,min vorh, 19,1 Die vorhandene Bewehrung au dem Grenzzutand der Tragfähigkeit liegt über der Mindetbewehrung zur Begrenzung der Ribreite. Damit braucht keine zuätzliche Bewehrung zur Begrenzung der Ribreite angeordnet werden. 7.3.3 Ermittlung der Stahlpannung im gerienen Querchnitt Um den Nachwei der Ribreite durchführen zu können, benötigt man die Stahlpannung im Riquerchnitt (=Zutand II). Für diee Bauteil it die Ribreite für die quaitändige Kombination zu begrenzen, daher werden auch die Stahlpannungen für diee Einwirkungkombination berechnet. Sofern ich die Breite der Druckzone im Zutand II über die Höhe nicht ändert, können die Beziehungen de Rechteckquerchnitte herangezogen werden. Dabei wird die uwirkung der Bewehrung in der Druckzone vernachläigt.
α 1 b d E 00000 xii = 1+ 1+ mit α = = = 6,45 b α 1 Ecm 31000 xii zii = d 3 M 1,II = z II 1 bbildung 0: einfach bewehrter Rechteckquerchnitt im Zutand II Feldbereich Stützbereich M qp 195,5 knm -347,5 knm b 56 cm 30 cm h 50 cm 50 cm d 1 4,8 cm 4 cm 1,vorh 1,4 cm² 34,56 cm² x II 6,4 cm 19,8 cm z II 43,0 cm 39,4 cm 1,II 13,7 N/mm² 55,1 N/mm² Tabelle 9: Ermittlung der Stahlpannungen im Zutand II Für eine chnelle bchätzung der Spannung im Zutand II kann folgende Beziehung hilfreich ein: M qp = fyd MEd erf,, vorh
Feldbereich Stützbereich M Ed 381,9 knm -611,95 knm 1,erf 18,08 cm² 31,47 cm² 1,vorh 1,4 cm² 34,56 cm² d = f yd 478 N/mm² 478 N/mm² M qp /M Ed 0,51 0,568 1,erf / 1,vorh 0,851 0,911 M = qp erf, f yd M Ed 08,3 N/mm² 47, N/mm², vorh Tabelle 10: bchätzung der Stahlpannungen im Zutand II 7.3.4 Nachwei der Ribreite über die Begrenzung de Stabdurchmeer Eine mögliche rt den Nachwei der Einhaltung zuläiger Ribreiten zu führen beteht in der Begrenzung de Stabdurchmeer. Dabei wird in bhängigkeit der Stahlpannung im Riquerchnitt und der zuläigen Ribreite ein Grenzdurchmeer ermittelt, der nicht überchritten werden darf. 7.3.4.1 Feldbereich Die Stahlpannung im Feld 1 beträgt: = 13,7 N/mm Für diee Stahlpannung und der zuläigen Ribreite von 0,4 mm lät ich der rechneriche Grenzdurchmeer φ * au Tabelle 5 ÖNORM B 199-1-1 entnehmen. Er kann auch direkt au der Gleichung 6 wk E,9 N/mm² 6 0,4 00000,9 φs = = = 30,5 mm 13,7 berechnet werden. Dieer o berechnete Grenzdurchmeer gilt jedoch nur für den Einzelrizutand und baiert auf eine fetgelegte Zugfetigkeit von f ct,eff =,9 N/mm². Daher it φ * weiter auf die tatächlich vorhandene Betonzugfetigkeit und eventuell auf da abgechloene Ribild anzupaen. Der tatächlich einzuhaltende Grenzdurchmeer φ berechnet ich entprechend ÖNORM B 199-1-1 zu:
fct, eff φ,9 φ = max II φ 4 ( h d) b,9 (npaung an f ct, eff (abgechloene Ribild) ; gilt für Einzelri) fct, eff,6 φ = 30,5 = 7,3 mm,9,9 φ = max 13,7 14 4 ( h d) b,9 4 ( 48) 300,9 Da: II φ = 7,3 = 74 mm φ = 6 mm φ S = 74 mm it der Nachwei erfüllt und die zu erwartenden Ribreiten liegen unter dem Grenzwert von 0,4 mm. 7.3.4. Stützbereich Die Stahlpannung im Bereich de Unterzuge beträgt: = 55,1 N/mm Der rechneriche Grenzdurchmeer berechnet ich zu: 6 wk E,9 N/mm² 6 0,4 00000,9 φs = = = 1, 4 mm 55,1 Der tatächlich einzuhaltende Grenzdurchmeer φ hat die Größe: fct, eff,6 φ =,1 = 19, mm,9,9 φ = max 55,1 3456 4 ( h d) b,9 4 ( 40) 1140,9 Da: II φ = 1,4 = 35,7 mm φ = 0 mm φ S = 35,7 mm it auch hier der Nachwei erfüllt und die zu erwartenden Ribreiten liegen unter dem Grenzwert von 0,4 mm. 7.3.5 Direkte Berechnung der Ribreite Eine weitere Möglichkeit den Nachwei der Ribreitenbegrenzung zu führen beteht in der direkten Berechnung der zu erwartenden Ribreite. Diee Verfahren findet ich im bchnitt 7.3.4 EN 199-1-1 und beruht auf folgenden nnahmen:
kontante Betonzugfetigkeit über die geamte Bauteillänge; Verbundpannung it unabhängig vom Schlupf der Bewehrung; Ribreitenberechnung für da abgechloene Ribild baiert auf der Zugtabanalogie: Dabei wird der Zuggurt de Querchnitt durch einen zentrich beanpruchten Zugtab, mit der Querchnittfläche c,eff eretzt. Die charakteritiche Ribreite w k berechnet ich au der Gleichung: ( ) w = ε ε (7.8) EN 199-1-1 k r,max m cm Die Differenz der mittleren Stahldehnung und der mittleren Betondehnung kann durch folgende Beziehung betimmt werden: ε m 1 f ct, eff kt ( 1+ αe ρp, eff ) E ρ p, eff εcm = max 0,6 E (7.9) EN 199-1-1 Darin bedeutet: k t ein Faktor der von der Latdauer abhängt: =0,4 für langfritige Lateinwirkung ρ p,eff der auf die wirkame Betonfläche c,eff bezogene Bewehrunggrad ρ peff, = ceff, c,eff h c,eff die wirkame Betonfläche, welche auf Zug mitwirkt: = h b ceff, ceff, die Höhe der wirkamen Betonfläche c,eff auf Zug:,5 ( h d) hc, eff = min ( h xii ) 3 h α e da Verhältni der E-Module E /E cm Der maximale Riabtand; r,max it gemäß ÖNORM B 199-1-1 wie folgt anzunehmen: r,max φ 3,6 f = min φ 3,6 ρ ct, eff peff, (Einzelri) (abgechloene Ribild) (4) ÖNORM B 199-1-1
7.3.5.1 Feldbereich Baiangaben d = 45, cm 1, vorh= 1,4 cm²/m xii = 6, 4 cm = 13,7 N/mm² fct, eff =,6 N/mm² E 00000 αe = = = 6, 45 Ecm 31000,5 ( h d) =,5 (50 45,) = 1 cm hceff, = min ( h xii ) 3 = ( 50 6,4) 3 = 14,5 cm h = 50 = 5 cm ceff, = hcef, f b( = 30 cm) = 360 cm² 1, vorh 1,4 ρpeff, = = = 0,059 360 c, eff Die Dehnungdifferenz berechnet ich omit zu: ε m 1 f ct, eff kt ( 1+ αe ρp, eff ) = E ρ p, eff 1,6 εcm = max = 13,7 0, 4 ( 1+ 6, 45 0,059) = 0,95 00000 0,059 13,7 0,6 = 0,6 = 0,64 E 00000 Der maximale Riabtand beträgt: r,max φ 13,7 N/mm² 6 mm = = 594 mm 3,6 fct, eff 3,6,6 N/mm² = min φ 6 mm = = 1 mm 3,6 ρpeff, 3,6 0,059 Damit berechnet ich die Ribreite zu: 3 ( ) wk = r,max εm εcm = 1 mm 0,95 10 = 0,1 mm 0,4 mm
7.3.5. Stützbereich Baiangaben d = 46 cm b = 114 cm 1, vorh= 34,56 cm² xii = 19,8 cm = 55,1 N/mm² fct, eff =,6 N/mm² E 00000 αe = = = 6, 45 Ecm 31000,5 ( h d) =,5 (50 46) = 10 cm hce, ff = min ( h xii ) 3 = ( 50 18,8) 3 = 10,1cm h = 50 = 5 cm ceff, = hce, ff b = 1140 cm² 1, vorh 34,56 ρ peff, = = = 0,0303 1140 ceff, Die Dehnungdifferenz berechnet ich omit zu: ε m 1 f ct, eff kt ( 1+ αe ρp, eff ) = E ρ p, eff 1,6 εcm = max = 55,1 0,4 ( 1+ 6,45 0,0303) = 1, 00000 0,0303 55,1 0,6 = 0,6 = 0,77 E 00000 Der maximale Riabtand beträgt: r,max φ 55,1 N/mm² 0 mm = = 545 mm 3,6 fct, eff 3,6,6 N/mm² = min φ 0 mm = = 183 mm 3,6 ρpeff, 3,6 0,0303 Damit berechnet ich die Ribreite zu: 3 ( ) w =,max ε ε = 183 mm 1, 10 = 0, mm 0,4 mm k r m cm
7.4 Begrenzung der Verformungen Die Verformungen de Tragwerke müen bechränkt werden um die Funktion al auch da Ercheinungbild nicht zu beeinträchtigen. Für diee Bauteil wird angenommen, da die Verformungen angrenzende Bauteile und Tragwerke nicht bechädigen. Damit wird für die Wahrung de Ercheinungbilde und der Gebrauchtauglichkeit der zuläige Durchhang der Decke mit 1/50 der Stützweite fetgelegt (vgl. EN 199-1-1, 7.4.1(4)). Der Nachwei zur Erfüllung der Verformungbegrenzung kann nach EN 199-1-1 entweder indirekt über die Erfüllung von Grenzchlankheiten, oder direkt über die explizite Berechnung der Verformungen erfolgen. Wenn Stahlbetonbalken oder platten gewie Grenzchlankheiten nicht überchreiten, darf davon augegangen werden, da die nforderungen bezüglich der Verformungbegrenzung eingehalten werden, ohne explizit die Verformungen berechnet zu haben. Die genaue Berechnung dieer Grenzchlankheiten wird in EN 199-1-1 unter 7.4. angegeben. l d 3 ρ 0 ρ 0 = K 11+ 1,5 fck + 3, fck 1 wenn ρ ρ 0 ρ ρ (7.16.a) EN 199-1-1 l d ρ0 1 ρ = K 11+ 1,5 fck + fck wenn ρ > ρ0 ρ ρ 1 ρ 0 (7.16.b) EN 199-1-1 Darin bedeutet: l/d K der Grenzwert der Biegechlankheit; ein Beiwert zur Berückichtigung de tatichen Sytem; Für eine Begrenzung de Durchhange auf 1/50 der Stützweite können die Werte für K au Tabelle 6 ÖNORM B 199-1-1 entnommen werden. Für da Endfeld eine durchlaufenden Balken ergibt ich K zu 1,60. ρ 0 Referenzbewehrunggrad ρ 3 3 0 = f ck 10 = 5 10 = 0,005 = 0,5% ρ der erforderliche Zugbewehrunggrad in Feldmitte. Für da maßgebende Feld berechnet ich ρ zu:
1, erf 18,08 cm² ρ = = = 0,0016 = 0,16% ρ0 = 0,5% b d 56 cm 45, cm ρ Der erforderliche Druckbewehrunggrad (für diee Platte gilt ρ =0) Damit ergibt ich au der Gleichung (7.16.a) EN 199-1-1 die berechnete Grenzchlankheit zu: l d 3 ρ 0 ρ 0 = K 11+ 1,5 fck + 3, fck 1 = ρ ρ 3 0,5% 0,5% = 1,60 11+ 1,5 5 + 3, 5 1 = 139,5 0,16% 0,16% Diee Grenzchlankheit baiert auf eine Stahlpannung unter der entprechenden Bemeunglat im GZG in einem gerienen Querchnitt in Feldmitte von 310 N/mm². Da die vorhandene Stahlpannung in einem Riquerchnitt de erten Felde 13,7 N/mm² beträgt, it diee Grenzchlankheit noch mit dem Faktor 310/ anzupaen. E ergibt ich: l 310 310 700 = 138,5 = 138,5 = = = d 0 l 13,7 d 15,5 45, grenz Damit kann davon augegangen werden, da der Nachwei der Verformungbegrenzung erfüllt wird. vorh
8 Kontruktive Durchbildung 8.1 llgemeine Die allgemeinen Bewehrungregeln, wie die Regelungen zu den Mindettababtänden, Biegen und Verankern owie Stoßen von Betontählen ind unter bchnitt 8 EN 199-1-1 zu finden. In dieem Beipiel wurde die Kontrolle der Stababtände bereit direkt im nchlu der Biegebemeung durchgeführt. Kontruktive Regelungen für Balken und Platten finden ich unter den bchnitten 9. und 9.3 EN 199-1-1. Wird die Bewehrung über die Länge de Bauteil abgetuft, it beonder auf eine aureichende Zugkraftdeckung an jeder Stelle de Bauteil zu achten. 8. Verankerung der Längbewehrung 8..1 Grundwert der Verankerunglänge, l b,rqd Der Grundwert der Verankerunglänge it von der Verbundfetigkeit f bd abhängig. Diee berechnet ich zu: Mit: f ctd f bd =, 5 η η f (8.) EN 199-1-1 1 ctd η1 = 1 "gute" Verbundbedingungen für die untenliegende Bewehrung und der augelagerten Bewehrung in der Platte η1 = 0,7 "mäßige" Verbundbedingungen für die obenliegende Bewehrung im UZ η = 1 da φ 3 mm = 1, N/mm² iehe bchnitt 3 (Bautoffe) ergibt ich: f f bd bd =,5 η η f =,5 1,0 1 1, =,70 N/mm² (guter Verbund) 1 =,5 η η f =,5 0,7 1 1, = 1,89 N/mm² (mäßiger Verbund) 1 ctd ctd Der Grundwert der Verankerunglänge wird mit folgender Gleichung ermittelt: φ d l brqd, = (8.3) EN 199-1-1 4 f bd Dabei it d die Bemeungpannung de Stabe an der Stelle, von der au die Verankerung gemeen wird. Diee kann mit der Beziehung
d = fyd erf, vorh, abgechätzt werden. Da d zwichen den einzelnen zu verankernden Stäben variiert, wird zunächt l b,rqd mit der Stahlpannung f yd berechnet und anchließend mit dem Faktor d /f yd oder,erf /,vorh abgemindert. Damit ergibt ich: l brqd, l brqd, l brqd,,6 478, 6 = = 115,1 cm (guter Verbund) 4,7,0 478, 0 = = 88,6 cm (guterverbund) 4,7,0 478, 0 = = 16,5 cm (mäßiger Verbund) 4,7 ( fyd ) ( fyd ) ( fyd ) 8.. Verankerung an den Endauflagern Die Querchnittfläche der unteren Bewehrung an Endauflagern, hat in der Regel mindeten 5% der Feldbewehrung zu betragen (iehe EN 199-1-1, 9..1.4(1)). Hier wird angenommen, da alle vier Stäbe vom Durchmeer 6 mm bi zum uflager geführt werden. Die zu verankernde Zugkraft am uflager darf mit folgender Gleichung berechnet werden: a l FEd = VEd + NEd (9.3) EN 199-1-1 z Für die Endauflager ergibt ich: z a l V Ed der Hebelarm für da Feld beträgt: 44,16 cm da Veratzmaß berechnet ich für Bauteile mit Querkraftbewehrung zu: z al = cotθ cot α = 0,6 = 36,8 cm die Querkraft am Lagerrand hat die Größe: 61, kn 44,16 cm 1 ( ) ( ) und weiter: 36,8 cm F Ed = 61, kn = 17,7 kn 44,16 cm Die Stahlpannung am uflager beträgt:
FEd 17,7 kn d = = = 10, kn/cm² = 10 N/mm² 1,4 cm² l vorh, 10 115,1 4,6 cm 478 = = brqd, Der Bemeungwert der Verankerunglänge berechnet ich nach der Gleichung: l = α α α α α l l (8.4) EN 199-1-1 bd 1 3 4 5 b, rqd b,min Die bminderungbeiwerte α 1 bi α 5 ind entprechend EN 199-1-1, Tabelle 8. fetzulegen. Hier wird jedoch keine weitere bminderung in Rechnung getellt. Die Verankerunglänge darf folgende Mindetmaß nicht unterchreiten: 0,3 lbrqd, = 0,3 4,6 = 7, 4 cm l b,min = max 10 φ = 10,6 = 6 cm (8.6) EN 199-1-1 10 cm Die Stäbe werden daher 6 cm über die uflagervorderkante geführt. 8..3 Verankerung am Zwichenauflager uch hier it mindeten ein viertel der Feldbewehrung zum uflager zu führen. Dabei hat die Verankerunglänge mindeten 10 φ = 6 cm zu betragen (iehe EN 199-1-1, 9..1.5()). Da hier jedoch eine Druckbewehrung erforderlich it (iehe Biegebemeung) wird die Bewehrung über da uflager geführt und anchließend in der Nähe de Momentennullpunkte kraftchlüig getoßen. Der Bemeungwert der Übergreifunglänge eine Stoße errechnet ich au: l = α α α α α l l (8.10) EN 199-1-1 0 1 3 5 6 brqd, 0,min Die Beiwerte α 1 bi α 5 ergeben ich zu 1,0. Der Beiwert α 6 it vom nteil der getoßenen Stäbe am Geamtquerchnitt abhängig. Da nur einer der beiden Stäbe im elben Feld getoßen wird, liegt der nteil der getoßenen Stäbe bei 50%. Damit nimmt α 6 den Wert 1,4 an. Im Bereich der Momentennulltelle wird l b,rqd zu null, wodurch der Mindetwert der Übergreifunglänge maßgebend wird. l 0,min 0,3 α6 lbrqd, = 0,3 1,5 0 = 0 = max 15 φ = 15,6 = 39 cm 0 cm
8..4 Verankerung zwichen den uflagern 8..4.1 Feldbewehrung Der Grundwert der Verankerunglänge wurde für einen voll augenützten Stab vom Durchmeer 6 mm mit l brqd,,6 478 f, 6 = = 115,1cm (guter Verbund) 4,7 ( yd ) betimmt. Der Bemeungwert der Verankerunglänge berechnet ich nach der Gleichung: l = α α α α α l l (8.4) EN 199-1-1 bd 1 3 4 5 b, rqd b,min Von den bminderungfaktoren α 1 bi α 5 ergeben ich alle zu 1,0 (bminderung zufolge nicht angechweißter Querbewehrung wird hier vernachläigt). Damit kann die Verankerunglänge für Stäbe zwichen den uflagern wie folgt berechnet werden: l = l = bd b, rqd yd,, ( f, 6) erf 115,1 cm erf vorh, vorh, Die Verankerunglänge darf jedoch die Mindetverankerunglänge nicht unterchreiten. l b,min ( ) 0,3 l = 0,3 l f, 6 = 34,5 cm = max 10 φ = 10,6 = 6 cm 10 cm brqd, brqd, yd erf, vorh, erf, vorh, 8..5 Stützbewehrung Für die in die Platte augelagerte Bewehrung herrchen gute Verbundbedingungen während die Stäbe innerhalb de Unterzuge im mäßig guten Verbundbereich liegen. Der Grundwert der Verankerunglänge wurde für einen voll augenützten Stab vom Durchmeer 0 mm mit l brqd, l brqd,,0 478, 0 = = 88,6 cm (guter Verbund) 4,7,0 478, 0 = = 16,5 cm (mäßiger Verbund) 4,7 ( fyd ) ( fyd ) betimmt. Der Bemeungwert der Verankerunglänge berechnet ich nach der Gleichung: l = α α α α α l l (8.4) EN 199-1-1 bd 1 3 4 5 b, rqd b,min
Von den bminderungfaktoren α 1 bi α 5 wird hier nur jener für die Betondeckung (α ) berückichtigt. Mit c d = 30 mm (vgl. EN 199-1-1, Bild 8.3a) ergibt ich: cd φ 30 0 α = 1 0,15 = 1 0,15 = 0,95 φ 0 Damit kann die Verankerunglänge für Stäbe zwichen den uflagern wie folgt berechnet werden: l α ( f ) erf, erf, bd = b, rqd yd, 0 = 8,0 cm (guter Verbund) vorh, vorh, l α l l ( f ) erf, erf, bd = b, rqd yd, 0 = 117,0 cm (mäßiger Verbund) vorh, vorh, Die Verankerunglänge darf jedoch die Mindetverankerunglänge nicht unterchreiten. guter Verbund: 0,3 l = 0,3 l ( f, 0) = 6,6 cm lb,min = max 10 φ = 10 = 0 cm 10 cm mäßiger Verbund: 0,3 l = 0,3 l ( f, 0) = 38,0 cm lb,min = max 10 φ = 10 = 0 cm 10 cm b, rqd b, rqd yd, erf, vorh, erf, vorh brqd, brqd, yd erf, vorh, erf,, vorh 8.3 Rechnerich nicht berückichtigte Randeinpannung Gemäß EN 199-1-1, 9..1.(1) ind bei monolithich hergetellten Balken, auch bei nnahme einer gelenkigen Lagerung, die Querchnitte an den uflagern für ein Moment infolge teilweier Einpannung zu bemeen, da mindeten 15% de größten Feldmomente entpricht. = 0,15 = 0,15 18,08 cm² =,71 cm² gewählt: 3 1 = 3,39 cm² E, erf 1, erf Diee wird o weit in Feld geführt, da ie die Stützbewehrung erreicht und omit die Montage der Bügel erleichtert. 8.4 Zugkraftdeckung Regelungen für die Betimmung einer aureichenden Zugkraftdeckung finden ich in EN 199-1-1 unter 9..1.3. Bei Bauteilen mit Querkraftbewehrung it da Veratzmaß au folgender Gleichung zu betimmen:
z al = ( cotθ cotα ) (9.) EN 199-1-1 Für den Feldbereich ergibt ich: 44,16 1 ( ) ( ) z al = cotθ cotα = 0,6 = 37 cm Für den Stützbereich berechnet ich da Veratzmaß zu: z 34,63 1 al = ( cotθ cotα) = ( 0,65 ) = 7 cm Für die in die Platte augelagerte Bewehrung de Stützbereiche it zu beachten, da da Veratzmaß, a l, der au dem Steg augelagerten Längbewehrung, um den cotθ f fachen btand (cotθ f =0,8-1 =1,5) de betrachteten Bewehrungtabe von der nächtgelegenen Stegeitenfläche zu vergrößern it (vgl. EN 199-1-1, 6..4(7)). Die ufnahme der Zugkraft innerhalb der Verankerunglänge darf unter der nnahme eine linearen Kraftverlaufe berückichtigt werden. Dieer Einflu kann, auf der icheren Seite liegend, vernachläigt werden (EN 199-1-1, 9..1.3(3)). bbildung 1: Varianten de Kraftverlaufe innerhalb der Verankerunglänge
bbildung : Zugkraftdeckung
bbildung 3: Bewehrungplan
Literaturverzeichni [1] K. Zilch and. Rogge, "Bemeung von Stahlbeton-und Spannbetonbauteilen im Brücken-und Hochbau," Beton-Kalender, vol. 93, pp. 1 373, 004. [] K. Zilch and G. Zehetmaier, Bemeung im kontruktiven Betonbau: Springer, 006. Normen [3] Eurocode 0: Grundlagen der Tragwerkplanung; ÖNORM EN 1990:00 (D) [4] Eurocode 1: Einwirkungen auf Tragwerke, Teil 1-1: llgemeine Einwirkungen - Wichten, Eigengewicht, Nutzlaten im Hochbau; ÖNORM EN 1991-1-1:00(D) [5] Eurocode 1: Einwirkungen auf Tragwerke, Teil 1-1: llgemeine Einwirkungen - Wichten, Eigengewicht, Nutzlaten im Hochbau; ÖNORM B 1991-1-1:00(D) [6] Eurocode : Bemeung und Kontruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken, Teil 1-1: llgemeine Bemeungregeln und Regeln für den Hochbau; ÖNORM EN 199-1-1:004 + C:008 [7] Eurocode : Bemeung und Kontruktion von Stahlbeton- und Spannbetontragwerken, Teil 1-1: Grundlagen und nwendungregeln für den Hochbau; ÖNORM B 199-1-1:007 [8] ÖNORM B 4710: Beton, Teil 1: Fetlegung, Hertellung, Verwendung und Konformitätnachwei; ÖNORM B 4710-1:007