12 Gebrauchstauglichkeit

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1 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite Gebrauchtauglichkeit 12.1 Allgemeine Im Nachfolgenden werden rechneriche Nachweie behandelt, mit denen eine ordnunggemäße Nutzung, da Ercheinungbild und die Dauerhaftigkeit de Tragwerk ichergetellt werden ollen. Diee werden al Nachweie im Grenzzutand der Gebrauchtauglichkeit (GZG) bezeichnet, mit denen da Verhalten der Bauteile unter den real auftretenden Einwirkungen während der Nutzung erfat wird. Sie umfaen: den Nachwei der Spannungbegrenzung im Beton, Betontahl und Spanntahl (vgl. Kap.12.2), den Nachwei der Verformungbegrenzung den Nachwei der Ribreitenbegrenzung (vgl. Kap.12.3), (vgl. Kap.12.4), Hierfür ind im EC2, klar definierte Anforderungen in Form von Grenz- oder Rechenwerten zu finden ind, bei deren Überchreitung die Gebrauchtauglichkeit nicht mehr erfüllt ind; e gilt: E d C d Für die Nachweie im GZG werden die Bemeungwerte von Beanpruchungen E d den Bemeungwerten von Gebrauchtauglichkeitkriterien C d (wie z.b. eine zuläige Bauteilverformung) gegenübergetellt. Um die Einwirkungen realitich zu erfaen, werden die Sicherheiten auf der Einwirkungeite zu γ F = 1,0 geetzt. Die Nachweie werden alo mit den charakteritichen Werten der Einwirkungen in einer betimmten, bauteil- und umgebungabhängigen Einwirkungkombination (EK) geführt: eltene EK: häufige EK quai-tändige EK: E = E E ψ E d,rare Gk,j Qk, 1 0,i Qk,i j 1 i> 1 E = E ψ E ψ E d,frequ Gk,j 1, 1 Qk, 1 2,i Qk,i j 1 i> 1 E = E ψ E d,perm Gk,j 2,i Qk,i j 1 i 1 Diee Kombinationen untercheiden ich durch die Größe de anzuetzenden Verkehrlatanteil, oda für den Stahlbetonbau drei unterchiedliche Beanpruchungniveau maßgebend ein könnten. Welche Niveau anzuetzen it, hängt von dem zu führenden Nachwei, von den Umweltbedingungen und eventuell zuätzlichen Forderungen (z.b. Ribreiten bei Waerbehältern) ab: Eine einmalige Überchreitung eine Grenzzutande kann zu irreveriblen Schäden führen. Wenn beipielweie die Bewehrung im Ri die Streckgrenze f yk nur ein einzige Mal überchreitet, o bleibt ein klaffender Ri übrig. Um die zu verhindern it nachzuweien, da elbt unter der größten zu erwartenden Beanpruchung (eltene Situation E d,rare ) dieer Fall nicht eintritt. Wenn die Auwirkungen reveribel ind, dann kann ein mehrmalige Auftreten während der Nutzungdauer zugelaen werden. E können dehalb Beanpruchungen zugelaen werden, die häufiger auftreten (häufige Situation E d,frequ ). Für den Nachwei von z.b. langfritig infolge Kriechen und Schwinden zu erwartende Verformungen genügt e vollkommen, die langfritig vorliegenden quai-tändigen Beanpruchungen al Grundlage für den rechnerichen Nachwei fetzulegen (quai-tändige Situation E d,perm ).

2 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite 12.2 Die unterchiedlichen Anforderungen an die Dauerhaftigkeit der Bauwerke werden in der Norm durch Anforderungklaen berückichtigt. Die Mindetanforderungklae eine Bauteil it in Abhängigkeit von der Expoitionklae zu wählen. Durch die gewählte Anforderungklae werden die im GZG gültigen Gebrauchtauglichkeitkriterien C d fetgelegt. Expoitionklae Vorpannung mit nachträglichem Verbund Vorpannung mit ofortigem Verbund Vorpannung ohne Verbund Stahlbetonbauteil XC0, XC1, XA0 D D F F XC2, XC3, XC4 C 1) C E E XD1,XD2,XD3 2), XS1, XS2, XS3 C 1) B E E 1) 2) Wird der Korroionchutz anderweitig ichergetellt, gilt Anforderungklae D Im Einzelfall können beondere Maßnahmen für den Korroionchutz notwendig ein Bild 12.1: Mindetanforderungklaen für Bauteile Die Grundlagen für die Nachweie im GZG baieren auf folgenden Annahmen (vgl. auch Bild 12.2): Da Materialverhalten von Stahl und Beton wird durch eine lineare σ -ε -Beziehung bechrieben. Querchnitte bleiben im verformten Zutand eben (Bernoulli-Hypothee) Betonzugpannungen werden vernachläigt, wenn der Querchnitt gerien ein ollte. Für die Spannungermittlung in biegebeanpruchten Querchnitten wird tarrer Verbund voraugeetzt. Rechneriche Nachweie werden im Grenzzutand der Gebrauchtauglichkeit nur bei Beanpruchung durch Biegemomente mit oder ohne Längkraft geführt. Bei Beanpruchung infolge Querkräften oder Torionmomenten wird die Gebrauchtauglichkeit meit durch kontruktive Regeln gewährleitet. σ cd σ cd Zutand I Zutand II Bild 12.2: σ -ε -Beziehung im Zutand I und Zutand II σ d σ d Die geringe Betonzugfetigkeit hat erheblichen Einflu auf die Gebrauchtauglichkeit eine Bauteil. Mit dem Übergang von Zutand I nach Zutand II (Einetzen der Ribildung ) verändert ich der Spannungzutand im Querchnitt maßgebend. Aufgrund der dabei tark abnehmenden Querchnittteifigkeiten (E A bzw. E I) nehmen die Verformungen deutlich zu. Für die Ermittlung der Steifigkeiten untercheidet man daher: Zutand I: Zutand II: ungeriener Querchnitt mit EA I ; EI I geriener Querchnitt mit EA II ; EI II mittlere Verhalten eine gerienen Bauteil: geriener Querchnitt mit EA m II ; EI m II Ein Querchnitt it i.d.r. gerien, wenn die maßgebende Betonzugfetigkeit f ct unter der eltenen Einwirkungkombination E d,rare erreicht wird. Bei Spannungnachweien (Kap. 12.2) it für f ct = f ctk,0,05, bei Verformungnachweien (Kap. 12.3) für f ct = f ctm anzuetzen. Sobald der Querchnitt einmal gerien it, gilt da Superpoitiongeetz nicht mehr. Auch bei nachfolgenden Berechnungen, bei denen die maßgebenden Schnittgrößen unterhalb der Richnittgrößen liegen, it mit gerienen Querchnitten zu rechnen (Rigedächtni de Stahlbeton).

3 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite 12.3 Beipiel 12.1: Schnittgrößen im GZT und im GZG Gegeben: Ein Einfeldbalken hat neben unterchiedlichen Flächenlaten (g k, q k ) auch mittige Einzellaten aufzunehmen, die verchiedenen Einwirkungen zugeordnet ind. Die veränderlichen Nutzlaten q k und Q k ind zwei voneinander unabhängige Einwirkungen. Geucht: E oll da maximale Feldmoment für verchiedene Grenzzutände und Einwirkungkombinationen ermittelt werden. max. Feldmomente al charakteritiche Größen: au tändigen Laten: M k,g = 45,0 6,0²/ ,0 6,0/4 = 502,5 knm veränderl. Nutzlat q k : M k,q = 30,0 6,0²/8 = 135,0 knm (Verkaufräume) veränderl. Nutzlat Q k : M k,q = 150,0 6,0/4 = 225,0 knm (Büro) au Schneelat: au Windlat: M k,s = 25,0 6,0/4 = 37,5 knm M k,w = 22,0 6,0/4 = 33,0 knm Bemeungmomente im Grenzzutand der Tragfähigkeit (GZT): mit Nutzlat q k al Leiteinwirkung: M Ed,1 = 1,35 502,5 + 1,50 (135,0 + 0,7 225,0 + 0,5 37,5 + 0,6 33,0) = 1174,9 knm mit Büro-Nutzlat Q k al Leiteinwirkung: M Ed,2 = 1,35 502,5 + 1,50 (0,7 135, ,0 + 0,5 37,5 + 0,6 33,0) = 1215,0 knm mit Schnee al Leiteinwirkung: M Ed,3 = 1,35 502,5 + 1,50 (0,7 360,0 + 37,5 + 0,6 33,0) = 1142,3 knm mit Wind al Leiteinwirkung: M Ed,4 = 1,35 502,5 + 1,50 (0,7 360,0 + 0,5 37,5 + 33,0) = 1134,0 knm Bemeungmomente im Grenzzutand der Gebrauchtauglichkeit (GZG): Seltene Kombination (mit ψ 0 ): M Ed,rare,1 = 502, ,0 + 0,7 225,0 + 0,5 37,5 + 0,6 33,0 = 833,6 knm M Ed,rare,2 = 502,5 + 0,7 135, ,0 + 0,5 37,5 + 0,6 33,0 = 860,6 knm Hinwei: Weitere Kombinationen mit anderen Leiteinwirkungen führen zu nicht maßgebenden Bemeungmomenten M Ed,rare. häufige Kombination(mit ψ 1 undψ 2 ): M Ed,frequ,1 = 502,5 + 0,7 135,0 + 0,3 225,0 + 0,0 37,5 + 0,0 33,0) = 664,5 knm M Ed,frequ,2 = 502,5 + 0,6 135,0 + 0,5 225,0 + 0,0 37,5 + 0,0 33,0) = 696,0 knm Hinwei: Weitere Kombinationen mit anderen Leiteinwirkungen führen zu nicht maßgebenden Bemeungmomenten M Ed,frequ. Quai-tändige Kombination (mit ψ 2 ): M Ed,perm = 502,5 + 0,3 225,0 + 0,6 135,0 + 0,0 37,5 + 0,0 33,0 = 651,0 knm

4 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite Nachwei der Spannungbegrenzung Wenn die folgenden Bedingungen eingehalten werden, kann bei nicht vorgepannten Tragwerken de üblichen Hochbau auf einen geonderten Nachwei der Spannungen verzichtet werden: Die Schnittgrößen ind nach der Elatizitättheorie ermittelt worden und im Grenzzutand der Tragfähigkeit um nicht mehr al 15% umgelagert worden. Die bauliche Durchbildung erfolgt nach den Forderungen de Abchnitt 9 de EC2; inbeondere ind die Fetlegungen für die Mindetbewehrungen eingehalten. Bei Einhaltung dieer Forderungen kann im Grenzzutand der Tragfähigkeit keine weentliche Abweichung der Schnittgrößenverteilung von denjenigen unter Gebrauchlaten erwarten werden. Da heißt, nur wenn die Schnittgrößenermittlung mit einem nichtlinearen Verfahren durchgeführt wird und dadurch Abweichungen bei der Verteilung der Schnittgrößen im Bruch- und Gebrauchzutand auftreten ind die folgenden Nachweie zu führen. Begrenzung der Betondruckpannung (1) Längrie im Beton infolge hoher Betondruckkräfte erleichtern den Zugang von Chloriden zu den Bewehrungtäben und erhöhen omit die Gefahr von Chlorid induzierter Bewehrungkorroion. Eine erhöhte Gefahr für Betonangriff it gegeben bei Ribildung infolge hoher Betondruckpannungen bei Bauteilen, die einem Frot-Tau-Wechel augeetzt ind. In Bauteilen, die den Bedingungen der Expoitionklaen XD, XF und XS augeetzt ind, ollen die Betondruckpannungen unter der eltenen Einwirkungkombination den folgenden Grenzwert nicht überchreiten: Dieer Nachwei darf entfallen, wenn andere Maßnahmen getroffen werden. Hierzu nennt die Norm z.b. eine Erhöhung der Betondeckung oder eine Umchnürung der Druckzone durch Querbewehrung. Diee Maßnahmen ind jedoch in der Literatur umtritten. E ollte dehalb die Spannunggrenze möglicht eingehalten ein. Begrenzung der Betondruckpannung (2) Durch Dauerlatanteile erfährt der Beton zuätzlich zur Kurzzeitverformung eine zeitabhängige Verformung, die im Allgemeinen nicht rückgängig gemacht werden kann. Dieer Kriechproze wird durch tändig wirkende Betondruckpannungen, welche größer al 0,4 f cm ind, überproportional vertärkt. Fall die Gebrauchtauglichkeit, Tragfähigkeit oder Dauerhaftigkeit de Bauwerk hierdurch weentlich beeinflut wird, o wird die Größe der Betondruckpannung begrenzt. Unter quai-tändigen Einwirkungkombinationen it die Betondruckpannung zu bechränken auf Wenn dieer Nachwei nicht eingehalten wird, it der Kriecheinflu auf Gebrauchtauglichkeit, Verformungen, Schnittgrößen uw. rechnerich zu verfolgen. Begrenzung der Betontahlpannung σ 0, 6 f c Zur Vermeidung nicht-elaticher Dehnungen, unzuläiger Ribildungen und Verformungen müen auch die Zugpannungen in der Bewehrung begrenzt werden; bei direkten Einwirkungen unter der eltenen Einwirkungkombination auf ck σ 0, 45 f c σ 0, 8 f yk ck

5 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite 12.5 und fall die Spannungen auchließlich au einer Zwangbeanpruchung (indirekte Einwirkung) herrühren auf σ 1, 0 fyk. Beipiel 12.2: Spannungnachwei im GZG für einachig gepannte Zweifeldplatte Gegeben: Eine Zweifeldplatte mit h = 20 cm unter einem Verammlungraum wird durch die charakteritichen Einwirkungen g k und q k beanprucht. Die charakteritichen Schnittgrößen ind bereit bekannt. Al Stützbewehrung wurde 12, = 14 cm (a,oben = 8,08 cm²/m) gewählt. Geucht: Für den Stützenpunkt B ollen die Spannungnachweie gemäß EC2, 7.2 durchgeführt werden. Hinwei: Ein Spannungnachwei it gemäß Norm im vorliegenden Fall nicht erforderlich, weil die oben angeführten Bedingungen ämtlich erfüllt ind. Die Nachweie werden hier au Übunggründen geführt. Auf die zuläige Abminderung der Momente oll hier verzichtet werden. Einwirkende Schnittgrößen über Auflager B: Infolge der charakteritichen Laten g k + q k ergeben ich M k,bg = - 26,40 knm/m und M k,bq = - 20,30 knm/m. E it nur eine unabhängige veränderliche Einwirkung q k vorhanden. Damit erhält man für die einwirkenden Momente M Ed,B bei Anatz der eltenen Kombination: M Ed,rare,B = - 26,40-20,30 = - 46,70 knm/m Anatz der quai-tändigen Kombination (mit ψ 2 = 0,6 für Verammlungräume): M Ed,perm,B = - 26,40-0,6 20,30 = - 38,58 knm/m

6 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite 12.6 a) Nachwei der Begrenzung der Betondruckpannung auf σ cd 0,6 f ck : Für die Decke it die Expoitionklae XC1 maßgebend. Dieer Nachwei entfällt, da keine der Expoitionklaen XD, XF oder XS vorliegt. b) Nachwei der Begrenzung der Betondruckpannung auf σ cd 0,45 f ck : Einwirkend (quai-tändig): M Ed,perm = 38,58 knm/m Vorwerte zum Spannungnachwei: Beton C20/25 mit E cm = N/mm2 Betontahl B 500 mit E = N/mm2 α e = E /E cm = /28800 = 7,29 A,oben = 8,08 cm²/m ( 12, = 14cm) Querchnitt: b = 1,0 m und d/h = 169/200 mm Nulllinienlage: A 1 2 b d 8, , 9 x = αe = 7, b αe A , 29 8, 08 x = 3,83 cm Hebelarm der inneren Kräfte: z = d x/3 = 16,9 3,83/3 = 15,62 cm Betonrandpannung: σ c = 2 M ed,rare /(b x z) = 2 0,03858/(1,00 0,0383 0,1562) = 12,9 MN/m² c) Nachwei der Begrenzung der Stahlpannung auf σ 0,8 f yk : 0,45 f ck = 0,45 20,0 = 9,0 MN/m². σ,oben = M Ed,rare /(z A,oben ) = 46,70/(0,1565 8,08) = 36,93 kn/cm² = 369,3 N/mm² Beurteilung: 0,8 500 = 400,0 N/mm². Die Betondruckpannungen unter der quai-tändigen Einwirkungkombination ind weentlich größer al der Grenzwert. E mu mit überproportional großen Kriechverformungen gerechnet werden. Eine Verbeerung der Kontruktion kann durch folgende Maßnahmen erreicht werden: Vergrößerung der Bauteilhöhe h Vertärkung der Bewehrung über da im Grenzzutand der Tragfähigkeit erforderliche Maß Wahl einer höheren Betonfetigkeitklae. Bei einer Momentenumlagerung um mehr al 15 % wäre eine entprechende Änderung der Kontruktion vorzunehmen. Man erkennt den Einflu von Nachweien im GZG, wenn bei der Schnittgrößenermittlung weentlich von Ergebnien nach linear-elat. Methoden abgewichen wird.

7 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite Nachwei der Verformungbegrenzung Allgemeine Der Nachwei der "Begrenzung der Verformungen" wird in EC2, 7.4 behandelt. Hier wird gefordert, da die Verformungen eine Bauteil oder Tragwerk weder die ordnunggemäße Funktion noch da Ercheinungbild de Bauteil elbt oder angrenzender Bauteile negativ beeinträchtigen dürfen. Zur Erfüllung dieer Forderung ind konkrete Richtwerte in der Norm zu finden. Abweichend davon können für beondere Anforderungen andere Grenzwerte mit dem Bauherrn vereinbart werden. Die Vorchriften de EC2 behandeln nur die Verformungen in vertikaler Richtung von biegebeanpruchten Bauteilen. Sie enthalten die Auage, da die Angaben im Allgemeinen hinreichende Gebraucheigenchaften für Wohnbauten, Büro, öffentliche Bauten und Fabriken ichertellen. Bei den Verformungen wird zwichen dem "Durchhang" und der "Durchbiegung" unterchieden. Hierfür gelten die nachfolgenden Definitionen (vgl. Bild 12.3). Durchhang: vertikale Bauteilverfomung, bezogen auf die Verbindunglinie zwichen den Untertützungpunkten Durchbiegung: vertikale Bauteilverformung, bezogen auf die Sytemlinie de Bauteil (bei Schalungüberhöhung Bezug auf die überhöhte Lage) Bild 12.3: Definitionen für Durchhang und Durchbiegung

8 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite 12.8 Nach den Vorgaben de EC2 darf angenommen werden, da da Ercheinungbild und die Gebrauchtauglichkeit nicht negativ beeinflut werden, wenn der Durchhang eine Bauteil unter der quai-tändigen Einwirkungkombination 1/250 der Stützweite nicht überchreitet. Bei Kragträgern it al Stützweite die 2,5-fache Kraglänge anzuetzen, o da der Durchhang 1/100 der Stützweite betragen darf. Schalungüberhöhungen zur Verminderung oder zum Augleich de Durchhang ind zugelaen. Der empfohlene Maximalwert der Überhöhung beträgt 1/250 der Stützweite. Zur Vermeidung von Schäden an angrenzenden Bauteilen gilt al Richtwert für die Durchbiegung nach dem Einbau der Bauteile unter quai-tändiger Einwirkungkombination 1/500 der Stützweite. Al Nachwei für die Einhaltung der Verformunggrenzwerte dürfen folgende Verfahren angewendet werden: Begrenzung der Biegechlankheit (indirekter Nachwei) Berechnung der Verformung und Vergleich mit dem entprechenden Grenzwert (direkter Nachwei) Während für chlaff bewehrte Bauteile de üblichen Hochbau beide Verfahren anwendbar ind, kann der Nachwei der Verformungbegrenzung von vorgepannten Bauteilen nur durch direkte Berechnung erbracht werden Begrenzung der Biegechlankheit (indirekter Nachwei) Für den Nachwei der Verformungbegrenzung von Stahlbetonbauteilen wird auf einen Biegechlankheitnachwei zurückgegriffen, wobei unter Biegechlankheit in der Regel da Verhältni von ideeller Stützweite l i zur Nutzhöhe de Querchnitt d vertanden wird. Diee Nachweie ind gleichzeitig zur Dimenionierung der Bauteildicke geeignet. eff l i l λ = = d K d Hierbei werden zahlreiche Faktoren, die einen Einflu auf die Bauteilverformung haben, durch einige wenige Parameter erfat. Bi zur Einführung de EC2 wurde im allgemeinen Hochbau die Biegechlankheit auf l i /d 35 bzw. bei höheren Anforderungen an die Durchbiegungbegrenzung auf l i /d 150/l i begrenzt. Die Verformunggrenzwerte von 1/250 bzw. 1/500 der ideellen Stützweite können damit jedoch nur unzureichend eingehalten werden, o da im Zuge der aktuellen Normung weitere Parameter wie z.b. der Zugbewehrunggrad und der der Druckbewehrunggrad in den maßgebenden Gleichungen berückichtigt worden ind. Diee lauten nun l l eff d eff d ρ ρ = K, +, f +, f ρ ρ ck 3 2 ck 1 ρ0 1 ρ' = K 11, 0 + 1, 5 fck + fck ρ ρ' 12 ρ0 3 wenn ρ ρ 0 wenn ρ > ρ 0 Darin ind: l eff /d der Grenzwert der Biegechlankheit (Verhältni von rechnericher Stützweite zu Nutzhöhe), K der Beiwert zur Berückichtigung der verchiedenen tatichen Syteme (vgl. Bild 12.4), 3 ρ 0 der Referenzbewehrunggrad, zu berechnen mit ρ = f, 0 10 ck

9 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite 12.9 ρ der erforderliche Zugbewehrunggrad in Feldmitte, um da Bemeungmoment aufzunehmen (am Einpannquerchnitt für Kragträger), ρ der erforderliche Druckbewehrunggrad in Feldmitte, um da Bemeungmoment aufzunehmen (am Einpannquerchnitt für Kragträger), f ck charak. Druckfetigkeit de Beton in [N/mm²], l eff (effektive) rechneriche Stützweite (meit al l bezeichnet) Bild 12.4: Beiwert zur Berückichtigung der verchiedenen tatichen Syteme In Bild 12.5 it der Einflu der Bewehrung auf die Größe der Bauteilchlankheit gemäß den oben angegebenen Gleichungen für verchiedene Betonfetigkeitklaen dargetellt. Bild 12.5: Schlankheitgrad in Abhängigkeit vom Bewehrunggrad Bei der Anwendung der obigen Gleichungen oll folgende Regeln zu beachten: Die Gleichungen für die zuläigen Biegechlankheiten beziehen ich auf eine Stahlpannung von 310 N/mm² bei Einwirkung von M Ed,max im GZG. Bei anderen Latniveau ind die ermittelten Werte nach obigen Gleichungen mit 310/σ zu multiplizieren σ = fyk A,rqd A,prov

10 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite Bei Platten und Balken (außer Flachdecken) mit Stützweiten über 7 m, die verformungempfindliche Aubauelemente tragen, ind die Werte l/d mit dem Faktor 7/l eff zu multiplizieren. Bei Flachdecken mit Stützweiten über 8,5 m, die verformungempfindlichen Aubauelemente tragen, ind die Werte l/d mit dem Faktor 8,5/l eff zu multiplizieren. Bei gegliederten Querchnitten, bei denen da Verhältni von Gurtbreite zu Stegbreite den Wert 3 überteigt, ind die Werte von l/d mit 0,8 zu multiplizieren, Die Anpaung der Biegechlankheiten it auch bei anderen verformungempfindlichen Bauteilen auf oder unter den Balken bzw. Platten erforderlich (z.b. Faaden). Im nationalen Anhang wird empfohlen, die Grenzwerte in Anlehnung an die alte DIN weiterhin auf l/d K 35 (Grenzlinie in Bild 12.5) bzw. bei Bauteilen, die verformungempfindliche Aubauelemente beeinträchtigen können, auf l/d K 2 150/l zu begrenzen. Beipiel 12.3: Verformungbegrenzung für ein Endfeld einer Durchlaufplatte Gegeben: Für da 7,5 m lange Endfeld einer 360 mm dicken Durchlaufplatte mit leichten Trennwänden it ein indirekter Nachwei zur Verformungbegrenzung durchzuführen. Die Platte beteht au einem C20/25. Al Expoitionklae it XC1 zu berückichtigen. Die Biegebemeung hat für da maßgebende Feldmoment eine Bewehrung von a,rqd = 12,9 cm²/m ergeben. Al Bewehrung wird 16/15 mit a,prov = 13,4 cm²/m gewählt. Geucht: Verformungnachwei durch Begrenzung der Biegechlankheit Vorhandene Biegechlankheit: mit l = 7,5 m und d = h - c nom - /2 = /2 = 322 mm = 0,322 m ergibt ich die vorgeehene Schlankheit zu: (l/d) prov = 7,5/0,322 = 23,3 Erforderliche Biegechlankheit zur Einhaltung der Verformungbegrenzung: Beiwert für tatiche Sytem: K = 1,3 erforderl. Zugbewehrunggrad: ρ = a,rqd /d = 12,9 /(100 32,2) = 0,40 % erforderl. Schlankheit gemäß Formel für ρ ρ 0 : ( ) ρ 0 = ,5 = 0,45% 3 0, 45 0, 45 l d = 1, , , , 3 19, 18 24, 93 rqd 0, 40 = = 0, 40 Wegen einer Stützweite über 7,0 m darf eine Anpaung de Formelwerte mit den Faktor 7/l eff und wegen a,prov a,rqd mit einem weiteren Faktor 500/σ erfolgen: 7 7 = = 0, 93 l 7, 5 eff , 04 σ = f A A = 500 0, 96 = yk,rqd,prov Damit ergibt ich al maßgebender Schlankheitgrad, der nicht überchritten werden darf: ( l d ) = 24, 93 0, 93 1, 04 = 24, 2 rqd,a Maximalwert für Biegechlankheit:

11 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite K 35 1, 3 35 ( l d) = min 33 8 lim = min =, K 1, 3 l 7, 5 Nachwei der Verformungbegrenzung: ( ) ( l d) ( l d) rqd l d = 23, 3 min 24, 2 prov = min (nicht maßgeb.) Die Nutzhöhe der Platte wurde aureichend tark gewählt (d prov d rqd ). Damit it die Biegechlankheit kleiner al der Grenzwert nach EC2. Man darf davon augehen, da die Durchbiegung w (im Grenzzutand der Gebrauchtauglichkeit) den Richtwert von 1/500 der Stützweite nicht überchreitet Berechnung der Verformung (direkter Nachwei) Wenn die Vorgehenweie nach Kap zu nicht akzeptablen Bauteildicken führt, o bleibt dem Tragwerkplaner ein direkter Nachwei der Verformungen gemäß EC2, übrig. Dieer Nachwei wird für die quai-tändige Lateinwirkung durchgeführt und berückichtigt die wirklichkeitnahen Biegeteifigkeiten entlang de zu berechnenden Bauteil. Die Biegeteifigkeiten ind beanpruchungabhängig und variieren entlang der Bauteilache je nach Art und Umfang der Ribildung. Bei einer quai-tändigen Lateinwirkung it ein Stahlbetonbauteil nur in tärker auf Biegung beanpruchten Teilabchnitten gerien. Die Biegeteifigkeit im Zutand II kann (bei abgechloener Ribildung) bi auf ca. 30% gegenüber der Biegeteifigkeit im Zutand I abfallen. Eine linear-elatiche Verformungberechnung unter Anatz der Biegeteifigkeiten de ungerienen Querchnitt B I = (E c I c I ) liefert viel zu kleine Verformungwerte und it daher nicht mehr zielführend. Vielmehr mu die Durchbiegung durch numeriche Integration der Krümmungen κ (x) = M Ed(x) /B II (x) mit B II (x) al effektiver, beanpruchungabhängiger Biegeteifigkeit de (un-)gerienenen Querchnitt am jeweiligen Ort x berechnet werden. Bild 12.6: Zuammenhang zwichen Biegemoment und Krümmung in einem Stahlbetonquerchnitt

12 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite Bei der Berechnung von B II (x) wird die Menge und Lage der Bewehrung, da nichtlineare Spannung-Dehnungverhalten de Beton in der Druckzone und die Mitwirkung de Beton auf Zug zwichen den Rien (tenion tiffening) owie gegebenenfall auch die Kriech- und Schwindeinflüe auf den Beton berückichtigt. Diee Berechnung it extrem aufwändig und lät ich innvoll nur rechnergetützt auführen. Al Näherung lät der EC2 zu, vereinfachend die Krümmung für den ungerienen Querchnitt und für den volltändig gerienen Querchnitt zu berechnen und darau in einer Abchätzung den tatächlichen Wert wie folgt zu betimmen: Bauteile, bei denen die Biegezugfetigkeit unter der maßgebenden Belatung am keiner Stelle überchritten wird, dürfen al ungerien betrachtet werden. Ihre Biegeteifigkeit kann vereinfachend mit B I = (E c I c I ) angenommen werden. Da Verhalten von Bauteilen, bei denen nur bereichweie Rie zu erwarten ind, liegt zwichen dem von Bauteilen im ungerienen und im volltändig gerienen Zutand. Für überwiegend biegebeanpruchte Bauteile lät ich diee Verhalten dann näherungweie wie folgt betimmen: Dabei it: II ( 1 ) α = ζ α + ζ α I α der unteruchte Durchbiegungparameter, der beipielweie eine Dehnung, eine Krümmung oder eine Rotation ein kann (vereinfachend darf α al Durchbiegung angeehen werden). α I ; α II der jeweilige Wert de unteruchten Parameter für den ungerienen bzw. volltändig gerienen Zutand. ζ β σ σ r Ein Verteilungwert, der die Mitwirkung de Beton auf Zug zwichen den Rien gemäß ζ = 0 für 0 σ σ r berückichtigt (ζ = 0 für ungeri. Querchnitte). Ein Koeffizient, der den Einflu der Belatungdauer und der Latwiederholung berückichtigt: β = 1,0 bei Kurzzeitbelatung; β = 0,5 bei Langzeitbelatung oder vielen Zyklen ich wiederholender Beanpruchungen. die Spannung der Zugbewehrung bei Annahme eine gerienen Querchnitt (Spannung im Ri) die Spannung der Zugbewehrung bei Annahme eine gerienen Querchnitt unter einer Einwirkungkombination, die zur Ertribildung führt (Stahlpannung unter dem Rimoment M Ri ). Der Quotient (σ r /σ r ) darf auch unmittelbar durch da Verhältni (M Ri /M Ed ) eretzt werden. Die bete Verformungabchätzung wird erreicht, wenn man al Biegezugfetigkeit den Mittelwert f ctm wählt. Kriecheinflüe können über den effektiven E-Modul Ecm Ec,eff = 1 +ϕ (,t 0 ) berückichtigt werden. Dabei it ϕ (oo,t0) die für die Lat und da Zeitintervall maßgebende Kriechzahl. Schwindeinflüe auf die Verformungen werden ermittelt au der Krümmung gemäß nachfolgender Gleichung 2 σ r ζ = 1 β für σ r σ fym σ

13 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite Dabei it: E S κc = = r E I 1 εc c c,eff ε c S I die freie Schwindzahl gemäß EC2,3.1.4; da tatiche Moment der Querchnittfläche der Bewehrung (Flächenmoment 1. Ordnung), bezogen auf den Schwerpunkt de Querchnitt; da Trägheitmoment de Geamtquerchnitt (Flächenmoment 2. Ordnung), bezogen auf den Schwerpunkt de Querchnitt; Die beiden Flächenmomente ind in der Regel owohl für den ungerienen al auch für den gerienen Zutand zu ermitteln. Die Geamtkrümmung it dann wieder näherungweie nach der bekannten Verteilungformel α = ζ α + 1 ζ α zu ermitteln. II ( ) I Beipiel 12.4: Verformungberechnung für eine einachig gepannte Einfeldplatte Gegeben: Die 5,8 m lange Einfeldplatte mit d/h = 235/260 mm hat al tändige Flächenlat it g K = 6,5 kn/m² und al veränderliche Lat q k = 3,5 kn/m² (ψ 2 = 0,3) aufzunehmen. Zum Einatz kommt ein C25/30. Die maßgebende Expoitionklae it XC1. Kriechen und Schwinden ind durch die Parameter ϕ,t0 = 2,5 (Endkriechzahl) und ε c = -0,6 0 / 00 (Endchwindmaß) zu berückichtigen. Die Biegebemeung hat für da maßgebende Feldmoment eine Bewehrung von a,rqd = 5,72 cm²/m ergeben. Al Bewehrung wird eine R636 mit a,prov = 6,36 cm²/m gewählt. Geucht: Verformungbegrenzung unter Einhaltung der Grenze l/250 durch direkten Nachwei. Effektiver E-Modul: E c,eff = E cm /(1 + ϕ,t0 ) = 31500/(1,0 + 2,5) = 9000 MN/m² Verhältni: α E = E /E c,eff = /9000 = 22,2 Flächenmomente im Zutand I (unter Berückichtigung der Bewehrungmenge): Anteile: A* [cm²] z [cm] A* z [cm 3 ] A* z² [cm 4 ] I Eigen [cm 4 ] Beton: ,00 13, , ,0 26³ 100/12 Stahl: α E 6,36 141,19 23,5 3318, ,8 -- Summe: 2741, , , ,7 Hinwei: Hilfgröße z bezieht ich auf den oberen Querchnittrand Schwerpunktache: z SP = 37177,8/2743,74 = 13,54 cm ( Druckzonenhöhe: x I = 0,1354 m) Stat. Moment der Bewehrung: S I = 6,36 (23,5-13,54) = 63,3 cm³ Geamt-Trägheitmoment: I I = , ,7 2741,19 13,54² = cm 4 Hinwei: I I 1,1 I Betonquerchn. (durch Berückichtigung der Bewehrung) Flächenmomente im Zutand II (unter Berückichtigung der Bewehrungmenge): ρ l = a,prov /(100 d) = 6,36/(100 23,5) = 0,271 %

14 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite Druckzonenhöhe x II über Bedingung: 141,19 (d- x) = 100 x x/2 3319,0 141,19 x = 50 x² x² + 2,824 x 67,36 = 0 x 1,2 = 2,824/2 ± (2,824²/4 + 67,36) x 1,2 = 1,412 ± 8,328 maßg. x II = 9,74 cm 100 cm A c = 100 x cm² α E A = 141,19 cm² x=? d = 23,5 cm Anteile: A* [cm²] z [cm] A* z [cm 3 ] A* z² [cm 4 ] I Eigen [cm 4 ] Beton: 100 9,74 974,00 4, , ,3 9,74³ 100/12 Stahl: α E 6,36 141,19 23, , ,2 -- Summe: 1115, , ,5 7700,1 Hinwei: Hilfgröße z bezieht ich auf den oberen Querchnittrand Schwerpunktache: z SP = 8061,4/1115,19 = 7,23 cm Stat. Moment der Bewehrung: S I = 6,36 (23,5 7,23) = 103,5 cm³ Geamt-Trägheitmoment: I I = , ,1 1115,19 7,23² = cm 4 Krümmungen (1/r) = M/(EI): Feldmoment unter quai-tändiger Lat: m Ed = (6,5 + 0,3 3,5) 5,8²/8 = 31,75 knm/m Zutand I: Lat u. Kriechen (1/r I ) = 31,75 / ( , ) = 2, [1/m] Schwinden (1/r c I ) = 0, ,2 0, /0, = 0, [1/m] Zutand II: Lat u. Kriechen (1/r II ) = 31,75 / ( , ) = 6, [1/m] Zutand II,m: Schwinden (1/r c II ) = 0, ,2 0, /0, = 2, [1/m] Der Verteilungwert ζ oll vereinfachend über da Verhältni von Rimoment zu Maximalmoment betimmt werden. M Ri = f ctm I I / z c1 = 2,6 0, / (0,26 0,1354) 10 3 = 33,7 knm Lat u. Kriechen (1/r II,m ) = (0,44 6,99 + (1-0,44) 2,19) 10-3 = 4, [1/m] Schwinden (1/r c II,m ) = (0,44 2,73 + (1-0,44) 0,52) 10-3 = 1, [1/m] Die Geamtkrümmung in Feldmitte ergibt ich zu: (4,30 + 1,49) 10-3 = 5, [1/m] Durchbiegung in Feldmitte: 2 2 σ r 33, 7 ζ = 1 β = 1 0, 5 0, 44 σ = 31, 75 Unter der vereinfachenden Annahme, da der Krümmungverlauf affin zum Momentenver lauf it, o ergibt ich al Durchbiegung in Feldmitte (mit Hilfe der Integraltafeln M κ dx ; Dreieck mit Parabel): f vorh = 5/12 1 5,80/4 5, ,8 = 0,024 m = 20,3 mm f zul = 5800/250 = 23,2 m II ( 1 ) α = ζ α + ζ α I

15 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite Nachwei der Ribreitenbegrenzung Allgemeine Beim Verbundwerktoff Stahlbeton wird da Trag- und Verformungverhalten entcheidend durch da Zuammenwirken von Stahl und Beton betimmt. Ert durch die Ribildung erhält der Bewehrungtahl die ihm zugedachte Zugkraft au der Zugzone de biegebeanpruchten Querchnitte. Ribildung it omit eine dem Stahlbeton eigentümliche Ercheinung und kann weder durch Sorgfalt bei Entwurf und Auführung noch durch ein Mehrfache an Bewehrung nie ganz verhindert werden; e ei denn, da durch Überlagerung von Druckpannungen mögliche Zugpannungen "überdrückt" werden (durch hohe Längdruckkraft durch äußere Belatung oder Vorpannung). Rie können die Dauerhaftigkeit gefährden, wenn ihre Breite, Tiefe und Dichte kritiche Grenzwerte überchreitet. Ert dann it da Eindringen von Feuchte und Gaen in Rien mit der Folge von Stahl- und Betonkorroion owie von Gefügelockerungen möglich. Solange diee Grenzwerte nicht überchritten werden, tellen Rie in Betonbauteilen nur einen äthetichen Mangel dar, der nur ubjektiv beurteilt werden kann. Die Bewehrung allein kann die Ribildung nicht verhindern. Jedoch kann durch gechickte kontruktive Maßnahmen die Breite der Rie bechränkt werden. Unterchreitet die Ribreite ein betimmte Maß, o ind die Rie kaum noch ichtbar und gefährden nicht mehr die Gebrauchfähigkeit und die Dauerhaftigkeit der Kontruktion (Korroionchutz der Bewehrung, Waerdichtigkeit, opticher Eindruck). Kontruktive Maßnahmen, die eine Bildung von breiteren Rien verhindern, ind: zweckmäßige Wahl de Berechnungytem (tatiche Sytem); zutreffende Belatungannahmen; Berückichtigung von möglichen Zwangbeanpruchungen; achgerechte Bewehrungführung; Wahl kleinerer Stababtände; aureichende Verankerunglängen; aureichende Betondeckung; Vermeidung von unzuläigen Verformungen von Schalung und Gerüten. Nicht allein durch kontruktive Maßnahmen ondern auch durch betontechnologiche Maßnahmen it eine Verminderung vor allem der anfänglichen Ribildung zu erreichen. Zu dieen Maßnahmen gehören; z.b. (vgl. Bautoffkunde): Zemente mit niedriger Hydratationwärme; Zementgehalt an der unteren zul. Grenze; niedriger Waer-/Zementwert (w/z-wert); gute Verdichtung; Nachbehandlungmaßnahmen. Durch einige dieer Maßnahmen kann z.b. erreicht werden, da Beanpruchungen infolge de Abfließen der Hydratationwärme vermindert werden und eine häufige Urache von Ribildungen weitgehend augechaltet wird.

16 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite Die Rie werden in Mikro- und Makrorie unterteilt. Verantwortlich für diee Untercheidung ind die Größe der Rie und die Urachen der Ribildung. Mikrorie enttehen im Betongefüge und gehen im Weentlichen auf Unverträglichkeiten zwichen dem Zementtein und der darin eingebetteten Geteinkörnung zurück. Gründe ind der unterchiedliche Elatizitätmodul owie differierende Wärme- und Feuchtedehnungen. Äußere Spannungen und innerer Zwang fördern die Mikroribildung. Da Enttehen von Mikrorien kann nicht verhindert werden; e tellt vielmehr eine Werktoffeigenchaft de Beton dar. Mikrorie können ich auf die Dauerhaftigkeit de Beton auwirken, wenn e durch wiederholte Beanpruchungen zu Gefügechäden kommt. Makrorie enttehen in Bauteilbereichen mit Zugpannungen entweder durch Lat, Zwang oder Eigenpannungen, obald die Betonzugfetigkeit überchritten it. Im Vergleich zu den Mikrorien durchdringen die Makrorie größere Bereiche de Querchnitt. Ihre Breiten ind größer, ihr Verlauf it orientiert, weil er durch Hauptzugpannungen vorgezeichnet it. Makrorie beitzen einen unmittelbaren Bezug zur Dauerhaftigkeit. Werden betimmte Grenzwerte der Ribreite, die von den Umgebungbedingungen abhängen, überchritten, o it da Eindringen von Stahlkorroion fördernden Stoffen in die Rie möglich. Während in trockenen Innenräumen die kritiche Ribreite 0,4 mm betragen darf, oll ie in Außenbauteilen 0,3 mm und in beonderen Fällen wie WU-Beton 0,2 mm nicht überchreiten (vgl. auch Tab. 12.1). In den Bildern 12.7 und 12.8 ind die wichtigten Riurachen, deren Ercheinungformen und der Ort der Auftreten zuammengetellt. Bild 12.7: Mögliche Riurachen, Ercheinungformen und Ort de Auftreten

17 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite Bez. Ort de Auftreten Urache A B C D E F G H G H Längrie entlang bzw. über der oben liegenden Bewehrung hoher Balken, dicker Platten oder Bügeln von Stützen am oberen Ende von Stützen an Stellen von Dickenänderungen Bauteile mit augedehnter waagerechter Oberfläche, z. B. Deckenplatten, Autobahndecken; diagonal (D) und al Netzrie (E) Stahlbetondecken; über der obliegenden Bewehrung Bei dicken Wänden und Platten; al Trennri (G) und al Netzrie (Schalenrie) (H) inbeondere bei dünnen Platten und Wänden chnelle frühzeitige Autrocknen zu dicker Betonlagen; tarke Abetzen de Beton chnelle frühzeitige Autrocknen (mehlkornreiche Betone) zu rache Abkühlen tark erwärmten Beton (Zugbeanpruchung au Zwang) klimabedingte Temperaturunterchiede H inbeondere bei dünnen Platten und Wänden tarke Schwinden; chlechte Nachbehandlung I J gegen Schalung bei gechalten Flächen (Netzrie) bei dichter (nicht augfähiger) Schalung, feinteilreichen Michungen und chlechter Nachbehandlung K bei Platten (Netzrie) Bei zu tarkem Glätten der Oberfläche ( totreiben ), feinteilreichen Michungen und chlechter Nachbehandlung L Läng der Bewehrung Unzureichende Dichte und Dicke der Betondeckung Bild 12.8: Erläuterungen zu mögliche Riurachen, Ercheinungformen und Ort de Auftreten Die meiten Rie enttehen au Beanpruchungen durch von außen einwirkenden Laten und/oder Zwängungen. Zwangbeanpruchungen ( Zwangchnittgrößen) enttehen dann, wenn ein tatich unbetimmte Bauteil an Verformungen behindert wird, welche z.b. durch Temperatureinflüe, Hydratation oder Schwinden de Beton enttehen würden. Je nach Art der Behinderung untercheidet man zwichen "zentrichem Zwang" (Behinderung einer Längenänderung) und "Biegezwang" (Behinderung einer Verbiegung); vgl. Bild 12.9 und Bild 12.9: Beipiel für eine zentriche Zwangbeanpruchung Bild 12.10: Beipiel für eine Zwangbeanpruchung infolge Biegung

18 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite Nun ind ogenannte "Riformeln" entwickelt worden, mit deren Hilfe man die an der Oberfläche ichtbare Ribreite näherungweie berechnen kann. Weentliche Einflugrößen in dieen Riformeln ind die Biegezugfetigkeit f ct,eff de Beton und die Verbundfetigkeit f bd zwichen Beton und Stahl. Gerade diee Größen unterliegen einer ehr großen Streuung, o da mit Riformeln eine genauere Ribreitenberechnung vielfach gar nicht möglich it. Auch au Gründen de Korroionchutze it eine olche Berechnung nicht notwendig, weil bi zu einer Ribreite bi zu etwa 0,4 mm der Korroionvorgang im weentlichen von der Dicke und der Dichtigkeit der Betondeckungchicht beeinflut wird und nicht durch den Ri elbt. Au dieen Gründen wurde im EC2, 7.3 neben den Riformeln Möglichkeiten angegeben, die ohne direkte Berechnung der Ribreiten die Gebrauchfähigkeit und Dauerhaftigkeit ichertellen. Ziel dieer Regelungen it durch Angabe von Kontruktionregeln die Ribreiten unter Gebrauchlat auf unchädliche Werte zu bechränken und durch Vorchriften bezüglich der Mindetbewehrung da Auftreten breiter Einzelrie infolge von Zwangbeanpruchungen zu hindern. Bild 12.11: Ribreite an der Oberfläche Die an der Oberfläche ichtbare Ribreite w dient al Maßtab. Am Stahltab it die Ribreite kleiner, wa durch die inneren Verbundrie an den Rippen bewirkt wird Zuammenhänge bei der Ribildung Im folgenden Bild it ein zentrich gezogener Stahlbetontab dargetellt. Bevor ich der erte Ri aubildet wird an keiner Stelle de Stabe die Betonzugfetigkeit f ct erreicht. Man pricht dann vom Zutand I. Für die Spannungen und Dehnungen gelten dann die folgenden Beziehungen: σ σ c ε = εc = E E c E σ = σ = α σ c E c Ec Bei Latteigerung bi zum Erreichen einer Zugkraft F Ri kommt e durch Überchreiten der Zugfetigkeit de Beton zum erten Ri (Bild 12.12). Der Ort de erten Rie kann nicht vorher geagt werden, da viele Faktoren bei der Hertellung, Nachbehandlung und zufälliger Verteilung von Zuchlagtoffen und Zementmatrix die Zugfetigkeit de Beton beeinfluen. Bei einem zentrich gezogenen Stab wird e jedoch die Querchnitttelle ein, welche die geringte Zugfetigkeit aufweit. Im Augenblick der Rienttehung mu der von Beton getragene Zugkraftanteil vom Betontahl übernommen werden. Die Stahlpannung wächt dann prunghaft an, und zwar auf einen Wert (Index R teht für Ri): FR σ,r = A Die zugehörige Stahldehnung lät ich ermitteln zu σ,r R ε,r = = E E A F

19 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite Innerhalb der Lateintragunglänge l t wird ein Teil der Beanpruchung über Verbundpannung in den Beton eingeleitet. Die Dehnungen de Betontahl ind hier größer al die de Beton. Außerhalb der Lateinleitunglänge entprechen die Spannungen und Dehnungen den Beziehungen de Zutand I, da heißt, die Dehnungen de Beton und de Betontahl ind gleich. Der Unterchied in den Dehnungen im Bereich der Einleitunglängen zwichen dem Beton und dem Betontahl führt zu der Ribreite w. Bild 12.12: Ertribildung bei einem zentrich gezogenen Stahlbetontab Im Bild it ein Stahlbetonbalken mit Biegebeanpruchung dargetellt. Vor der Bildung de erten Rie befindet der geamte Träger ich im Zutand I. Die Dehnungen ind zwichen Beton und Betontahl gleich. E gibt dehalb auch keinen Wert für die Verbundpannung, da die Dehnungdifferenz gleich Null it. Die Spannungen ind wie die Dehnungen linear veränderlich über die Querchnitthöhe. In Höhe der Bewehrunglage gilt wieder σ = E E σ = α σ. c c E c Bild 12.13: Ertribildung bei einem Biegeträger

20 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite Wird die Biegebeanpruchung weiter geteigert, erfolgt unter der Wirkung de Rimomente die Ribildung. Auch hier tritt der erte Ri an der Stelle auf, wo zufällig die geringte Betonzugfetigkeit vorhanden it. Durch die Übernahme der zuvor von der Zugfetigkeit de Beton getragenen Zugpannungen durch den Betontahl kommt e zu dem Anwachen der Stahldehnungen. Auch hier gelten die gleichen Angaben wie bereit beim Zugtab erwähnt. In dem Bild it ein Zutand erreicht, wo keine weiteren Rie im Stab auftreten können. Man pricht dann von der abgechloenen Ribildung. Die au der Belatung augehende Beanpruchung de Stabe it auf ganzer Länge größer al die Zugfetigkeit de Beton. Die Dehnungen de Betontahl ind an jeder Stelle de Stabe größer al die Betondehnungen. Hierau folgt, da im geamten Stabbereich eine Dehnungdifferenz vorhanden it. ε ε > 0 c An keiner Stelle de Stabe liegen die Bedingungen für den Zutand I mehr vor. Der Abtand zwichen den Rien gibt ich au der Bedingung der Einleitung von Kräften über die Verbundpannung von Betontahl zum Beton zu l 2 l t R t Bei zunehmender Latteigerung enttehen keine neuen Rie. E kommt lediglich zu einer Vergrößerung der Ribreite w. Bild 12.14: Abgechloene Ribildung bei einem zentrich gezogenen Stahlbetontab Wie au dem Bild weiter zu ehen it, trägt der Beton zwichen den Rien mit. Dehalb it die für die Biegebemeung angeetzte Spannungverteilung nur für den Querchnitt an der Stelle der Ribildung zutreffend. Zwichen den Rien übernimmt der Beton Zugpannungen und omit auch Anteile der Latabtragung im Zugbereich (tenion tiffening effect). Einen genaueren Zuammenhang zwichen Stahldehnung und Stahlpannung erläutert da Bild Solange die Beanpruchung kleiner it al σ r verbleibt der Träger im Zutand I. E beteht zwichen Spannung- und Dehnungänderung ein linearer Zuammenhang. Wird die Beanpruchung über den Wert σ r hinau geteigert, etzt die Ribildung ein. Hier it eine überproportionale Steigerung der Dehnung zu erkennen. Die Ribildung it ungefähr bei einem Wert von 1,3 σ r abgechloen. Bei weiterer

21 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite Latteigerung wachen die Spannungen annähernd wie zu Beginn der Beanpruchung bi zum Erreichen der Stahlpannung f y. Oberhalb der Streckgrenze tritt örtliche Fließen de Bewehrungtabe auf. Deutlich it die Beteiligung de Beton zwichen den Rien zu erkennen, indem diee Kurve mit dem reinen Zutand II verglichen wird. Die Steigerung der Spannung-Dehnungbeziehung kann al Biegeteifigkeit gedeutet werden. Diee wird für nichtlineare Verfahren bei der Schnittgrößenermittlung benutzt. Bild 12.15: Spannung-Dehnung-Linie de Betontahl bei Berückichtigung der Mitwirkung de Beton auf Zug zwichen den Rien In einem Bauteil mit örtlich unterchiedlicher Beanpruchung können alle Dehnungzutände wie zuvor bechrieben auftreten. Dehnungunterchied zwichen Betontahl und Stahl it gleich Null. E liegt der Zutand I vor. Dehnungunterchied it nur bereichweie vorhanden. E liegt die Einzelribildung vor. Dehnungunterchied it überall vorhanden. Die it der Zutand II der abgechloenen Ribildung Anforderungen gemäß EC2, Ziffer 7.3 Da im Stahlbetonbau Rie unvermeidbar ind, it die Ribreite o zu bechränken, da die ordnunggemäße Nutzung de Tragwerk owie ein Ercheinungbild und die Dauerhaftigkeit al Folge von Rien nicht beeinträchtigt wird. Die Anforderungen an die Dauerhaftigkeit und da Ercheinungbild eine Bauteil gelten im Sinne de EC2 al erfüllt, wenn die Rechenwerte für w max gemäß Tabelle 7.1DE (vgl. Tab. 12.1) eingehalten ind. Für außergewöhnliche Anforderungen (z.b. bei Flüigkeitbehältern) könnten eventuell höhere Begrenzungen an die Ribreite getellt werden. Der Nachwei zur Begrenzung der Ribreite in der Norm umfat die folgenden Nachweie Nachwei der ribreitenbegrenzenden Mindetbewehrung (EC2, 7.3.2) Nachwei der Ribreite unter der maßgebenden Einwirkungkombination (indirekter Nachwei gemäß EC2, oder direkter Nachwei gemäß EC2, 7.3.4)

22 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite Tabelle 12.1: Rechenwerte für w max in [mm] Expoitionklae Stahlbeton und Vorpannung ohne Verbund Vorpannung mit nachträglichem Verbund mit Einwirkungkombination Vorpannung mit ofortigem Verbund Quai-tändig häufig häufig elten 1 X0, XC1 0,4 mm 0,2 mm 0,2 mm -- 2 XC2 XC4 0,3 mm 0,2 mm b),c) 0,2 mm b) -- 3 XS1 XS3 XD1, XD2, XD3 d) Dekompreion 0,2 mm a) Bei den Expoitionklaen X0 und XC1 hat die Ribreite keinen Einflu auf die Dauerhaftigkeit und dieer Grenzwert wird i. Allg. zur Wahrung eine akzeptablen Ercheinungbilde geetzt. Fehlen entprechende Anforderungen an da Ercheinungbild, darf dieer Grenzwert erhöht werden. b) Zuätzl. it der Nachw. der Dekompreion unter der quai-tändigen Einwirk.-kombination zu führen. c) Wenn der Korroionchutz anderweitig ichergetellt wir (Hinweie hierzu in den Zulaungen der Spannverfahren), darf der Dekompreionnachwei entfallen. d) Beachte (7). Beim Stoß von Betontahlmatten in zwei Ebenen mit einem Querchnitt a 6 cm²/m it der Nachwei der Ribreitenbegrenzung im Stoßbereich mit einer um 25% erhöhten Stahlpannung zu führen. Bei Platten mit einer Geamtdicke h 200 mm in der Expoitionklae XC1, die durch Biegung ohne weentlichen zentrichen Zug beanprucht werden, ind keine Nachweie zur Begrenzung der Ribreite erforderlich, wenn die Kontruktionregeln nach EC2 eingehalten werden Ribreitenbegrenzende Mindetbewehrung (EC2, 7.3.2) Die Anordnung einer Mindetbewehrung dient der Aufnahme von Zwangeinwirkungen und Eigenpannungen. Diee Mindetbewehrung it unter Berückichtigung der Anforderungen an die Ribreitenbegrenzung für die Schnittgrößenkombination zu bemeen, die im Bauteil zur Ertribildung führt. Bei Stahlbetonbauteilen darf die Mindetbewehrung vermindert werden, wenn die Zwangchnittgröße die Richnittgröße nicht erreicht. Die Mindetbewehrung it dann durch eine Bemeung für die nachgewieene Zwangchnittgröße zu ermitteln. Hierbei it die Anforderung an die Ribreitenbechränkung zu berückichtigen. Die Mindetbewehrung it bei profilierten Querchnitten, wie z.b. Hohlkaten- oder Plattenbalkenquerchnitten für jeden Teilquerchnitt einzeln nachzuweien. Der erforderliche Mindetbewehrungquerchnitt zur Begrenzung der Ribreite kann nach der folgenden Formel ermittelt werden: Dabei it: A,min die Mindetquerchnittfläche der Betontahlbewehrung innerhalb der Zugzone. A ct 1 A = k k f A σ,min c ct,eff ct die Fläche der Betonzugzone. Die Zugzone it derjenige Teil de Querchnitt oder Teilquerchnitt, der unter der zur Ertribildung am Geamtquerchnitt führenden Einwirkungkombination im ungerienen Zutand rechnerich unter Zugpannungen teht.

23 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite σ f ct,eff k k c der Abolutwert der maximal zuläigen Spannung in der Betontahlbewehrung unmittelbar nach Ribildung. Dieer darf al die Streckgrenze f yk angenommen werden. Zur Einhaltung der Ribreitengrenzwerte kann allerding ein geringerer Wert entprechend dem Grenzdurchmeer der Stäbe oder dem Höchtwert der Stababtände erforderlich werden (vgl. EC2, (2)). die wirkame Beton-Zugfetigkeit zum betrachteten Zeitpunkt t, die beim Auftreten der Rie zu erwarten it (bei dieem Nachwei: der Mittelwert der Zugfetigkeit f ctm ). In vielen Fällen, z.b. wenn der maßgebende Zwang durch Abfließen der Hydratationwärme entteht, kann die Ribildung in den erten 3 bi 5 Tagen nach dem Betonieren enttehen. In dieem Fall darf die wirkame Zugfetigkeit auf 0,5 f ctm geetzt werden, ofern in der Baubechreibung und auf den Auführungplänen entprechende Vermerke vorgenommen werden, damit auf der Bautelle bei der Fetlegung de Beton eine entprechende Aufforderung aufgenommen werden kann. Wenn die Ribildung nicht mit Sicherheit in den erten 28 Tagen erfolgt, it al Mindetwert für die Zugfetigkeit f ctm de Normalbeton 3,0 N/mm² anzuetzen. ein Beiwert zur Berückichtigung von nichtlinear verteilten Betonzugpannungen und weiteren rikraftreduzierenden Einflüen; e gelten folgende modifizierte Beiwerte: a) bei Zugpannungen infolge im Bauteil elbt hervorgerufenen Zwang wie z.b. Eigenpannungen durch Abfließen der Hydratationwärme: k = 0,8 für Querchnitte mit h 300 mm k = 0,5 für Querchnitte mit h 800 mm (Zwichenwerte interpolieren; für h gilt der kleinere Wert von Höhe oder Breite de Querchnitt oder de Teilquerchnitt) b) Zugpannungen infolge außerhalb de Bauteil hervorgerufenen Zwang wie z.b. Setzung k = 1,0 ein Beiwert zur Erfaung de Einflue der Spannungverteilung innerhalb de Querchnitte vor der Ertribildung owie Änderung de inneren Hebelarm: a) bei reinem Zug: k c = 1,0 b) bei Biegung oder Biegung mit Normalkraft bei Rechteckquerchnitten und Stegen von Plattenbalken und Hohlkäten: σ c k c = 0, k1 ( h h' ) fct,eff c) bei Biegung oder Biegung mit Normalkraft bei Zuggurten von Plattenbalken und Hohlkäten: Fcr k c = 0, 9 0, 5 Act fct,eff Hierin ind: σ c k 1 die Betonpannung in Höhe der Schwerlinie de Querchnitt im ungerienen Zutand unter der Einwirkungkombination, die am Geamtquerchnitt zur Ertribildung führt; σ = N b h (Hinwei: Druckpannung gilt al poitiver Wert!) c Ed ( ) der Beiwert zur Berückichtigung der Auwirkungen der Normalkräfte auf die Spannungverteilung: k 1 = 1,5 fall N Ed eine Druckkraft it und k 1 = 2 h /(3 h), fall N Ed eine Zugkraft it. h Korrekturbeiwert: h = h für h < 1,0 m; h = 1,0 m für h 1,0 m. F cr der Abolutwert der Zugkraft im Gurt unmittelbar vor Ribildung infolge de mit f ct,eff berechneten Rimoment.

24 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite Bei profilierten Querchnitten wie Hohlkäten oder Plattenbalken wird die Mindetbewehrung für jeden Teilquerchnitt, alo für die Gurte und Stege einzeln nachgewieen. Die Zerlegung erfolgt immer o, da ein mindeten einem Querchnittrand die Zugfetigkeit erreicht wird (Bild 12.16). Bild 12.16: Aufteilung in Teilquerchnitte am Beipiel eine Plattenbalken über einer Stützung Den oben angegebenen Formeln zur Berechnung der Mindetbewehrung liegt die Ritheorie für dünne Bauteile zugrunde. Bei dicken oder hohen Bauteilen (Bild 12.17) liegen die Bewehrunglagen oweit aueinander, da ich zwichen den weit entfernt voneinander liegenden Trennrien (Primärrien) eine Vielzahl von Sekundärrien eintellen, die ich nur über eine effektive Höhe h eff aubreiten und nicht den ganzen Querchnitt durchtrennen. Die Zugkraft für die Bildung der Sekundärrie it damit kleiner al die Zugkraft zur Erzeugung de nächten durchgehenden Trennrie. Die Sekundärrie tragen zum Abbau der Zugkraft infolge Zwang bei, o da die Mindetbewehrung von dicken Bauteilen unmittelbar bei der Trennribildung höher augenutzt werden kann. Die zur Bildung der Sekundärrie erforderliche Rikraft darf dehalb im Wirkungbereich einer Bewehrunglage A c,eff mit der effektiven Dicke h c,eff ermittelt werden. E it icherzutellen, da die ermittelte Mindetbewehrung im Trennri (Primärri) nicht fließt. Bild 12.17: Ribildungmechanimu bei dünnen (a) und dicken (b) Bauteilen unter zentrichem Zug

25 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite Für dicke Bauteile gilt hinichtlich der Mindetbewehrung alo: Dabei it: A c,eff der Wirkungbereich der Bewehrung nach Bild mit A c,eff = h c,ef b A ct die Fläche der Betonzugzone je Bauteileite mit A ct = 0,5 h b k c, k vgl. Beiwerte auf S fct,eff Act 1 fyk A =,min fct,eff Ac,eff σ 1 k k f A σ c ct,eff ct Bei dicken Bauteilen kann durch Einatz von langam erhärtenden Betonen (r 0,3) eine Verminderung der Zwangpannungen beim Abfließen der Hydratationwärme erzielt werden. In dieem beonderen Fall darf die ermittelte Mindetbewehrung um 15% reduziert werden. Die Auführungpläne müen hierzu Hinweie geben. Höhe der W.-zone h c,ef : m = 1 (zentr. Zug) m = 2 (Biegung) 0 h/d 1 < 5 m : h c,ef = 0,5 h/m 5 m h/d 1 < 30 m : h c,ef = 0,1 h/m + 2,0 d 1 h/d 1 30 m: h c,ef = 5,0 d 1 Bild 12.18: Wirkungbereich bei Bauteilen unter Zugbeanpruchung Die Mindetbewehrung it überwiegend am gezogenen Querchnittrand anzuordnen, mit einem angemeenen Anteil aber auch o über die Zugzone zu verteilen, da die Bildung breiter Sammelrie vermieden wird (Bild 12.19). Bild 12.19: Ribild eine hohen Balken mit chwacher Stegbewehrung

26 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite Begrenzung der Ribreite ohne direkte Berechnung (EC2, 7.3.3) Die Begrenzung der Ribreite erfolgt durch Einhaltung von Kontruktionregeln. Die Ribreiten werden unter den Vorauetzungen einer aureichenden Mindetbewehrung nach Kap auf zuläige Werte begrenzt, wenn bei Rien infolge überwiegenden Zwang der Stabdurchmeer nach Tabelle 12.2 (bzw. EC2, Tab. 7.2DE) eingehalten it. Dabei it für die Stahlpannung σ der Wert unmittelbar nach Ribildung (vgl. gemäß Definition in Kap ) einzuetzen. infolge überwiegend direkter Einwirkungen (Latbeanpruchung) die Bedingungen nach Tabelle 12.2 bezüglich der Stabdurchmeer oder die Bedingungen nach Tabelle 12.3 (bzw. EC2, Tab. 7.3N) bezüglich der Stababtände eingehalten ind. Die Stahlpannung σ it in der Regel auf Grundlage geriener Querchnitte unter der maßgebenden (quai-tändigen) Einwirkungkombination zu ermitteln. Der Eingangwert für die Betimmung de Grenzdurchmeer au Tabelle 12.2 oder de Grenzabtande au Tabelle 12.3 it die Stahlpannung σ. Der Ableewert it ein Grenzdurchmeer *, der in Abhängigkeit von der effektiven Betonzugfetigkeit f ct,eff, der Bauteildicke und ggf. vom Randabtand der Bewehrung modifiziert werden mu und damit auf da maximal zuläige Maß de Stabdurchmeer,lim führt. E gilt:,prov,lim. Bei überwiegender Latbeanpruchung kann alternativ auch der Höchtwert der Stababtände gemäß Tabelle 12.3 ohne weitere Modifikation abgeleen werden. In einigen Publikationen wird jedoch davon abgeraten, die Begrenzung der Ribreite über die Höchtwerte der Stababtände icherzutellen; wenn, dann nur bei Platten mit einlagiger Bewehrung. Tabelle 12.2: Grenzdurchmeer bei Betontählen gemäß EC2, Tab. 7.2DE Stahlpannung w k = 0,40 σ [N/mm²] b) mm Grenzdurchmeer der Stäbe * in mm a) w k = 0,30 mm w k = 0,20 mm w k = 0,15 mm w k = 0,10 mm a) Die Werte dieer Tabelle baieren auf den folgenden Annahmen: Grenzwerte der Gleichungen 7.9 und 7.11 de EC2 mit f ct,eff = 2,9 N/mm² und E = N/mm²: b) unter der maßgebenden Einwirkungkombination σ = w 3, k

27 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite Tabelle 12.3: Höchtwerte der Stababtände zur Ribreitenbegrenzung gemäß EC2, Tab. 7.3N Stahlpannung σ [N/mm²] a) Höchtwerte der Stababtände in mm w k = 0,40 mm w k = 0,30 mm w k = 0,20 mm a) unter der maßgebenden Einwirkungkombination Für Stahlbetonbauteile müen die Grenzdurchmeer (ggf. der maximale Stababtand) wie folgt nachgewieen werden: für die Mindetbewehrung bei Biegezwang (Kap ): f c cr ct,eff f k k h,lim = 4 ( h d) fct, 0 fct, 0 für die Mindetbewehrung bei zentr. Zwang (Kap ): f c cr ct,eff f k k h,lim = 8 wie vor, jedoch bei dicken Bauteilen (Kap ):,lim f = f ct,eff ct,eff ( h d) fct, 0 fct, 0 ct,eff ct, 0 bei einer Latbeanpruchung (überwiegend direkte Einwirkungen): Dabei it: f σ A,lim = 4 ct,eff ( h d) b fct, 0 fct, 0 oder l l,lim,lim der modifizierte Grenzdurchmeer; e gilt:,prov,lim. * der Grenzdurchmeer nach Tabelle 12.2; h, d die Geamthöhe bzw. die Nutzhöhe de Querchnitt h cr die Höhe der Zugzone unmittelbar vor Ribildung f ct,eff die wirkame Zugfetigkeit zum betrachteten Zeitpunkt t, die beim Auftreten der Rie zu erwarten it (bei dieem Nachwei: der Mittelwert der Zugfetigkeit f ctm ). In vielen Fällen, z.b wenn der maßgebende Zwang durch Abfließen der Hydratationwärme entteht, kann die Ribildung in den erten 3 bi 5 Tagen nach dem Betonieren enttehen. In dieem Fall darf die wirkame Zugfetigkeit auf 0,5 f ctm geetzt werden, ofern in der Baubechreibung und auf den Auführungplänen entprechende Vermerke vorgenommen werden, damit auf der Bautelle bei der Fetlegung de Beton eine entprechende Aufforderung aufgenommen werden kann. Wenn die Ribildung nicht mit Sicherheit in den erten 28 Tagen erfolgt, it al Mindetwert für die Zugfetigkeit f ctm de Normalbeton 3,0 N/mm² anzuetzen.

28 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite l,lim der Grenztababtand nach Tabelle 12.3; f ct,0 der Bezugwert für die Betonzugfetigkeit = 2,90 N/mm². Bei unterchiedlichen Stabdurchmeern darf ein mittlerer Durchmeer angeetzt werden.,m = Σ,i 2 / Σ,i Bei Stabbündeln mu der Vergleichdurchmeer n nachgewieen werden. n = n Bei Betontahlmatten mit Doppeltäben darf jedoch der Durchmeer de Einzeltabe nachgewieen werden. E braucht alo kein Vergleichdurchmeer gebildet werden. Werden Betontahlmatten mit a 6,0 cm²/m in zwei Ebenen getoßen, o it im Stoßbereich der Nachwei mit einer um 25% erhöhten Stahlpannung zu führen. Beipiel 12.5: Nachwei der Ribreitenbegrenzung für eine einachig gepannte Einfeldplatte Gegeben: Die 5,8 m lange Einfeldplatte mit d/h = 213/260 mm hat al tändige Flächenlat it g K = 6,5 kn/m² und al veränderliche Lat q k = 5,0 kn/m² (Verkaufraum: ψ 2 = 0,6) aufzunehmen. Zum Einatz kommt ein C25/30. Die maßgebende Expoitionklae it XC2. Kriechen und Schwinden ind durch die Parameter ϕ,t0 = 2,5 (Endkriechzahl) und ε c = -0,5 0 / 00 (Endchwindmaß) zu berückichtigen. Die Platte it in horizontaler Richtung zwängungfrei gelagert. Die Biegebemeung hat für da maßgebende Feldmoment mit m Ed = 68,44 knm/m eine Bewehrung von a,rqd = 7,52 cm²/m ergeben. Al Bewehrung wird eine R424 von Auflager zu Auflager durchgeführt und im mittleren Feldbereich eine weiteren Matte R335 hinzugelegt (a,prov = 4,24 + 3,35 = 7,59 cm²/m). Geucht: Mindetbewehrung und Nachwei der Ribreite ohne direkte Berechnung. Mindetbewehrung: Die Platte it tatich betimmt gelagert, o da keine Zwangchnittgrößen enttehen können. Beim Abfließen der Hydratationwärme kann ich die Platte zwängungfrei ver kürzen. Eine Mindetbewehrung zur Begrenzung der Ribreite it omit nicht erforderlich. Grenzdurchmeer zur Ribreitenbegrenzung: Rie werden durch Latbeanpruchung hervorgerufen; die maßgebende Gleichung it: Stahlpannung im Zutand II unter quai-tändiger Lat (Verkaufraum: ψ 2 = 0,6): mit σ A 4 ( h d) b f ct, 0,prov,lim = max f ct,eff 2, 9 m Ed,perm = (6,5 + 0,6 5,0) 5,8²/8 = 39,95 knm/m und z 0,9 d

29 Prof. Dr.-Ing. J. Göttche Seite m Ed,perm 1 39, 95 σ = + n Ed,perm 0 27, 45kN cm 274, 5N mm a z 7, 59 + = = 0, 9 0, Ableewert au Tab (für w k = 0,3 mm): * = 13,5 mm 274, 5 759, 0 13, 5 4 ( ) , 9 5, 16,lim = max = max = 12, 1mm 2, 6 12, 1 13, 5 2, 9 Nachwei:,prov = 8,52 mm (gemitt. Durchmeer) 12,1 mm =,lim Ergänzung: Der Nachwei der Ribreitenbegrenzung über die Höchtwerte der Stababtände mit l l,lim gemäß Tabelle 12.3 führt zu folgendem Ergebni: Ableewert au Tab (für w k = 0,3 mm und σ = 274,5 N/mm²): l,lim = 156 mm Nachwei: l,prov = 150 mm 156 mm = l,lim Beipiel 12.6: Nachwei der Ribreitenbegrenzung für eine Winkeltützwand (w k,max = 0,3 mm) Gegeben: Zur Abtützung eine 3,0 m hohen Geländeprung oll die dargetellte Winkeltützwand au C30/37 errichtet werden. Die Schnittgrößen am Wandfuß wurden bereit betimmt. n Gk = -21,0 kn/m (Wandeigengewicht) m Ek = 37,5 knm/m (tändiger Erddruck) m Qk = 22,5 knm/m (veränderl. Lat auf Erdr.) Betondeckung: c nom = 35 mm (XC2, erdeitig) c nom = 55 mm (XD3, lufteitig) Die vertikale Bewehrung (innen: 16/20 owie außen: 12/25 cm) liegt vor der horizontale Bewehrung (jeweil 10/20 cm) und wurde bereit nach Durchführung der Biegebemeung betimmt (innen: a,rqd = 8,15 cm²/m). a,horiz. = 10 / 10,0 Geucht: Nachwei zur Ribreitenbegrenzung für die horizontale Bewehrung (Zwang infolge de Abfließen der Hydratationwärme) owie die vertikale Bewehrung (Nachwei für die Latbeanpruchung). Mindetbewehrung in horizontaler Richtung: Hinwei: Die Wand hat in horizontaler Richtung keine Laten aufzunehmen. Sie wird lediglich durch Zwangpannungen infolge de Abfließen der Hydratationwärme beanprucht. E mu davon augegangen werden, da die aufgehende Wand auf die bereit erhärtete Sohlplatte betoniert wird. Die Mindetbewehrung oll in der Lage ein, die Zwangchnittgrößen aufzunehmen und die vertik. Rie zu kontrollieren (w k 0,3 mm).