2 Scheiben und Träger

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1 Scheiben und Träger.3 Verformungvermögen ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III Die Anwendung der tatichen und der kinematichen Methode der Platizitättheorie erlaubt die Eingrenzung der Traglat eine Tragwerk. Dabei wird implizit von einem aureichenden Verformungvermögen augegangen, da die Traglat unter der Annahme eine ideal platichen Verhalten ermittelt wird. Aufgrund der effektiv begrenzten Duktilität von Stahlbeton tellt ich inbeondere bei der Anwendung der tatichen Methode der Platizitättheorie die Frage, ob ich ein der Bemeung zugrunde gelegter Gleichgewichtzutand tatächlich eintellen und ein vorzeitige Veragen augechloen werden kann. Für diee Fragetellung laen ich grundätzlich kaum eindeutige Löungen finden. Ein Grundproblem beteht darin, da die wirkliche Belatung- und Zwängunggechichte eine Tragwerk nicht hinreichend bekannt it; üblicherweie wird tillchweigend angenommen, da der initiale (latfreie) Zutand frei von Spannungen und Verformungen it. Tatächlich liegen in jedem Fall aber mehr oder minder beträchtliche initiale Spannungen und Verformungen infolge vorangegangener Belatungen und Zwängungen vor. Ein weitere Problem ergibt ich au dem Umtand, da für die Berechnung von Verformungen eine Vielzahl von Material- und Sytemkennwerten benötigt werden, die oft entweder ungenügend bekannt ind oder groen Streuungen unterliegen. Au den oben erwähnten Gründen begnügt man ich bei praktichen Anwendungen in der Regel damit, betimmte Verformunggröen zuverläig abzuchätzen. Detaillierte Berechnungen ind vergleichweie aufwendig und nur bei peziellen Problemtellungen gerechtfertigt. Immer ollte man ich aber über die mit dem gewählten Rechenverfahren erreichbare Genauigkeit und über die Auagekraft der gewonnenen Reultate im Klaren ein. In dieem Kapitel wird gezeigt, wie da Verformungvermögen von Trägern unterucht und damit ein Nachwei de platichen Verformungvermögen erbracht werden kann.

2 Träger Verformungvermögen Begrenzung der Druckzonenhöhe nach SIA 6 cd x 0.35d x 0.50d d h m Af d 0.85x d d 0.98d 0.98 ( m 0.65 / 0.35c d 5.6 omit f / E ) r d d 0.45d 0.45 ( m 0.5 / 0.5c d 3.0 omit f / E ) r d Maximaler Bewehrunggehalt und Biegewidertand nach SIA 6, Ziffer 4..4.: (für vorwiegend auf Biegung beanpruchte Bauteile) x/d 0.35: Schnittgröenumlagerungen ohne Nachwei de Verformungvermögen x / d M bd f ( ) 0.53bd f Rd cd cd ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III Wiederholung au Stahlbeton I, Biegung: Gemä der Norm SIA 6 dürfen Schnittgröen von Trägern ohne Nachwei de Verformungvermögen umgelagert werden, ofern die Druckzonenhöhe auf x/d 0.35 begrenzt wird; Druckzonenhöhen mit x/d > 0.5 ind zu vermeiden. Auzug au der Norm: Ein duktile Verhalten it durch kontruktive Manahmen (z.b. Verbügelung der Biegedruckzone), die Wahl der Bautoffe und da Einlegen einer Mindetbewehrung icherzutellen Schnittgröen tatich unbetimmter, vorwiegend auf Biegung beanpruchter Bauteile, die nach Ziffer (elatich) ermittelt wurden, können unter Einhaltung der Gleichgewichtbedingungen und unter Beachtung von Ziffer ohne rechnerichen Nachwei de Verformungvermögen umgelagert werden, wenn: - die bezogene Druckzonenhöhe den Wert xld = /f d nicht überchreitet - bei Flachdecken die Plattenrotation gemä Gleichung (59) gröer al 0,00 it - Betontahl der Klaen B oder C und Beton der Klaen C50/60 verwendet wird. Für die Ermittlung der Druckzonenhöhe x gelten die Idealiierungen gemä Ziffer 4..; eine allenfall vorhandene Druckbewehrung darf in Rechnung getellt werden Fall die Bedingungen der Ziffer nicht eingehalten werden, it ein rechnericher Nachwei de platichen Verformungvermögen zu erbringen. Sowohl Werte x/d > /f d in Biegedruckzonen al auch < 0,008 in Flachdecken ind wenn möglich zu vermeiden.

3 Begrenzung der Druckzonenhöhe nach SIA 6 cd x 0.35d Träger Verformungvermögen x 0.50d d h m m c d Af d 0.85x d d 0.98d 0.98 ( 0.65 / omit f / E ) r d d 0.45d 0.45 ( m 0.5 / 0.5c d 3.0 omit f / E ) r d Maximaler Bewehrunggehalt und Biegewidertand nach SIA 6, Ziffer 4..4.: (für vorwiegend auf Biegung beanpruchte Bauteile) 0.35 x/d 0.5: Schnittgröenumlagerungen mit Nachwei de Verformungvermögen x / d M bd f ( ) 0.335bd f Rd cd cd ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 3 Ergänzende Bemerkung: - Die für die Einhaltung der Bedingung x/d nötige minimale Trägerhöhe kann au den angegebenen Beziehungen für M Rd ermittelt werden. - Mit einer Umchnürung- oder einer Druckbewehrung kann die Druckzonenhöhe verringert und damit da Verformungvermögen erhöht werden. - Wird eine Druckbewehrung vorgeehen, it der Betonierbarkeit beondere Aufmerkamkeit zu chenken (mehrere Lagen Druckbewehrung erchweren da Einbringen und Verdichten de Beton); wenn der Beton nicht einwandfrei verdichtet werden kann, it eine Druckbewehrung kontraproduktiv. Sind mehrere Lagen Druckbewehrung erforderlich, it e güntig, die Stäbe in Vertikalebenen auzurichten (o da dazwichen Platz für Vibriernadeln bleibt). - Al Druckbewehrung kommt auch Bewehrung der Fetigkeitklae B700B in Frage, inbeondere wenn die Platzverhältnie knapp ind. 3

4 Träger Verformungvermögen Begrenzung der Druckzonenhöhe nach SIA 6 cd x 0.50d d h m Af d 0.85x d Maximaler Bewehrunggehalt und Biegewidertand nach SIA 6, Ziffer 4..4.: (für vorwiegend auf Biegung beanpruchte Bauteile) x/d > 0.50: it zu vermeiden ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 4 4

5 Träger Verformungvermögen Begrenzung der Druckzonenhöhe nach SIA 6 d h x 0.35d x 0.50d x 0.35d x 0.50d x 0.50d Maximaler Bewehrunggehalt und Biegewidertand nach SIA 6, Ziffer 4..4.: (für vorwiegend auf Biegung beanpruchte Bauteile) x/d 0.35: Schnittgröenumlagerungen ohne Nachwei de Verformungvermögen x / d M bd f ( ) 0.53bd f Rd cd cd 0.35 x/d 0.5: Schnittgröenumlagerungen mit Nachwei de Verformungvermögen x / d M bd f ( ) 0.335bd f Rd cd cd x/d > 0.50: it zu vermeiden ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 5 5

6 Träger Verformungvermögen Begrenzung der Druckzonenhöhe nach SIA 6 d h x 0.35d x 0.50d x 0.50d Maximaler Bewehrunggehalt und Biegewidertand nach SIA 6, Ziffer 4..4.: (für vorwiegend auf Biegung beanpruchte Bauteile)? 0.35 x/d 0.5: Schnittgröenumlagerungen mit Nachwei de Verformungvermögen ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 6 Wie bereit angemerkt, it der Nachwei de platichen Verformungvermögen nur näherungweie möglich, und elbt dazu ind relativ aufwändige Unteruchungen erforderlich. Ein mögliche Vorgehen wird auf den folgenden Folien erläutert. 6

7 Sytemverhalten (iehe auch [], p. -3ff) Träger Verformungvermögen q Kontinuierliche Steigerung der Lat q: Fliebeginn zuert bei der Einpannung, erte platiche Gelenk an dieer Stelle Einfach tatich unbetimmte Sytem wird (für die Zuatzbelatung) zu einfachem Balken Weitere Latteigerung möglich, bi ich im Feld ein zweite platiche Gelenk bildet (= Mechanimu): Platiche Rotation bei der Einpanntelle erforderlich Rotationbedarf abhängig vom tatichen Sytem. und der Belatungkonfiguration. Rotationvermögen begrenzt durch Stahldehnungen und Betontauchungen Nachwei = Vergleich: Verformungvermögen pu Verformungbedarf pu,req ' M u M u V M ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 7 Wiederholung au Bautatik: Bei der Ermittlung der Traglat tatich unbetimmter, ideal platicher Syteme geht man in der Regel von einem initial Eigenpannungfreien Zutand au und nimmt an, da ich da Tragwerk zunächt elatich verhält. Sobald in einem Querchnitt der Biegewidertand erreicht wird, bildet ich dort ein platiche Gelenk, und für die weitere Belatung bleibt da Moment im platichen Gelenk kontant. Mit jedem platichen Gelenk wird der Grad der tatichen Unbetimmtheit reduziert, bi ein tatich betimmte Sytem vorliegt. Bildet ich ein weitere platiche Gelenk, it die Traglat erreicht, und der Kollapmechanimu tellt ich ein. Der Verformungbedarf (Rotationbedarf) kann ermittelt werden, indem die platichen Rotationen in den platichen Gelenken (ab dem Moment, in dem im entprechenden Querchnitt der Biegewidertand erreicht wurde) ermittelt werden. Für den Nachwei eine aureichenden platichen Verformungvermögen it der Verformungbedarf dem Verformungvermögen (Rotationvermögen, rep. «rotation capacity») gegenüberzutellen. 7

8 Träger Verformungvermögen Rotationbedarf pu,req (Näherung, Beipiel Zweifeldträger) Allgemein ind Verformungvermögen und Verformungbedarf gekoppelt. Nur für moderate Umlagerungen kann die Wechelwirkung vernachläigt werden. Zuätzliche Vereinfachungen: l q l q g h Biegeteifigkeit kontant M- tarr-ideal platich (keine Verfetigung im platichen Gelenk) Damit entpricht der Rotationbedarf pu,req de Gelenk beim Zwichenauflager dem Auflagerdrehwinkel der beiden Trägerhälften, die nach dem Erreichen von M ay (bei q = q y ) al einfache Balken betrachtet werden können: q q 3 y l pu, req EI M M by EI h h M g M ay M g q M a M ay k 0 Schlulinie ap (Zweifeldträger, erte platiche Gelenk beim Zwichenauflager, Verformungbedarf für Vollat) ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 8 Eine getrennte Behandlung de Verformungvermögen und de Verformungbedarf it im Allgemeinen nicht möglich, da die erreichbaren platichen Gelenkwinkel bei tatich unbetimmten Sytemen von den Verformungen de Sytem, repektive von den Schnittgröenumlagerungen, abhängig ind. Für moderate Schnittgröenumlagerungen kann diee Wechelwirkung aber näherungweie vernachläigt werden. Nachfolgend wird entprechend da Verformungvermögen unabhängig vom Verformungbedarf unterucht. Dazu wird bei der Ermittlung de Verformungbedarf voraugeetzt, da ich da platiche Gelenk ideal platich verhält (keine Verfetigung). Die teht grundätzlich im Widerpruch zur bei der Ermittlung de Verformungvermögen angeetzten bilinearen Stoffbeziehung (mit Verfetigung) der Bewehrung, it jedoch in Anbetracht der getrennten Betrachtung von Verformungvermögen und bedarf zuläig und vereinfacht die Berechnungen tark. Um zuverläige Reultate zu erhalten, it grundätzlich der Einflu der Ribildung bei der Ermittlung der Beanpruchungen zu berückichtigen. Da Verhalten it damit bereit vor der Bildung de erten platichen Gelenk nichtlinear. Näherungweie kann von einem (über die ganze Trägerlänge) gerien-elatichen Verhalten (Zutand II) und damit einer in erter Näherung kontanten Biegeteifigkeit augegangen werden. Die it inbeondere dehalb zuläig, da ich die Ribildung nach dem Auftreten von platichen Verformungen kaum mehr auf die Schnittgröenumlagerung auwirkt. Obwohl mit der Entkopplung de Verformungvermögen vom Verformungbedarf und den getroffenen Annahmen die tatächlichen Gegebenheiten tark vereinfacht werden, laen ich doch brauchbare Näherungen finden; die zumindet für übliche Trägerabmeungen und Bewehrunganordnungen. 8

9 Träger Verformungvermögen Rotationbedarf Beipiel Zweifeldträger q g q 00kN m A d d d ' A A B C L 6.00 L 6.00 M Rd M Bd M Rd M B A Moment über Zwichenauflager ql d 8 GS + ÜG M 0 M ' A 86 Af d kn A 86 Kraftmethode M za f 848 knm Rd d MM ql L ql EI 8 3EI EI 3 0 d d B0 M L L B ()() EI 3EI 3EI M 0 B B0 B B EI B0 d d M B r B 8 EI 8 Da meit EI ql EI ql ql d (i.d.r.) 8 it (Ribildung beginnt über B) findet ein Teil der Schnittkraftumlagerungen bereit vor Fliebeginn tatt (dadurch wird der platiche Rotationbedarf reduziert güntig!) ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 9 Die Unteruchung de Verformungvermögen wird am Beipiel de in der Abbildung gezeigten Zweifeldträger illutriert. In einem erten Schritt wird die elatiche Schnittkraftverteilung de Sytem ermittelt (einfach tatich unbetimmter Träger, Kraftmethode). Dabei kann der Einflu der Ribildung auf die Steifigkeiten (hier inbeondere poitive / negative Biegeteifigkeit) berückichtigt werden. Wie in der Stabtatik üblich, werden die (untergeordneten) Verformungen infolge Querkraft nicht berückichtigt. 9

10 Träger Verformungvermögen Rotationbedarf Beipiel Zweifeldträger q g q 00kN m A d d d ' A. A B C L 6.00 L A ' A 86 Af d kn A 86 M za f 848 knm Rd d EI II (gerien) M x/3 c x E c c c x A d E b hd x M M AEd, (hier vereinfachend ε II m = ε r angenommen, mit ε m < ε r reultiert ein 3 d x EI kleinerer Rotationbedarf) II M I EI AE d x 3 d x AEz ' MNm ( EIi 350 MNm ) z z ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 0 Die Berechnung erfolgt mit der Biegeteifigkeit im Zutand II (gerien elatich). Diee liegt bei etwa mehr al % der ungerienen Biegeteifigkeit. 0

11 Träger Verformungvermögen Rotationbedarf Beipiel Zweifeldträger Fliebeginn ql 8M 8848 r d Rd MRd qdy 8 rl r knm - r q q knm - d dy knm ( r.0) r knm ( r 0.8) 3 3 L 4.6 knm Breq, qdqdy 3 EI 7800 knm 8.5 mrad ( r ). mrad ( r 0.8) Nach Erreichen von M Rd : zwei Einfeldträger für Zuatzbelatung qd qdy mit entprechender Relativverdrehung der Trägerenden über B (iehe GS+ÜG in Folie 9) q dy A B C A B q d 0 q B dy Breq, q q Breq, B0 d dy C elatich (gerien) Umlagerung = platich ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III Der Rotationbedarf entpricht der Relativverdrehung im platichen Gelenk ab dem Erreichen de Biegewidertand. Da da Sytem (aufgrund der Annahme, da da platiche Gelenk keine Verfetigung aufweit) ab dieem Zeitpunkt al zwei Einfeldträger wirkt, kann diee Relativverdrehung ehr einfach au den Endverdrehungen der beiden Einfeldträger unter der Zuatzbelatung, welche nach dem Erreichen de Biegewidertand aufgebracht wird, ermittelt werden.

12 Träger Verformungvermögen Rotationvermögen pu allgemein Beipiel: Platicher Gelenkwinkel in Funktion von (Duktilitätklaen A-C, 999) pu [rad] B500C (Reien der Bewehrung mag.) Betonbruch (Biegedruckzone) B500B Reien der Bewehrung B500A [-] ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III Da Verformungvermögen (Rotationvermögen) eine Träger it durch folgende Veragenarten begrenzt: - Stauchung der Biegedruckzone (Betonbruch) - Reien der Bewehrung (Stahlbruch). Magebend it diejenige Veragenart, welche zuert (bei kleinerer Rotation) auftritt. Da Diagramm illutriert eindrücklich, da bei Verwendung einer Bewehrung mit niedriger Duktilität (B500A) ein ehr kleine Rotationvermögen beteht. Auch mit Betontahl B500B it in vielen Fällen (etwa für x/d <0.7) da Reien der Bewehrung magebend.

13 Träger Verformungvermögen Rotationvermögen pu vereinfacht (iehe auch [], p. -3ff) Bechränkung der platichen Rotation infolge Betontahl (Reien der Bewehrung): my d x d x mu pu Lpl Bechränkung der platichen Rotation infolge Beton (Erreichen Bruchtauchung): Krümmung bei Fliebeginn Krümmung beim Reien der Bewehrung m rm Rotation pro Ri: i d x Platiche Gelenkrotation = Summe der platichen Rotationen aller Rie ab Fliebeginn cd my puc Lpl x d x Krümmung bei Fliebeginn Krümmung bei Betonbruch L pl Platiche Gelenklänge, abhängig von Belatungkonfiguration und Geometrie: Bereich, in welchem die Gurtbewehrung fliet ( Gurtkraftverlauf i.a. au Spannungfeld ermitteln) mu my Mittlere Stahldehnung beim Erreichen von Mittlere Stahldehnung beim Erreichen von r ud r ft f r r f E r m Zuggurtmodell (Stahlbeton I) ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 3 In erter Näherung kann da Rotationvermögen abgechätzt werden, indem einereit eine Annahme über die Länge de platichen Gelenk getroffen und anderereit die platiche Krümmung bei der magebenden Veragenart (Betonbruch rep. Reien der Bewehrung) anhand einer Querchnittanalye ermittelt wird. Da Rotationvermögen (platiche Rotation in [rad]) reultiert odann au der Multiplikation der platichen Krümmungen [/m] mit der Länge de platichen Gelenk [m]. Die platiche Krümmung entpricht der Bruchkrümmung (beim Erreichen der Bruchtauchung de Beton, rep. der Bruchdehnung der Bewehrung), abzüglich der Krümmung bei Fliebeginn der Bewehrung. Sie beinhaltet omit keine elatichen Verformunganteile. Magebend für die Bruchkrümmung it diejenige Veragenart, welche zuert (bei kleinerer Rotation) auftritt. Bei der Veragenart «Reien der Bewehrung» darf nicht die Bruchdehnung u der nackten Bewehrung verwendet werden, da die Duktilität durch die Mitwirkung de Beton zwichen den Rien («Tenion Stiffening», zugverteifende Wirkung de Beton) tark reduziert wird. 3

14 Träger Verformungvermögen Rotationbedarf Rotationvermögen vereinfacht Beipiel Zweifeldträger C30/37: f cd = 0 MPa, f ctm =.9 MPa d. m, A' fd 848 kn 848 x 8 mm d x99 mm A 440 mm ' d x x m Rotation im Bruchzutand 0.60 my cu puc Lpl x d x my f E mit Krümmung bei Fliebeginn.3mrad m, Lpl platiche Länge = ca. d d x d x mu my pu L pl d x d x ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 4 Auf dieer und der folgenden Seite wird da Rotationvermögen für da Beipiel (Folie 9 ff.) in erter Näherung abgechätzt. Dabei wird angenommen, da für die Bewehrung eine mittlere Bruchdehnung von mu 0.5 ud angeetzt werden darf, und da die Länge de platichen Gelenk der doppelten tatichen Höhe entpricht, l pl d. Diee Annahmen werden anchlieend mit einer genaueren Berechnung verifiziert. E wird ich zeigen, da ie für B500C relativ gut timmen, für B500B jedoch nicht konervativ ind. Für Betontahl der Duktilitätklae B müten kleinere Werte für mu und l pl gewählt werden, um auf der icheren Seite zu ein (beipielweie l pl.5 d und mu 0.3 ud ) 4

15 Träger Verformungvermögen Rotationbedarf Rotationvermögen vereinfacht Beipiel Zweifeldträger Rotation im Bruchzutand Betonbruch my cu mrad puc Lpl m 3.4 mrad x d x 0.8 m OK puc B, req Stahlreien grobe Annahme: B, req (gechätzte Abminderung der Bruchdehnung infolge Zugverteifung iehe hinten) 0.05 mrad m 48.8 mrad ( B500B) my 0.99 m mu pu Lpl d x d x mrad m 7.7 mrad ( B500 C) 0.99 m OK pu.5 ( B500B) mu 0.5ud 3.5 ( B500C) Damit wäre der Nachwei de Verformungvermögen erbracht. Aber: It die Annahme von L pl, mu in Ordnung? ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 5 Mit den getroffenen Annahmen ( mu 0.5 ud, l pl d) kann der Nachwei de aureichenden Verformungvermögen erbracht werden (für B500B und B500C), d.h. da Rotationvermögen it gröer al der Rotationbedarf. E tellt ich jedoch die Frage, ob die Annahmen gerechtfertigt ind. Die wird auf den folgenden Seiten mittel einer genaueren Unteruchung überprüft: - Mittlere Dehnung de Zuggurt beim Reien der Bewehrung: Überprüfung mit Zuggurtmodell - Länge de platichen Gelenk (und Dehnungverteilung über die Länge de platichen Gelenk): Überprüfung mit Spannungfeldern 5

16 Ergänzungen Verformungvermögen Rotationvermögen pu «genauere Unteruchung» Grundlagen c x 0.85x = d d h m A r Riquerchnitt f f tk k Betontahl mit Verfetigung (Vernachläigung hier nicht innvoll: Lokaliierung der plat. Verformungen in einem Ri, praktich kein Rotationvermögen) Zuggurtmodell inkl. Bereich platicher Beanpruchung benötigt (iehe nächte Folie rep. geriene Scheibenmodell) ( = f d ) ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 6 Wiederholung au Stahlbeton I: Zuggurtmodell - Die Steifigkeit und da Verformungvermögen eine Zuggurt können mit dem Zuggurtmodell (Tenion Chord Model) unterucht werden. - Da Zuggurtmodell it ein tark vereinfachte, jedoch auf klaren mechanichen Grundlagen baierende Modell zur Erfaung der zugverteifenden Wirkung de Beton zwichen den Rien. E baiert auf einer abgetreppten, tarr-ideal platichen Verbundpannung-Schlupf-Beziehung, mit welcher da komplexe Verbundverhalten vereinfacht analyiert werden kann. Dabei wird die komplexe Kraftübertragung zwichen Beton und Bewehrung durch nominelle Schubpannungen erfat, welche entlang de nominellen Stabumfang al kontant verteilt wirkend voraugeetzt werden. 6

17 Zuggurtmodell Lat Ribildung (SBI) Betrachtung eine Zuggurte (Brutto-QS A c ), bewehrt mit Stab mit Durchmeer Ø ([], Seite 3.5f) N r z x N r Betonpannung in Mitte de Element mit Länge it, d.h. dort könnte ich ein weiterer Ri bilden. Somit it der minimale Riabtand: Allgemein mit Parameter : theoretiche Grenzen der Riabtände bei abgechloenem Ribild! maximaler Riabtand NB: Bei Ribildung tellt ich unter Lat (theoretich) chlagartig da abgechloene Ribild ein ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 7 Wiederholung au Stahlbeton I: Zuggurtmodell - Mit dem Zuggurtmodell können die maximalen und minimalen Riabtände, die Spannungen in der Bewehrung bei Ribildung und bei darüber hinaugehender Belatung, Ribreiten owie über die Länge de Zugglied gemittelte Dehnungen (welche für die Unteruchung de Verformungvermögen magebend ind) ermittelt werden. - Die Riabtände können nicht exakt betimmt werden. Vielmehr beteht eine Unicherheit (Faktor ) elbt bei «idealen» Verhältnien. Hinzu kommen divere weitere Unicherheiten (Streuung Betonzugfetigkeit, Verbund, ). - Rechnerich wird der Einflu de Riabtand im Zuggurtmodell mit dem Parameter erfat, welcher zwichen = 0.5 (minimaler theoreticher Riabtand) und = (maximaler theoreticher Riabtand) liegt. - Alle Verformungberechnungen (auch mit komplexeren Modellen al dem Zuggurtmodell) ind daher al Näherung zu betrachten. 7

18 Zuggurtmodell Lat Zugverteifung (SBI) Steigerung der Normalkraft nach der Ribildung ([], Seite 3.5f ) N > N r z x N > N r Betonpannungen bleiben nach Ribildung kontant. Stahlpannungen teigen weiter. Mittlere Betondehnung Verchiebung ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 8 Wiederholung au Stahlbeton I: Zuggurtmodell - Die «mittleren Betondehnungen» (über Länge de Rielement gemittelter Wert = Verlängerung de Beton über da Rielement dividiert durch die Länge de Rielement) können durch einfache Integration der linear verlaufenden Betondehnungen ermittelt werden. - Die relative Verchiebung de Riufer, augehend von der Mitte de Rielement, entpricht dem Integral der Betondehnungen über de halbe Rielement. 8

19 Zuggurtmodell Lat Zugverteifung (SBI) Steigerung der Normalkraft nach der Ribildung ([], Seite 3.5f ) N > N r z x N > N r Betonpannungen bleiben nach Ribildung kontant. Stahlpannungen teigen weiter. Mittlere Stahldehnung Verchiebung bei Ribildung (N=N r ) nach Ribildung (N>N r ) ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 9 Wiederholung au Stahlbeton I: Zuggurtmodell - Die «mittleren Stahldehnungen» (über Länge de Rielement gemittelter Wert = Verlängerung de Betontahl über da Rielement dividiert durch die Länge de Rielement) können durch einfache Integration der linear verlaufenden Stahldehnungen ermittelt werden. - Die Verlängerung de Zugglied (über Rielement gemittelt) entpricht der Verlängerung de Betontahl, die «mittlere Dehnung» de Zugglied omit der mittleren Stahldehnung. - Man erkennt, da die mittlere Dehnung de Zugglied derjenigen der nackten Bewehrung, abzüglich eine kontanten Term, entpricht. 9

20 Zuggurtmodell Lat Zugverteifung Steigerung der Normalkraft nach der Ribildung N>N r ([], Seite 3.5f ) N N r E A ε Betonpannungen bleiben nach Ribildung kontant. Stahlpannungen teigen weiter. Stahldehnung am Ri Mittlere Betondehnung Mittlere Stahldehnung f ctm /E c N-- und σ r --Diagramme: Reduktion der Dehnung de nackten Stahl um ( bleibt bi Fliebeginn kontant). NB: gute Näherung für w r (kleine ) Ribreiten: Differenz der mittleren Stahl- und Beton- Dehnungen, multipliziert mit r ( = ): ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 0 Wiederholung au Stahlbeton I: Zuggurtmodell - Die mittlere Dehnung de Zugglied entpricht derjenigen der nackten Bewehrung abzüglich eine kontanten Term.

21 Zuggurtmodell Lat Duktilität (SBI) Verhalten nach Überchreiten der Fliegrenze N z x N b0 fctm b fctm f t f f y uk,, Regime: Bewehrung in Rinähe platifiziert, dazwichen elatich (N.B: bei kleiner Verfetigung Bruch in dieem Regime) Beziehung für kompliziert (aber gechloen löbar) (Bruch durch Reien Bewehrung) Bewehrung fliet im ganzen Rielement. analog wie im elatichen Bereich ( tatt, mit ): nackter Stahl ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III Wiederholung au Stahlbeton I: Zuggurtmodell - Die Zugverteifung wirkt ich nachteilig auf die Duktilität au. Um die Duktilität beurteilen zu können, mu eine Verfetigung de Betontahl berückichtigt werden. Vereinfachend wird hier ein bilineare Stoffgeetz verwendet, iehe Abbildung recht. - Nach dem Überchreiten der Fliegrenze der Bewehrung nimmt die Verbundpannung gemä Zuggurtmodell auf die Hälfte de Augangwert ab. Da die Fliegrenze zuert in den Rien erreicht wird, wachen die Bereiche mit reduzierter Verbundpannung ukzeive von den Rien au in Richtung «Mitte zwichen zwei Rien» (teilplatifizierte Rielement: in Rinähe fliet die Bewehrung, dazwichen it ie noch elatich). Die Beziehungen für die mittleren Dehnungen in Funktion der Stahlpannung am Ri (und umgekehrt) ind in dieem Regime etwa komplizierter al für elatiche Verhalten. - Ab einer betimmten Beanpruchung fliet die Bewehrung im ganzen Rielement (vollplatifizierte Rielement). Die Beziehungen für die mittleren Dehnungen in Funktion der Stahlpannung am Ri (und umgekehrt) ind in dieem Regime analog wie im elatichen Bereich, einfach mit reduzierter Verbundpannung.

22 Zuggurtmodell Lat Duktilität (SBI) Stoffbeziehung der Bewehrung (Zuggurtmodell mit bilinearer Kennlinie de Bewehrungtahl): rm f t f E h N N E y u b b ( ) b0 f b ( ) f r b0 min ( ) b f typicher Spannungpfad m f r c f ct ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III Wiederholung au Stahlbeton I: Zuggurtmodell - Die Abbildung zeigt nochmal die gleichen Punkte wie die vorhergehende Folie, in etwa anderer Dartellung, für da teilplatifizierte Regime. - Zuätzlich ind neben den Stahlpannungen auch die Stahldehnungen angegeben (in etwa matäblich). Man erkennt, da obchon die Stahlpannungen weniger tark variieren die Stahldehnungen im Bereich, wo die Bewehrung fliet (Rinähe) weentlich tärker anwachen und der gröte Teil der Verlängerung de Zugglied durch diee Dehnungen hervorgerufen wird. Die, da die Steifigkeit der Bewehrung nach Fliebeginn dratich abfällt (Verfetigungmodul it viel kleiner al Elatizitätmodul).

23 Zuggurtmodell Lat Duktilität (SBI) Lat-Verformungverhalten mit Berückichtigung de Verbund bei hoher Beanpruchung Kein Einflu auf Zugwidertand Steifere Verhalten al nackter Stahl Verhältni mittlere Dehnungen zu maximaler Dehnung in den Rien mit Berückichtigung de Verbund Starker Abfall nach Fliebeginn Einflu auf Duktilität beachten! f t Fliebeginn % % 4% 4% r 0 0 Gebrauchverhalten (biher betrachtet) m u m r 0 0 r % % u f 500MPa f u u 65MPa E 00GPa mm f 30 MPa c ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 3 Wiederholung au Stahlbeton I: Zuggurtmodell - Die Abbildung illutriert die Reduktion der Duktilität durch die Zugverteifung. Obchon die Berechnungen für verhältnimäig duktile Bewehrung und groe Bewehrunggehalte durchgeführt wurden, it der Einflu markant. - Der auf der rechten Seite dargetellte Wert m / r it ein Ma dafür, inwieweit die Duktilität de nackten Betontahl durch den Verbund vermindert wird. 3

24 Träger Verformungvermögen Rotationvermögen pu «genauere Unteruchung» Grundlagen Stoffbeziehung der Bewehrung (Zuggurtmodell). Bewehrung über ganze Rielement elatich, f : r m (nackte Bewehrung, = ) E E E r b0 r b0 r 0 0. Bewehrung fliet in Rinähe, f f r b r : f E f r h b0 r b0 b0 r m y 4Ehb r Eb E b E min 3. Bewehrung fliet über ganze Rielement, f b r r ft : f (nackte Bewehrung, = ) m y r b r b r Eh Eh Eh ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 4 Ergänzung zu Stahlbeton I: Zuggurtmodell In der Abbildung ind die Beziehungen für die Ermittlung der mittleren Dehnungen in allen drei Regime ( ganze Rielement elatich / Bewehrung fliet in Rinähe / 3 Bewehrung fliet im ganzen Rielement) angegeben. Die Beziehungen gelten für eine bilineare Spannung-Dehnung-Beziehung der Bewehrung. Man erkennt, da im Regime 3, genau wie im Regime, die mittleren Dehnungen um einen kontanten Betrag kleiner ind al diejenigen der nackten Bewehrung. Die Differenz it jedoch im Regime 3 deutlich gröer (Spannungdifferenz bei gleicher Dehnung halb o gro (da b0 = b it), aber Verfetigungmodul ca. 40 mal kleiner al Elatizitätmodul). 4

25 Elatiche Biegeteifigkeit Zugverteifung (SBI) [], Seite.6f x d h Setzt man die Stahlpannung am Ri Mr( d x) E r0 II EI beim Erreichen von M r gleich der Spannung r0 fct n t n f ct fct ( t) t beim Reien eine Zuggurtelement, reultiert der äquivalente Bewehrunggehalt t : t Mr( d x) E II f EI ct n ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 5 Wiederholung au Stahlbeton I: Mit der Definition eine äquivalenten Bewehrunggehalt können die Beziehungen de Zuggurtmodell auf Biegeträger angewendet werden. 5

26 Träger Verformungvermögen Rotationvermögen «genauere Unteruchung» Beipiel Zweifeldträger C30/37: f cd = 0 MPa, f ctm =.9 MPa d. m, A' fd 848 kn 848 x 8 mm d x99 mm Äquivalenter Bewehrunggehalt t.% Mr( d x) E n II f EI ct rm0 9 mm... 4 t 50 mm (Bügelabtand) rm NB: Zum Vergleich Bewehrunggehalt Zuggurt: %.0.0 rm mm... 4 A 440 mm ' d' x x m ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 6 Auf dieer und den folgenden Seiten wird da Verformungvermögen mit dem Zuggurtmodell unterucht. Dazu wird in einem erten Schritt der äquivalente Bewehrunggehalt de Biegeträger (Zuggurt) ermittelt. Ergänzende Bemerkung: - Der angegebene äquivalente Bewehrunggehalt wurde entprechend dem in der Vorleung Stahlbeton I bechriebenen Vorgehen ermittelt (f ct =.9MPa,M r = 6 knm, EI II = 780 MNm,(d-x) = 99 mm (mit Flanch b = 0.60 m, Steg b = 0.0 m)) 6

27 Träger Verformungvermögen Rotationvermögen «genauere Unteruchung» Beipiel Zweifeldträger Zuggurtmodell 6 mm rm 50 mm (Bügelabtand) E 05 GPa fctm.9 MPa b0 fctm 5.8 MPa f.9 MPa b ctm f B500C : f m r r f «elatich» r b0 r r m E E E nackter Stahl m min 5.9 ( 3 mit r 556 MPa) m r ft mu B500B : m r f ( Regime mit f, erreicht Regime 3 nicht) mu r t r f, min f...;übergang zu Regime 3 bei «teilweie b r! platifiziert» min r r 56 MPa f r f 56 MPa B500B reit im Regime f r f b r 3 min f m E E h Eh «voll platifiziert» nackter Stahl 3 3 (B500C) 30 (B500B) f b r r fd Eh m E 3 B500C B500B 9MPa ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 7 Mit dem äquivalenten Bewehrunggehalt können die Kennlinien de Zuggurt (Kraft rep. Stahlpannung - mittlere Dehnung) ermittelt werden. Diee ind auf den folgenden Folien für B500B und B500C dargetellt. Bemerkenwert it, da die Bewehrung B500B da Regime 3 (Bewehrung fliet über ganze Rielement) nicht erreicht, ondern im Regime (Bewehrung fliet nur in Rinähe) veragt. Dadurch wird die Duktilität tark beeinträchtigt. Der Grund liegt primär in der zu geringen Verfetigung de B500B (und weniger in der Bruchdehnung). Bei der (graphichen) Kontruktion der Kennlinien kann man ich zu Nutzen machen, da Regime 3 erreicht wird, wenn die minimale Stahlpannung min (in der Mitte zwichen zwei Rien) die Fliegrenze überchreitet. Diee untercheidet ich von der Kennlinie de nackten Bewehrungtahl um den gleichen Betrag (im Beipiel 56 MPa) wie die maximale Stahlpannung r (am Ri). 7

28 Träger Verformungvermögen Rotationvermögen «genauere Unteruchung» Beipiel Zweifeldträger r [ MPa] b r 3. E r m 3 ft mu h E h B500C f.5 f 575 t E h GPa f 500 b0 r E r min f 500 B500C f.4 E m [ ] (B500C) 65 ud ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 8 Kennlinie de Zuggurt für B500B: - Reduktion der Bruchdehnung von ud 6.5% (nackte Bewehrung) auf mu 4.% (Zuggurt) - Bruch im Regime 3 (voll platifiziert) 8

29 Träger Verformungvermögen Rotationvermögen «genauere Unteruchung» Beipiel Zweifeldträger r [ MPa] Bruch in Regime! f 500 f 540 t mu 7.7 E h B500B f.08 f 540 t E h GPa 45.4 r b E B500B f.4 E ud (B500B) m [ ] ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 9 Kennlinie de Zuggurt für B500B: - Reduktion der Bruchdehnung von ud 4.5% (nackte Bewehrung) auf mu.8% (Zuggurt) - Bruch im Regime (teilplatifiziert) 9

30 Träger Verformungvermögen Rotationvermögen «genauere Unteruchung» Beipiel Zweifeldträger r [ MPa] f 500 r m f 540 t mu E h ft 575 mu 4 B500B f 540 t E h f 575 t B500C B500B f.4 E m [ ] (B500B) 45 (B500C) 65 ud ud ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 30 Vergleich der Kennlinien de Zuggurt für B500B und B500C. Der Unterchied in der Duktilität der nackten Bewehrung wird durch den Verbund deutlich akzentuiert. 30

31 Träger Verformungvermögen Rotationvermögen «genauere Unteruchung» Beipiel Zweifeldträger «Platiche Länge» (über welche Länge it der Zuggurt platifiziert?) q d bei P: bei P: min r f wd z cot f f 3 voll platifiziert teilweie platifiziert elatich 0 R Bd F up 3 0 z cot L pl f wd 0 P P A f x F up z.0 dfup qd fwdcot 0( x) dx cot ( x) x z 0 x qd f Fup ( x) A ft z P P wd x q! r f : Fup A f A ft x min f, r f x b rm A f f z t q d f wd A ft f q f d wd d f z wd b rm z ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 3 Neben der Gröe der Dehnung de Zuggurt beim Reien der Bewehrung it auch die Länge de platichen Gelenk zu betimmen, und ebeno die Dehnungverteilung in dieem Bereich. Diee Werte können mit einem Spannungfeld unterucht werden, wobei vereinfachend ein punktzentrierter Fächer angenommen wird. Im unteruchten Bruchzutand (Reien der Zuggurtbewehrung) beträgt die Spannung in der Gurtbewehrung über dem Auflager r f t (Zugfetigkeit der Bewehrung). Augehend von dieem Punkt kann der paraboliche Verlauf der Zuggurtkraft betimmt werden. Durch Gleichetzen der Spannung im Zuggurt mit den Regimegrenzen au dem Zuggurtmodell (vollplatifiziert-teilplatifiziert bei min f teilplatifiziert-elatich bei r f ) kann der Bereich, in welchem im Zuggurt platiche Dehnungen auftreten («platiche Gelenklänge»), betimmt werden; der erte Bereich (Auflager bi P) it voll platifiziert, der zweite (P bi P) teilweie platifiziert. Ergänzende Bemerkung: - Hier wird voraugeetzt, da die Bewehrung nicht abgetuft it, eine Abtufung könnte aber ebenfall berückichtigt werden (der platifizierte Bereich würde gröer). 3

32 Träger Verformungvermögen Rotationvermögen «genauere Unteruchung» Beipiel Zweifeldträger «Platiche Länge» (über welche Länge it der Zuggurt platifiziert?) q d f wd z cot 0 R Bd 0 z cot f wd 0 F up z.0 R zcot ( q f ) Bd 0 d wd RBd ( qd fwd) z cot x 0, x abhängig von der Wahl von! P P 0 groe x, x klein 0 P P kleine x, x gro 0 P P 5 RBd Lqdy Lqd qdy 8 für EI EI 56 kn 675 kn 83 kn Erreichen q dy zuätzlich für = Beginn Umlagerung qdqdy R Bd kontant, minimale x P für maximale Reaktion! (hoher Gradient von M ungüntig für Rotationvermögen, da tärkere Lokaliierung der Verformungen auftritt) Für die Ermittlung de Verformungvermögen ind divere Annahmen erforderlich Abchätzung, nicht exakte Berechnung! ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 3 Ergänzende Bemerkungen: - Grundätzlich it (bei tarker Bügelbewehrung) der Fall denkbar, wo ich der platifizierte Bereich bi in angrenzende Parallelfeld audehnt, deen Neigung (und damit die Länge de Fächerbereich) darau folgt, da die Bügel auf einer Länge z cot (beideit de Auflager) die Auflagerreaktion aufnehmen können. In dieem Fall wären die Gurtkraftverläufe anzupaen (über dem Parallelfeld it der Verlauf linear). - Der Verlauf der Gurtkraft hängt von der Gröe der Auflagerkraft ab (wenn die Bügel nicht voll augenützt ind), entprechend dem Gradienten der Momentenlinie. Da die Auflagerkraft im Laufe der Schnittkraftumlagerung zunimmt, it die Länge de platifizierten Bereich nicht kontant. Solche Effekte beeinfluen auch den Rotationbedarf, wehalb treng genommen beide Effekte (Rotationvermögen und Rotationbedarf) gekoppelt unterucht werden müten. - Streng genommen müte bei der Betimmung der Bereiche, in welchen platiche Dehnungen auftreten, die dikreten Riabtände berückichtigt werden. Darauf wird der Einfachheit halber verzichtet. 3

33 Träger Verformungvermögen Rotationvermögen «genauere Unteruchung» Beipiel Zweifeldträger «Platiche Länge» (über welche Länge it der Zuggurt platifiziert?) Verlauf der Obergurtkraft F up au Spannungfeld Annahme : RBd 500 kn, cot 0.5 ( ), qd fwd 500 knm cot 3 B500B : x B500C : x x P P P mm " LPl " mm " LPl " mm 500 [ ] 4 40 Gurtverformungen (Näherung) 30 Regime Regime f 0 E.6 Regime L Pl 7 x [mm] L Pl 0 xp B500B : mu 0 m x dx L pl 0.5 (im Mittel über L.65 m) xp xp B500C : xdx xdx mu 0 m m L xp pl 4. (im Mittel über L.5 m) pl pl ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 33 Die platiche Verlängerung de Zuggurt reultiert au der Integration der platichen Dehnungen über den Bereich, in welchem olche Dehnungen auftreten («platiche Gelenklänge»). Die platichen Dehnungen ind nicht gleichmäig verteilt, ondern variieren relativ tark. Mit den getroffenen Annahmen reultiert eine platiche Gelenklänge (doppelte Ditanz vom Auflager bi P, da ymmetrich) von.65 m für B500B und.5 m für B500C, mit über diee Längen gemittelten platichen Dehnungen von.05% (B500B) rep..4% (B500C). 33

34 Träger Verformungvermögen Rotationbedarf Rotationvermögen «genauere Unteruchung» - Beipiel Zweifeldträger Platiche Rotation im Bruchzutand Betonbruch my cu mrad puc Lpl m 3.4 mrad x d x 0.8 m OK puc B, req Stahlreien Grobe Annahme: Genauere Unteruchung:.5 mit Lpl. m ( B500B) mu 0.5ud 3.5 mit Lpl. m ( B500C) 0.5 mit Lpl.65 m ( B500B) mu 0.3 ud, Lpl.5 d mu 4. mit Lpl.5 m ( B500C) mu 0.37 ud, Lpl.0d mrad ( B500B)< Breq, =8.5 mrad ( r ) 0.99 nicht erfüllt! mu my pu Lpl d x d x mrad Breq =8.5 mrad ( r ) ( B500C), 0.99 ok (problemlo) ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 34 Der Vergleich mit der groben Abchätzung zeigt, da beim Betontahl der Duktilitätklae C die platiche Gelenklänge mit den dortigen Annahmen übereintimmt, jedoch werden die mittleren Dehnungen de Zuggurt bei Reien der Bewehrung überchätzt. Beim Betontahl der Duktilitätklae B ind aufgrund der genaueren Unteruchung beide Werte deutlich kleiner. Da Rotationvermögen, welche mit der groben Abchätzung al unkritich beurteilt worden wäre, kann damit nicht nachgewieen werden. Die für die grobe Abchätzung getroffenen Annahmen ( mu 0.5 ud und l pl d) ind omit für B500B wie auch B500C nicht konervativ. E müten kleinere Werte (beipielweie l pl.5 d und mu 0.3 ud für Betontahl B500B) angeetzt werden, um mit der groben Abchätzung zutreffende Ergebnie zu erhalten. Anhand der vorangehenden Auführungen kommt die Komplexität de Problem zum Audruck. Die gezeigten Beipiele verdeutlichen zudem, da berechnete Verformungen mit erheblich gröeren Unicherheiten behaftet ind, al beipielweie die Tragwidertände. Daran ändert ich auch nicht, wenn aufwendige Berechnungverfahren angewendet werden. Gerade dehalb kommt der Wahl geeigneter Materialien und der orgfältigen kontruktiven Durchbildung beondere Bedeutung zu. 34

35 Träger Verformungvermögen Verhältni mittlere Dehnungen zu maximaler Dehnung in den Rien mit Berückichtigung de Verbund Ergänzende Betrachtungen N rm w N b b0 b f f t 0 y y 0 u b : Bewehrung auf Bewehrung in 3 Bewehrung auf ganzer Länge Rinähe ganzer Länge elatich platifiziert platifiziert : r f b0 b 0 r f b r f r f b r f b r r f Mittlere Dehnungen in den drei Regime für bilineare Kennlinie der Bewehrung: r b0r m E E r f Ehb0 4Ehb r Eb m r f b0 b0 r y E b E r f b r 3 m y Eh Eh [Alvarez 999] ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 35 Biher wurde eine tark vereinfachte, bilineare Kennlinie de nackten Bewehrungtahl angenommen. Analoge Unteruchungen können für allgemeine Stoffgeetze durchgeführt werden. Auf dieer und den folgenden Folien ind zur Illutration rechneriche Unteruchungen au der Diertation von M. Alvarez (998) dargetellt. Neben dem oben dargetellten bilinearen Stoffgeetz unteruchte er auch realitätnähere Stoffgeetze für Betontahl mit Flieplateau (naturhart / warmgewalzt & vergütet / mikrolegiert / tempcoriiert) und ohne Flieplateau (warmgewalzt & gereckt / kaltverformt). 35

36 Träger Verformungvermögen Einflu der Verfetigungcharakteritik Bewehrung auf Bewehrung in 3 ganzer Länge elatich Rinähe platifiziert Bewehrung auf ganzer Länge platifiziert Dehnungen in den drei Regime für foldende Kennlinien der Bewehrung: f t f Idealiierung 0 y u f t f lokaliiert tärker 0 y u Flieplateau güntig! f f t 0 y h u ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 36 Man erkennt, da ich da Flieplateau poitiv auf die Duktilität auwirkt, da die Bereiche de Rielement, welche eine Spannung nur wenig oberhalb der Fliegrenze aufweien, bereit eine markant gröere Dehnung zeigen (Länge de Flieplateau). 36

37 Träger Verformungvermögen Einflu der Verfetigungcharakteritik Naturharte Bewehrung vor allem bei Bruch in Regime güntiger al kaltverformte (Flieplateau al «zuätzliche» Dehnung über ganzen platifizierten Bereich) Bilineare Idealiierung überchätzt Verformungvermögen bei hochduktiler Bewehrung bilinear idealiiert kaltverformt naturhart f t u 600 MPa 580 MPa 560 MPa 540 MPa 55 MPa 0.00% 8.05% 6.0% 4.5%.67% ca. B500B ca. B500B [Alvarez 999] ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 37 Die Form der Stahlkennlinie beeinflut inbeondere da Verhalten unmittelbar nach dem Überchreiten der Fliegrenze (Regime ) tark. 37

38 Zugveruche Dr. M. Alvarez Veruchanlage H N L H: u 4.6% f t /f.6 N: u 3.8% f t /f.05 L: u 3.% f t /f ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton II 38 Wiederholung au Stahlbeton I: Die Abbildung zeigt den Veruchaufbau und die Parameter der Veruche von Alvarez und Marti (996), mit welchen die Duktilität von Stahlbeton unter Zugbeanpruchung unterucht wurde. Hintergrund der Veruche waren mutmalich ungenügende Duktilitäteigenchaften einiger der damaligen Betontahl-Klaen (die Vermutung betätigte ich in den Veruchen). Heute ind die Verhältnie bei hochfeten Betonen mit entprechend teifem Verbund ähnlich; die Duktilität de an ich al «duktil» geltenden Betontahl B500B it in olchen Fällen für platiche Umlagerungen nur knapp wenn überhaupt aureichend.

39 Zugveruche Dr. M. Alvarez Ribilder / Bruchverlängerung H =.0% H =.0% H =.0% N =.0% L =.0% H =0.6% + A p H =0.3% + A p H =0.7% H =.0% (N) =.0% Veruch Z LS 4 Fliebeginn Veruch Z LS 0 Verfetigungbereich Alle Veruchkörper nach dem Bruch: Platiche (=bleibende) Verformungen tark unterchiedlich ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton II 39 Wiederholung au Stahlbeton I: Die Abbildung zeigt die Veruchkörper nach dem Bruch, mit den bleibenden (platichen) Verformungen. Die Veruchkörper Z-Z5 wieen den gleichen geometrichen Bewehrunggehalt auf (%), Veruch Z8 einen etwa geringeren (0.7%). In den Veruchkörpern Z-Z3 und Z8 kam duktile Bewehrung zum Einatz (damal «H» = hohe Duktilität), in Veruchkörper Z4 olche mit geringer Duktilität (damal «N» = normal duktil). In Veruchkörper Z5 wurde Bewehrung mit ehr niedriger Duktilität (damal «L» = low) eingeetzt. Man erkennt in obigen Foto die dramatichen Unterchiede in der platichen Verformung der Veruchkörper. Auf den folgenden Seiten ind die entprechenden Veruchreultate angegeben, welche diee Erkenntni betätigen.

40 Zugveruche Dr. M. Alvarez Veruchreultate Lat-Verformungverhalten mit Berückichtigung de Verbund bei hoher Beanpruchung Verformungvermögen durch Bewehrung mit zu geringer Duktilität (Bruchdehnung und Verfetigung!) tark beeinträchtigt N [kn] L N H Verhältni mittlere Dehnungen zu maximaler Dehnung in den Rien mit Berückichtigung de Verbund gute Übereintimmung mit Zuggurtmodell (bei Berückichtigung der wirklichen Stahlkennlinie praktich identich) m / r [ ] e H l [mm] m [%] L N r [%] ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton II 40 Wiederholung au Stahlbeton I

41 Ergänzungen Verformungvermögen Zuammenfaung Verformungvermögen und Verformungbedarf ind gekoppelt. Nur für moderate Umlagerungen der Schnittkräfte kann die Wechelwirkung vernachläigt werden. Der Verformungbedarf kann mit vereinfachenden Annahmen (kontante Biegeteifigkeiten der elatichen Bereiche, tarr-ideal platiche M--Beziehungen der platichen Gelenke) mit vernünftigem Aufwand näherungweie ermittelt werden. Da Verformungvermögen kann auch mit vereinfachenden Annahmen und aufwändigen Berechnungen nur grob abgechätzt werden, da e von diveren, nicht genau quantifizierbaren Einflüen abhängt: Verbundverhalten, inbeondere Riabtand Verfetigungcharakteritik der Bewehrung Kraftflu im Bereich platicher Gelenke, inbeondere Variation der Kraft im Zuggurt ( über die Länge de platichen Gelenk gemittelte Dehnungen ind nochmal kleiner al die mittleren Dehnungen eine Zuggurt unter kontanter Zugbeanpruchung!) In der Praxi empfiehlt e ich daher, olche Nachweie bei Neubauten möglicht zu vermeiden (Bedingung x/d < 0.35 einhalten). Andernfall it e oft einfacher, auf Schnittkraftumlagerungen zu verzichten, d.h. die Tragicherheit für die elatichen Beanpruchungen inkl. Zwängungen nachzuweien (wobei die Abchätzung der Zwängungen ebenfall aufwändig und von Annahmen abhängig it). Wird ein Nachwei de Verformungvermögen geführt (z. Bp. bei betehenden Bauwerken) it mit Augenma («engineering judgement») vorzugehen. Die entcheidenden Parameter ollten dabei möglicht genau erfat werden (Bewehrung: Verfetigungcharakteritik betimmen, nicht nur f ) ETH Zürich Prof. Dr. W. Kaufmann Vorleung Stahlbeton III 4 4