2 Scheiben und Träger

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1 Scheiben und Träger.3 Verormungvermögen..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III

2 Träger Verormungvermögen Begrenzung der Druckzonenhöhe nach SIA 6 d ε cd =.3 h χ =.35d =.5d ε m A d.85 = ωd.85.35d =.98d ω.98 ( εm =.65 /.35εc d 5.6 omit ε / E ) r d.85.5d =.45d ω.45 ( ε m =.5 /.5ε cd = 3. omit ε > / E ) r d Maimaler Bewehrunggehalt und Biegewidertand nach SIA 6, Zier 4..4.: (ür vorwiegend au Biegung beanpruchte Bauteile) /d.35: Schnittgröenumlagerungen ohne Nachwei de Verormungvermögen / d.35 ω.98 M bd ω (ω ) =.53 bd Rd cd cd..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III

3 Begrenzung der Druckzonenhöhe nach SIA 6 d ε cd =.3 h Träger Verormungvermögen χ.85.35d =.98d ω.98 ( εm =.65 /.35εc d 5.6 =.35d.85 omit ε r d / E) =.5d = ωd ε m A d.85.5d =.45d ω.45 ( ε m =.5 /.5ε cd = 3. omit ε > / E ) r d Maimaler Bewehrunggehalt und Biegewidertand nach SIA 6, Zier 4..4.: (ür vorwiegend au Biegung beanpruchte Bauteile).35 /d.5: Schnittgröenumlagerungen mit Nachwei de Verormungvermögen / d.5 ω.45 M bd ω (ω ) =.335 bd Rd cd cd..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 3

4 Träger Verormungvermögen Begrenzung der Druckzonenhöhe nach SIA 6 d ε cd =.3 h χ ε m >.5d A d.85 = ωd Maimaler Bewehrunggehalt und Biegewidertand nach SIA 6, Zier 4..4.: (ür vorwiegend au Biegung beanpruchte Bauteile) /d >.5: it zu vermeiden..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 4

5 Träger Verormungvermögen Begrenzung der Druckzonenhöhe nach SIA 6 d h χ = =.35d.5d χ = =.35d.5d χ >.5d Maimaler Bewehrunggehalt und Biegewidertand nach SIA 6, Zier 4..4.: (ür vorwiegend au Biegung beanpruchte Bauteile) /d.35: Schnittgröenumlagerungen ohne Nachwei de Verormungvermögen / d.35 ω.98 M bd ω (ω ) =.53 bd Rd cd cd.35 /d.5: Schnittgröenumlagerungen mit Nachwei de Verormungvermögen / d.5 ω.45 M bd ω (ω ) =.335 bd Rd cd cd /d >.5: it zu vermeiden..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 5

6 Träger Verormungvermögen Begrenzung der Druckzonenhöhe nach SIA 6 d h χ.35d χ.5d χ >.5d Maimaler Bewehrunggehalt und Biegewidertand nach SIA 6, Zier 4..4.: (ür vorwiegend au Biegung beanpruchte Bauteile)?.35 /d.5: Schnittgröenumlagerungen mit Nachwei de Verormungvermögen..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 6

7 Träger Verormungvermögen Sytemverhalten (iehe auch [], p. -3) q Kontinuierliche Steigerung der Lat q: Fliebeginn zuert bei der Einpannung, erte platiche Gelenk an dieer Stelle Einach tatich unbetimmte Sytem wird (ür die Zuatzbelatung) zu einachem Balken Weitere Latteigerung möglich, bi ich im Feld ein zweite platiche Gelenk bildet (= Mechanimu): Platiche Rotation bei der Einpanntelle erorderlich Rotationbedar abhängig vom tatichen Sytem und der Belatungkoniguration Rotationvermögen begrenzt durch Stahldehnungen und Betontauchungen ' M u. Nachwei = Vergleich: Verormungvermögen Θ pu Verormungbedar Θ pu,req. M u V M..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 7

8 Träger Verormungvermögen Rotationbedar Θ pu,req (Näherung, Beipiel Zweieldträger) Allgemein ind Verormungvermögen und Verormungbedar gekoppelt. Nur ür moderate Umlagerungen kann die Wechelwirkung vernachläigt werden. l q l q g h Zuätzliche Vereinachungen: Biegeteiigkeit kontant M-Θ tarr-ideal platich (keine Veretigung im platichen Gelenk) Damit entpricht der Rotationbedar Θ pu,req de Gelenk beim Zwichenaulager dem Aulagerdrehwinkel der beiden Trägerhälten, die nach dem Erreichen von M ay (bei q = q y ) al einache Balken betrachtet werden können: Θ = pu, req ( q q ) 3 y l EI M M by EI h χh M g M ay M ( g + q) M a M ay k = Schlulinie Θ ap (Zweieldträger, erte platiche Gelenk beim Zwichenaulager, Verormungbedar ür Vollat)..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 8

9 Träger Verormungvermögen Rotationbedar Beipiel Zweieldträger q = g + q = kn m A d d d ' A A B C A L = 6. L = 6. M Rd M Bd M + Rd Moment über Zwichenaulager ql d 8 M = B GS + ÜG M M ' A = 8 6 A d = = 848 kn A = 8 6 Kratmethode M = z A 848 knm ± Rd d MM ql L ql EI 8 3EI EI 3 d d Θ B = = = + + M L L Θ B = = ( ) ( ) = EI 3EI 3EI Θ =Θ + M Θ = B B B B Θ EI B d d M B = = α + r ΘB 8 EI 8 Da meit EI ql < EI + ql = ql d 8 (i.d.r.) it (Ribildung beginnt über B) indet ein Teil der Schnittkratumlagerungen bereit vor Fliebeginn tatt (dadurch wird der platiche Rotationbedar reduziert güntig!)..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 9

10 Träger Verormungvermögen Rotationbedar Beipiel Zweieldträger q = g + q = kn m A d d d A B C L = 6. L = 6..6 ' A A...8. ' A = 8 6 A d = = 848 kn A = 8 6 M = z A 848 knm ± Rd d EI II (gerien) ε c σ = E ε c c c M /3 d χ A ε σ = E ε b hd ε M M = AE ε d, χ= = (hier vereinachend ε II m = ε r angenommen, mit ε m < ε r reultiert ein 3 d EI kleinerer Rotationbedar) II M I EI = = AE ( d 3)( d ).9AE z = ' = 78 MNm ( EIi = 35 MNm ) χ z.9z..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III

11 Träger Verormungvermögen Rotationbedar Beipiel Zweieldträger Fliebeginn ql 8M α = = = r d Rd MRd qdy 8 αrl αr knm - = α r q q = knm = α = - d dy knm ( r.) αr ( q q y ) Θ = B, req d d 3 L EI M knm ( r.8) = α = knm = 3 78 knm = 8.5 mrad ( α r = ) =. mrad ( α =.8) Nach Erreichen von Rd : zwei Eineldträger ür Zuatzbelatung qd q mit entprechender Relativverdrehung der Trägerenden über B (iehe GS+ÜG in Folie 9) dy r q dy A B C A B q d Θ B = q dy Θ B, req ( q q ) Θ =Θ B, req B d dy C elatich (gerien) Umlagerung = platich..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III

12 Träger Verormungvermögen Rotationvermögen Θ pu allgemein Beipiel: Platicher Gelenkwinkel in Funktion von ω (Duktilitätklaen A-C, 999) Θ pu [rad] B5C (Reien der Bewehrung mag.) Betonbruch (Biegedruckzone) B5B Reien der Bewehrung B5A..6 ω [-] ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III

13 Träger Verormungvermögen Rotationvermögen Θ pu vereinacht (iehe auch [], p. -3) Bechränkung der platichen Rotation inolge Betontahl (Reien der Bewehrung): ε εmy d d mu Θ pu = Lpl Bechränkung der platichen Rotation inolge Beton (Erreichen Bruchtauchung): Krümmung bei Fliebeginn Krümmung beim Reien der Bewehrung Rotation pro Ri: εmrm Θi d Platiche Gelenkrotation = Summe der platichen Rotationen aller Rie ab Fliebeginn ε ε cd my Θ puc = Lpl d Krümmung bei Fliebeginn Krümmung bei Betonbruch L pl Platiche Gelenklänge, abhängig von Belatungkoniguration und Geometrie: Bereich, in welchem die Gurtbewehrung liet ( Gurtkratverlau i.a. au Spannungeld ermitteln) ε mu Mittlere Stahldehnung beim Erreichen von ε r =εud σ r = t ε r ε m ε my Mittlere Stahldehnung beim Erreichen von ε r = σ r = E Zuggurtmodell (Stahlbeton I)..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 3

14 Träger Verormungvermögen Rotationbedar Rotationvermögen vereinacht Beipiel Zweieldträger C3/37: cd = MPa, ctm =.9 MPa. A = 44 mm ' d. m, A ' d = 848 kn 848 = = 8 mm.85.6 d = 99 mm..8. d ε m Rotation im Bruchzutand.6 ε εmy cu Θ puc = Lpl d εmy E mit = Krümmung bei Fliebeginn =.3 mrad m, Lpl = platiche Länge = ca. d ε ε d d mu my Θ pu = L pl d d..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 4

15 Träger Verormungvermögen Rotationbedar Rotationvermögen vereinacht Beipiel Zweieldträger Rotation im Bruchzutand Betonbruch ε εmy cu.3 mrad Θ puc = Lpl m 3.4 mrad d = =.8 m Θ >Θ OK puc B, req Stahlreien grobe Annahme:.5 ( B5B) εmu.5ε ud = 3.5 ( B5C) (gechätzte Abminderung der Bruchdehnung inolge Zugverteiung iehe hinten).5 mrad..3 =.. m = 48.8 mrad ( B5B) my.99 m ε ε mu Θ pu = Lpl = d d.35 mrad..3 = 33.. m = 7.7 mrad ( B5 C).99 m Θ >Θ OK pu B, req Damit wäre der Nachwei de Verormungvermögen erbracht. Aber: It die Annahme von L pl, ε mu in Ordnung?..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 5

16 Ergänzungen Verormungvermögen Rotationvermögen Θ pu «genauere Unteruchung» Grundlagen ε c.85 = ωd d h χ ε m A σ r Riquerchnitt tk k Betontahl mit Veretigung (Vernachläigung hier nicht innvoll: Lokaliierung der plat. Verormungen in einem Ri, praktich kein Rotationvermögen) Zuggurtmodell inkl. Bereich platicher Beanpruchung benötigt (iehe nächte Folie rep. geriene Scheibenmodell) δ(σ = d )..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 6

17 Zuggurtmodell Lat Ribildung (SBI) Betrachtung eine Zuggurte (Brutto-QS A c ), bewehrt mit Stab mit Durchmeer Ø ([], Seite 3.5) N r σ cc z cccccc nn cccccc σ cc 4τ bbbρ/( ρ) σ N r Betonpannung in Mitte de Element mit Länge rrr it σσ cc = cccccc, d.h. dort könnte ich ein weiterer Ri bilden. Somit it der minimale Riabtand: Allgemein mit Parameter λ: rr,mmmmmm = rrr / rr = λ rrr < λ < σ 4τ bbb σ theoretiche Grenzen der Riabtände bei abgechloenem Ribild! rrr / rrr / maimaler Riabtand rr NB: Bei Ribildung tellt ich unter Lat (theoretich) chlagartig da abgechloene Ribild ein...6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 7

18 Zuggurtmodell Lat Zugverteiung (SBI) Steigerung der Normalkrat nach der Ribildung N>N r ([], Seite 3.5 ) Betonpannungen bleiben nach Ribildung kontant. Stahlpannungen teigen weiter. N > N r z N > N r rr / rr / Mittlere Betondehnung εε cccc = rr εεcc dddd = rrσσcc EEcc dddd rr rr = λλ cccccc EE cc σ cc λ cccccc Verchiebung σσ cc uu cc = εε cc dddd = EE cc dddd uu cccc uu cc + uu cccc uu cccc = uu cc = rr..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 8

19 Zuggurtmodell Lat Zugverteiung (SBI) Steigerung der Normalkrat nach der Ribildung N>N r ([], Seite 3.5 ) Betonpannungen bleiben nach Ribildung kontant. Stahlpannungen teigen weiter. N > N r z N > N r rr / rr / λ nn cccccc Mittlere Stahldehnung εε = rr σσ EE dddd rr = σσ 4ττ bbb rr = σσ λλ cccccc ρρ EE 4EE EE ρρee τ bbb rr = EE λ cccccc ρρ EE ρ σ 4τ bbb λ σ σ Verchiebung σσ uu = εε dddd = EE dddd uu uu = uu = rr uu + uu bei Ribildung (N=N r ) nach Ribildung (N>N r )..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 9

20 Zuggurtmodell Lat Zugverteiung Steigerung der Normalkrat nach der Ribildung N>N r ([], Seite 3.5 ) N ε Betonpannungen bleiben nach Ribildung kontant. Stahlpannungen teigen weiter. Stahldehnung am Ri Mittlere Betondehnung εε = σσ EE εε cccc = λλ cccccc EE cc N r E A Mittlere Stahldehnung εε = σσ ττ bbb rr = σσ λλ cccccc ρ EE EE EE ρρee ctm /E c N-ε- und σ r -ε-diagramme: Reduktion der Dehnung de nackten Stahl um ε ( ε bleibt bi Fliebeginn kontant). NB: gute Näherung ür w r (kleine ρ) 4ρ EE NN cccccc AA 4ρ ww rr 4ρ EE NN cccccc AA ρ ε Ribreiten: Dierenz der mittleren Stahl- und Beton- Dehnungen, multipliziert mit r (λ =.5...): ww rr = rr rrr EE σσ EE λλ cccccc ρρ ρρee mit σσ = NN AA σσ σσ 4 ww rr rrr EE λλ cccccc EE cc σσ σσ = λλ rrr σσ λλσσ EE..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III

21 Zuggurtmodell Lat Duktilität (SBI) Verhalten nach Überchreiten der Fliegrenze σσ > ττ bbb = ττ bbb N z N τ = b ctm t rr / rr / τ = b ctm σ cc λλ cccccc 4τ bbbρ/( ρ) σ εy εuk σσ σ,mmmmmm = τ bbb rrrr 4τ bbb 4τ bbb nnλλ cccccc λλ σ Regime: σ = σ >, σ < σ >, σ σ = tt (Bruch durch Reien Bewehrung) Bewehrung in Rinähe platiiziert, dazwichen elatich (N.B: bei kleiner Veretigung Bruch in dieem Regime) Beziehung ür εε kompliziert (aber gechloen löbar) Bewehrung liet im ganzen Rielement. εε analog wie im elatichen Bereich (τ bbb tatt τ bbb, mit τ bbb = τ bbb /): εε = + σσ λλ cccccc ρρ EE EE 4ρρEE nackter Stahl "Δεε "=Δεε EE EE..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III

22 Zuggurtmodell Lat Duktilität (SBI) Stobeziehung der Bewehrung (Zuggurtmodell mit bilinearer Kennlinie de Bewehrungtahl): σ rm t E h N N E ε y ε u ε τ b τ b τ b τ ( ) σ b τ b δ ( ) σ = σr σmin σ τ ( ) b σ > typicher Spannungpad δ ε m ε ε r σ c σ <λ < ct..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III

23 Zuggurtmodell Lat Duktilität (SBI) Lat-Verormungverhalten mit Berückichtigung de Verbund bei hoher Beanpruchung Verhältni mittlere Dehnungen zu maimaler Dehnung in den Rien mit Berückichtigung de Verbund Kein Einlu au Zugwidertand Steiere Verhalten al nackter Stahl Starker Aball nach Fliebeginn Einlu au Duktilität beachten! t Fliebeginn ρ= % % 4% 4% σ r Gebrauchverhalten (biher betrachtet) ε ε m r % ρ=% λ= λ= ε m ε u ε r ε u..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 3

24 Träger Verormungvermögen Rotationvermögen Θ pu «genauere Unteruchung» Grundlagen Stobeziehung der Bewehrung (Zuggurtmodell). Bewehrung über ganze Rielement elatich, σ : r σ τ τ ε m = (nackte Bewehrung ε, ε = ) E E E r b r b r. Bewehrung liet in Rinähe, ε σ + r m τ b r : ( σ ) E ( σ ) r hτ b r τ b τb r = + + εy 4Ehτb r Eτb E τb E σ min 3. Bewehrung liet über ganze Rielement, τ b r + σ r t : ( σ ) τ τ ε m = ε y + (nackte Bewehrung ε, ε = ) < r b r b r Eh Eh Eh..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 4

25 Elatiche Biegeteiigkeit Zugverteiung (SBI) [], Seite.6 d h Setzt man die Stahlpannung am Ri Mr( d E ) σ r = II EI beim Erreichen von M r gleich der Spannung σ cc λ cccc σ r = ct + n ρt σ rr / rr / σ n λ ct λ ct ( ρt ) ρ t beim Reien eine Zuggurtelement, reultiert der äquivalente Bewehrunggehalt ρ t : ρ t = Mr( d E ) II EI ct + n..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 5

26 Träger Verormungvermögen Rotationvermögen «genauere Unteruchung» Beipiel Zweieldträger C3/37: cd = MPa, ctm =.9 MPa d. m, A ' d = 848 kn 848 = = 8 mm.85.6 d = 99 mm...8 A = 44 mm ' d' ε m. Äquivalenter Bewehrunggehalt ρ t = =.% Mr( d E ) + n II EI ct rm = 9 mm λ=... 4 ρt 5 mm (Bügelabtand) rm NB: Zum Vergleich Bewehrunggehalt Zuggurt: 44 ρ =.75%.. rm.6 = 365 mm λ=... 4 ρ..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 6

27 Träger Verormungvermögen Rotationvermögen «genauere Unteruchung» Beipiel Zweieldträger Zuggurtmodell = 6 mm rm = 5 mm (Bügelabtand) E = 5 GPa ctm =.9 MPa τ b = ctm = 5.8 MPa τ = =.9 MPa b ctm ( ) ( ) ( ) ( ) B5C : ε σ = =.43.7 =.6 B5B : m r ε σ = = 5.9 ( 3 mit σ = 556 MPa) m min r ε σ = = 65 3 = 4 = ε m r t ε σ = =.6 m r 3 σ < r σr τbr σr ε m = =.7 E E E nackter Stahl σ >, σ <...;Übergang zu Regime 3 bei r min «teilweie platiiziert» «elatich» ε = ε τ σ =σ =σ = b r! min r r 56 MPa σ = + 56 MPa B5B reit im Regime σ σ min > ε m = + E E «voll platiiziert» ε = 7.7 ( Regime mit σ =, erreicht Regime 3 nicht) mu r mu t r r h nackter Stahl τb r E h ε = ε 3 3 (B5C) 3 (B5B) τb r σ r = d + Eh εm + E 3 B5C B5B 9MPa..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 7

28 Träger Verormungvermögen Rotationvermögen «genauere Unteruchung» Beipiel Zweieldträger σ r [ MPa] σ r = 556 ε = 5.9 m 3 3 τb r ε = = 3. E t = 575 ε = 4 mu h E h B5C t E.5 = 575 h = 65.4 =. GPa = 5 τbr ε = =.7 E σ = = r min 5 B5C.4 E = ε m [ ] ε (B5C) = 65 ud..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 8

29 Träger Verormungvermögen Rotationvermögen «genauere Unteruchung» Beipiel Zweieldträger σ r [ MPa] Bruch in Regime! = 5 = 54 t ε = 7.7 mu E h B5B t E.8 = 54 h 54 5 = =.95 GPa 45.4 rτb ε = =.7 E B5B.4 E = 3 ε (B5B) = 45 ud 6 7 ε m [ ]..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 9

30 Träger Verormungvermögen Rotationvermögen «genauere Unteruchung» Beipiel Zweieldträger σ r [ MPa] = 5 σ = 556 r ε = 5.9 m = 54 t 3 ε = 7.5 mu E h t = 575 ε = 4 mu B5B t = 54 E h t = 575 B5C B5B.4 E = ε m [ ] 3 ε (B5B) = 45 ε (B5C) = 65 ud ud..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 3

31 Träger Verormungvermögen Rotationvermögen «genauere Unteruchung» Beipiel Zweieldträger «Platiche Länge» (über welche Länge it der Zuggurt platiiziert?) q d 3 r wd z cot bei P: σ min = bei P: σ = voll platiiziert α teilweie platiiziert elatich R Bd F up 3 α z cot L pl α wd P P A F up z =. dfup = ( qd + wd) cot α( ) d cot α ( ) = z F up ( ) = A t P P ( q + )! σ r = : Fup = A = A t τb σ min =, σ r = + = = d z wd ( ) A z t q d rm + wd ( q + ) τb A t q + d wd d z rm wd z..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 3

32 Träger Verormungvermögen Rotationvermögen «genauere Unteruchung» Beipiel Zweieldträger «Platiche Länge» (über welche Länge it der Zuggurt platiiziert?) q d wd z cot α R Bd α z cot α wd F up z =. R = zcot α ( q + ) Bd d wd RBd ( qd + wd ) = z cot α, abhängig von der Wahl von α! P P groe α kleine α, P P, P P klein gro ür EI 5 RBd = L qdy + L ( qd qdy ) 8 = EI = 56 kn kn = 83 kn Erreichen qdy zuätzlich ür = Beginn Umlagerung qd > qdy R Bd kontant, minimale P ür maimale Reaktion! (hoher Gradient von M ungüntig ür Rotationvermögen, da tärkere Lokaliierung der Verormungen autritt) Für die Ermittlung de Verormungvermögen ind divere Annahmen erorderlich Abchätzung, nicht eakte Berechnung!..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 3

33 Träger Verormungvermögen Rotationvermögen «genauere Unteruchung» Beipiel Zweieldträger «Platiche Länge» (über welche Länge it der Zuggurt platiiziert?) 5 5 Annahme : RBd 5 kn, cot α =.5 ( α = 33.5 ), ( qd + wd ) = = = 5 knm cot α 3 B5B : B5C : P P P ε [ ] E ε =.6 ( ) = = 83 mm " Pl " 5 ( ) ( ) ( L ) = = 7 mm " Pl " = = 973 mm 5 ( L ) Gurtverormungen (Näherung) B5B : [mm] = L Pl = L Pl εmu.6 + ( 7.7.6) 3 =.5 (im Mittel über L =.65 m) B5C : εm u ( ) = 33. (im Mittel über L =.5 m) pl pl..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 33

34 Träger Verormungvermögen Rotationbedar Rotationvermögen «genauere Unteruchung» - Beipiel Zweieldträger Platiche Rotation im Bruchzutand Betonbruch ε εmy cu.3 mrad Θ puc = Lpl m 3.4 mrad d = =.8 m Θ >Θ OK puc B, req Stahlreien Grobe Annahme: Genauere Unteruchung:.5 mit Lpl =. m ( B5B) εmu.5ε ud = 3.5 mit Lpl =. m ( B5C).5 mit Lpl =.65 m ( B5B) εmu.8 εud, Lpl.5 d ε mu = 33. mit Lpl =.5 m ( B5C) εmu.5 εud, Lpl. d = 8.6 mrad ( B5B) ΘB, req =8.5 mrad ( α r = ).99 gerade knapp ok! Schätzung zu hoch! ε ε mu my Θ pu = Lpl = d d = 75.6 mrad ΘB, req =8.5 mrad ( α r = ) ( B5C).99 ok (problemlo)..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 34

35 Träger Verormungvermögen Verhältni mittlere Dehnungen zu maimaler Dehnung in den Rien mit Berückichtigung de Verbund Ergänzende Betrachtungen N rm w N τb τ b τ b σ t δ y δ ε y ε u ε τ b σ : : 3 Bewehrung au ganzer Länge elatich σ r Bewehrung in Rinähe platiiziert τb τ b σ r σ + r τ b r τ b σ r Bewehrung au ganzer Länge platiiziert τ b r + σr Mittlere Dehnungen in den drei Regime ür bilineare Kennlinie der Bewehrung: σr τbr ε m = E E r Ehτb ( ) σ ε m = + 4Ehτb r Eτb ( σr ) τ b τb r + + εy E τb E ( σr ) τb r 3 ε m = + εy Eh Eh [Alvarez 999]..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 35

36 Träger Verormungvermögen Einlu der Veretigungcharakteritik Bewehrung au Bewehrung in 3 ganzer Länge elatich Rinähe platiiziert Bewehrung au ganzer Länge platiiziert Dehnungen in den drei Regime ür oldende Kennlinien der Bewehrung: σ t Idealiierung ε y ε u ε σ t lokaliiert tärker ε y ε u ε Flieplateau güntig! σ t εy ε h ε u ε..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 36

37 Träger Verormungvermögen Einlu der Veretigungcharakteritik Naturharte Bewehrung vor allem bei Bruch in Regime güntiger al kaltverormte (Flieplateau al «zuätzliche» Dehnung über ganzen platiizierten Bereich) Bilineare Idealiierung überchätzt Verormungvermögen bei hochduktiler Bewehrung bilinear idealiiert kaltverormt naturhart = t ε = u 6 MPa 58 MPa 56 MPa 54 MPa 55 MPa.% 8.5% 6.% 4.5%.67% ca. B5B ca. B5B [Alvarez 999]..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 37

38 Zugveruche Dr. M. Alvarez Veruchanlage H N L H: ε u = 4.6% t / =.6 N: ε u = 3.8% t / =.5 L: ε u = 3.% t / =.6..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton II 38

39 Zugveruche Dr. M. Alvarez Ribilder / Bruchverlängerung H ρ=.% H ρ=.% H ρ=.% N ρ=.% L ρ=.% H ρ=.6% + A p H ρ=.3% + A p H ρ=.7% H ρ=.% (N) ρ=.% Veruch Z LS 4 Fliebeginn Veruch Z LS Veretigungbereich Alle Veruchkörper nach dem Bruch: Platiche (=bleibende) Verormungen tark unterchiedlich..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton II 39

40 Zugveruche Dr. M. Alvarez Veruchreultate Lat-Verormungverhalten mit Berückichtigung de Verbund bei hoher Beanpruchung Verormungvermögen durch Bewehrung mit zu geringer Duktilität (Bruchdehnung und Veretigung!) tark beeinträchtigt N [kn] L N H Verhältni mittlere Dehnungen zu maimaler Dehnung in den Rien mit Berückichtigung de Verbund gute Übereintimmung mit Zuggurtmodell (bei Berückichtigung der wirklichen Stahlkennlinie praktich identich) ε m / ε r [ ] e H l [mm] ε m [%] L N ε r [%]..6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton II 4

41 Ergänzungen Verormungvermögen Zuammenaung Verormungvermögen und Verormungbedar ind gekoppelt. Nur ür moderate Umlagerungen der Schnittkräte kann die Wechelwirkung vernachläigt werden. Der Verormungbedar kann mit vereinachenden Annahmen (kontante Biegeteiigkeiten der elatichen Bereiche, tarr-ideal platiche M-Θ-Beziehungen der platichen Gelenke) mit vernüntigem Auwand näherungweie ermittelt werden. Da Verormungvermögen kann auch mit vereinachenden Annahmen und auwändigen Berechnungen nur grob abgechätzt werden, da e von diveren, nicht genau quantiizierbaren Einlüen abhängt: Verbundverhalten, inbeondere Riabtand Veretigungcharakteritik der Bewehrung Kratlu im Bereich platicher Gelenke, inbeondere Variation der Krat im Zuggurt ( über die Länge de platichen Gelenk gemittelte Dehnungen ind nochmal kleiner al die mittleren Dehnungen eine Zuggurt unter kontanter Zugbeanpruchung!) In der Prai empiehlt e ich daher, olche Nachweie bei Neubauten möglicht zu vermeiden (Bedingung /d <.35 einhalten). Andernall it e ot einacher, au Schnittkratumlagerungen zu verzichten, d.h. die Tragicherheit ür die elatichen Beanpruchungen inkl. Zwängungen nachzuweien (wobei die Abchätzung der Zwängungen ebenall auwändig und von Annahmen abhängig it). Wird ein Nachwei de Verormungvermögen geührt (z. Bp. bei betehenden Bauwerken) it mit Augenma («engineering judgement») vorzugehen. Die entcheidenden Parameter ollten dabei möglicht genau erat werden (Bewehrung: Veretigungcharakteritik betimmen, nicht nur )...6 ETH Zürich Pro. Dr. W. Kaumann Vorleung Stahlbeton III 4