Θ Mathematik Stochastik Aufgabe 1: Als Spam-Nachricht wird eine unerwünschte E-Mail bezeichnet, die dem Empfänger unverlangt zugestellt wird. a) Statistische Untersuchungen an der Mailbox eines Benutzers haben ergeben, dass durchschnittlich 20% der ankommenden Mails Spam-Nachrichten sind. An einem Tag lädt der Benutzer 20 Mails von seiner Mailbox. Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 5 und höchstens 10 Mails Spam-Nachrichten sind, dass nur die 13. Mail eine Spam-Nachricht ist. b) Der Benutzer erhält 160 Mails. Geben Sie ein Intervall an, in dem die Anzahl der Spammails mit 95 prozentiger Sicherheit liegt. Aufgabe 2: Die Wahlbeteiligung gibt den prozentualen Anteil der Wahlberechtigten wieder, die bei einer Wahl tatsächlich gewählt haben. Unter einem Nichtwähler versteht man eine wahlberechtigte Person, die nicht gewählt hat. Bundestagswahlen ab 1990 Jahr 1990 1994 1998 2002 2005 2009 Anzahl der Wahlberechtigten in Millionen 60,4 60,5 60,8 61,4 62,2 Anzahl der Wähler in Millionen 47,8 50,0 48,6 48,1 44,0 Wahlbeteiligung in % 77,8 79,0 82,2 79,1 70,7 a) Berechnen Sie für 1990 den fehlenden Wert in der Tabelle. Für die Jahre 1990 bis 2009 beträgt der Mittelwert der Anzahlen der Wahlberechtigten 61,2 Millionen. Ermitteln Sie die beiden fehlenden Werte für das Jahr 2005. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil der Nichtwähler für die Bundestagswahl 2009. Beurteilen Sie die Aussage des nebenstehend abgedruckten Artikels. Nichtwähler bilden stärkste Partei Bei der Bundestagswahl 2009 wurden die Nichtwähler zur größten Partei. Etwa 18,2 Millionen Wahlberechtigte verweigerten die Stimmabgabe. CDU und CSU kamen als stärkste Fraktion auf ca. 33,2% der Stimmen. b) Vor und während der Wahl zum Bundestag am 27.09.2009 war die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wahlberechtigter tatsächlich wählt, unbekannt. Kurz nach Schließung der Wahllokale meldeten bereits die ersten Bezirke mit insgesamt 15320 Wahlberechtigten eine Wahlbeteiligung von durchschnittlich 72,4%. Bestimmen Sie ein Vertrauensintervall ( γ = 95%) für die zu diesem Zeitpunkt noch unbekannte Wahlbeteiligung auf Bundesebene. Dieses Vertrauensintervall überdeckt nicht die tatsächliche bundesweite Wahlbeteiligung. Nennen Sie eine mögliche Ursache hierfür.
c) Beurteilen Sie die folgende Aussage: Hätten wir etwas länger gewartet und die Ergebnisse von doppelt so vielen Wahlberechtigten berücksichtigt, so wäre das Vertrauensintervall für die bundesweite Wahlbeteiligung nur halb so lang. Aufgabe 3: Ein Großhändler verkauft Grafikrechner. Erfahrungsgemäß sind 5% der Geräte defekt und werden ausgetauscht. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der defekten Geräte. Es darf von einer Binomialverteilung ausgegangen werden. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 100 Rechnern genau 5 defekt sind. Eine Lieferung mit 100 Rechnern geht an den 7. Jahrgang einer Schule, der insgesamt 94 Schülerinnen und Schüler hat. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den insgesamt 100 Rechnern mindestens so viele einwandfrei sind, dass alle 94 Schülerinnen und Schüler je einen einwandfreien Rechner bekommen können. b) Seit 2010 bietet der Großhändler einen neu entwickelten Grafikrechner an. In einer ersten Stichprobe werden 240 Geräte getestet und 16 defekte Rechner gefunden. Bestimmen Sie ein Vertrauensintervall für die unbekannte Wahrscheinlichkeit, dass ein solcher Rechner defekt ist (γ = 90%). Mögliches Ergebnis: [0,044;0,099] Die Schule möchte für die 105 Schülerinnen und Schüler des nächsten 7. Jahrgangs eine Sammelbestellung für das neu entwickelte Modell aufgeben. Da der Händler anbietet, überschüssige oder defekte Geräte zurückzunehmen, entscheidet sich die Schule dazu, 120 Rechner zu bestellen. Bestimmen Sie die zum Vertrauensintervall gehörenden Erwartungswerte für die Anzahl defekter Geräte und beurteilen Sie die Entscheidung der Schule. Nehmen Sie an, dass die letzte Stunde repräsentativ war. Geben Sie ein 90%-Konfidenzintervall für den Anteil der Schüler an, die nicht im Unterricht aufgepassen. 2
Lösung 1: Bei der gesamten Aufgabe liegt die binomialverteilte Zufallsgröße X zugrunde, die die Anzahl der erhaltenen Spammails angibt. a) geg: q = 0, 2 und n = 20 p({x [5; 10]}) = p({x 10}) p({x 4}) 0, 9994 0, 6296 = 0, 3698 TR-cdfbin-Funktion b) Wie bei jeder Mail beträgt auch bei der 13. Mail, dass sie eine Spammail ist, 20 %. Jetzt ist aber auch noch gefordert, dass alle anderen Mails kein Spam sein sollen. Die Wahrscheinlichkeit für eine Mail, kein Spam zu sein, ist 80 % (Stichwort Gegenereignis). Mit der Pfadregel berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass die 1. bis 12. und 14. bis 20 Mail kein Spam ist und die 13 Mail Spam ist: 0, 8 12 0, 2 0, 8 7 = 0, 0029. Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 0,29%. c) geg: q = 0, 2, n = 160 und 95 Prozent Sicherheit Hier muss man nur die Formel anwenden: [E(X) kσ; E(X) + kσ] = [32 1, 96 5, 06; 32 + 1, 96 5, 06] = [22, 08; 41, 92] = [23; 41] Mit 95-prozentiger Sicherheit werden zwischen 23 und 41 Emails Spam sein. Lösung 2: a)... b) In dieser Aufgabe wird der Schluss von der Stichprobe zur Gesamtheit verlangt. Stichprobengröße n = 15 320 Sicherheit γ = 95% k = 1, 96 Anzahl der Erfolge X = 15 320 0, 724 11 092 3
Intervall für die die Wahrscheinlichkeit q, dass ein Wahlberechtigter auch wählt Rechnung: Die Lösung der Ungleichung E(x) k σ X liefert ein Intervall, indem die Wahrscheinlichkeit q liegen sollte. Die Grenzen des Intervalls ermittelt man mit der Gleichung E(x) k σ = X. Diese Gleichung muss man nach q umstellen: E(x) k σ = X n q k n q (1 q) = X 15 320 q 1, 96 15 320 q (1 q) = 11 092 ZF Definitionen einsetzen Werte einsetzen 15 320 q 242, 60 q (1 q) = 11 092 15 320 q und Klammern 242, 60 q q 2 = 11 092 15 320 q 242, 60 q q2 = 45, 72 63, 15 q (...) 2 q q 2 = 2 090, 3 5 774, 4 q + 3987, 9 q 2 +q 2 q = 2 090, 3 5 774, 4 q + 3988, 9 q 2 q 0 = 2 090, 3 5 775, 4 q + 3988, 9 q 2 LS RS 2 090, 3 5 775, 4 q + 3 988, 9 q 2 = 0 nach Exponent sortieren 3 988, 9 q 2 5 775, 4 q + 2 090, 3 = 0 TR q = 0, 7311 oder q = 0, 7168 Die Wahlbeteiligung sollte mit 95 prozentiger Sicherheit im Intervall [0, 7168; 0, 7311] liegen. Die Relative Häufigkeit, also der Anteil der Wähler an den Wahlberechtigten, beträgt 11 092 15 320 = 0, 724. Sie ist der beste Schätzwert der Wahlbeteiligung. Da er in dem berechneten Intervall liegt, könnte das Intervall richtig sein. Dieser Gedankengang erlaubt eine Probe des Ergebnisses. Die bundesweite Wahlbeteiligung lag nur bei 0,702. Sie liegt also nicht in dem berechneten Intervall. Es gibt zwei Ursachen für diesen Widerspruch. Entweder hat der Zufall zugeschlagen. Das darf er bei 5% der Fälle. Oder aber die Stichprobe war nicht repräsentativ für Deutschland. Beispielsweise ist der Wahlkreis Soltau eher ländlich geprägt und spiegelt nicht die Bundesrepublik wieder. c) In diesem Teil muss man ein zweites Intervall berechnen, bei dem man eine doppelt so Große Stichprobe zugrunde legt. Stichprobengröße n = 30 640 4
Sicherheit γ = 95% k = 1, 96 Anzahl der Erfolge X = 30 640 0, 724 22 183 Intervall für die die Wahrscheinlichkeit q, dass ein Wahlberechtigter auch wählt Rechnung: Die Lösung der Ungleichung E(x) k σ X liefert ein Intervall, indem die Wahrscheinlichkeit q liegen sollte. Die Grenzen des Intervalls ermittelt man mit der Gleichung E(x) k σ = X. Diese Gleichung muss man nach q umstellen: E(x) k σ = X n q k n q (1 q) = X 30 640 q 1, 96 30 640 q (1 q) = 22 183 ZF Definitionen einsetzen Werte einsetzen 30 640 q 343, 80 q (1 q) = 22 183 30 640 q und Klammer 343, 80 q q 2 = 22 183 30 640 q 343, 80 q q2 = 64, 52 89, 12 q (...) 2 q q 2 = 4 162, 8 11 500, 0 q + 7942, 4 q 2 +q 2 q = 4 162, 8 11 500, 0 q + 7943, 4 q 2 q 0 = 4 162, 8 11 501, 0 q + 7943, 4 q 2 LS RS 4 162, 8 11 501, 0 q + 7943, 4 q 2 = 0 nach Exponent sortieren 7943, 4 q 2 11 501, 0 q + 4 162, 8 = 0 TR q = 0, 7288 oder q = 0, 7191 Die Wahlbeteiligung sollte mit 95 prozentiger Sicherheit im Intervall [0, 7191; 0, 7288] liegen. Die relative Häufigkeit liegt auch hier in dem Intervall. Es ist also alles in Ordnung und wir können weitermachen. Das erste Intervall [0, 7168; 0, 7311] hat eine Länge von 0, 7311 0, 7168 = 0, 0143. Das zweite Intervall [0, 7191; 0, 7288] hat eine Länge von 0, 7288 0, 7191 = 0, 0097. Teilt man die beiden Zahlen 0,0097 0,0143 = 0, 68. Wenn sich die Länge halbiert hätte müsste man ungefähr 0,5 als Ergebnis erhalten. Damit ist die Aussage falsch. Ich habe auch schon mal von einer Faustformel gehört, die besagt, dass man die Stichprobe vervierfachen muss, um die Intervalllänge zu halbieren. Die würde die Aufgabe natürlich in kürzester Zeit lösen. Vielleicht findet sich ja im Tafelwerk ein passender Eintrag.. 5
Lösung 3: Ein Großhändler verkauft Grafikrechner. Erfahrungsgemäß sind 5% der Geräte defekt und werden ausgetauscht. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der defekten Geräte. Es darf von einer Binomialverteilung ausgegangen werden. a) X binomialverteilt n=100 q=0,05 p({x = 5}) Rechnung: p({x = 5}) = 0, 1800 TR-Funktion pdfbin Die Wahrscheinlichkeit, dass von 100 Rechnern genau 5 defekt sind, beträgt 18 Prozent. X binomialverteilt n=100 q=0,05 p({x 6}). Sobald mehr als 6 Rechner defekt sind, können nicht alle Schüler einen intakten Rechner erhalten Rechnung: p({x 6}) = 0, 7660 TR-Funktion cdfbin Die Wahrscheinlichkeit, dass 94 Schüler einen intakten Rechner erhalten, beträgt 76,60 Prozent. b) Hier ist wieder der Schluss von der Stichprobe auf die Gesamtheit gefragt. Stichprobengröße n = 240 Sicherheit γ = 90% k = 1, 64 Anzahl der Erfolge X = 16 Intervall für die die Wahrscheinlichkeit q, dass ein Taschenrechner defekt ist Rechnung: 6
Die Lösung der Ungleichung E(x) k σ X liefert ein Intervall, indem die Wahrscheinlichkeit q liegen sollte. Die Grenzen des Intervalls ermittelt man mit der Gleichung E(x) k σ = X. Diese Gleichung muss man nach q umstellen: E(x) k σ = X n q k n q (1 q) = X 240 q 1, 64 240 q (1 q) = 16 ZF Definitionen einsetzen Werte einsetzen 240 q 25, 41 q (1 q) = 16 240 q und Klammern a 25, 41 q q 2 = 16 240 q 25, 41 q q2 = 0, 6297 9, 4451 q (...) 2 q q 2 = 0, 3965 11, 8952 q + 89, 2099 q 2 +q 2 q = 0, 3965 11, 8952 q + 90, 2099 q 2 q 0 = 0, 3965 12, 8952 q + 90, 2099 q 2 LS RS 0, 3965 12, 8952 q + 90, 2099 q 2 = 0 nach Exponent sortieren 90, 2099 q 2 12, 8952 q + 0, 3965 = 0 TR q = 0, 0981 oder q = 0, 0448 Der Anteil der defekten Taschenrechner sollte mit 90 prozentiger Sicherheit im Intervall [0, 0448; 0, 0981] liegen. 16 Probe: Der relative Anteil der defekten Taschenrechner liegt bei 240 = 0, 0667. Der liegt mittig im berechneten Intervall. Die Rechnung sollte also richtig sein. Jetzt soll man noch die Erwartungswerte mit n=120 zu den Wahrscheinlichkeiten im Intervall betrachten. Es also um die Funktion [0, 0448; 0, 0981] R f q E(X) = 120 q Die Funktion f ist linear. Den maximale Wert nimmt die Funktion beim Wert q = 0, 0981 an. Er beträgt f(0, 0981) = 120 0, 0981 = 11, 772 Solange sich die Wahrscheinlichkeit für Defekte innerhalb des 90% Konfidenzintervalls befindet, kann man höchstens 12 defekte REchner erwarten. Es blieben noch 108 intakte Rechner, die für die 105 Schüler ausreichen. So schlecht ist die Entscheidung der Schule nicht. Da aber keine Kosten entstehen würden, wenn sie noch mehr Rechner ordern würden, könnten sie auch 300 Rechner bestellen, wodurch sie noch sicherer sind, dass jeder Schüler einen intakten Rechner erhält. Falls doch Unkosten für zu viel bestellte Rechner anfallen, ist die Entscheidung der Schule in Ordnung. 7