3.5 Semantische Repräsentation mit PL1

3 Prädikatenlogik der 1. Stufe (PL1) Teil I 3.5 Semantische Repräsentation mit PL1 [ Gamut 78-83 ] PL1 kann man als Formalismus zur Darstellung der Bedeutung natürlichsprachlicher Sätze verwenden. Solche Darstellungen werden als semantische Repräsentationen der betreffenden Sätze bezeichnet. Dabei werden für die Sätze deren logische Formen in PL1 angegeben. Es wird auch von einer PL1-Formalisierung oder Übersetzung der natürlichsprachlichen Sätze in PL1-Formeln gesprochen. Zwei Varianten der Repräsentation von Sätzen mit Quantorausdrücken Für Sätze mit Quantorausdrücken gibt es zwei Möglichkeiten der semantischen Repräsentation mit PL1. Sie unterscheiden sich hinsichtlich der dabei zugrunde gelegten DomänenD. Entsprechend lassen sich die Sätze durch jeweils zwei unterschiedliche PL1- Formeln repräsentieren. Beispiele: (1) Alles Schöne ist vergänglich. (2) Einiges Schöne ist vergänglich. Variante (A): Variante (B): D enthält nur Individuen, die schön sind. D enthält beliebige Individuen. (A): (B): EF(1): Für jedes schöne Individuum x gilt: x ist vergänglich. LF(1): xv( x) EF(2): Für mindestens ein schönes Individuum x gilt: x ist vergänglich. LF(2): xv( x) EF(1): Für jedes Individuum x gilt: Wenn x schön ist, dann ist x vergänglich. LF(1): xsx [ ( ) Vx ( )] EF(2): Für mindestens ein Individuum x gilt: x ist schön und x ist vergänglich. LF(2): xsx [ ( ) Vx ( )] Allsätze als generalisierte materiale Implikationen Bei Variante (B) werden Allsätze der Form Alle P sind Q bzw. Jedes P ist Q als generalisierte materiale Implikationen xpx [ ( ) Qx ( )] repräsentiert. Die Wahrheitsbedingungen solcher Formeln sind: xpx [ ( ) Qx ( )] ist wahr bez. D gdw für jedes d D gilt: Wenn d P, dann d Q, d.h. gdw es kein d D gibt, so dass gilt: d P und d Q. Die angegebenen Mengenverhältnisse können geometrisch mit Hilfe eines Venn-Diagramms (John Venn, 1834-1923) dargestellt werden. Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 1

3.5 Semantische Repräsentation mit PL1 P Q Dagegen wäre die Repräsentation von Allsätzen als generalisierte Konjunktionen xpx [ ( ) Qx ( )] nicht adäquat. Solche Formeln haben folgende Wahrheitsbedingungen: xpx [ ( ) Qx ( )] ist wahr bez. D gdw für jedes d D gilt: d P und d Q. P Q Ein solches Verständnis von Allsätzen wäre zu stark.? Durch welchen Satz müsste (1) ersetzt werden, um eine Situation zu beschreiben, die mit xsx [ ( ) Vx ( )] erfasst wird? Problem: Eine Formel xpx [ ( ) Qx ( )] ist auch dann wahr, wenn für kein d D gilt: d P, d.h. wenn P leer ist. Das ist eine Konsequenz der für geltenden Wahrheitsbedingungen. P Q Ein Satz wie (1) ist damit auch dann wahr, wenn es kein schönes Individuum gibt. Das scheint unserer Intuition zu widersprechen. Weitere Beispiele: (3) Alle Mondmenschen sind blauäugig. LF: xmx [ ( ) Bx ( )] Da xm( x) wahr ist, ist xmx [ ( ) Bx ( )] wahr. (4) Alle Antragsteller werden in Raum 3 abgefertigt.? Ist hier die Repräsentation angemessen? Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 2

3 Prädikatenlogik der 1. Stufe (PL1) Teil I Existenzsätze als partikularisierte Konjunktionen Bei Variante (B) werden Existenzsätze der Form Einige P sind Q bzw. Ein P ist Q als partikularisierte Konjunktionen xpx [ ( ) Qx ( )] repräsentiert. Die Wahrheitsbedingungen solcher Formeln sind: xpx [ ( ) Qx ( )] ist wahr bez. D gdw für mindestens ein d D gilt: d P und d Q. P Q + Dagegen wäre die Repräsentation von Existenzsätzen als partikularisierte Implikationen xpx [ ( ) Qx ( )] nicht adäquat. Letztere haben folgende Wahrheitsbedingungen: xpx [ ( ) Qx ( )] ist wahr bez. D gdw für mindestens ein d D gilt: wenn d P, dannd Q. Wiederum auf Grund der Wahrheitsbedingungen für gilt: Eine Formel xpx [ ( ) Qx ( )] ist auch dann wahr, wenn für kein d D gilt: d P, d.h. wenn P leer ist. P Q Ein solches Verständnis von Existenzsätzen wäre zu schwach. Einige Äquivalenzen zwischen All- und Existenzsätzen Beispiele: (5) Alle Lehrer sind freundlich. LF (Variante A): xf() x LF (Variante B): xlx [ ( ) Fx ( )] (6) Einige Lehrer sind freundlich. LF (Variante A): xf() x LF (Variante B): xlx [ ( ) Fx ( )] (7) Alle Lehrer sind unfreundlich. LF (Variante A): x F() x LF (Variante B): xlx [ ( ) Fx ( )] Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 3

3.5 Semantische Repräsentation mit PL1 (8) Einige Lehrer sind unfreundlich. LF (Variante A): x F() x LF (Variante B): xlx [ ( ) Fx ( )]? Gib für folgende Sätze die PL1-Repräsentationen gemäß Variante (B) an. (9) Kein Lehrer ist unfreundlich. (10) Nicht jeder Lehrer ist unfreundlich. (11) Kein Lehrer ist freundlich. (12) Nicht jeder Lehrer ist freundlich.? Welche der Sätze (5)-(12) sind jeweils synonym? Es gelten folgende PL1-Äquivalenzen: (i) γ γ (ii) γ γ (iii) γ γ (iv) γ γ Wegen (i) und (ii) sind und gegenseitig definierbar, d.h. jeder der beiden Quantoren kann mit Hilfe des jeweils anderen definiert werden. γ= def γ γ= γ def Auf Grund von (i)-(iv) sowie der AL-Äquivalenzen (v) und (vi) lassen sich die PL1- Repräsentationen von All- und Existenzsätzen durch äquivalente Umformungen ineinander überführen. (v) (vi) ψ ( ψ) Beispiele: Äquivalente Umformung von (5) in (9): xlx [ ( ) Fx ( )] x [ L( x) F( x)] (nach (i)) x [ L( x) F( x)] (nach (vi)) xlx [ ( ) Fx ( )] (nach (v)) Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 4

3 Prädikatenlogik der 1. Stufe (PL1) Teil I Äquivalente Umformung von (6) in (10): xlx [ ( ) Fx ( )] x [ L( x) F( x)] (nach (ii)) x [ L( x) F( x)] (nach (v)) xlx [ ( ) Fx ( )] (nach (vi))? Zeige, wie sich die PL1-Repräsentationen von (7) und (11) sowie von (8) und (12) durch äquivalente Umformungen ineinander überführen lassen. Skopusambiguität bei Sätzen mit Quantorausdrücken Ein Satz wie (13) ist ambig, d.h. er hat zwei mögliche Lesarten oder Bedeutungen. Genauer gesagt, liegt ein Fall von Skopusambiguität der in ihm vorkommenden Quantorausdrücke vor. Deshalb wird ein solcher Satz durch zwei PL1-Formeln repräsentiert, die sich in der Reihenfolge der verwendeten Quantoren unterscheiden. (13) Jeder liebt jemanden. D = die Menge der Personen (a) EF1: Für jedes x gibt es ein y derart, dass gilt: x liebt y. LF1: x yl(, x y) (b) EF2: Es gibt ein y derart, dass für jedes x gilt: x liebt y. LF2: y xl(, x y) (14) Jeder Mann liebt eine Frau. (a) Zu jedem Mann gibt es (irgend-)eine Frau, die er liebt. EF1: Für jedes x gilt: Wenn x ein Mann ist, dann gibt es ein y, so dass gilt: y ist eine Frau und x liebt y. LF1: xmx [ ( ) yfy [ ( ) Lxy (, )]] (b) Es gibt eine (bestimmte) Frau, die jeder Mann liebt. EF2: Es gibt ein y derart, dass y eine Frau ist und für alle x gilt: Wenn x ein Mann ist, dann liebt x y. LF2: yf [ ( y) xm [ ( x) Lxy (, )]]? Charakterisiere die Skopusverhältnisse der Quantoren bei den Lesarten von (13) und (14).? Welche der jeweils beiden Lesarten ist spezieller und impliziert damit die andere? Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 5

3.5 Semantische Repräsentation mit PL1 Weitere PL1-Repräsentationen Beispiele: (15) Nicht alles, was glänzt, ist Gold. xg [ ( x) O( x)] (16) Alles, was glänzt, ist nicht Gold. xg [ ( x) O( x)] bzw. xg [ ( x) O( x)] (17) Wer stiehlt, wird bestraft. xsx [ ( ) yb( yx, )] 1 (18) Wer zu spät kommt, den bestraft das Leben. xz [ ( x) B(, lx)] 1 (19) Jeder betrügt sich selbst. x[ B( xx, )] 2 (20) Selig sind die Sanftmütigen. xs [ ( x) S( x)] 1 2 (21) Jeder ist sich selbst der Nächste. xn(,) x x (22) Jede Unglückswolke hat einen Silberstreifen. xu [ ( x) ys [ ( y) H( x, y)]] 3 (23) Für jede Handlung gibt es ein Motiv. xh [ ( x) ymyx (, )] (24) Keine Regel ohne Ausnahme. xrx [ ( ) yayx (, )] Bei Satz (17-21) wird vorausgesetzt: D = die Menge der Personen? Gib für (17-21) die PL1-Repräsentationen bei universellem D an.? Gib die jeweils andere PL1-Repräsentation für die skopusambigen Sätze (22-23) an.? Gib PL1-Repräsentationen für folgende Sätze an. (25) Nicht jeder Baum ist ein grüner Laubbaum. (26) Einige verwirrte Politiker sind anständig oder naiv. (27) Keine Ente ist eine Amphibie, die einen Schnabel hat. (28) Alle Maler oder Dichter sind berühmt und arm. (29) Keiner ist Millionär und verschenkt sein Geld.? Gib PL1-Repräsentationen für folgende Sätze an und diskutiere ihre Adäquatheit. (30) Ein Wal ist ein Säugetier. (31) Der Adler ist ein Vogel. (32) Löwen sind Raubtiere. (33) Tiger sind gestreift. Eingeschränkte Quantifikation Um semantische Repräsentationen mehr dem intuitiven Verständnis der Bedeutungsstruktur von Sätzen anzugleichen, kann man sich der eingeschränkten (restringierten) Quantifikation bedienen. Der Geltungsbereich des jeweiligen Quantors wird dabei auf diejenigen Individuen eingeschränkt, für die die betreffende Aussage gilt. Die einschränkende Formel wird Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 6

3 Prädikatenlogik der 1. Stufe (PL1) Teil I Restriktor, die unmittelbar auf den eingeschränkten Quantor folgende Formel nuklearer Skopus (Matrix, Nukleus) genannt. Beispiele: (34) Jede Katze schläft. [S[NP[Det Jede] [N Katze]] [VP[V schläft]]] Standardnotation: xkx [ ( ) Sx ( )] Eingeschränkte Quantifikation: xkx : ( )[ Sx ( )] oder x S( x) K( x) Für jedes x derart, dass K( x ), gilt: Sx ( ) (35) Eine Katze schläft. [S[NP[Det Eine] [N Katze]] [VP[V schläft]]] Weitere Beispiele: Standardnotation: xkx [ ( ) Sx ( )] Eingeschränkte Quantifikation: xkx : ( )[ Sx ( )] oder x S( x) K( x) Für ein x derart, dass K( x ), gilt: Sx ( ) (36) Kein Optimist hat alle Fakten verdrängt und vergessen. Standardnotation: xo [ ( x) yf [ ( y) V( xy, ) V( xy, )]] 1 2 Eingeschränkte Quantifikation: xox : ( ) yfy : ( )[ V( xy, ) V( xy, )] 1 2 oder x y [ V ( x, y) V ( x, y)] ( ) ( ) 1 2 (37) Jeder Linguist kennt ein Buch, dessen Autor Chomsky ist. Standardnotation: xlx [ ( ) yby [ ( ) Acy (, ) Kxy (, )]] Eingeschränkte Quantifikation: xlx : ( ) yby : ( ) Acy (, )[ Kxy (, )] oder x y K(,) x y ) Ox Fy Lx ( ) By ( ) Acy (, )? Gib die PL1-Repräsentation mit eingeschränkter Quantifikation bei der zweiten Lesart von (37) an. Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 7

Übungen Übungen Ü3.10 Gib jeweils geometrische Darstellungen der Wahrheitsbedingungen folgender Formeln an. (3 P.) (a) xpx [ ( ) Qx ( )] (b) xpx [ ( ) Qx ( )] (c) xp() x x Q() x Ü3.11 Welche der Formeln sind PL1-Repräsentationen des jeweiligen Satzes? (3 P.) (1) Max kennt einen Linguisten. (a) Lx () Kmx (, ) (b) xlx [ ( ) Kmx (, )] (c) x y[ M( x) L( y) K( x, y)] (2) Alle dicken Bücher sind interessant. (a) xbx [ ( ) Dx ( ) I( x)] (b) xbx [ ( ) Dx ( ) I( x)] (c) xdx [ ( ) Bx ( ) I( x)] (d) xbx [ ( ) Dx ( ) I( x)] (e) xbx [ ( ) [ Dx ( ) I( x)]] (3) Kein Dinosaurier hat überlebt. (a) xdx [ ( ) Ü( x)] (b) x [ D( x) Ü( x)] (c) x[ D( x) Ü( x)] (d) xdx [ ( ) Ü( x)] Ü3.12 Gib natürlichsprachliche Korrelate für die folgenden Formeln an, wobei Bx () für die Aussageform Ich berühre x und Gx () für x wird zu Gold steht. (8 P.) (a) xbx [ ( ) Gx ( )] (b) xbx [ ( ) Gx ( )] (c) xbx [ ( ) Gx ( )] (d) xbx [ ( ) Gx ( )] (e) xbx [ ( ) Gx ( )] (f) xbx [ ( ) Gx ( )] (g) xbx [ ( ) Gx ( )] (h) x [ B( x) G( x)] Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 8

Übungen Ü3.13 Gib PL1-Repräsentationen für folgende Sätze an. (7 P.) (1) Alles, was Fritz mag, ist unmoralisch, widerrechtlich oder macht dick. (2) Fritz mag alles, was unmoralisch oder widerrechtlich ist oder dick macht. (3) Hans sucht ein Einhorn und einen Drachen, findet aber keins von beiden. (4) Wenn jemand schnarcht, kann keiner schlafen. (5) Jeder liest ein langweiliges Buch und träumt von einem interessanten Film. (6) Jemand hat ein Buch geliehen und es nicht zurückgegeben. (7) Niemand hat etwas verloren, das wichtig für ihn ist. Ü3.14 Gib PL1-Repräsentationen für folgende Sätze an. (4 P.) (1) Niemand beantwortet jede Frage. (2) Jede Frage wurde von jemandem beantwortet. (3) Jeder beantwortet mindestens eine Frage. (4) Einige beantworten keine Frage. Zusatz: (5) Manche beantworten eine Frage, die sich alle stellen. (6) Niemand stellt eine Frage, ohne sie zu beantworten. Ü3.15 Ordne den Sätzen ihre PL1-Repräsentation zu, wobei D die Menge der Personen ist. (6 P.) Zusatz: (a) Es gibt jemanden, den niemand kennt. y xk(, x y) (b) Jeder kennt jemanden. x yk(, x y) (c) Niemand kennt jemanden. y xk(, x y) (d) Nicht jeder kennt jemanden. x yk(, x y) (e) Niemand kennt niemanden. x yk(, x y) (f) Es gibt jemanden, den jeder kennt. x yk(, x y) (g) Kein Student ist faul. xsx [ ( ) Fx ( )] (h) Alle Studenten sind nicht faul. xsx [ ( ) F( x)] (i) Ein Student ist nicht faul. xsx [ ( ) F( x)] (j) Nicht alle Studenten sind nicht faul. xs [ ( x) F( x)] (k) Kein Student ist nicht faul. xsx [ ( ) Fx ( )] (l) Nicht alle Studenten sind faul. xsx [ ( ) Fx ( )] Zusatzübungen: Ü3.16 Gib für folgende Sätze PL1-Repräsentationen mit eingeschränkter Quantifikation an. (1) Jeder Fisch ist schön, wenn er an der Angel hängt. (2) Ich habe alle Spiele, die jeder haben muss. (3) Jeder kennt jeden. Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 9

Übungen (4) Maria hat niemanden getroffen, der noch keine Geschichte über Hans gehört hat. (5) Jeder kennt eine Primzahl, aber keiner kennt sie alle. (6) Wer keinem trauen kann, ist einsam. Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 10