Übungen zur Experimentalphysik 3 Pro. Dr. L. Oberauer Wintersemester 200/20 6. Übungsblatt - 29.November 200 Musterlösung Franziska Konitzer (ranziska.konitzer@tum.de) Augabe ( ) (6 Punkte) Um die Brennweite einer Sammellinse zu bestimmen, können Sie z.b. so vorgehen: Sie bilden ein Objekt durch die Linse au einen Schirm ab und messen den Abstand L zwischen Objekt und Schirm. Düren Sie daür den Abstand zwischen Objekt und Linse willkürlich wählen? Indem Sie nun den Schirm an seinem Ort lassen und die Linse um die Strecke d verschieben, können Sie eine zweite Position inden, die ein schares Bild erzeugt. Bestimmen Sie daraus. Fertigen Sie eine Zeichnung der Anordnung an. Der Abstand zwischen Objektiv und Linse ist nicht willkürlich zu wählen. Da man ein reelles Bild erhalten möchte, muss g > gelten. [3]
Aus der Zeichnung kann man den Zusammenhang ür den Abstand d und ür die Gesamtlänge d = b g () ablesen. Aulösen nach b und g und gegenseitiges Einsetzen ergibt L = g + b (2) Unter Verwendung der Linsengleichung b = L + d, g = L d 2 2 (3) = b + g = bg b + g (4) und den Ergebnissen ür die Bild- und Gegenstandsweite, olgt ür die Brennweite = L2 d 2 4L (5) Augabe 2 ( ) (5 Punkte) Eine dünne bikonvexe Linse aus Glas (n g =.5) hat Kurvenradien von 30 cm und 60 cm. Wenn diese Linse eine Deckenlampe mit der Hälte ihrer Originalgröße au einem Schirm abbildet, was ist der Abstand zwischen der Lampe und der Linse? Was ist der Abstand zwischen der Linse und dem Schirm? Konstruieren Sie den Strahlengang. Um die Brennweite zu bestimment, benutzt man die Gleichung ( = (n ) ) ( = (.5 ) R R 2 30 ) 60 (6) = 40cm (7) 2
Die Vergrößerung ist mit 2 angegeben, allerdings muss das Bild seitenverkehrt sein, da es reel ist: V T = b g b = 2 g (8) Dies kann man einsetzen in = b + g = 3 g (9) und erhält somit Der Strahlengang sieht olgendermaßen aus: g = 3 = 20cm, b = 60cm (0) [2] Augabe 3 ( ) (4 Punkte) Eine bikonkave Linse mit Brennweite =-60 mm beindet 20 mm vor einer plankonvexen Linse mit Radius 60 mm und Brechzahl n =.5. Bestimmen Sie das Bild (d.h. Position und Vergrößerung), das durch eine 3mm große Ameise entsteht, die sich 80 mm vor der bikonkaven Linse beindet. Die Augabe kann über die Berechnung des Strahlengangs durch die zwei Linsen gelöst werden. Alternativ kann man die beiden Linsen auch als Linsensystem betrachten. Im ersten Fall betrachtet man zuerst nur die bikonkave Linse. Dann ist: 3
und die Vergrößerung: ( b = ) ( = g 60 ) = 45mm () 80 V T = b g = 4 (2) Nun betrachtet man den Strahlengang durch die plankonvexe Linse; hier ist nun g = 20 mm + 45 mm. Die Brennweite ist gegeben durch ( = (n ) R ) = 20mm (3) b = ( 20 ) = 440mm (4) 65 Das Bild beindet sich also 440 mm zur Rechten der plankonvexen Linse. beträgt dann Die Vergrößerung V T = 440 4 65 = 2 3 Also ist die Ameise verkleinert und seitenverkehrt. (5) Augabe 4 ( ) (5 Punkte) a) Zur Korrektur der Kurzsichtigkeit eines Auges (hervorgeruen durch Verlängerung des Augapels) ist ein Brillenglas mit einer Dioptrienzahl von D = / = 2 erorderlich. Bestimmen Sie die maximale Enternung s max, au die das Auge ohne Brille akkomodieren kann. Die Brille ür Kurzsichtige (Zerstreuungslinse) entwirt von einem Gegenstand im Unendlichen ein virtuelles Bild in der Enternung s max, in der ein Kurzsichtiger gerade noch schar sehen kann (entspanntes Auge): 4
D = = 2 = 0.5m (6) g + b = mit g olgt b = Die Bildweite entspricht genau der Brennweite der Linse, also 50 cm. b) Ein altersweitsichtiges Auge (normale Länge des Augapels) kann nur noch bis minimal s min = 40cm akkomodieren. Bestimmen Sie die erorderliche Dioptrienzahl einer Brille, die schares Sehen bis s 0 = 20cm ermöglicht. Bis zu welcher maximalen Enternung kann das Auge mit Brille noch akkomodieren? Die Brille muss ein 40cm enterntes Bild von einem 20cm enternten Gegenstand erzeugen: g + b = (7) mit g = 20cm und b = 40cm olgt: = 40cm (8) D = 2.5 (9) Für g erzeugt die Brille ein unendlich enterntes Bild. s max beträgt also 40cm. Liegt der Gegenstand weiter als der Brennpunkt der Linse enternt, so entsteht ein reeles Zwischenbild durch die Linse hinter dem Auge, welches nicht mehr schar abgebildet werden kann. Augabe 5 ( ) (8 Punkte) Ein Okular bestehe aus zwei dünnen Plankonvexlinsen mit den Krümmungsradien r und r 2 im Abstand d = 2.604 cm voneinander (s. Skizze). a) Das Okular soll als Lupe die Vergrößerung V = 0 besitzen. Wie groß muss dann die Brennweite gewählt werden (deutliche Sehweite 25 cm)? 5
Die Vergrößerung einer Lupe ist gegeben durch v = s/, mit als Brennweite und s als Enternung bei der man mit normalen Auge noch schar sehen kann (deutliche Sehweite). Somit olgt ür die gesuchte Brennweite des Okulars: = s v = 2.5cm (20) b) Die Brennweite des Okulars soll bei der Wellenlänge λ 0 unabhängig von kleinen Wellenlängenänderungen sein (Achromat). Bei λ 0 habe das Material beider Linsen den Brechungsindex n =.4. Berechnen Sie die Krümmungsradien r und r 2 der beiden Linsen. Für die Brennweite einer dünnen Linse gilt allgemein: ( = (n ) ). (2) i r i r i2 Betrachtet man nun die hier vorliegenden plankonvexen Linsen, d.h setzt man ür die linke Linse r =, r 2 = r und ür die rechte Linse dementsprechend r 2 = r 2, r 22 =, so erhält man olgende Brennweiten: = n r und 2 = n r 2 (22) Somit ergibt sich die Brennweite des Linsensystems zu: = = n r + n r 2 r r 2 (n )[r r 2 + (n )d] + (n )2 d r r 2 (23) (24) 6
Da die Brennweite unabhängig von kleinen Änderungen in der Wellenlänge sein soll, muß die Beziehung d dλ = 0 gelten, wobei n = n(λ). D.h. d dλ = r { r 2 dn Nenner 2 dλ [r r 2 + (n )d] + (n )d dn }! = 0 dλ (25) r r 2 + 2(n )d = 0 (26) Formt man Gleichung (24) in olgender Art um und ersetzt r 2 durch Gleichung (26) r r 2 = (n )r (n )r 2 + (n ) 2 d (27) kann man nach r aulösen: r (r + 2(n )d) = (n ) 2 d (28) r 2 + 2r (n )d + (n ) 2 d = 0 (29) r = (n )d ± (n ) 2 d 2 (n ) 2 d (30) [ ] r = (n )d ± (3) d Einsetzen der Zahlenwerte ergibt die zwei Lösungen bzw. [ ] r = 0.4 2.604 + 2.5 cm = 0.83cm (32) 2.604 r 2 = 2(n )d + r =.25cm (33) [ ] r = 0.4 2.604 2.5 cm =.25cm (34) 2.604 r 2 = 0.83cm (35) was einer Vertauschung der beiden Linsen im Okular entspricht. 7