3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse sind die Vektoren x, die durch eine fest vorgegebene Matrix A in sich selbst oder auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet werden. A x λ x : c d.h. der Absolutvektor c und x sollten kolinear sein. A x c Anwendung: Die Lösungen derartiger Aufgaben wird in der Praxis gebraucht, um Schwingungen, Resonanzen und Frequenzen zu berechnen. Beispiel: Die Matrix A überführt einen Vektor x in einen Vektor c c 2 d.h. es wird an der y-achse gespiegelt. 8

. A Welche Vektoren gehen durch die Abbildung in ein Vielfaches ihrer selbst über? A Dazu muss gelten λ Gibt es Vektoren x und Skalare λ, für die diese Gleichung gilt? Möglichkeit : x, dann gilt λ für den Wert λ. Anschauung: Vektoren auf der y-achse werden durch Spiegelung an der y-achse in sich selbst überführt. Möglichkeit 2:, dann gilt λ für den Wert λ. Anschauung: Vektoren auf der x-achse werden durch Spiegelung an der y-achse auf ihren inversen Vektor abgebildet. Weitere Möglichkeiten gibt es nicht. Berechnet werden diese Werte wie folgt: Bildet eine fest vorgegebene Matrix A einen Vektor x auf einen Vektor ab, der ein Vielfaches von x darstellt, so muss gelten A x λ x λ x. Dabei ist A eine n n Matrix, λ ein Skalar und λ eine n n Matrix. 8

In unserem Beispiel muss also gelten: λ λ λ λ λ [ λ λ ] λ λ Dies ist ein homogenes lineares Gleichungssystem mit der Koeffizientenmatrix λ A λ λ Die Lösungen des Gleichungssystems A λ x sind die Vektoren x, die durch die Matrix A in ein Vielfaches ihrer selbst abgebildet werden - so war die Koeffizientenmatrix hergeleitet. Eine Lösung ist der Nullvektor, was uns aber nicht weiterbringt, denn der Nullvektor wird durch eine lineare Abbildung immer in sich selbst überführt A. Wir suchen Vektoren, die nicht ausschließlich aus Nullen bestehen, und die auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet werden. Nach dem letzten Kapitel besitzt ein homogenes Gleichungssystem entweder genau eine Lösung die triviale, d.h. den Nullvektor oder unendlich viele Lösungen. Da wir die triviale Lösung nicht wollen, müssen wir unendlich viele Lösungen akzeptieren und diesen Zugang wählen. Ein homogenes Gleichungssystem besitzt genau dann unendlich viele Lösungen, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix verschwindet, also Null ist Das heißt, wir suchen die λ für die gilt: deta λ λ λ! Die reellen oder komplexen Werte, für die dieses gilt, heißen Eigenwerte der Matrix A. 82

In unserem Beispiel ist Fall : λ Dann ist die Koeffizientenmatrix deta λ λ λ A λ λ und λ 2 2 Das homogene Gleichungssystem mit dieser Koeffizientenmatrix besitzt die Lösung: x } + x 2 x + 2 2, x beliebig d.h. für jedes x R ist 2 erfüllt. Wir wählen x. Zu jedem Eigenwert λ i existiert ein Eigenvektor y i, der bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt ist. In unserem Beispiel wählen wir den Vektor y, da er normiert ist, d.h. y. Jedes Vielfache von y ist ebenfalls ein Eigenvektor. D.h. mit Hilfe des Eigenwertes λ finden wir den Eigenvektor y, so dass gilt: A y λ y In Worten: Die Matrix A überführt jeden Vektor auf der x-achse auf das - fache von sich selbst. Dies stimmt mit unserer Vorüberlegung überein. Für den zweiten Eingenwert gehen wir vollkommen analog vor: 83

Fall 2: λ 2 Dann ist die Koeffizientenmatrix A λ Das homogene Gleichungssystem mit dieser Koeffizientenmatrix besitzt die Lösung: x } + x x +, beliebig Wir wählen und erhalten den Vektor y 2 von y 2 ist ebenfalls ein Eigenvektor zu λ 2.. y 2 ist normiert und jedes Vielfache In Worten: Die Matrix A überführt jeden Vektor auf der y-achse auf das fache von sich selbst. Auch dies stimmt mit unserer Vorüberlegung überein. Fazit: Durch die Berechnung erhalten wir genau die beiden Eingenvektoren, die wir auch in unserer Plausibilitätsbetrachtung erhalten haben. Die Eigenwerte sind dabei die Faktoren. Die Tatsache, dass Sie einen Parameter frei wählen können, ist kein Zufall. Da Sie in dem homogenen Gleichungssystem nicht die eindeutige triviale Lösung wollten, sondern sich für unendlich viele Lösungen entschieden haben, bekommen Sie immer mindestens einen frei wählbaren Parameter, so dass alle Vielfachen ebenfalls Lösungen sind. 84

3.6.2 Allgemeine Beschreibung Für ein lineares quadratisches Gleichungssystem A x c sollen x und c kolinear sein, d.h. c muss ein Vielfaches von x sein, und dies bedeutet c λ x, λ R Dies entsprciht der Gleichung: oder A x λ x λ x. A λ x Nichttriviale Lösungen d.h. Lösungen, die vom Nullvektor verschieden sind dieses Homogenen Systems existieren nur, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix vercshwindet, d.h. det A λ. Definition 3.42. Die Beschreibung eines Eigenwertproblems erfolgt durch die Gleichung A λ x. Die Matrix A λ heißt charakteirstische Matrix von A. Die Gleichung det A λ wird charakteristische Gleichung, der Term det A λ charakteristisches Polynom genannt. Die Lösungen λ i der charakteristischen Gleichung heißen Eigenwerte, die zugehörigen, von Null verschiedenen Lösungsvektoren Eigenvektoren der Matrix A. Beispiel: A : 2 5. Berechnen des charakteristischen Polynoms: 2 λ det 2 λ 5 λ λ 2 7λ + 2 5 λ 85

2. Aufstellen der charakteristischen Gleichung, Berechnen der Eigenwerte: 2 λ! det 5 λ λ 2 7λ + 2 λ,2 7 2 ± 49 4 2 7 2 ± λ 8 2 4, λ 2 6 2 3 4 7 2 ± 2 3. Berechnen der Eigenvektoren: λ 4 : A λ x 2 4 5 4 { 2 x + Gleichung ist -2mal Gleichung 2, die beiden Gleichungen sind also linear abhängig. Ich kann einen Parameter frei wählen. Sei α. Dann folgt x α, also α α α Da α beliebig ist, wählen wir entweder den normierten Vektor y,norm oder einen möglichst einfachen Vektor: y,norm oder y 2 Probe Sind Eigenwert und Eigenvektor korrekt berechnet, muss gelten: A y λ y. In unserem Fall ist A y 2 5 λ y 4 4 4 4 4. und 86

λ 2 3 : A λ x 2 3 5 3 2 { 2 x + 2 Gleichung ist -mal Gleichung 2, die beiden Gleichungen sind also linear abhängig. Ich kann einen Parameter frei wählen. Sei α. Dann folgt x α, also α α α Da α beliebig ist, wählen wir entweder den normierten Vektor y 2,norm oder einen möglichst einfachen Vektor: y 2,norm oder y 5 2 Probe Sind Eigenwert und Eigenvektor korrekt berechnet, muss gelten: A y 2 λ 2 y 2. In unserem Fall ist A y 2 2 5 λ y 3 6 3 6 3. und Ende der Rechnung Die Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix A verläuft immer nach dem gleichen Schema:. Berechnen des charakteristischen Polynoms 2. Aufstellen der charakteristischen Gleichung, Berechnen der Eigenwerte 3. Berechnen der Eigenvektoren Ich würde Ihnen eine Probe empfehlen! 87

Das charakteristische Polynom pλ einer 2 2 Matrix A besitzt die Form: pλ det A λ a λ a 2 a 22 λ a 2 a λ a 22 λ a 2 a 2 λ 2 a + a 22 λ + a a 22 a 2 a 2 }{{} SpurA }{{} deta Definition 3.43. Dier Summe der Hauptdiagonalelemente einer quadratischen Matrix A heißt Spur der Matrix engl. trace. SpurA a + a 22 +... + a nn n a kk. k Bezeichnung: SpurA SpA tra. Die charakteristische Gleichung einer 2dim Matrix ist eine quadratische Gleichung der Form: pλ λ 2 SpA λ + deta. Angenommen, λ und λ 2 sind die Lösungen dieser Gleichung. Dann kann das charakteristische Polynom auch beschrieben werden durch: pλ λ λ λ λ 2 λ 2 λ + λ 2 λ + λ λ 2. Durch einen Vergleich beider Darstellungen ergibt sich: λ + λ 2 SpA und λ λ 2 det A. Allgemein gilt für eine n n Matrix der folgende Satz: 88

Satz 3.44. Sei A eine n n Matrix. Dann wird durch ein Eigenwertproblem aufgestellt. A λ x. Die Eigenwerte λ i sind die Lösung der charakteristischen Gleichung det A λ. Die Eigenvektoren y i zu den Eigenwerten λ i sind die Lösungen des homogenen Gleichungssystems A λ i y i. 2. Die Spur der Matrix ist gleich die Summe der Eigenwerte SpA λ + λ 2 +... + λ n. 3. Die Determinante der Matrix ist gleich dem Produkt der Eigenwerte deta λ λ 2... λ n. Bemerkung 2.. Da die Eigenwerte Lösungen des charakteristischen Polynoms sind und das Polynom vom Grade n ist, kann eine n n Matrix maximal n reelle Eigenwerte besitzen. 2. Ist λ i ein Eigenwert der regulären Matrix A, so ist /λ i ein Eigenwert der inversen Matrix A. Beispiel: Sei A 2 3 6 4 2. Dann führen wir das Standardschema aus:. Berechnen des charakteristischen Polynoms: 2 λ pλ det 3 λ 2 λ λ 2 λ 6 4 2 λ Hierbei haben wir ausgenutzt, dass die Matrix eine Dreiecksmatrix ist und die Determinante daher das Produkt ihrer Diagonalelemente. Wir suchen nur die Nullstellen, die ich in der Linearfaktoren-Darstellung direkt ablesen kann, also müssen wir die Klammern nicht ausmultiplizieren. 89

2. Aufstellen der charakteristischen Gleichung, Berechnen der Eigenwerte: 2 λ det 3 λ! 6 4 2 λ Wir sehen: 2 λ λ 2 λ λ λ 2 2, λ 3 Ein Eigenwert kann doppelt oder kurz mehrfach vorkommen. Auch die Null kann ein Eigenwert sein. Spurprobe: SpurA 2 + + 2 4 λ + λ 2 + λ 3 o.k. Determinantenprobe: det A 2 2 λ λ 2 λ 3 o.k. 3. Berechnen der Eigenvektoren: λ,2 2 : A λ x 2 2 3 2 5 4 2 2 3 6 4 x + + x 3 3 x 2 + x 3 6 x + 4 + x 3 x 3 taucht gar nicht auf, ist also beliebig. Sei x 3 α. Gleichung 3 ist -2mal Gleichung 2, die beiden Gleichungen sind also linear abhängig. Ich kann einen Parameter frei wählen. Sei β. Dann folgt 3 x 2 2 β, also x 2/3 β. x x 3 2 β 3 β α α + 3 β Zu zwei Eigenwerten erhalten wir im Allgemeinen auch zwei Eigenvektoren. y und 2 y 2 3 Anschaulich bedeutet dies, dass nicht nur alle Vektoren auf einer Geraden durch A auf ein Vielfaches ihrer selbst abgebildet werden, sondern alle in einer Ebene - der durch y und y 2 aufgespannten Ebene - liegenden. 2 3 9

Probe Sind Eigenwert und Eigenvektor korrekt berechnet, muss gelten: A y i λ i y i. In unserem Fall ist λ 3 : A α y + β y 2 αa y + βa y 2 2 α 3 + β 6 4 2 4 α + β 6 2 A λ 3 x 2 3 6 4 2 2 3 6 4 2 2 α y + β y 2 x x 3 2 x 3 x 6 x + 4 + 2 x 3 Aus Gleichung und Gleichung 2 folgt, dass x ist. In Gleichung 3 ist ein Parameter frei wählbar. Sei α. Dann folgt 2 x 3 4 4 α, also x 3 α x x 3 α α α Hier wird klar, dass nicht ein beliebiger Parameter frei wählbar ist! x ist berechenbar und besitzt einen festen Wert, wählen wir ihn beliebig, bekommen wir ein falsches Ergebnis. Und wir sehen: obwohl der Eigenwert ist, ist der Eigenvektor nicht der Nullvektor! Wie bestimmen y 3,norm oder y 3 5 2 3 Probe: Es ist A y 3 2 3 6 4 2 λ 3 y 3. Ende der Rechnung 9

Satz 3.45. Die Eigenwerte und Eigenvektoren einer n-reihigen symmetrischen Matrix A besitzen die folgenden Eigenschaften:. Alle n Eigenwerte sind reell 2. Es gibt n linear unabhängige Eigenvektoren 3. Eigenvektoren, die zu verschiedenen Eigenwerten gehören, sind orthogonal. 3.7 Orthogonale Matrizen Definition 3.46. Eine n-reihige, quadratische Matrix A heißt orthogon al, wenn das Matrizenprodukt aus A und ihrer Transponierten A T die Einheitsmatrix ergibt. A A T. Satz 3.47. Eigenschaften einer orthogonalen Matrix. Die Spalten bzw. Zeilen einer orthogonalen Matrix A bilden ein orthonormiertes System, stellen also zueinander orthogonale Einheitsvektoren dar. 2. Die Determinante einer orthogonalen Matrix A besitzt den Wert det A + oder det A. Eine orthogonale Matrix muss daher regulär sein. Die Umkehrung det A ± A orthogonal gilt nicht. 3. Bei einer orthogonalen Matrix sind Inverse und Transponierte identisch A A T. 4. Das Produkt zweier orthogonaler Matritzen ist wiederum eine orthogonale Matrix. 92