MATHEMATIK BASICS Marc Peter, Rainer Hofer, Jean-Louis D Alpaos Arithmetik und Algebra
Vorwort Zu Beginn der beruflichen Grundbildung haben 0 bis 30 Prozent aller Jugendlichen Schwierigkeiten, dem Unterricht im Fachrechnen zu folgen. Oft gehen Lernende, Eltern, Berufsbildende oder Lehrpersonen davon aus, dass sich diese Probleme im Fachrechnen während des regulären Unterrichts von selbst lösen. Die Erfahrungen zeigen aber mehrheitlich in die andere Richtung: Wer mit mangelnden Kompetenzen in die Sekundarstufe II startet, wird mit fortdauernder Ausbildung immer mehr Mühe bekunden, dem Unterricht zu folgen. Deshalb sind Standortbestimmungen im 3. Schuljahr der Sekundarstufe I oder zu Beginn der beruflichen Grundbildung unabdingbar, um fehlende Kompetenzen zu erkennen und die Lernenden ab dem 1. Semester gezielt zu fördern. Dieses Lehrmittel, welches ich gemeinsam mit Marc Peter (199 011) erarbeitete, ist ein Produkt unserer langjährigen Erfahrung als Lehrer im Bereich Pädagogische Fördermassnahmen (PFM) an Berufsfachschulen. Es ist systematisch aufgebaut und ermöglicht einen handlungs- und ressourcenorientierten Unterricht im Umfang von zirka 0 Lektionen. Ergänzend können auf der Webseite des Verlags ein ausgefülltes Exemplar für Lehrpersonen sowie Lernkontrollen freigeschaltet und bezogen werden. Meine didaktischen Empfehlungen: Rechenarten und Operationen werden erläutert und wenn möglich bildlich dargestellt und einige Übungen werden im Plenum gelöst. Danach arbeiten die Lernenden individuell an den Übungen. Als Lehrperson unterstützen Sie sie bei Bedarf ressourcenorientiert, mehrheitlich fragend. Mit den Lernkontrollen erfolgt die Ergebnissicherung. Das Lehrmittel Arithmetik und Algebra ist bewusst Teil der Reihe Mathematik Basic, weil es zusammen mit anderen Lehrmitteln die Grundlage fürs fachkundliche Rechnen bildet. Dieses Lehrmittel kann als Repetitorium in der Sekundarstufe I, in der beruflichen Grundbildung und in Förderkursen an der Berufsfachschule eingesetzt werden. Mein grosser Dank gilt Marc Peter (199 011). Gemeinsam haben wir dieses Lehrmittel erarbeitet und erstellt. Neu wird Jean-Louis D Alpaos mein Brainstorming- Partner sein und mich bei der Weiterentwicklung des Lehrmittels unterstützen. Rainer Hofer, Berufsfachschullehrer und Lehrperson für Förderangebote
Inhaltsverzeichnis 1 Rechenarten, Grundsätzliches zum Rechnen mit Variablen Seite 6 1.1 Repetition: Das Rechnen mit Brüchen Seite Operation 1. Stufe: Addition und Subtraktion Seite 13.1 Addition und Subtraktion mit verschiedenen Vorzeichen Seite 1. Das Rechnen mit Klammern Seite 16 3 Multiplikation Seite 1 3.1 Definition und Eigenschaften Seite 1 3. Multiplikation «Zahl mal Klammer» Seite 0 3.3 Multiplikation «Klammer mal Klammer» Seite 1 3.4 Die drei binomischen Formeln Seite 3 3. Ausklammern oder Vorklammern Seite 3.6 Anwendung Faktorzerlegung: Das Kürzen von Brüchen Seite 4 Division Seite 30 4.1 Definition und Eigenschaften Seite 30 4. Dividieren mit algebraischen Summen Seite 3 4.3 Erweitern von Brüchen Seite 34 4.4 Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) Seite 3 4. Addieren und Subtrahieren von Brüchen Seite 3 4.6 Multiplizieren von Brüchen Seite 41 4. Dividieren von Brüchen Seite 4 Algebra: Die Lehre von den Gleichungen Seite 46.1 Zahlengleichungen Seite 46. Formeln umstellen Seite 6 Lösungen zu den Übungen Seite 61
1 Rechenarten, Grundsätzliches zum Rechnen mit Variablen Unter Arithmetik versteht man das Rechnen mit Zahlen oder Variablen. 4 3 + 4, 6 =? 3 =? ( 3 ) + a? a = ab a =? ab Es gibt drei Operationsstufen: Operation 1. Stufe Addieren a + 3b + 6c + b =? Subtrahieren 4 r 6 3r =? Operation. Stufe Multiplizieren 4 b ( a 3ab) =? Dividieren 4ab b =? ab 3 = Potenzieren ( xy )? Operation 3. Stufe Radizieren 3 x =? Logarithmieren lg + lg =? Arithmetik und Algebra Seite 6
Variablen sind Stellvertreter für bestimmte Zahlen oder Grössen (z.b. Fläche A). Damit können mathematische Gesetzmässigkeiten ganz allgemein als Rechenregel oder als Formel ausgedrückt werden. Bei der Rechenregel stehen die Variablen an Stelle von Zahlen, bei Formeln an Stelle von Grössen. Rechenregel Formel a + c + A = h ( a b) = a + ab + b Kommt die gleiche Variable bei einer bestimmten Rechenregel oder Formel mehrmals vor, so ist sie Stellvertreter für stets die gleiche Zahl oder Grösse. Hier einige grundsätzliche Vereinbarungen und Begriffe, die das Rechnen mit den Variablen betreffen: Bei den + und Zeichen unterscheidet man zwischen Operationszeichen und Vorzeichen. Vorzeichen werden in Klammern geschrieben (ausser am Anfang). Vorzeichen... Operationszeichen Es gilt die Regel, dass positive Vorzeichen nicht geschrieben werden.... Ein Malzeichen zwischen Beizahl und Variable oder auch zwischen den Variablen lässt man weg.... Beizahl Ist die Beizahl 1 oder 1, so wird sie nicht geschrieben....... Die Beizahlen können auch Bruchzahlen sein. Deshalb folgt eine kurze Repetition des Bruchrechnens mit natürlichen Zahlen. Arithmetik und Algebra Seite
1.1 Repetition: Das Rechnen mit Brüchen Brüche auf dem Zahlenstrahl, unechte Brüche, gemischte Zahlen Die Brüche haben auf dem Zahlenstrahl wie folgt ihren Platz: Brüche, bei denen der Zähler kleiner ist als der Nenner, nennt man: Brüche, bei denen der Zähler grösser ist als der Nenner, nennt man:...... Brüche mit gleichem Zähler und Nenner sind immer 1. Arithmetik und Algebra Seite
Die unechten Brüche lassen sich in... verwandeln, eine Addition aus einer ganzen Zahl und einem Bruch: 3 = 69... 11... Man kann auch jede gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln: 3 =...... Übung 1 Verwandeln Sie die folgenden gemischten Zahlen in unechte Brüche oder umgekehrt. a) b) 4 4 c) 11 11 d) 1 3 e) f) 3 Erweitern und Kürzen von Brüchen Erweitern heisst, Zähler und Nenner mit der gleichen Zahl zu multiplizieren. Der Wert des Bruches ändert sich dadurch nicht. Erweitern Sie den ersten Bruch mit, den zweiten mit 1 und den dritten mit 00: 9 = 0... Kürzen heisst, Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl zu dividieren. Der Wert des Bruches ändert sich dadurch nicht. Kürzen Sie folgende Brüche: 6 14 = 3 1 40... Arithmetik und Algebra Seite 9