Dr. Wolfgang Neidhardt Seminar: Vernetzung von Geometrie und Algebra Lisa Turowski Bayreuth, den.0.00 Bruchrechnen und Gittergeometrie
. Lehrplan
. Bruchteile erzeugen Aufgaben:. Zeichne drei Kreise (rcm) auf Papier und schneide sie aus a) Falte wie gezeigt b) Färbe die Hälfte (½) der Scheibe rot, ein Viertel (¼) der Scheibe blau und ein Achtel ) der Scheibe grün. ( c) Wie viele Achtelteile passen in ein Viertelteil?. Der Schulhof soll umgestaltet werden. Die Schülerinnen und Schüler möchten eine Hälfte des Schulhofes als Spielplatz, ein Viertel als Ruhezone und den Rest zu gleichen Teilen als Teichanlage und als Fahrradstand einrichten. Wie könnte die Aufteilung aussehen?!
. Bruchteile bestimmen Welcher Bruchteil der Flächen ist grün, gelb, orange, rot? Merksatz : Der Nenner eines Bruchs gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze eingeteilt wurde. Der Zähler gibt an, wie viele Teile genommen werden. Bruchteile bestimmen () Nenner bestimmen In wie viele gleich große Teile ist das Ganze zerlegt? () Zähler bestimmen Wie viele der gleich großen Teile sind gefärbt? () Bruchteil notieren 0 gleich große Teile, Nenner ist 0 Anzahl der Teile:, Zähler ist 0
. Bruchteile vergleichen Merksatz :. Bei gleichen Nennern vergleicht man die Zähler. Je größer der Zähler, desto größer der Bruch.. Bei gleichen Zahlen vergleicht man die Nenner. Je größer der Nenner, desto kleiner der Bruch. Vergleiche: a) b) Bruchteile vergleichen () Was ist gleich? Was muss man vergleichen? Brüche mit gleichem Nenner Nenner sind gleich. Zähler vergleichen. Brüche mit gleichem Zähler Zähler sind gleich. Nenner vergleichen. () Vergleichen < Fünftel < Viertel () Vergleich notieren < <
. Unechte Brüche Merksatz : Brüche deren Zähler kleiner als der Nenner ist, nennt man echte Brüche. Sie geben weniger als ein Ganzes an. Brüche deren Zähler größer oder gleich dem Nenner ist, nennt man unechte Brüche. Unechte Brüche, die nicht Vielfache von Ganzen angeben, können in gemischter Schreibweise dargestellt werden. 6
. Gib jeweils den Bruch an. Verwende beide Schreibweisen. a) b) c). Zeichne wie in der vorherigen Aufgabe a) b) c) 6. Schreibe als gemischte oder als natürliche Zahl 0 a) b) c) 9. Schreibe als Bruch a) b) 6 c) 6 0 Bruch gemischte Zahl () Bruch in Ganze umwandeln () Zähler des Restbruches bestimmen ( ) Notieren Gemischte Zahl Bruch () Ganze in Bruch umwandeln () Zähler bestimmen () Notieren
6. Brüche als Quotienten Die Geschwister Susanne und Robert bestellen für sich vier Pizzen; zwei für jeden. Ihre Nachbarn bestellen drei Pizzen für vier Personen. Zeichne auf, wie die Pizzen für die Nachbarn geschnitten werden müssen, damit jeder gleich viel bekommt. Merksatz : Ein Quotient kann auch als Bruch geschrieben werden. Der Bruchstrich bedeutet dasselbe wie das Divisionszeichen. a : 6 6 ; a : b b Geht die Division auf, so ergibt sich eine natürliche Zahl. :. Schreibe als Bruch a) : 9 b) : c) :. Schreibe jeweils den Quotienten als Bruch und als natürliche Zahl a) : b) : c) 0 :. Schreibe als gemischte Zahl a) : b) : c) 6 : 9. Schreibe als Divisionsaufgabe a) b) c) 00. Stelle die Dominokette zusammen. Die Lösungsbuchstaben ergeben hintereinander gelegt ein Wort.
Brüche als Quotienten : : : () Ganze bestimmen 0 : es gibt keine Ganzen : () Bruch bestimmen : : es kommt kein Bruch vor () Notieren : : : 9
. Erweitern und Kürzen Vergleiche in den Figuren die gefärbten Bruchteile. Was stellst du fest? a) b) Merksatz : Erweitern: Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl (Erweiterungszahl) multipliziert. Kürzen: Zähler und Nenner werden durch die gleiche Zahl (Kürzungszahl) dividiert. Durch Erweitern und Kürzen erhält man wertgleiche Brüche.. Mit welcher Zahl wurde erweitert? a) b) 9 0. Suche die Erweiterungszahl und berechne den Platzhalter a) 6 0 b). Kürze soweit wie möglich 6 a) b) 0. Gib drei verschiedene Brüche mit dem Nenner 0 an, a) die sich nicht mehr kürzen lassen b) die sich nur durch kürzen lassen.. Welche Brüche wurden richtig erweitert oder gekürzt? Die Buchstaben ergeben hintereinander gelesen ein Lösungswort. 0
Brüche erweitern mit () Zähler und Nenner multiplizieren () Notieren 0 0 Brüche kürzen 9 mit () Zähler und Nenner dividieren : 9: ) Notieren 9
. Anordnung der positiven rationalen Zahlen Merksatz 6: Alle Brüche, die durch Kürzen oder Erweitern ineinander umgeformt werden können, haben den gleichen Wert. Sie stellen eine positive rationale Zahl dar. Die Menge aller Brüche bilden die Menge Q 0 der positiven rationalen Zahlen. Alle aus der Menge N 0 bekannten Rechengesetze gelten weiterhin.. Gib jeweils einen Bruch an, der zu dem markierten Punkt gehört.. Zeichne eine Zahlenhalbgerade und trage folgende Brüche ein:. Ordne die angegebenen Brüche und die gemischten Zahlen der markierten Punkten zu
9. Hauptnenner Katja, Nina und Daniel spielen in einer Freistunde das Bruchwürfelspiel. Jeder würfelt mit zwei Würfeln. Aus den Augenzahlen wird ein Bruch gebildet, wobei die größere Zahl der Nenner sein muss. Einen Gewinnpunkt erhält, wer den größten Bruch gewürfelt hat. Nina hat eine und eine gewürfelt, Katja und und Daniel und. Wer bekommt den Gewinn punkt? Warum?. In den Abbildungen werden und schrittweise erweitert. a) Welche Bruchteile treten auf? b) Welches gemeinsame Bruchteil kommt vor?. Mit welchem Bruchteil kann man sowohl als auch auslegen? Merksatz Brüche mit dem gleichen Nenner heißen gleichnamige Brüche. Brüche mit verschiedenen Nennern nennt man ungleichnamige Brüche. Ungleichnamige Brüche werden gleichnamig gemacht, indem sie erweitert oder kürzt. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) aller Nenner ist der Hauptnenner.
Hauptnenner bestimmen () Vielfache des ersten Nenners bestimmen V, 6, 9,,,,,,,... () Vielfache des zweiten Nenners bestimmen V,,,,... () kleinstes gemeinsames Vielfaches bestimmen kgv (; ) ; () Hauptnenner und gemeinsames Bruchteil notieren Hn. Bestimme das gemeinsame Bruchteil a) ; b) ; 6. Bestimme den Hauptnenner a) ; b) ; 0
0. Brüche vergleichen Bei einem Handballturnier verwandelte Martin von 0 Siebenmetern; Tobias war bei Versuchen 6-mal erfolgreich. Wer war der bessere Werfer?. Vergleiche die Größe der Brüche 9 ; a) ; b) 0. Ordne die Brüche nach der Größe in einer Ungleichungskette 9 ; 9 ; ; ; ; 0 0 0 00. Gib jeweils drei Brüche an, die zwischen den beiden Brüchen liegen 6 a) und ; b) und 0 9. Welche der drei Brüche liegt am nächsten bei? a) 9 6 ; ; ; b) ; 0. Mithilfe zweier Würfel kannst du Brüche darstellen, z.b. 6 bzw. 6. a) Wie viele Brüche sind möglich? Wie viele verschiedene Zahlen erhält man? b) Welcher Bruch ist der größte, welcher der kleinste? c) Welche Brüche stellen natürliche Zahlen dar? d) Welche Brüche haben den Wert, welche sind kleiner als? e) Welche Brüche sind vollständig gekürzt? Brüche vergleichen () Hauptnenner bestimmen Hn 0 () Brüche auf den Hauptnenner erweitern 6 0 ; 0 () Erweiterte Brüche vergleichen < 6 0 0 () Vergleich notieren <
. Gleichnamige Brüche addieren und subtrahieren Susanne hat zum Geburtstag ihre Freunde Sabine, Andreas und Christine eingeladen. Ihre Mutter hat eine große rechteckige Pizza gebacken, die sie in acht gleich große Teile unterteilt. Andreas isst drei Achtel, Sabine zwei Achtel der Pizza. Welchen Bruchteil der Pizza essen Andreas und Sabine gemeinsam? Andreas Sabine Achtel plus Achtel ist gleich Achtel. Andreas und Sabine essen zusammen der Pizza. Man rechnet: Welcher Anteil der Pizza bleibt für Susanne und Christine übrig? Andreas Sabine Achtel minus Achtel ist gleich Achtel. Für Susanne und Christine bleiben der Pizza übrig. Man rechnet: Berechne. Wenn möglich, kürze und verwandle in eine gemischte Zahl a) ; b) 9 9 Merksatz : Man addiert gleichnamige Brüche, indem man die Zähler addiert und den Nenner beibehält. Man subtrahiert gleichnamige Brüche, indem man die Zähler subtrahiert und den Nenner beibehält. Gleichnamige Brüche addieren und subtrahieren () Zähler addieren bzw. subtrahieren, Nenner beibehalten () Wenn möglich, kürzen 6: : () Wenn möglich, in eine gemischte Zahl verwandeln () Notieren 6 6 6
. Ungleichnamige Brüche addieren und subtrahieren Peter, Martina und Johannes teilen sich eine Tafel Schokolade. Peter nimmt ein Fünftel, Martina ein Drittel der Tafel. Welcher Bruchteil bleibt für Johannes? Peter und Martina essen zusammen: Für Johannes bleibt übrig: Johannes erhält der Schokolade. Merksatz 9: Man addiert bzw. subtrahiert ungleichnamige Brüche, indem man sie auf den Hauptnenner bringt. Danach rechnet man wie mit gleichnamigen Brüchen weiter.. Berechne. Wenn möglich, kürze und verwandle in eine gemischte Zahl a) ; b) 00. Die Schüler der 6. Klassen wurden zu unterschiedlichen mathematischen Themen befragt. Sie konnten zwischen drei verschiedenen Antworten auswählen: großes Interesse ( ), weniger Interesse ( ), kein Interesse ( ). Bestimme die fehlenden Bruchteile in der Abbildung. Kopfrechnen Bruchrechnen Geometrie
. Überprüfe die Ergebnisse. Die Kennbuchstaben ergeben ein Lösungswort, wenn du sie richtig zusammensetzt. wahr falsch S V 6 E O 6 T A 9 0 N H. Ergänze das Quadrat so, dass beim Addieren in den Spalten, den Zeilen und den Diagonalen immer die Summe erreicht wird.. Bei einem Spiel würfelt jeder Spieler mit vier Würfeln und bildet aus den vier Augenzahlen zwei Brüche. Das Spiel gewinnt, wer seine gewürfelten Zahlen für die Platzhalter so einsetzt, dass sich der kleinste Wert ergibt. a c a c Zwei Varianten: a) b) b d b d
. Gemischte Zahlen addieren und subtrahieren Herr Müller streicht Türen und Fenster seines Hauses. Er verdünnt l Hochglanzlack mit l Wasser. Wie viel Liter erhält er?. 6. 6 9 9 6. Berechne: a) b) 9 6 c) 6 9. a) Addiere zu der Summe aus und den Bruch 6. b) Subtrahiere von der Summe aus und den Bruch c) Addiere zur Differenz aus d) Der Summenwert und von drei Zahlen ist groß wie die erste. Wie groß ist die dritte Zahl? die gemischte Zahl 0 6. Die erste Zahl ist. 0., die zweite ist doppelt so 9
. Multiplikation eines Bruchs mit einer natürlichen Zahl Merksatz 0: Ein Bruch wird mit einer natürlichen Zahl multipliziert, indem man den Zähler mit der Zahl multipliziert und den Nennern unverändert lässt.. Welche Aufgaben sind dargestellt? a) b). Stelle die Aufgaben wie in Aufgabe dar. a) b) 6. Berechne. Wenn möglich, kürze und verwandle in eine gemischte Zahl. b) c) 0 a). Auf einem Blütenstrauch sitzen 0 Bienen, Hummeln, Schmetterlinge, Marienkäfer und Ameisen. Wie viele Gramm wiegen alle Tiere zusammen?. Tanja trainiert in der Woche dreimal Stunden Leichtathletik, Matthias dagegen schwimmt fünfmal in der Woche jeweils eine Stunde. Wer trainiert länger? 0
Brüche vervielfachen () Zähler mal natürliche Zahl, Nenner beibehalten () Wenn möglich, kürzen () Berechnen 9 () Wenn möglich, in eine gemischte Zahl umwandeln
. Division eines Bruchs durch eine natürliche Zahl Merksatz : Man teilt einen Bruch durch eine natürliche Zahl, indem man denn Nenner mit der natürlichen Zahl multipliziert und den Zähler unverändert lässt. Brüche teilen : () Nenner mal natürliche Zahl, Zähler beibehalten () Wenn möglich, kürzen () Berechnen 0 () Wenn möglich, in eine gemischte Zahl verwandeln 0 Berechne: a) : 6 b) : c) :
6. Multiplikation eines Bruchs mit einem Bruch Zwei Drittel der Klasse 6c sind Mädchen. Drei Viertel der Mädchen sind Fahrschüler? Wie groß ist ihr Anteil in der ganzen Klasse? : Zwei Drittel in vier Teile geteilt drei Teile davon Also: : 6 Merksatz : Brüche werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert.. Berechne 6 a) b) c) 6. Berechne a) b) c) Brüche multiplizieren 9 6 () Wenn nötig, gemischte Zahlen in nicht nötig 0 einen unechten Bruch umwandeln 9 () Zähler mal Zähler, 6 Nenner mal Nenner () Wenn möglich, kürzen geht nicht, teilerfremd 9 () Berechnen () Wenn möglich, in eine gemischte Zahl verwandeln 6 6 (geht nicht, Zähler < Nenner). Dirk kommt durstig vom Sportunterricht nach Hause und trinkt einer l Flasche. Seine Mutter meint: Jetzt hast du mindestens einen halben Liter Getrunken! Hat sie Recht?
. Der Grundbesitz eines Bauern besteht zu drei Fünfteln aus Ackerland, davon wird auf zwei Dritteln Raps angebaut. Auf welchem Teil des Grundes wird Raps angebaut?. Jeder Spieler würfelt mit vier Würfeln und bildet aus den vier Augenzahlen zwei Brüche, die anschließend miteinander multipliziert werden. Das Spiel gewinnt wer das kleinste Ergebnis hat.
. Division eines Bruchs mit einem Bruch Der Quotient : hat den gleichen Wert wie das Produkt. : ist eine positive rationale Zahl x, es gilt also : x. Dadurch gilt auch :( ( x ) : und somit ) x x. ; bzw. vereinfacht : x. Weil : x und x, gilt : :. Merksatz : Jeder Bruch hat einen Kehrwert. Ein Bruch wird durch einen Bruch dividiert, indem man den ersten Bruch mit dem Kehrbruch des zweiten Bruchs multipliziert. 6 Brüche dividieren : () Wenn nötig, gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln 0 () Den. Bruch notieren, dann mit dem Kehrbruch des. Bruches 6 multiplizieren. () Wenn möglich, kürzen () Berechnen () Wenn möglich in eine gemischte Zahl umwandeln 6. Berechne: a) : 9 6 b) : c) 6 :. Schreibe den entsprechenden Term und berechne seinen Wert. 9 a) Dividiere durch die Summe von und. b) Dividiere die Differenz aus 9 und durch 0.. Jeder Spieler würfelt mit vier Würfeln und bildet aus den vier Augenzahlen zwei Brüche, die anschließend dividiert werden müssen. Das Spiel gewinnt, wird das größte Ergebnis hat.
. Doppelbrüche. Schreibe den Doppelbruch als Quotient und berechne 9 a) b) 6. Schreibe mithilfe von Bruchstrichen und berechne dann a) ( : ) : ( : 0) b) ( : ) :. Berechne a) b) ( ) 6
9. Verbindung der Rechenarten und Rechengesetze. Rechne möglichst geschickt 9 0. Berechne vorteilhaft 9 9 0. Berechne mithilfe des Distributivgesetzes 9 9 9. Rechne auf zwei Weisen 0 ( ) 9. Berechne ( ) : 6. In einer Tischtennis-Gruppe sind Schülerinnen und Schüler. Welchen Bruchteil einer Doppelstunde kann sich der Sportlehrer mit jedem Kind beschäftigen, wenn von der Doppelstunde für den Aufbau 9, gemeinschaftliche Spiele 6, und den Abbau der Zeit gerechnet wird?. a) Die Seiten eines Rechtecks werden halbiert. Wie verändern sich Umfang und Flächeninhalt des Rechtecks? b) Eine Quadratseite wird auf ein Drittel gekürzt. Wie verändern sich Umfang und Flächeninhalt?
Zur Geschichte der Bruchrechnung Die Vorstellung von Brüchen gibt es schon sehr lange. Sie entstand, indem ein Ganzes in gleiche Teile geteilt wurde, z.b. Beute oder Ernte. Bereits vor über 000 Jahren verwendeten die Babylonier und Ägypter Zeichen für Brüche, aber nur wenige Menschen waren gebildet genug, um mit ihnen zu rechnen. In der Keilschrift der Babylonier entstand das Zeichen für ½ aus einem Bildzeichen für ein zur Hälfte gefülltes Gefäß. Die Ägypter, die von rechts nach links lasen, stellten ihre Brüche im Normalfall mit der Hieroglyphe Mund dar. Da sie nur Stammbrüche, d.h. Brüche mit dem Zähler verwendeten, genügte es, dieses Zeichen über den Nenner zu schreiben. Daher konnte auch neben der Hieroglyphe weitergeschrieben werden, wenn der Platz darunter nicht ausreichte. Für einige Brüche gab es besondere Zeichen, alle anderen wurden in Stammbrüche zerlegt, wobei darauf geachtet wurde, keinen Teilbruch doppelt zu verwenden. Im Papyrus Rhind, eine 0 cm breite und 0 cm lange Schriftrolle, sind alle Brüche mit dem Zähler und den ungeraden Nennern von bis 0 in ihrer Zerlegung aufgeführt.
Eine Ausnahme der Ägypter war das Messen von Getreide oder Flüssigkeiten. Dazu benutzten sie die Maßeinheit Hekat das ist etwas weniger als fünf Liter und dazugehörige Bruchteile. Für diese Brüche, die durch fortführendes Halbieren entstanden, verwendeten sie eine eigene Schreibweise: verschiedene Teile von dem geschminkten Auge des Falkengottes Horus. Angeblich wurde das Auge von Seth, dem Gott der Dürre und des Unwetters, im Kampf zerstückelt und anschließend von Thot, dem Gott der Schreibkunst und der Wissenschaft, wieder geheilt. Ebenso wie die Ägypter rechneten die Römer meist in Stammbrüchen. Sie leiteten sie von der Gewichtseinheit As (etwa Gramm) ab. Da diese Größe für Gewürze und Edelmetalle zu grob war, wurde sie von den Römern in Unzen geteilt. Durch fortschreitendes Halbieren kam man zu weiteren Unterteilungen. 9
Die, uns heute bekannte, Schreibweise mit dem Bruchstrich führten die Inder ein. Im Mittelalter kam sie dann über die Araber nach Mitteleuropa. Leonardo von Pisa, besser als Fibonacci bekannt, lebte etwa von 0 0. Er gilt als größter europäischer Mathematiker des Mittelalters. Als Lebensmittelhändler lernte er in Algerien die Sprache und die Mathematik der Araber kennen. Nachdem er 0 von mehreren Reisen zurückkehrte, veröffentlichte er ein umfangreiches Mathematikbuch. Mit diesem wollte er die italienischen Gelehrten mit der griechischen und arabischen Mathematik vertraut machen und sie von den Vorzügen des arabischen Ziffernsystems gegenüber dem römischen überzeugen. Weil auch zu dieser Zeit vor allem noch mit Stammbrüchen gearbeitet wurde, beschäftigte er sich unter anderem mit der Zerlegung von Brüchen. Dabei kam er zu folgendem Ergebnis: ( ) n n n n. Beweis durch vollständige Induktion IV: n n n ( n ) IA: A () ist wahr: l.s.: r.s.: IS: A (n) ist wahr A (n ) ist wahr IB: A (n ) ist wahr: l.s. (n ) ( ) n ( n ) ( n ) ( n ) [( n ) ] ( n ) ( n ) n n ( n ) ( n ) ( n ) ( n ) n r.s. 0
In der Praxis verwendete er allerdings eine andere Methode um Brüche in Stammbrüche zu zerlegen: das sogenannte nimmersatte Verfahren. Erklären lässt sich dieses am besten an Hand eines Beispiels: Zerlegung des Bruches.. Ermitteln des nächstkleineren Stammbruches: <, weil < 6. Bilden der Differenz: 6. Bilden der Summe:. Ist der im zweiten Schritt entstandene Bruch kein Stammbruch, so fängt man wieder bei. an In Deutschland wurde der Bruchstrich erst ab ca. 00 n. Chr. verwendet. beschriebt Peter Apian aus Ingolstadt in seinem Rechenbuch Kauffmannß Rechnung die gemischte Schreibweise von Brüchen. und erklärte Adam Riese in einem Rechenbüchlein die Bruchstrichweise.
Literatur: Dlugosch u.a., Mathematik 6, Braunschweig 00 Habler u.a., Mathematik für Realschulen 6, Frankfurt am Main 00 Padberg, Didaktik der Bruchrechnung, Heidelberg u.a. 99 Lernkartei zum Bruchrechnen, Ernst Klett Schulbuchverlag Leipzig GmbH, Leipzig 99 http://did.mat.uni-bayreuth.de/~wn/innsbruck/experimente/dyn_arb.html