Friedhelm Padberg Didaktik der Bruchrechnung 3. Auflage Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin
Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 I Die Bruchrechnung ein Auslaufmodell? 5 1 Einige Argumente gegen die Bruchrechnung mit gemeinen Brüchen 6 1.1 Irrelevanz für das tägliche Leben 6 1.2 Relikt aus längst vergangenen Zeiten 6 1.3 Bequeme Spielwiese für Lehrer 7 1.4 Mehr Zeit für Dezimalbrüche 7 1.5 Zwei Schreibweisen für Bruchzahlen? 7 1.6 Gemeine Brüche - nur ein Selektionsinstrument? 7 1.7 Zusammenfassung 7 2 Einige Argumente zur Notwendigkeit der Bruchrechnung mit gemeinen Brüchen 8 2.1 Brüche und die anschauliche Fundierung der Dezimalbruchrechnung 8 2.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung ohne Bruchrechnung? 10 2.3 Bruchrechnung und Gleichungslehre 12 2.4 Zahlbereichserweiterung von N nach <Q + 14 2.5 Bruchrechnung und Algebra 15 2.6 Resümee 16 3 Problembereiche/Konsequenzen - erste Hinweise 16 II Konzepte zur Behandlung der Bruchrechnung 17 1 Das Größenkonzept 18 2 Das Aquivalenzklassenkonzept 19 3 Das Gleichungskonzept 21 4 Das Operatorkonzept 23 5 Resümee 31 III Bruchrechnung 33 1 Zur Einführung der Bruchzahlen 33 1.1 Anschauliche Vorkenntnisse 33 1.2 Komplexität der Bruchzahlen 34 1.2.1 Bruchzahlaspekte 35 1.2.2 Schreibweisen 38 1.2.3 Repräsentationsarten 39 1.3 Teil vom Ganzen - zwei Grundvorstellungen 41
1.3.1 Teil eines Ganzen 41 1.3.2 Teil mehrerer Ganzer 44 1.3.3 Gleichwertigkeit beider Grundvorstellungen 47 1.3.4 Kenntnis beider Grundvorstellungen 48 1.4 Repräsentant und Bruch 50 1.5 Benennung einer Größe durch verschiedene konkrete Brüche. 53 1.6 Übergang zu den Bruchzahlen 53 Erweitern/Kürzen 57 2.1 Anschauliche Vorkenntnisse 57 2.2 Anschauliche Wege zum Erweitern/Kürzen 59 2.3 Erweitern - systematische Behandlung 65 2.4 Kürzen - systematische Behandlung 67 2.5 Problembereiche 70 Größenvergleich 72 3.1 Anschauliche Vorkenntnisse 72 3.2 Anschauliche Wege zum Größenvergleich 74 3.3 Systematische Behandlung "... 79 3.4 Problembereiche 81 3.5 Zahlenstrahl 83 3.6 Vertiefung 84 Addition 88 4.1 Anschauliche Vorkenntnisse 88 4.2 Anschauliche Wege zur Addition 89 4.3 Systematische Behandlung 94 4.4 Gemischte Zahlen 98 4.5 Schwierigkeitsfaktoren 99 4.6 Problembereiche 101 4.7 Vorbeugung/Therapie 105 4.8 Vertiefung 108 Subtraktion 110 5.1 Anschauliche Vorkenntnisse 110 5.2 Anschauliche Wege zur Subtraktion 111 5.3 Systematische Behandlung 114 5.4 Gemischte Zahlen 115 5.5 Schwierigkeitsfaktoren 115 5.6 Problembereiche 116 5.7 Vorbeugung/Therapie 118 5.8 Vertiefung 118 Multiplikation 119
6.1 Anschauliche Vorkenntnisse 120 6.2 Anschauliche Wege zur Multiplikation 123 6.3 Natürliche Zahl mal Bruch 126 6.4 Bruch mal natürliche Zahl 127 6.5 Bruch mal Bruch 129 6.5.1 Von-Ansatz 129 6.5.2 Gleichungsketten 131 6.5.3 Flächeninhalt 133 6.5.4 Isomorphie 135 6.5.5 Bewertung 137 6.6 Problembereiche 140 6.7 Vorbeugung/Therapie 146 6.8 Vertiefung 146 Division 149 7.1 Anschauliche Vorkenntnisse 150 7.2 Anschauliche Wege zur Division 152 7.3 Bruch durch natürliche Zahl 158 7.4 Bruch durch Bruch/Natürliche Zahl durch Bruch 159 7.4.1 Messen 159 7.4.2 Umkehroperation 161 7.4.3 Gleichungsketten 165 7.4.4 Doppelbrüche 167 7.4.5 Bewertung 167 7.5 Natürliche Zahl durch natürliche Zahl 169 7.6 Problembereiche 170 7.7 Vorbeugung/Therapie 175 7.8 Vertiefung 176 Brüche und natürliche Zahlen - Gemeinsamkeiten und Unterschiede 179 Problembereiche bei den gemeinen Brüchen - Zusammenfassung und erste Konsequenzen 181 9.1 Anschauliche Bruchvorstellungen 181 9.2 Zusammenhang zwischen natürlichen Zahlen und Brüchen.. 182 9.3 Verbreitete Fehlerrahmen 183 9.4 Regelableitungen 184 9.5 Dominanz der syntaktischen Ebene 184 9.6 Erste Konsequenzen 185
IV Dezimalbruchrechnung 187 1 Vorteile der Dezimalbrüehe gegenüber den gemeinen Brüchen... 188 2 Zur Einführung endlicher Dezimalbrüche 189 2.1 Einführung endlicher Dezimalbrüche 189 2.2 Problembereiche 194 2.2.1 Unsere empirische Untersuchung - einige Hinweise... 195 2.2.2 Ergebnisse 196 2.3 Zusammenfassende Bemerkungen 200 3 Vergleichen endlicher Dezimalbrüche 201 3.1 Erweitern/Kürzen/Einbetten 201 3.1.1 Einführung 201 3.1.2 Problembereiche 203 3.2 Größenvergleich 203 3.2.1 Einführung 203 3.2.2 Problembereiche 205 3.2.3 Einige Konsequenzen 209 4 Zusammenhang von gemeinen Brüchen und Dezimalbrüchen... 211 4.1 Endliche Dezimalbrüche 211 4.1.1 Umformung durch Erweitern/Kürzen 211 4.1.2 Umformung durch Division 212 4.2 Periodische Dezimalbrüche 213 4.3 Systembrüche 217 4.4 Problembereiche 218 4.5 Gemeine Brüche und Dezimalbrüche - zwei verschiedene Welten? 220 5 Runden/Überschlagsrechnungen/Näherungsrechnungen 221 6 Addition 223 6.1 Einführung 223 6.2 Problembereiche 227 7 Subtraktion 231 7.1 Einführung 231 7.2 Problembereiche 232 8 Multiplikation 237 8.1 Multiplikation mit Zehnerpotenzen/Division durch Zehnerpotenzen 237 8.1.1 Multiplikation mit Zehnerpotenzen 237 8.1.2 Division durch Zehnerpotenzen 239 8.2 Multiplikation mit natürlichen Zahlen 240 8.3 Multiplikation mit Dezimalbrüchen 241
8.4 Problembereiche 244 8.5 Konsequenzen 250 9 Division 251 9.1 Division durch Zehnerpotenzen 251 9.2 Division durch natürliche Zahlen 251 9.3 Division durch Dezimalbrüehe 254 9.4 Problembereiche 256 9.5 Konsequenzen 264 10 Vier Konzepte zur Behandlung der Dezimalbruchrechnung - ein Rückblick 265 10.1 Das Größenkonzept 265 10.2 Das Zehnerbrüchekonzept 266 10.3 Das Stellenwertkonzept 267 10.4 Das Kommaverschiebungskonzept 268 10.5 Dezimalbruchlehrgänge als Mischkonzepte 269 11 Problembereiche bei den Dezimalbrüchen - Zusammenfassung und erste Konsequenzen 269 11.1 Dezimalbruchbegriff 270 11.2 Dezimalbruchrechnung 271 11.3 Fehlerstrategien - einige Bemerkungen 272 11.4 Regelkenntnis und Regelbegründung 272 11.5 Vorbeugung und Therapie 273 11.6 Einige offene Fragen 273 V Zusammenfassung und Schlussfolgerungen 275 1 Standardweg und Probleme der gegenwärtigen Bruchrechenlehrgänge 275 2 Anschauliche Fundierung des Bruchzahlbegriffes in Klasse 5... 277 3 Anschauliche Fundierung einfacher Rechenoperationen in Klasse 5. 279 4 Der systematische Bruchrechenlehrgang in Klasse 6 281 4.1 Parallelbehandlung 281 4.2 Vielfältige Zielsetzungen bei den Rechenoperationen 282 4.3 Sorgfältige Ableitung von Rechenregeln 282 4.4 Wiederholter Rückgriff auf anschauliche Grundlagen 284 4.5 Kenntnis typischer Problembereiche 285 5 Schlussbemerkung 287 Anhang 289 1 Diagnostische Tests 289 1.1 Anschauliche Vorkenntnisse in der Bruchrechnung 289
r L 1.1.1 Anschauliche Vorkenntnisse in der Bruchrechnung - Teiltest A 289 1.1.2 Anschauliche Vorkenntnisse in der Bruchrechnung - Teiltest B 294 1.2 Diagnostischer Test zu den gemeinen Brüchen 299 1.3 Diagnostischer Test zu den Dezimalbrüchen 299 2 Zur mathematischen Fundierung der Bruchrechnung 300 Literaturverzeichnis 301