3 Darstellungsformen für Zahlen Informatik II SS 24 Dipl.-Inform. Michael Ebner. Vorzeichen und Betrag (engl. Sign-/Magnitude) 2. Stellenkomplement 3. Basiskomplement Warum 3 Darstellungsformen? Ziel: möglichst einfache ALU (CPU Baustein, der Rechenoperationen durchführt) Wie macht man das? Subtraktion wird auf die Addition zurückgeführt Multiplikation wird auf die Addition zurückgeführt Division wird auf die Multiplikation (d.h. Addition) zurückgeführt Lehrstuhl für Telematik Institut für Informatik 2.53 Darstellung mit Vorzeichen und Betrag (/2) Darstellung mit Vorzeichen und Betrag (2/2) Wortlänge N... N- Bits beschreiben den Betrag der Zahl Bit beschreibt das Vorzeichen der Zahl zwei Darstellungen für die NULL engl. Sign-/Magnitude Representation Die Vorzeichen und Betrag Darstellung entspricht dem was man so kennt....... -............ Beispiel für diese Darstellung: Dezimal Vorzeichen Betrag 92-92 2.54 2.55
Nachteile der Betrag-/Vorzeichen-Darstellung Komplementdarstellungen Fall 2 3 4 Man benötigt Addier- und Subtrahierwerk in der ALU Man benötigt spezielle Logik um zu bestimmen, ob addiert oder subtrahiert werden soll Beispiel: die Operanden x und y sollen addiert werden es sind folgende Fälle zu unterscheiden: x y (zwei positive Operanden) -x-y positiver Operand negativer Operand x, -y, x y bzw. y, -x, y x negativer Operand positiver Operand x, -y, x < y bzw. y, -x, y < x Operanden (zwei negative Operanden) x y x y Addition x y Addition -(x y) Subtraktion x y bzw. y x x y x < y < Auszuführende Operation Subtraktion ( y x ) bzw. ( x y ) 2.56. Stellenkomplement (B- Komplement) 2. Basiskomplement Ziel: Rückführung der Subtraktionen auf die Addition Komplementbildung: b C b (für geeignetes C) Subtraktion durch Addition des Komplements: d.h. wenn (.) das Komplement leicht zu bilden ist und (2.) die Reduktion mod C einfach ist, dann kann die Subtraktion auf eine Addition des Komplements zurückgeführt werden a b a b a b C a b C 2.5 Stellenkomplement (/2) C für das Stellenkomplement: C B N N- Darstellung einer Zahl a: n a i * B i Komplementbildung: ((B ) a i ) bedeutet: (B-)-Komplement kann für jede Stelle ( Stellenkomplement) gebildet werden. a C a N- i N- i B i - i (B N -) - N- B N i ((B ) a i ) B i - * B i N- i N- i a i * B i a i * B i 2.58 Stellenkomplement für die Basis 2 Wie funktioniert die (B-)-Komplementbildung für die Basis 2? einsetzen in die bekannten Formeln: N- a a i * 2 i i N- a ((2 ) - a i ) * 2 i i N- ( - a i ) * 2 i ( a i ) d.h. Invertierung jeder Stelle der Dualzahl i Beispiel: x x 5 x 4 x 3 x 2 x x x 5 x 5 x 5 x 4 x 4 x 4 x 3 x 3 x 3 x 2 x 2 x 2 x x x x x x x 2.59
Stellenkomplement und andere Basen N- Formeln: a a i * B i ; i N- a ((B ) a i ) i im Dualsystem: Komplementbildung Bits stellenweise invertieren Man kann das Stellenkomplement auch auf andere Zahlensysteme (neben dem Dualsystem) anwenden, z.b. Dezimalsystem (d.h. B ): * B i Eigenschaften Stellenkomplement (Dualsystem) Im Rechner werden die negativen Zahlen als Komplemente der positiven Zahlen dargestellt. Das most significant Bit beschreibt das Vorzeichen der repräsentierten Zahl: x 3 5 x 2 3 x 5 x x 2 ( ) x 2 9 3 6 x ( ) x 9 5 4 x ( ) x 9 2 Zwei Darstellungen der Null... Und... Darstellbarer Zahlenbereich (½ * B N )... (½ * B N ) x 6 4 2 2.6 2.6 Zahlenring im Stellenkomplement Stellenkomplement: Reduktion mod C (/) -5-6 9-8 6 5 Erinnerung: Stellenkomplement ist nur sinnvoll, wenn Komplementbildung einfach ist (Stellenweise invertieren) Reduktion mod C einfach ist -4 negative Zahlen positive Zahlen 4 Reduktion mod C: d a b a b C Es sind 3 Fälle zu unterscheiden: -3 2 3. Fall (zwei positive Zahlen) a, b > ; a > b d > -2 3-4 - 2 2. Fall (zwei positive Zahlen) 3. Fall (zwei negative Zahlen) a, b > ; a b d a b < ; d a b d 2.62 2.63
Stellenkomplement: Reduktion mod C (2/) Stellenkomplement: Reduktion mod C (3/). Fall: a, b > ; a > b d > Abschätzung: B N a b < 2*B N d.h.: Es tritt ein Überlauf von in die (nicht existierende) (N).te Stelle auf. Warum? a b a ( C b) a ( a b < d < B N B N B N Ignorieren des Übertrags entspricht einer Subtraktion von B N Aufaddieren einer entspricht dann einer Subtraktion von C B N d.h. man muß den Überlauf addieren um zum richtigen Ergebnis zu gelangen. Stichwort: Einserrücklauf b). Fall: 3 Beispiele I. Dezimalsystem (N 3) a b 65 43 22 II. Dualsystem (N 5) a b Komplementbildung 43 999 43 956 a b (Komplement) a b 65 956 2 22 Dezimal 4 2.64 2.65 Stellenkomplement: Reduktion mod C (4/) Stellenkomplement: Reduktion mod C (5/). Fall: 3 Beispiele III. Dualsystem (N 5) Dezimal 4 4 a b Bemerkung : Bemerkung 2: negative Null stört nicht 2. Fall: a, b > ; a b d Differenz d a b ist negativ, d.h. d muß selbst in der Komplementdarstellung vorliegen: d C d d d a b C C d a b C B N 2.66 d.h. die Addition des Komplements liefert bereits d in der richtigen Darstellung! Es tritt kein Überlauf in die (N).te Stelle auf, weil: a b B N Beispiel: dezimal 5 2 dual a b 2.6
Stellenkomplement: Reduktion mod C (6/) 3. Fall: d a b < ; d a b d in Komplementdarstellung d C - d ist erwünscht a b (C a) (C b) (C (a b)) (C d ) d C C (B N ) Gewünschte Ergebnis verschwindet durch ignorieren des Überlaufs und Einserrücklauf Überlauf in die (N).te Stelle und Einserrücklauf liefern d in Komplementdarstellung (d.h. das gewünschte Ergebnis) Stellenkomplement: Reduktion mod C (/) 3. Fall: d a b < ; d a b Beispiel: 5 2 Dual (2 ) 2.68 2.69 Basiskomplement (B-Komplement) Eigenschaften Basiskomplement (Dualsystem) C für das Basiskomplement: C B N Komplementbildung: B a B N d.h. die Komplementbildung ist für das Basiskomplement etwas aufwendiger (B)Komplement bilden Aufaddieren einer Beispiel: 5 B- a (B-)-Komplement: Aufaddieren von : N- i a i * B i B 5 B 5 2. Negative Zahlen werden als Komplemente der positiven Zahlen dargestellt. Das most significant Bit beschreibt das Vorzeichen der Zahl. Es gibt nur eine Null Bemerkung: Komplement der Null liegt beim Basiskomplement, anders als beim Stellenkomplement, nicht mehr im darstellbaren Zahlenbereich (Übertrag in die (n).te Stelle). Darstellbarer Zahlenbereich (½ * B N )... (½ * B N ) 2.
Zahlenring im Basiskomplement -5-4 2-3 3-9 -6 negative Zahlen -2 4-5 -8 8 positive Zahlen 6 2 5 4 3 2.2 Reduktion mod C im Basiskomplement (/2) einfach, da C B N, d.h. Überlauf in die (N).te Stelle ignorieren entspricht bereits der Subtraktion von B N kein Einserrücklauf Beispiele: Dezimalsystem (N3) Dualsystem (N5) 65 43 22 dezimal 4 B 43 956 Dual ( B ) 65 95 22 22 2.3 Reduktion mod C im Basiskomplement (/2) Stellen- und Basiskomplement (/2) Beispiele: Dualsystem (N5) dezimal Fall d < : Ergebnis ist bereits in Komplementdarstellung 5 2 Dual ( B 2) 2.4 Überschreiten des zulässigen Zahlenbereichs Bei Operanden mit ungleichem Vorzeichen ist ein Überschreiten des zulässigen Zahlenbereichs nicht möglich: a b a oder a b b Überschreitung möglich, wenn: a, b < oder a, b > da das oberste Bit das Vorzeichen repräsentiert, kann bei Überschreitung des Zahlenbereichs das Vorzeichen wechseln. In so einem Fall muß: - ein Überlauf angezeigt werden, - eine arithmetische Fehlerbedingung aktiviert werden - Overflow error angezeigt werden, -... -usw. 2.5
Stellen- und Basiskomplement (2/2) Fall : a, b > Ein Fehler entsteht dann, wenn gilt a b B N - Das vorderste ( most significant ) Bit wird gesetzt und als falsches Resultat entsteht eine negative Zahl. Es gibt jedoch keinen Überlauf in die (N).te Stelle. Fall 2: a, b < Ein Fehler entsteht dann, wenn gilt a b > B N - (Basiskomplement) B N - (Stellenkomplement) Das Vorzeichenbit wird dann zurückgesetzt, es gibt einen Überlauf in die (N).te Stelle und es entsteht ein falsches positives Resultat. Beim Stellenkomplement führt dieses normalerweise zum Einserrücklauf Gegenüberstellung der 3 Zahlencodierungen Rechenwerk Negation Vorzeichen-/ Betrag Add / Sub Vorzeichen invertieren Stellenkomplement Add Ziffern komplementieren Basiskomplement Add Stellenkomplement Stellenkomplement: Verzögerung beim Rechnen wg. Einserrücklauf Zwei Darstellungen der NULL Basiskomplement Mehraufwand beim Herstellen des Komplements Verzögerung beim Negieren Praxis: heute fast nur noch Basiskomplement Einserrücklauf Nein Ja Nein 2.6 2. Multiplikation und Division (/2) Multiplikation und Division (2/2) zurückführen auf Addition (bzw. Subtraktion) Multiplikation: Wiederholtes Verschieben (Shift-Operationen) und Addieren im Dualsystem * Shift-Operationen (Genügend Wortbreite für das Resultat angenommen) Division: Rest: Wiederholtes Verschieben und Subtrahieren im Dualsystem Schwierig bei negativem Divisor eine Lösung: rechnen mit absoluten Beträgen und anschließend Vorzeichenrechnung Fehlermeldung für Divisor ( Zerodivide ) : 2.8 2.9
BCDDarstellung & BCDArithmetik (/4) 4.te Alternative zur Darstellung und zum Rechnen mit ganzen Zahlen BCDDarstellung und BCDArithmetik wird von verschiedenen Mikroprozessoren direkt unterstützt BCDCodierung: BCD BCD 2 BCD 3 BCD 4 BCD 5 BCD 6 BCD BCD 8 BCD 9 BCD - ungenutzte Werte 6 Codierungen, die nicht zur Zahlendarstellung benutzt werden BCDDarstellung & BCDArithmetik (2/4) Beispiel : dezimal BCD Darstellung 2 3 4 3 normale Dualzahlenaddition liefert hier das korrekte Ergebnis Beispiel 2: dezimal BCD Darstellung 2 9 4 3? (6) 4 3 ungültiger BCD Code Korrektur Bei Überträgen und beim Erreichen von ungültigen BCD-Codierungen liefert die Addition von 6 ( BCD ) das richtige Ergebnis 2.8 2.8 BCDDarstellung & BCDArithmetik (3/4) BCDDarstellung & BCDArithmetik (4/4) Beispiel 3: 439 28 626 6 2 6 Übertrag 6 ungültiger BCD Code 6 ungültiger BCD Code 6 Abschließende Bemerkungen: Der BCD-Code erlaubt auch das Rechnen mit Festzahlen, d.h. Zahlen bei denen die Anzahl der Stellen hinter dem Komma festliegt Wenn der Ablauf Zahleneingabe, Arithmetik, Zahlenausgabe ohne Umwandlung ins Binärsystem erfolgen soll, wird der BCD-Code bevorzugt. Der BCD-Code wird vorwiegend im technischen Bereichen verwendet, z.b. für -Segment-Anzeigen zur Darstellung von Zahlen. 2.82 2.83
Gleitkommazahlen: Motivation Häufig berichteter Fehler in GCC (GNU Compiler Collection) Quelle: http://gcc.gnu.org/bugs.html#known (Stand 9. April 24) Non-bugs: The following are not actually bugs, but are reported often enough to warrant a mention here. Inkorrekte Handhabung von Gleitkommazahlen, z.b.: #include <iostream> int main() { double a.5; double b.; std::cout << (int)(a / b) << std::endl; return ; } In Abhängigkeit von der verwendeten Genauigkeit und Rundung wird als Ergebnis 5 (korrekt) oder 49 (falsch) geliefert. Gleitkommazahlen: Floating Point Numbers (/3) Rechner speichert die Position des Dezimalpunktes z.b..43 * 5 oder.35 * - Allgemein: X m * B e (m: Mantisse, B: Basis, e: Exponent) Bit-Darstellung: Exponent (z.b. 8 Bit) Vorzeichen ( Bit) Mantisse (z.b. 23 Bit) Kein Fehler des Compilers, sondern Einschränkung von Gleitkommazahlen 2.84 Exponent wird meist zur Basis 2, oder 6 angegeben. Führende Nullen der Mantisse sollten möglichst vermieden werden ( Normalisieren ) 2.85 Gleitkommazahlen: Floating Point Numbers (2/3) Gleitkommazahlen: Floating Point Numbers (3/3) Darstellung negativer Exponenten: bereits bekannte Möglichkeiten: Vorzeichen-/Betragdarstellung Komplementdarstellung (Stellen- oder Basiskomplement) aber, die allgemein übliche Form ist die Darstellung mittels einer sog. Charakteristik ch e K z.b. mit K B N /2 (sog. BIAS) (bei N-stelligen Exponenten) d.h. anstelle des Exponenten wird die Charakteristik dargestellt Speziell: X m * B ch (m: Mantisse, B: Basis, ch: Charakteristik) 2.86 Beispiel: 26.625 soll als 32 Bit Gleitkommazahl dargestellt werden Format: Bit Vorzeichen, 8 Bit Exponent (Charakteristik), 23 Bit Mantisse. Schritt: Dezimalzahl Dualzahl (26,625) (.) 2 2. Schritt: Normalisieren (Anpassen der Mantisse m, /B m < ) (.) 2 * 2 (.) 2 * 2 5 3. Schritt: Charakteristik berechnen: N8 K 2 28 ch e K 5 28 () 2 () () 2 2 3 Vorz 3 23 ch 22 M 2.8
Gleitkommadarstellung nach IEEE Standard 54 (/5) Normenvorschlag der IEEE Computer Society, der von fast allen Mikrocomputer-Herstellern übernommen worden ist (z.b. Intel 8X86, Motorola 68X) 32 Bit Format: 3 S 3 23 Charak. E 22 X (-) S * 2 E-2 * (.M) 2 mit < E < 255, Bias 2 Mantisse ist normiert:.m, d.h. Mantisse M führende wird nicht dargestellt Erhöhung der Genauigkeit um eine Stelle (Basis 2) Gleitkommadarstellung nach IEEE Standard 54 (2/5) Beispiel: x -.5 x (-) S * 2 E-2 * (.M) 2 mit < E < 255 3 S 3 23 Charakteristik E Bias 2 (-) * 2 2-2 * (.) 2 - * 2 * (.) 2 -(.) 2 -.5 22... Mantisse M 2.88 2.89 Gleitkommadarstellung nach IEEE Standard 54 (3/5) Gleitkommadarstellung nach IEEE Standard 54 (4/5) Zahlenbereiche negativer Überlauf * 2-26 x (2 2-23 ) * 2 2.8 * -38 x 3.4 * 38 -(2 2-23 ) * 2 2 darstellbare negative Zahlen oder dezimal umgerechnet -. * 2-26 -. * 2-26 darstellbare positive Zahlen positiver Überlauf (2 2-23 ) * 2 2 Es existiert eine Lücke im Bereich der darstellbaren Zahlen, die insbesondere die 'NULL' enthält. Man benötigt eine eigene Darstellung der 'NULL' 2.9 Besonderheiten des IEEE Formats Not-a-Number: Darstellung ungültiger Zahlen, z.b. Division durch, Wurzel aus negativer Zahl. Überlauf wird als unendlich dargestellt, d.h. es kann mit unendlich ( ) weitergerechnet werden. Unterlauf kann denormalisiert dargestellt werden, d.h. es kann mit geringerer Genauigkeit weitergerechnet werden. Null: eigene Darstellung E 255 255 < E < 255 M beliebig x NaN (-) S (-) S 2 E-2 (.M) 2 (-) S 2 26 (.M) 2 (-) S Erklärung Not a Number ± Normalbereich Denormalisiert 2.9
Gleitkommadarstellung nach IEEE Standard 54 (5/5) Gleitkommaarithmetik: Multiplikation Abschließende Bemerkungen: Neben dem 32-Bit Format existieren noch 64- und 8-Bit Formate. Sie erlauben das Rechnen mit größerer Genauigkeit, aber prinzipiell folgt die Darstellung dem vorgestellten Mechanismus. Die Norm geht davon aus, dass zuerst mit beliebiger Genauigkeit gerechnet wird und danach auf das jeweilige Zielformat gerundet wird. Daher verwenden die meisten Implementierungen eine höhere Genauigkeit für interne Berechnungen. Moderne Gleitkommarecheneinheiten ermöglichen z.b. auch trigonometrische und logarithmische Operationen. Links zu Demonstrationswerkzeugen und weitergehende Informationen über IEEE 54 sind auf der Vorlesungsseite angegeben. 2.92 Z X Y (m[x] m[y]) B e[x]e[y] m[x]: Mantisse von X, m[y]: Mantisse von Y e[x]: Exponent von X, e[y]: Exponent von Y Multiplikation der Mantissen Addition der Charakteristiken (- Bias) Gegebenenfalls normalisieren Division entsprechend Sonderregeln für als Operand V X CH X V Y CH Y - Bias (2) V Z CH Z M X M Y M Z 2.93 Gleitkommaarithmetik: Addition und Subtraktion Z X Y (m[x] * B e[x]-e[y] m[y]) B e[y] für: e[x] e [y] m[x]: Mantisse von X, m[y]: Mantisse von Y e[x]: Exponent von X, e[y]: Exponent von Y. Berechne e[x] e[y] 2. Skalieren: Angleichen der Mantisse des kleineren Exponenten 3. Addition der Mantissen 4. gegebenenfalls Normalisieren Gleitkommaarithmetik: Beispiel für Addition Basis, vierstellige Mantisse Z X Y; X.532-2; Y.462 Berechne e[x] e[y]: -2-3 Skalieren von m[x]:.532 * -3.532 * (Verschieben um 3 Stellen nach Rechts, evtl. mit Genauigkeitsverlust) Subtraktion entsprechend 2.94 Addition der Mantissen: Übernahme des größeren Exponenten.462.5.46 Normalisieren entfällt 2.95