Inhalt 1 Sachanalyse... 1 1.1 Beweis 1... 2 1.2 Beweis 2... 2 2 Didaktischen Überlegungen... 3 2.1 Wiederholung... 4 2.2 Einführung des Themas Winkelsumme im Viereck... 5 2.2.1 Hinleiten... 6 2.2.2 Erarbeiten... 7 2.2.3 Sicherung... 8 3 Reflexion... 8 4 Literatur... 10
1 Sachanalyse Winkelsummensatz für Vierecke In jedem Viereck sind die Innenwinkel zusammen 360 groß + + + = 360 Es gibt verschiedene Wege diesen Satz zu beweisen. Hier sind zwei Beispielbeweise. 1.1 Beweis 1 Wir zerlegen das Viereck ABCD durch die Diagonale BD in zwei Dreiecke (siehe Figur 1) Dann gilt: α + β + γ + δ = α + (β1 + β2) + γ + (δ1 + δ2) =360 1.2 Beweis 2 Figur 1 Beweis der Winkelsumme im Viereck mit der Parallelenmethode:
Wir zeichnen zwei Hilfsparallelen. Eine Gerade D 1 DD 2 zeichnen wir durch den Punkt D und die zweite A 1 AA 2 durch den Punkt A, und zwar so dass die beiden Geraden zu BC parallel sind. Wir können wieder die Figur 1 benutzen. Der Winkel α wurde somit in zwei Winkel aufgeteilt BAA 2 und A 2 AD. Jetzt werden die Eigenschaften der Winkel an Parallelen zu Nutze gezogen, Wechselwinkeln : A 2 AD = ADD 1, CBA = A 1 AB und BCD = BDD 2 Betrachten wir die Ecken: Ecke D: D 1 DA + ADC + BDD 2 = 180 Ecke A: A 1 AB + BAA 2 = 180 BAD ( BAA 2 + A 2 AD ) + ADC + DCB + CBA ( BAA 1 ) = 360 (jeder Schritt wird an der Zeichnung ergänzt, und farblich kenntlich gemacht) 2 Didaktischen Überlegungen Bevor man eine Unterrichtsstunde beginnt zu planen, sollen die Lernziele dieser erst klar formuliert werden. Die Schüler sollen am Ende der Themeneinheit: Ihre Kenntnisse über Winkel vertiefen
Die geometrische Gesetzmäßigkeiten der Winkelsummen erkennen Allgemeingültige geometrische Beweise erarbeiten Besonderheiten verschiedenflächiger Vierecken (Rechteck, Parallelogramm, Trapez) erkennen Fertigkeiten in Winkelmessen erweitern Ihre Kenntnisse anwenden Im Folgenden wird eine der Ideen bezüglich der Unterrichtsgestaltung zur Themeneinführung der Winkelsumme im Viereck vorgestellt: 2.1 Wiederholung Wiederholung des Erlernten zu Beginn der Stunde und Verbalisierung der Erkenntnisse sichert und gleichzeitig kontrolliert den Wissensstand. Vor allem wichtig durch die Wiederholung der, für das neue Thema relevanten Sachverhalte. Dies erleichtert den Transfer zwischen Bekanntem und dem Neuem. Vor allem haben die Experten es wesentlich leichter neue Informationen in den vorhandenen Wissensstand zu integrieren, nachzuvollziehen und entsprechend in die richtige Domänen abzuspeichern.
Für das selbständige Erarbeiten des Satzes und des allgemeingültigen Beweises für Winkelsumme in Vierecken, ist die vorab Wiederholung der folgenden Themen relevant: Der Winkelsummensatz für Dreiecke Die Winkelsumme im Dreieck ist 180 α + β + γ = 180 Beweis: (Gleich weite Winkel werden als gleich bezeichnet.) Die Winkel α bei den Punkten A und C sind als Stufenwinkel gleich. Die Winkel β bei den Punkten B und C sind als Wechselwinkel gleich. Beim Punkt C sieht man: α + β + γ = gestreckter Winkel α + β + γ = 180 Die Eigenschaften der Winkeln an den Geraden: Wechselwinkeln, Stufenwinkeln, entgegengesetzt liegende Winkeln, sich ergänzende Winkeln 2.2 Einführung des Themas Winkelsumme im Viereck (hier ist eine der Möglichkeiten der Einführung des Themas)
Motivation nach (Robert Storz, in Mathematik Lehren 158 (2010)): Nach dem die relevanten Sachverhalte widerholt wurden, hält der Lehrer einen Verkehrsschild Vorfahrtstraße hoch und fragt: Was habe ich euch mitgebracht? Könnt ihr euch denken wieso ich das mitgebracht habe? In einem fragend-entwickelndem Unterrichtsgespräch wird die Winkelsumme im Quadrat erarbeitet. Dann zeigt der Lehrer eine Keramik Fliese und einen Papierdrachen. Er nennt das Thema der Stunde: Winkelsumme von Vierecken (Storz R., 2010) 2.2.1 Hinleiten Wie können wir herausfinden, wie groß die Winkelsumme in diesem Drachen und dieser Fliese ist? (Storz R., 2010) Vermutungen werden geäußert. Kinder vermessen die Winkel mit dem Geodreieck und addieren auf. Schließlich wird herausgefunden, dass die Summe der Winkeln 360 beträgt. Es wird den Kindern verkündet dass genau diesen Satz es jetzt zu beweisen gilt. Der Satz wird erst als Vermutung an der Tafel notiert.
2.2.2 Erarbeiten Für die Phase der Erarbeitung des Beweises, werden die Kinder in die Gruppen aufgeteilt. Jede Gruppe beschäftigt sich mit einer der Möglichkeiten den Satz zu beweisen (Zerlegung in Dreieck, Parkettierung mit Kongruenten Vierecken oder Ecken abreißen und aneinanderlegen). Materialien aus farbigen Karton würden den Schülern bereitgestellt (evtl. Hilfskärtchen auf dem Lehrerpult). Die Schülerformulierungen genau wie Beweisideen der Schüler werden präsentiert und es wird zusammen darüber diskutiert. Erste stabilisierende Übungen werden durchgeführt. Zum Beispiel: Bei den unterschiedlichsten Vierecken die Messung durchführen und die Erkenntnisse notieren. Aus Trapezen ein lückenloses Muster ohne Überlappungen legen. Ob dies auch mit den anderen Vierecken möglich? Wenn ja worauf soll geachtet werden? In einer Tabelle die fehlenden Winkel eingeben.
2.2.3 Sicherung Um das neue Thema abschließen zu können, sollte das erst im Lösen der geeigneten Aufgaben gefestigt werden. Aufgaben aus dem Lehrbuch oder Arbeitsblatt sollten im Unterricht in Einzelarbeit und als Hausaufgabe für die Sicherung bearbeitet werden. In der nächsten Stunde werden die Ergebnisse besprochen und eine gemeinsame Merkregel wird notiert. 3 Reflexion Ich finde dass diese Methode und der Ablauf erlauben den individuellen Zugang zu gestallten. Schüler haben die Möglichkeit ihren Weg zum Wissen selbst zu wählen. Sei es Kognition durch Interaktion mit physikalischen Objekten und selbst erarbeitete Wege mit Hilfe der Materialien oder die Verbalisierung des Gedankenganges während der Erarbeitungsphase und Kognition in der sozialen Interaktion. Aber auch die Möglichkeit einen der Beweise für sich zu sichern bieten den Raum für den individuellen Weg zum Wissen. Ich denke, dass es in einem ähnlich gestaltenden Unterricht das Kriterium Lernen vor Belehrung erfüllt ist.
Wissenswert Was macht guten Klassenunterricht aus? ( Mathematik Lehren, 158(2010)) Individuelles Lernen geht vor Belehrung Erst wenn die individuellen Lernchancen von einzelnen Schülern nicht genutzt werden konnten, folgen für diese instruierende Phasen Mehrere parallele Wege werden zugelassen Handlungschancen werden genutzt Medien veranschaulichen so gut wie nötig und so wenig wie möglich Sozialformen werden Zielführend eingesetzt Neugelerntes wird unmittelbar durch elementare Übungen gesichert Erkenntnisse und Handlungen werden verbalisiert Merkregeln dienen lediglich dazu, eine spätere Reaktivierung des gelerntes zu ermöglichen Grundlegende Übungen orientieren sich an allen Schülern Weiterführende Übungen für leistungsstärkere werden eingeplant Sachlich richtige Formulierungen der Schüler werden bevorzugt verwendet.
4 Literatur Mathematik Lehren, 158(2010) Ehrenwirth Hauptschulmagazin 2(1982) Schulbuch: Mathematik heute (8, Realschule)