Kapitel 2 Mathematische Grundlagen

Kapitel 2 Mathematische Grundlagen Ziel: Einführung/Auffrischung einiger mathematischer Grundlagen 2.1 Mengen, Relationen, Ordnungen Definition: Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlbestimmten und wohlunterschiedenen Objekten zu einem Ganzen (G. Cantor, 1883). Ein Objekt a einer Menge A heißt Element von A, a A Beispiele: {1, 2, 3, 4,... } (eine Menge mit unendlich vielen Elementen) { {a}, {a, b} } (eine Menge, deren Elemente Mengen sind) { } = Ø (leere Menge) {Ø} (eine Menge, deren einziges Element die leere Menge ist) AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 1

Spezielle Mengen: : natürliche Zahlen ohne Null 0 : natürliche Zahlen mit Null : ganze Zahlen n : {0, 1,, n-1}, endlicher Abschnitt der natürlichen Zahlen : rationale Zahlen : reelle Zahlen Die Anzahl der Elemente einer Menge M heißt Kardinalität oder Größe der Menge und wird mit M bezeichnet. Beispiel: AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 2

Objekte mit einer gemeinsamen Eigenschaft E(x) lassen sich zu einer Menge zusammenfassen. Schreibweise: { x E(x) } d.h. die Menge aller x, für die E(x) gilt Beispiel: { n k : k 2 = n } = {1, 4, 9, 16, 25,...} (Quadratzahlen) Operationen auf Mengen Definition: Seien A und B Mengen. Die Vereinigung von A und B ist die Menge A B = { x x A oder x B }. AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 3

Der Durchschnitt von A und B ist die Menge A B = { x x A und x B }. Die Differenz von A und B ist die Menge A \ B = { x x A und x B }. Beispiele: {1, 3, 5} {1, 2, 3} = {1, 2, 3, 5} {1, 3, 5} {1, 2, 3} = {1, 3} {1, 3, 5} \ {1, 2, 3} = {5} Definition: Zwei Mengen A und B heißen disjunkt, wenn A B = Ø gilt, d.h. wenn ihr Durchschnitt die leere Menge ist. AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 4

Rechenregeln Für alle Mengen A, B, C gilt: (A B) C = A (B C) (Assoziativität) (A B) C = A (B C) A B = B A und A B = B A (Kommutativität) A A = A und A A = A (Idempotenz) A (B C) = (A B) (A C) (Distributivität) A (B C) = (A B) (A C) Definition: Die Potenzmenge einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A: P(A) = { M M A} = 2 A. AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 5

Die Potenzmenge einer endlichen Menge mit n Elementen hat 2 n Elemente. Die Potenzmenge der leeren Menge hat 2 0 = 1 Elemente. Beispiel: AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 6

Definition: Seien M, N Mengen. Dann heißt das kartesische (Mengen-) Produkt von M und N. Die Verallgemeinerung von M 1 x M 2 x M n ergibt sich analog. Beispiel: AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 7

Definition: Eine zweistellige Relation R zwischen M und N ist eine Teilmenge von M x N, d.h. R M x N, Notation: arb, (a,b) R, R ist eine Menge geordneter Paare Beispiel: AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 8

Eigenschaften auf Relationen Gegeben sei eine zweistellige Relation R M x M. Dann heißt R Technische Universität München Reflexiv: a M: (a,a) R Symmetrisch: a,b M: (a,b) R impliziert (b,a) R Antisymmetrisch: a,b M: (a,b) R (b,a) R impliziert a=b Transitiv: a,b,c M: (a,b) R (b,c) R impliziert (a,c) R Beispiele: < auf : ist nicht reflexiv, aber transitiv Begründung: AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 9

Weitere Beispiele: auf : ist reflexiv, transitiv und antisymmetrisch Begründung: Technische Universität München auf : ist nicht reflexiv, nicht transitiv und symmetrisch Begründung AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 10

Definition: Eine Relation R heißt partielle Ordnung bzw. Halbordnung, falls R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Beispiel: Teilmengenrelation Es sind nur Elemente vergleichbar, die durch einen Pfad entlang der Pfeile (Richtung beachten) verbunden sind: {p,q,r,s} > {p} aber {p} und {q,r,s} sind nicht vergleichbar AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 11

Definition: Eine partielle Ordnung R heißt totale Ordnung, falls alle Elemente miteinander vergleichbar sind. Definition: Eine Relation R heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge A zerlegt A in paarweise disjunkte Mengen, die Äquivalenzklassen. Beispiele: AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 12

2.2 Abbildungen, Funktionen Definition: Seien A und B Mengen. Eine Abbildung/Funktion ist eine Relation R A x B mit: a A: {b B (a,b) R} = 1. Schreibweise: f: A B a a f(a) Urbild: f -1 (b):= {a A f(a) = b} Beispiel: AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 13

Eigenschaften auf Funktionen/Abbildungen f heißt injektiv, wenn b B: f -1 (b) 1 f heißt surjektiv, wenn b B: f -1 (b) 1 f heißt bijektiv, wenn f injektiv und f surjektiv ist. Beispiele AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 14

Definition: Eine Funktion f(n) heißt monoton steigend, wenn x y impliziert f(x) f(y). Eine Funktion f(n) heißt monoton fallend, wenn x y impliziert f(x) f(y). AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 15

Auf- und Abrunden von Zahlen: Floor- und Ceil-Funktion Sei x eine reelle Zahl. x (floor) ist die größte ganze Zahl, die kleiner gleich x ist, und x (ceil) ist die kleinste ganze Zahl, die größer als x ist: x-1 < x x x < x 1 Bem.: für beliebige ganze Zahlen n gilt: n/2 + n/2 = n Beispiel: AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 16

Definition: Modulo-Arithmetik Sei a, n \ {0}. a mod n ist der Rest der Division a / n, d. h. a mod n = a - a / n n Wir sagen, dass zwei ganze Zahlen a, b äquivalent modulo n sind, a b (mod n), wenn gilt, (a mod n) = (b mod n) d.h. a und b liefern beim Teilen durch n den gleichen Rest. Beispiel: AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 17

Die Relation modulo partitioniert die Menge in genau n viele Äquivalenzklassen, wobei n := {0,1,...,n-1} ein Repräsentantensystem ist. Beispiel: Rechenregeln für Modul-Rechnung Für alle a,b,c,d,n mit n 2 gilt: aus a b (mod n) und c d (mod n) folgt a + c b + d (mod n) und a *c b* d (mod n) Beispiel: AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 18

Definition: Polynome Gegeben sei eine positive ganze Zahl d. Ein Polynom in n vom Grad d ist eine Funktion p(n) der Form p(n) = a 0 n 0 + a 1 n 1 + a 2 n 2 + a 3 n 3 +. + a d n d Die a i heißen Koeffizienten, a d 0. Beispiel: Dezimalzahl ist Zahldarstellung als Polynom AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 19

Exponentialfunktion Für alle reelle Zahlen a>0, m und n gelten die Rechenregeln: a 0 = 1 a 1 = a a -1 = 1/a (a m ) n = a mn (a m ) n = (a n ) m a m a n = a m+n Bem.: Jede Exponentialfunktion mit Basis a > 1 wächst schneller als jedes Polynom. (Wichtig für Komplexitätsbetrachtungen von Algorithmen) AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 20

Funktionale Iteration Mit der Notation f (i) (n) wird die i-malige Anwendung der Funktion f auf einen Funktionswert n bezeichnet. Sei f(n) eine Funktion und i eine nichtnegative ganze Zahl. Dann gilt: f (i) (n) = n falls i = 0 f(f (i-1) (n)) falls i > 0 Beispiel: AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 21

Definition: Folge Sei A eine Menge. Unter einer Folge versteht man eine Abbildung a : 0 A, i a a i Eine endliche Folge ist eine Abbildung a : {0,..., n-1} A, mit n 0. n ist die Länge der Folge. Schreibweisen für endliche Folgen: a = a 0,..., a n-1 oder als n-tupel (a 0,..., a n-1 ), d.h. als Elemente des kartesischen Produktes A n. Beispiel AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 22

Definition: Permutation Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung p : {0,..., n-1} {0,..., n-1}, n 0. Beispiel: AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 23

Definition: Zahlendarstellung zur Basis b Eine positive ganze Zahl X zur Basis b, b > 1 wird dargestellt als eine endliche Folge x n-1,...,x 0 wobei x i Ziffern sind und für die Zahl X folgendes gilt: X = x n-1 b n-1 +...+ x 0 b 0 Beispiel: Zahlensystem mit der Basis b=10 (Dezimalsystem) (23) 10 = 2*10 1 + 3*10 0 Beispiel: Zahlensystem mit der Basis b = 2 (Binärsystem) (11) 10 = (1011) 2 = 1 2 3 + 0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 24

Berechnung der Darstellung zur Basis b Beispiel: X = 11, b = 2 Beispiel: X = 11, b = 3 11 : 2 = 5 Rest 1 5 : 2 = 2 Rest 1 2 : 2 = 1 Rest 0 1 : 2 = 0 Rest 1 11 : 3 = 3 Rest 2 3 : 3 = 1 Rest 0 1 : 3 = 0 Rest 1 Resultat: 1011 Resultat: 102 AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 25

2.3 Alphabete, Wörter Definitionen: A sei eine endliche, nichtleere Menge. A := Anzahl der Elemente von A, A heißt Zeichenvorrat oder Alphabet, Das Paar (A, <) heißt geordnetes Alphabet, wenn < eine totale Ordnung auf A ist. Beispiele Menge der Dezimalziffern ID = {0,..., 9} Lat. Großbuchstaben {A, B,..., Z} mit der natürlichen Ordnung A < B <... < Z Geordnete binäre Zeichenvorräte IB = {0, 1} mit 0 < 1, oder {true, false} mit false < true AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 26

Definitionen: A sei Alphabet mit Ordnung <. Technische Universität München Wort über A: endliche Folge w = a 1 a 2... a k (a i A, k IN 0 ) Bem.: wir schreiben w = a 1 a 2... a k Länge des Wortes w: w = k leeres Wort: ε, ε = 0 statt w = a 1, a 2,..., a k A k := {w w ist ein Wort über A, w = k}, für k IN 0 oder rekursiv: A 0 := {ε}, A k := {ua u A k-1, a A} w = uv, dann heißen u, v Teilworte von w. A * := {w w Wort über A} = A k A + := {w w nichtleeres Wort über A} = k = 0 AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 27 k = 1 A k

Lexikographische Ordnung auf A * ist die von < induzierte totale Ordnung auf A * (analog zur Reihenfolge im Lexikon), d.h. für w, v A * : w < v: entweder: v=wv, mit v A *, Beispiel: oder: w = uaw, v = ubv, mit a, b A, u,w,v A * und a < b, a b. Lexikographische Ordnung auf der Menge der Dezimalzahlen: z.b. 13 < 132 < 1324 < 2 < 29 < 8 (entspricht nicht der numerischen Ordnung!) AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 28

2.4 Summenformeln und Eigenschaften Gegeben sei eine Zahlenfolge a 1,.., a n. Die endliche Summe a 1 + a 2 +.. + a n schreiben wir auch in der Form n Die Summe k = 1 + 2 + + n ist eine arithmetische Reihe. k= 1 Sie hat die Werte k = ½ * n(n + 1) Es gelten die Summenformeln: n k= 1 n i= 1 ai AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 29

2.5 Logarithmus Definition des Logarithmus zur Basis b x= log b a a= b x Beispiel: log 2 16 = x 2 x = 16, d.h. x=4 Logarithmus-Gesetze 1. Produkt: log b (x*y) = log b x + log b y 2. Quotient: log b (x/y) = log b x - log b y 3. Potenzen: sei r eine reelle Zahl log b (x r ) = rlog b x für r=-1: log b (1/x) = -log b x AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 30

2.6 Wahrscheinlichkeiten Ein Ereignisraum S ist Menge, deren Elemente als Elementarereignisse bezeichnet werden. Ein Elementarereignis Technische Universität München kann als Ausgang eines Experiments interpretiert werden. Beispiel: Werfen zweier unterscheidbarer Münzen, wobei jeder Münzwurf in Kopf(Ko) oder Zahl(Za) endet. S = {KoKo,KoZa,ZaKo,KoKo} Ein Ereignis ist eine Teilmenge des Ereignisraums S. Ein Elementarereignis s S bezeichnet das Ereignis {s}. Ereignis S wird sicheres Ereignis genannt, Ereignis Ø als unmögliches Ereignis. AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 31

Wahrscheinlichkeitsverteilung Pr{} über einem Ereignisraum S ist eine Funktion von einer Menge von Ereignissen aus S in das Intervall [0,1] der reellen Zahlen, Pr : 2 S [0,1], wobei folgende Axiome erfüllt sind: Pr{A} 0, für jedes Ereignis A Pr{S} = 1 Pr{A B} = Pr{A} + Pr{B} für zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse A und B Für unmögliches Ereignis Ø gilt: Pr{Ø} = 0. Aus A B folgt Pr{A} Pr{B} Komplement eines Ereignisses A wird als Ā bezeichnet. Es gilt Pr{Ā} = 1-Pr{A} AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 32

Eine (diskrete) Zufallsvariable X ist eine Funktion von einem endlichen oder abzählbar unendlichen Ereignisraum S in die Menge der reellen Zahlen. Sie ordnet jedem möglichen Ausgang eines Experiments eine reelle Zahl zu. Für eine Zufallsvariable X und eine reelle Zahl x definieren wir das Ereignis X=x als { s S : X(s) = x }, so dass gilt: Pr{X = x} = Funktion f(x) = Pr{X=x} ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsvariable X. Aus den Wahrscheinlichkeitsaxiomen folgt Pr{X = x} 0, Pr{ X = x} = 1 x AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 33 s S: X ( s ) = x Pr{ s}

Erwartungswert: Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable X. Der Erwartungswert (oder Mittelwert) von X ist: E[X] = x Pr{ X = x} x AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 34

Beispiel: Das Experiment sei das Werfen eines Butterbrots. Der Ereignisraum S ist gegeben durch: S = {Butterseite oben, Butterseite unten}. Wir nehmen an, dass wir: 2 Euro erhalten, wenn die Butterseite nach oben zeigt und 1 Euro verlieren, wenn die Brutterseite nach unten zeigt. Die Wahrscheinlichkeiten für die Elementarereignisse aus S seien: Pr{Butterseite oben} = 1/4 und Pr{Butterseite unten} = 3/4. Frage: Wie ist der Erwartungswert der Zufallsvariable X, die einen Gewinn darstellt? AuD, Kapitel 2 Mathematische Grundlagen, WS11/12, C. Eckert & Th Stibor 35