Lehrstuhl C für Mathematik (Analsis Prof. Dr. Y. Guo Aachen, den 6..3 Klausur zur Höheren Mathematik I WS /3 Variante A Hinweise Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind handschriftliche Aufzeichnungen von maximal DIN-A4-Blättern. Keine Fotokopien oder Ausdrucke. Taschenrechner sind nicht zugelassen. Bewertung: Es gibt drei Tpen von Aufgaben. Die einzelnen Teile werden wie folgt bewertet: I: (Aufgaben I.-I.3 Sie müssen unter expliziter Darstellung des Lösungsweges nachvollziehbar zu einer Lösung kommen. Ohne Lösungsweg gibt es keine Punkte. Nutzen Sie für die Lösungen von diesem Teil Ihr eigenes Papier. II: (Aufgaben II.-II.3 Sie müssen das richtige Ergebnis in die entsprechenden Kästchen des Antwortbogens für diesen Teil eintragen. Darüberhinaus können Sie im Feld Lösungsskizze einen kurzen Rechenweg angeben, der in die Bewertung mit einbezogen wird, sollte Ihr Ergebnis falsch sein. Es werden nur die Einträge in den jeweiligen Kästchen des Antwortbogens bewertet. III: (Aufgaben III.-III.4 Hier müssen Sie Aussagen Wahrheitswerte zuordnen. Sie erhalten nur dann Punkte, wenn Sie in einer Teilaufgabe alle Wahrheitswerte richtig und komplett zuordnen. Beispiel: Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden zwei Aussagen: ( 3 = 6 ( + = 3. ( Pkt. Antwort ( ( Punkte. W W. W F 3. F W 4. F F Antwort ( ( Punkte 5. F - 6. W - 7. - F 8. - W Es gibt keine Minuspunkte. Es werden nur die Antworten gewertet, die auf dem Antwortbogen zu diesem Teil stehen! Bitte geben Sie keine Rechnungen oder Begründungen zu diesem Teil an. Viel Erfolg!
Teil I Aufgabe I.: ( Pkt. Es sei die Matrix A = (a ij i,j 3 mit a ij = ( i+j für alle i,j 3 gegeben. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die Gültigkeit der folgenden Gleichung für alle n N: A n = 3 n A. Aufgabe I.: ( 9 Es sei die ( -Matrix A gegeben durch A = 6 explizite Formel für die n-te Potenz A n der Matrix A an. ( Pkt., und weiter sei n N. Geben Sie eine Hinweis: Diagonalisieren Sie zunächst die Matrix A. Aufgabe I.3: ( Pkt. Es sei L : R 3 R eine lineare Abbildung mit L(a = b b, L(a = b + b und L(a 3 = b, wobei die Vektoren a,a,a 3 R 3 und b,b R folgendermaßen definiert sind: ( ( a =, a =, a 3 =, b =, b =. Bestimmen Sie die Basiswechselmatrix A = M(E,L, E 3, d.h. die Matrix A, so dass L(x = Ax für alle x R 3 gilt. Teil II Aufgabe II.: Beantworten Sie die folgenden Fragen zu komplexen Zahlen. a Bestimmen Sie den Real- und den Imaginärteil von z = 5 + 6i 4i. b Skizzieren Sie die folgende Teilmenge der komplexen Zahlen: M = {z C 5zz = }. c Bestimmen Sie den Real- und den Imaginärteil von z = ( + i 8. d Bestimmen Sie den Betrag von z = ( 3. e i7π 8 (+4++ Pkt. Aufgabe II.: Beantworten Sie die folgenden Fragen zu Determinanten und Eigenwerten. a Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix: 3 A = 4 5 6 (++4++4 Pkt. b Bestimmen Sie alle α R, für die das Gleichungssstem Ax = b, x R 3, lösbar ist, wobei A die α Matrix aus dem Teil a ist, und b = α.
c Es sei A die Matrix aus dem Teil a. Geben Sie das charakteristische Polnom der Matrix A in der Form a 3 λ 3 + a λ + a λ + a an, wobei a,a,a,a 3 R. ( d Es sei B =. Bestimmen Sie eine Basis des R bestehend aus Eigenvektoren von B. e Berechnen Sie die Determinante der folgenden Matrix: 5 7 7 7 C = 6 3 6 5 7 Aufgabe II.3: Bestimmen Sie jeweils den Grenzwert der Folge (a n n N. a a n = 5n3 n + 3 für n N. n 4n 3 n sin(5n b a n = für n N. n c a n = ( 3n + 4 n+ 8(4 n + d a n = n für n N. ( n 3 i C für n N. (+++ Pkt. Teil III Aufgabe III.: (3++3+3+3 Pkt. a Gegeben seien die folgenden drei Vektoren im R 4 : v = 3, v = 3, v 3 = (A v,v,v 3 sind paarweise linear abhängig. (A v,v,v 3 sind linear unabhängig. (A3 v,v,v 3 spannen einen 3-dimensionalen Teilraum des R 4 auf. (A4 v,v,v 3 liegen in einem 4-dimensionalen Teilraum des R 4. b Es sei V R 3 gegeben durch V = Span,, 6 (A dim(v =. (A dim(v =. (A3 dim(v =. (A4 dim(v = 3.
c Beurteilen Sie jeweils, ob B eine Basis des Vektorraums V = {x R 3 x, (,, = } ist. (A B =. (A3 B =,. (A B =,. (A4 B =. 4 d Es sei M R gegeben durch M = {(x,x R x = x und x x }. Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen. (A M ist ein affiner Unterraum des R. (A M ist ein linearer Unterraum des R. (A3 M ist eine Teilmenge des R. e Wir betrachten die folgende Menge von Polnomen: M = {x + x,x + x 3,...,x n + x n,x n + }. (A Die Polnome in M bilden eine Basis aller reellen Polnome vom Grad höchstens n. (A Die Polnome in M sind linear unabhängig (über R. (A3 Die Polnome in M spannen einen n-dimensionalen Unterraum aller reellen Polnome vom Grad höchstens n auf. Aufgabe III.: (3++3+3 Pkt. a Es seien die Abbildungen f : R R 4 und f : R 4 R mit ( x f ( = x x x, f ( gegeben. z z z 3 z 4 = z 4 (A f ist linear. (A f ist linear. (A3 f f ist linear, wobei (f f (x, := f (f (x,. b Beurteilen Sie, für welche α R die folgende Abbildung f : R R linear ist. ( x f( ( (α = α + x α αx (A Für alle negativen α. (A Für alle α. (A3 Für α =. (A4 Für α =. c Es sei M(B,f, A die Basiswechselmatrix einer linearen Abbildung f : R 3 R 3. Hierbei seien A = {a,a,a 3 } und B = {b,b,b 3 } zwei Basen des R 3, und M(B,f, A = 4 3 (A f(a + a = b b + 5b 3. (A3 f(a a 3 + a = 3b 3b. (A f(a = b b b 3. (A4 f(a + a = b + b..
d Es sei eine lineare Abbildung f : R 3 R 3 gegeben durch f( =, f( =, f( 4 = (A Die Menge,, bildet eine Basis des Bildes von f. 4 (A Die Menge, bildet eine Basis des Bildes von f. 4 (A3 Die Vektoren und spannen das Bild von f auf. 4 (A4 Der Kern von f besteht nur aus dem Nullvektor. Aufgabe III.3: (++ Pkt. a (A Jede Matrix A R n n besitzt einen reellen Eigenwert. (A Falls λ R ein Eigenwert von einer Matrix A ist, so ist λ Eigenwert der Matrix A. (A3 Eine Matrix A R n n besitzt einen Eigenvektor genau dann, wenn det(a E = gilt. b (A Jede smmetrische Matrix A R n n besitzt eine Basis aus Eigenvektoren. (A Jede smmetrische Matrix A R n n ist diagonalisierbar. (A3 Jede Drehmatrix besitzt einen Eigenvektor zum Eigenwert. c Es seien (a n n N und (b n n N zwei konvergente Folgen reeller Zahlen mit den jeweiligen Grenzwerten a und b. (A Es existiert ein n N, so dass a n a < n für alle n n. (A Es gilt: lim n (b a n = b a. (A3 Es gibt ein M >, so dass a n b n < M für alle n N. Aufgabe III.4: Es seien die folgenden Matrizen M,A und B gegeben durch 7 9 8-4 -8 - -6 M = 3 6 4 6, A = 3 6 4 6 3 3 8 3 3 8, B = 7 8 9 3 6 6 4-3 8 3 (4 Pkt. Beachten Sie, dass die Matrizen A und B sich durch elementare Spalten-/Zeilenumformungen aus M ergeben. Sie können benutzen, dass det(m = 6 ist. Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen. (A Es ist det(a = 3. (A4 Es ist det(a = 3. (A7 Es ist det(a = 58. (A Es ist det(b = 6. (A5 Es ist det(b = 3. (A8 Es ist det(b = 6. (A3 Es ist det( M = 6. (A6 Es ist det(m = 6. (A9 Es ist det( M = 6.