Binomischer Lehrsatz Gymnasium Immensee Vertiefungskurs Mathematik Bettina Bieri 24. Juli 20
Inhaltsverzeichnis Nötiges Vorwissen. Fakultät................................ Definition...........................2 spezielle Fakuläten......................3 Rechenregeln für die Fakultät................4 Beispiele.......................... 3.2 Bimonialkoeffizient........................ 4.2. Definition......................... 4.2.2 Eigenschaften des Binomialkoeffizienten......... 4.2.3 Beispiele.......................... 7.2.4 Pascalsches Dreieck.................... 8.2.5 Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks......... 9 2 Binomischer Lehrsatz 0 2.0.6 Definition......................... 0 2.0.7 Beispiele..........................
Kapitel Nötiges Vorwissen Um den allgemeinen Binomischen Lehrsatz verstehen zu können, braucht es einiges an Vorwissen. Dieses werden wir in diesem Kapitel erarbeiten.. Fakultät Das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen wird als Fakultät bezeichnet... Definition Sei n eine natürliche Zahl. Dann wird das Produkt über alle Zahlen von bis n geschrieben als n! und als Fakultät von n bezeichnet...2 spezielle Fakuläten Um Problemen bei praktischen Anwendungen vorzubeugen wird per Vereinbarung 0!:= gesetzt...3 Rechenregeln für die Fakultät Seien k,n N mit k n. Dann gilt:. n! = n (n! 2. n! k! = (k +... n 3. n! (n k! = (n k +... n
Beweis Begründe die oberen Rechenregeln für Fakultäten: 2
..4 Beispiele Berechne folgende Ausdrücke möglichst einfach und ohne Taschenrechner: a 5! 5 b 99! 200! c 400! 399! 9! 0! d 00! 2! 2! 98! 3
.2 Bimonialkoeffizient Der Binomialkoeffizient wird sehr häufig in der Kombinatorik verwendet - aber auch für den allgemeinen Binomischen Lehrsatz wird er gebraucht. Um den Binomialkoeffizient zu verstehen, werden die oben eingeführten Fakultäten benötigt..2. Definition Seien k, n N 0 mit k n. Dann ist der Binomialkoeffizient als: ( n k = n! k!(n k! ( n k definiert.2.2 Eigenschaften des Binomialkoeffizienten ( ( n n. = = n N 0 n ( ( n n 2. = = n n N n ( ( n n 3. = n N k n k 0 und k {0,..., n} ( ( ( n + n n 4. = + k k k (Regel von Pascal ( ( n + n 5. = k n+ k k n N 0, k {,..., n + } 4
Beweis Beweise die oberen Eigenschaften mit Hilfe der Definition. 5
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.2.3 Beispiele Berechne die folgenden Binomialkoeffizienten ohne Taschenrechner: ( 6 a 5 ( b 9 ( 5 c 5 ( 00 d ( 6 e 0 7
.2.4 Pascalsches Dreieck ( ( ( n + n n Die Regel von Pascal = + liefert eine einfache k k k Möglichkeit, ( Binomialkoeffizienten ( ( rekursiv zu berechnen. Da die Startbedingungen = = = bekannt sind, können auf diese Art 0 n n 0 0 n und Weise alle Binomialkoeffizienten berechnet werden. Diese Rekursion lässt sich leicht im Pascalschen Dreieck darstellen: ( 0 ( 0 0 ( ( 2 0 ( 2 ( 2 2 ( 4 ( 3 0 ( 4 ( 3 ( 4 ( 3 2 ( 4 ( 3 3 ( 4 ( 5 0 usw. 0 ( 5 ( 5 2 2 ( 5 3 3 ( 5 4 Die obere Zahl des Binomialkoeffizienten entspricht der Nummer der Zeile, in welcher der Koeffizient steht. Die untere Zahl gibt an, an welcher Stelle in dieser Zeile der Ausdruck steht. 4 ( 5 5 8
Wenn man die Binomialkoeffizienten in der oberen Darstellung ausrechnet, erkennt man, wie das Pascalsche Dreieck aufgebaut ist: Jeweils die Summe zweier nebeneinanderstehenden Zahlen ergibt die Zahl, welche unter diesen beiden Zahlen steht. Die drei obersten Zahlen sind die Startwerte, welche alle Eins sind: 2 3 3 4 6 4 5 0 0 5 usw..2.5 Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks Mit dem Pascalschen Dreieck lassen sich einige Spielereien betreiben. Im Pascalschen Dreieck gilt:. Jeweils in der zweiten schrägen Linie neben den Einsen (links und rechts stehen die Natürlichen Zahlen. 2. Die Summe aller Zahlen in einer Zeile ergeben immer Zweierpotenzen. 3. Bei entsprechender Diagonalenbildung ergeben die Summen der Einträge auf der Diagonalen die Fibonacci-Folge. Es gibt noch viele andere Besonderheiten im Pascalschen Dreieck. Diese sind auf verschiedenen Internetseiten und Büchern erklärt. 9
Kapitel 2 Binomischer Lehrsatz Mit Hilfe all der oben erklärten Angaben können wir nun den allgemeinen Binomischen Lehrsatz verstehen. 2.0.6 Definition Seien x, y reelle Zahlen und n N 0. Dann gilt der Binomische Lehrsatz: (x + y n = ( n n i=0 x i i y n i = ( n n i=0 x i n i y i. Wird an der Stelle vom + ein - in die Klammer gesetzt, gilt folgende Formel: (x y n = ( n n i=0 ( n i x i i y n i = ( n n i=0 ( i x i n i y i. Setzt man bei den oberen beiden Formel n=2 resultieren daraus die erste und die zweite Binomische Formel: 0
2.0.7 Beispiele Multipliziere die folgenden Ausdrücke mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes aus: a (3x + y 4 b (a + b 5 c (2z k 3 d (2 r 6
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Literaturverzeichnis E. Cramer, J. Ne slehová, Vorkurs Mathematik, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2009 H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil, B. G. Teubner, Stuttgard, 990 H. M. Enzensberger, Der Zahlenteufel, Deutscher Taschenbuch Verlag, München, 2003 3