Das elektrostatische Feld Das elektrostatische Feld wird durch ruhende elektrische Ladungen verursacht, d.h. es fließt kein Strom. Auf die ruhenden Ladungen wirken Coulomb-Kräfte, die über das Coulombsche Gesetz nach Gl. (1.1) beschrieben werden: r 1 Q1 Q r = 4πε r r ur 1 F1 0 1 1 Die Ladungen Q 1 und Q sind sog. Punktladungen mit einer infinitesimal kleinen räumlichen Ausdehnung. Elektrische Feldlinien einer positiven Punktladung zeigen radial von ihr weg, elektrische Feldlinien einer negativen Punktladung zeigen radial zu ihr hin. Bsp..1: Drei Punktladungen liegen auf der x-achse: Q 1 = 5nC liegt im Ursprung, Q = -10nC liegt bei x = m und Q 0 = 0nC befindet sich bei x = 3,5m. Berechnen Sie die gesamte auf Q 0 einwirkende Kraft. y/m Q =-10nC 1 3 4 x/m Q 1 =+5nC Q 0 =+0nC Lösung: Kraft F 10, die Q 1 auf Q 0 ausübt: ur F 10 r 1 Q Q r r = = 0,367 µn e 4πε 1 0 10 0 r10 r10 x 1
r e x r r = r 10 10 ist der Einheitsvektor in x-richtung Kraft F 0, die Q auf Q 0 ausübt: ur F 0 r 1 Q Q r r = = 7,99 µn e 4πε 0 0 0 r0 r0 Durch Superposition ergibt sich die resultierende Kraft auf Q 0 : ur ur ur r F ges = F10 + F 0 = 0,43µN e x x
.1 Definition der elektrischen Feldstärke Der Begriff der elektrischen Feldstärke leitet sich aus dem Coulombschen Gesetz ab. Man definiert: ur Q r ur F = Q e = Q E 1 r 4πε 0 r 1 4443 ur E (.1) Der Punktladung Q 1 am Ort r = 0 wird ein Feld zugeordnet, das radial von ihr ausgeht und mit 1/r² abnimmt. Dieses elektrische Feld hat eine zu Q proportionale Kraft F zur Folge. Die Kraft auf eine Punktladung im elektrischen Feld beträgt allgemein (unabhängig davon, wie die Feldstärke E verursacht wurde): ur ur F = Q E ; [ E] = V m (.) Felder werden mittels Feldlinien visualisiert. Zur Darstellung eines Feldes zeichnet man Linien, deren Richtung in jedem Punkt der Kraftrichtung entspricht, die auf eine positive Punktladung ausgeübt würde. Die Dichte der Feldlinien ist dabei ein Maß für den Betrag der Feldstärke. Das elektrostatische Feld ist ein Quellenfeld. Elektrische Feldlinien beginnen und enden immer auf elektrischen Ladungen. Die positive Richtung der Feldlinien ist so definiert, dass sie von positiven Ladungen ausgehen und auf negativen Ladungen enden. 3
Bsp..: Gegeben ist ein System von 4 Punktladungen Q 1 bis Q 4 in einer quadratischen Anordnung mit Q 1 <Q <Q 3. Gesucht ist die elektrische Feldstärke E ges im Punkt A sowie die Kraft F auf die Ladung Q 4. a Q a Q 3 a Q 1 Q 4 A E ur 1 ϕ x E ur E ur E ur 3 y E ur ges E ur 3 Lösung mittels Vektorrechnung, d.h. Aufteilung des Feldstärkevektors in eine x- und y-komponente: ur ur ur ur E1 x 0 x E E1x + Ex E ges = E1 + E + E3 = + + = 0 E E E + E ur ur F = Q E 4 ges y 3y y 3y 4
Das elektrische Feld als Gradient des elektrischen Potentials: Die Richtung, in der das Potential kleiner wird, ist die Richtung, in die die elektrischen Feldlinien zeigen. Betrachtet man eine kleine Verschiebung dx einer Punktladung im elektrischen Feld, dann gilt für die Änderung des Potentials: ur ur dϕ dϕ = E dx bzw. E = dx (.3) Die größte Veränderung von ϕ erhält man entlang der Richtung des elektrischen Feldes. Dieser Sachverhalt wird in der Mathematik wie folgt definiert: Ein Vektor, der die Richtung der größten Änderung einer skalaren Funktion anzeigt und der räumlichen Ableitung der Funktion in dieser Richtung entspricht, heißt Gradient der Funktion. ur ur E = grad ϕ = ϕ (.4) Das elektrische Feld E ist der negative Gradient des Potentials ϕ. Die Feldlinien zeigen in die Richtung der größten Abnahme des Potentials. Divergenz und Poisson-Gleichung: Rein formal führt die Gradientenbildung einen Skalar über in einen Vektor. Aus Symmetriegründen kann man die sog. Divergenz definieren, die einen Vektor in eine skalare Größe überführt: r ur r a a x y a div a = a = + + x y z z Für die Divergenz des elektrischen Feldes einer kontinuierlichen Ladungsverteilung einer Kugel erhält man (siehe z.b. Tipler): ur ur ur div E = E = ρ ε (.5) mit: ρ = dq dv (Raumladungsdichte) 5
ur div E ϕ ϕ ϕ ρ = div grad ϕ = + + = x y z ε0 εr (.6) Mit Hilfe dieser sog. Poisson-Gleichung kann das Potential aus der Ladungsverteilung berechnet werden. Ihre eindimensionale Differentialform lautet: ur d ϕ de ρ( x) = = dx dx ε ε 0 r (.7) Anschaulich betrachtet ist (bis auf einen Zahlenfaktor) die elektrische Feldstärke die erste und die Ladungsverteilung die zweite Ableitung des Potentials. Integralform der Poisson-Gleichung: Mittels Poisson-Gleichung kann in der Halbleiterphysik die Potentialfunktion in der Raumladungszone einer Halbleiterdiode bestimmt werden. Durch zweimalige Integration ergibt sich mit ρ(x) = en(x): x x% e ϕ = ( ) + + ϕ ε0 ε N x% dx% CE dx% C (.8) x r p xp E, : C C ϕ Integrationskonstanten des elektrischen Feld- bzw. Potentialverlaufs 6
Anwendungsbeispiel: Bestimmung des Potentialverlaufs innerhalb der Raumladungszone einer Halbleiterdiode (aus: pn-halbleiterdiode, Teil 1 von Marcel Beuler) x p x 0: e N x x A p ni ϕ( x) = xp ( x xp ) + UT ln ε0 εr N A 0 x x n : e ϕ( ) ( ) ni x = N x x x + N x + U ln + ε0 ε D n A p T r N A Symmetrisch dotierte Si-Diode bei T = 300K mit folgenden Werten: + 1 16 10 ; 1,08 10 1 D = A = m i = m N N n 3 3 U = k T = 5,86 mv ; ε = 11,9 T B r Symmetrischer Potentialverlauf in der RLZ 7
. Berechnung des elektrischen Feldes mit Hilfe des Coulombschen Gesetzes Kontinuierliche Ladungsverteilung: In einem Raumgebiet (Körper) sei eine große Anzahl von Ladungen so dicht beieinander, dass sie als kontinuierlich verteilt angesehen werden kann. Q V = dq Gesamtladung eines Körpers V = dv Gesamtvolumen eines Körpers V Definition der Raumladungsdichte ρ, der Flächenladungsdichte σ und der Linienladungsdichte λ: dq ρ = (.9a) dv dq σ = (.9b) da dq λ = (.9c) dl Ein Ladungselement dq = ρ dv sei klein genug, um als Punktladung aufgefasst werden zu können. Das elektrische Feld de am Punkt P wird durch das Coulombsche Gesetz beschrieben: Das von der Gesamtladung in P erzeugte Feld lässt sich durch Integration über die gesamte Ladungsverteilung bestimmen: r ur 1 dq r E = (.10) 4πε r r V 0 8
Elektrisches Feld auf der Achse einer Linienladung endlicher Ausdehnung: Homogene Linienladung mit Ladung Q, der Länge l und damit der Linienladungsdichte λ = Q/l; Element dq = λ dx der Linienladung wird wie eine Punktladung behandelt; 1 Q Ex = für: x0 > l 4 πε x ( x l) 0 0 0 (.11) Interpretation von Gl. (.11): l << x 0 Wert des Feldes näherungsweise 1/(4 πε ) Q / x 0 0 Somit wirkt in genügend großer Entfernung die Linienladung wie eine Punktladung. 9
Elektrisches Feld auf der Senkrechten einer Linienladung endlicher Ausdehnung: E x E y λ = [ cos( Θ1) cos( Θ ) ] (.16a) 4πε 0 λ = [ sin( Θ) sin( Θ 1) ] (.16b) 4πε 0 Potential ϕ: ( 1+ sin( Θ) ) ( 1 sin( Θ1) ) ( Θ ) ( + Θ ) λ ϕ = ln 8πε 0 1 sin( ) 1 sin( 1) (.19) Übergang zu kartesischen Koordinaten: l + ( x + ) + N N l ( x ) l + l ( x ) + N N ( x + ) λ ϕ = ln 8πε 0 (.1) mit: l + N = y + ( x ) ; N = y + l ( x + ) 10
Numerische Integration mittels Simpson-Formel: Sind die bei den Feldberechnungen auftretenden Integrale analytisch nicht lösbar, dann erfolgt die Berechnung numerisch. Eine einfache Möglichkeit stellt die Simpson-Formel dar: h = b a n mit: a, b : Integrationsgrenzen n : gerade Anzahl von Teilintervallen h : Schrittweite Σ = y + y 0 0 n Σ = y + y + K + y 1 1 3 n 1 Σ = y + y + K + y 4 n b h f ( x) dx ( Σ 0 + 4 Σ 1 + Σ ) (.) 3 a Beispielhaft wird das Potential der dargestellten Linienladung numerisch nach Gl. (.) berechnet und anschließend mit dem Ergebnis nach Gl. (.19) verglichen: l = 6m Q = 9,6nC? = Q / l = 1,6 10-9 C/m y = 3m y/m 4 3 1 beide Winkel sind positiv P(5,3) Θ Θ 1 y -5-4 -3 3 4 5 x/m x Θ 1 = = = y 3 l arctan arctan 0,588 x + Θ = = = y 3 l 8 arctan arctan 1,1 11
Θ Θ1 h = ; n = 10 n + 1 Stützstellen n 1,1 0,588 1 h = = 0,031 ; ξk = 10 cos( Θ ) k k Stützstellen θ k Stützwerte ξ k = 1 / cos(θ k ) 0 0,588 1,0185 1 0,619 1,798 0,6504 1,5653 3 0,6816 1,877 4 0,718 1,318 5 0,744 1,35913 6 0,775 1,40001 7 0,8064 1,44487 8 0,8376 1,4941 9 0,8688 1,5486 10 0,9 1,60873 11 0,931 1,6754 1 0,964 1,7496 13 0,9936 1,8359 14 1,048 1,9578 15 1,056,03104 16 1,087,15069 17 1,1184,8769 18 1,1496,44587 19 1,1808,6303 0 1,1,84781 Σ 0 = 4,04966 Σ 1 = 17,353 Σ = 15,3533 Θ λ dθ λ h ϕ = [ 0 4 1 ] 4πε = Σ + Σ + Σ cos( Θ) 4πε 3 0 Θ 0 1 9 C m 1 1,6 10 0,031 ϕ = [ 4,04966 + 4 17,353 + 15,3533] 4π 8,854 10 3 ϕ = 15,564V As Vm Exakte Lösung über Gl. (.19): ϕ = 15,564V 1
Numerische Berechnung der Äquipotentiallinie einer Linienladung endlicher Ausdehnung: Die Berechnung der Äquipotentiallinie startet mit einem (positiven) Punkt auf der y-achse. Zunächst wird der Verlauf im I. Quadranten bestimmt, anschließend erhält man den II. Quadranten durch Spiegelung an der Ordinatenachse. Auf die negative y-achse wird verzichtet. y/m l = 6m Q = 9,6nC? = Q / l = 1,6 10-9 C/m y = 3m 4 3 Θ P(0,3) Θ 1-5 -4-3 3 4 5 x/m Zulässige Abweichung vom Referenzpotential festlegen Schrittweite für x- und y-achse festlegen Startwinkel: l x0 Θ 1,0 = arcsin negativ! l ( x 0 ) + y 0 l + x0 Θ,0 = arcsin positiv! l ( + x 0 ) + y 0 mit: x0 = 0 ; y0 = y Nach numerischer Integration mittels Simpson-Formel (n = 10) ergibt sich ein Referenzpotential von ϕ = 5,3485V. Für alle x-koordinaten im I. Quadranten wird der zugehörige y-wert nun so lange variiert, bis sich für diesen Punkt das Referenzpotential mit der vorgegebenen Genauigkeit einstellt. 13
Fallunterscheidung für den I. Quadranten: x x l Θ1 negativ; Θ positiv l > Θ1 positiv; Θ positiv MATLAB-Ergebnis für 5 Startpunkte: P(0,1), P(0,), P(0,3), P(0,4), P(0,5) y / m φ = 16,36V φ = 19,94V φ = 5,35V φ = 34,36V φ = 5,3V Äquipotentiallinien stellen Ellipsen dar! x / m Mit Gl. (.19) kann das Potential auf der x-achse für y = 0 wegen θ 1 = θ nicht bestimmt werden (Integral liefert hier immer den Wert 0). Ist zu Beginn einer Iteration φ < φ ref, dann wird im Matlab-Code für diesen x- Wert y auf 0 gesetzt, auch wenn dies eigentlich fehlerhaft ist. 14
.3 Influenz und Verschiebungsfluss Befindet sich in einem elektrostatischen Feld ein Leiter, dann werden die in ihm befindlichen freien Elektronen aufgrund der Coulombschen Kräfte innerhalb des Leiters verschoben. Bringt man ein metallisches Doppelplättchen in ein homogenes elektrisches Feld, so können die Ladungen auf diesem Plättchen durch Influenz getrennt werden. Erfolgt anschließend die Trennung der Plättchen innerhalb des Feldes, so lassen sich die influenzierten Ladungen außerhalb des elektrischen Feldes messen. Zur Veranschaulichung der Influenz dienen die elektrischen Feldlinien, die bei der positiven Ladung beginnen und bei der negativen Ladung enden. Die Gesamtheit der Feldlinien des elektrostatischen Feldes wird als Verschiebungsfluss ψ bezeichnet: Ψ = Q (.5) Verschiebungsflussdichte: Durchdringt ein differentiell kleiner Verschiebungsfluss dψ ein Flächenelement da, dann lässt sich eine weitere Feldgröße definieren: ur dψ dq D = = da da (.6) Ist das elektrostatische Feld homogen, dann sind die Abstände zwischen den Feldlinien überall gleich und Gl. (.6) vereinfacht sich: Ψ Q D = = (.7) A A 15
Aus Gl. (.6) folgt schließlich der Gaußsche Satz: ur ur n Ψ = D d A = Qi i = 1 (.8) In Worten: Der durch eine geschlossene, beliebig geformte Oberfläche A gehende Verschiebungsfluss ψ ist gleich der Summe der von dieser Fläche eingeschlossenen Ladungen. Zusammenhang zwischen D und E: Da umso mehr Ladungen verschoben werden können, je mehr Feldlinien auf der Leiteroberfläche enden, d.h. je größer die elektrische Feldstärke E ist, muss die Verschiebungsflussdichte von der Feldstärke abhängen. Im materialfreien Raum gilt: ur ur D = ε E 0 Mit Gl. (.8) und (.9) folgt: (.9) ur ur n 1 E d A = Qi ε 0 i = 1 (.30) Bild zu Bsp..3: 16
.4 Kondensator und Kapazität Kondensatoren sind zwei gegeneinander isolierte, entgegengesetzt geladene Leiteroberflächen beliebiger Geometrie, zwischen denen eine Spannung U herrscht. Ein Kondensator ist ein wichtiges elektrisches Bauelement und dient u.a. zur Speicherung elektrischer Ladungen und Energie. Der Quotient aus gespeicherter Ladungsmenge Q auf den Kondensatoroberflächen und angelegter Spannung wird als Kapazität C bezeichnet: Q C = bzw. Q = C U (.31) U [ C] = 1F = 1As V Kapazität eines Plattenkondensators: Ein Plattenkondensator besteht aus zwei parallelen Platten im Abstand d. Liegt zwischen ihnen eine Spannung U, dann herrscht zwischen den Platten an jeder Stelle dasselbe elektrische Feld (homogene Feldstärke). Im homogenen Feld gilt: D Q U = ; E = A d Mit Gl. (.9) ergibt sich hieraus für die Kapazität: Q U Q ε0 U A ε0 A = ε0 CPl = = = A d U d U d (.33) 17
Diese Beziehung ist nur gültig, wenn zwischen den Platten Vakuum (oder näherungsweise Luft) ist. In anderen Fällen ist ε 0 durch die Dielektrizitätszahl ε (ε = ε 0 ε r ) zu ersetzen. Weiterhin werden die Randstörungen in Gl. (.33) vernachlässigt. Zusammenhänge für die homogene Feldstärke: Q Ψ ε A d d = = = = = Ψ C C d A A 0 U ; C U Q ε0 ε0 U 1 Ψ 1 Q 1 E = = = = D (.34) d ε A ε A ε 0 0 0 Bsp..4: Kapazität eines Koaxkabels C = πε h r ln a r i (.35) 18
Bsp..5: Spannung im Plattenkondensator U 1 Q l = ε A 1 (.36) Bsp..6: Kapazität einer Doppelleitung mit vorgegebener Länge C = πε0 h a R ln R (.37) Bsp..7: Spannung U 1 zwischen den Punkten P 1 und P mit den Abständen r 1 und r von einer positiven Punktladung U 1 Q 1 1 = 4πε 0 r1 r (.38) 19
.5 Nichtleiter im elektrischen Feld In Nichtleitern (Isolatoren) sind die Ladungsträger nicht frei beweglich, wodurch das Innere eines Nichtleiters im elektrischen Feld nicht feldfrei ist. Das Feld greift durch den Isolator hindurch. Solche Stoffe werden deshalb auch Dielektrika genannt (nach dem griechischen Wort dia für durch ). Wird bei einem Plattenkondensator mit der elektrischen Feldstärke E 0 = U 0 /d ein Dielektrikum zwischen die Platten gebracht, dann verschieben sich die Ladungen auf dem Isolator, so dass ein geringeres Feld E im Dielektrikum zwischen den Platten herrscht. Es ist E < E 0 und deshalb U < U 0, es gilt: E = U = (.39) 0 0 r E U ε An der Plattenladung hat sich durch Einbringen des Dielektrikums nichts geändert, d.h. mit Q = C U erhält man: C Q = C0 U0 = C U = εr (.40) C 0 Wird ein Dielektrikum in ein elektrisches Feld gebracht, so nimmt die elektrische Feldstärke gegenüber der des Vakuums auf den ε r -ten Teil ab, während die Kapazität durch das Einbringen des Dielektrikums auf das ε r -fache ansteigt. Die Größe ε r wird relative Dielektrizitätszahl genannt und ist dimensionslos. Ihr Wert ist stets 1. 0
.6 Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren Parallelschaltung: Alle Kondensatoren liegen an der gleichen Spannung U. Die Ladung, die jeder Kondensator speichert, ist proportional zu seiner Kapazität und der anliegenden Spannung: Q = C U Die gespeicherte Gesamtladung Q setzt sich aus den Einzelladungen zusammen: Q = Q + Q + K + Q 1 n Q = C U + C U + K + C U = U ( C + C + K + C ) = U C 1 n 1 n i i = 1 Die Gesamtkapazität C von n parallel geschalteten Kondensatoren ist gleich der Summe der Einzelkapazitäten: n = 1 + + + n = i = 1 C C C K C C (.43) i n 1
Reihenschaltung: Jeder Kondensator wird unabhängig von seiner Kapazität mit demselben Ladestrom i geladen. Für alle Kondensatoren ist deshalb die gespeicherte Ladungsmenge gleich groß: Q = i dt Q = Q = Q = K = Q 1 n Dabei lädt sich der Kondensator mit der Kapazität C auf die Spannung U auf: U Q = C Alle Ladespannungen U 1 bis U n addieren sich zur Gesamtspannung U: U = U + U + K + U 1 n n Q Q Q 1 1 1 1 U = + + K + = Q + + K + = Q C C C C C C C 1 n 1 n i = 1 i Somit ist der Kehrwert der Gesamtkapazität der in Reihe geschalteten Kondensatoren gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelkapazitäten: n 1 1 1 1 1 = + + K + = (.44) C C C C C 1 n i = 1 i Sonderfall für zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren: C C C = C + C 1 1 (.45)
.7 an der Grenze zwischen Stoffen mit unterschiedlichen Dielektrizitätskonstanten Besteht das Dielektrikum aus verschiedenen Stoffen, dann unterscheidet man in der Praxis zwischen der Querschichtung und der Längsschichtung. Querschichtung: Die Trennschicht zwischen den beiden Isolierstoffen verläuft bei Querschichtung quer zu den Feldlinien, also längs einer Äquipotentialfläche. In beiden Stoffen und an der Grenzschicht bleibt die Verschiebungsflussdichte unverändert, weil der Verschiebungsfluss ψ und die Fläche A gleich sind: D = D 1 D = ε ε E = ε E ; D = ε ε E = ε E ε 1 0 r1 1 1 1 0 r E ε ε 1 1 r E1 = ε E E = ε = 1 ε (.46) r1 Das Ersatzschaltbild der Querschichtung ist die Reihenschaltung von Kapazitäten. D- und E-Feld eines Plattenkondensators mit isotropem Dielektrikum: 3
D- und E-Feld eines Plattenkondensators mit quergeschichtetem Dielektrikum (ε r1 : ε r = 3:1): Längsschichtung: Liegt die Trennschicht zwischen zwei verschiedenen Isolierstoffen auf Feldlinien, dann ist die Feldstärke in beiden Medien gleich, weil die Spannung zwischen den Elektroden gleich ist: E = E 1 D1 D1 D D E1 = = ; E = = ε ε ε ε ε ε 0 r1 1 0 r D D D ε εr = = = ε ε D ε ε 1 1 1 1 1 r (.49) Die Ersatzschaltung der Längsschichtung ist die Parallelschaltung von Kapazitäten. 4
Bsp..9: Ein Plattenkondensator mit quadratischen Platten der Seitenlänge a und Plattenabstand d ist wie in den Skizzen dargestellt teilweise mit einem Dielektrikum der relativen Dielektrizitätskonstanten ε r gefüllt. Drücken Sie seine Kapazität jeweils durch die gegebenen allgemeinen Größen aus. a) C ges = ( ) ε0 εr a d + d ε + d 1 3 r 0 b) C = ( a + ε a + a ) ges ε a d 1 r 3 c) C ges = ε0 a ( a1 + εr a + a3 ) ( ) ( ε ) d + d a + a + a + d a 1 3 1 r 3 5
.8 Ladungsvorgang beim Kondensator Die einfachste, aber wichtigste Schaltaufgabe ist das Laden oder Entladen eines Kondensators. Der auf die Spannung U geladene Kondensator C speichert die elektrische Energie 1/ CU², er wird deshalb Energiespeicher genannt. Jede Umladung verändert die Energieverhältnisse. Der zeitliche Verlauf der Kondensatoraufladung ist abhängig von der Speisungsart. Hier soll nur die Aufladung über Spannungsquellen mit einem Vorwiderstand zur Strombegrenzung betrachtet werden. Aufladung des Kondensators bei konstanter Spannung: Momentanwert des Stromes: i = dq dt Über Zuleitungen zum Kondensator fließende Ladungsmenge: dq = C du c Momentanwert des Lade- bzw. Entladestromes des Kondensators: du i = C c (.51) dt Zeitkonstante: τ = R C (.5) Kondensatorstrom: i t τ U = e (.53) R t Kondensatorspannung: uc = U 1 e τ (.54) 6
Entladungsvorgang des Kondensators: Der mit der Elektrizitätsmenge Q geladene Kondensator ist ein aktiver Zweipol. Er wird mit einem Widerstand belastet und dadurch entladen. Richtungszuordnung von Spannung und Strom: a) beim Laden eines Kondensators b) beim Entladen eines Kondensators U c0 Entladestrom des Kondensators: ic = e τ (.55) R Kondensatorspannung: uc = Uc0 e τ (.56) t t Für die im Kondensator gespeicherte Energie gilt: W 1 = C U (.57) 7