Friedhelm Padberg Didaktik der Bruchrechnung Gemeine Brüche Dezimalbrüche, erweiterte Auflage Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg Berlin Oxford
INHALT 4. 5. 6. II. 4. III. EINLEITUNG 7 ZUR BEHANDLUNG DER GEMEINEN BRÜCHE UND DEZIMALBRÜCHE 10 IM UNTERRICHT Zeitpunkt und Umfang Begründung Unterrichtserfolg Vorteile der gemeinen Brüche gegenüber den Dezimalbrüchen Vorteile der Dezimalbrüche gegenüber den gemeinen Brüchen Schlußfolgerung KONZEPTE ZUR BEHANDLUNG DER BRUCHRECHNUNG Das Größenkonzept Das Äquivalenzklassenkonzept Das Gleichungskonzept Das Operatorkonzept BRUCHRECHNUNG 1 Zur der Bruchzahlen Zwei Grundvorstellungen 42 43 2 Zusammenhang: Repräsentant - konkreter Bruch 51 3 Benennung einer Größe durch verschiedene konkrete Brüche 55 4 Übergang zu den Bruchzahlen 60 Erweitern / Kürzen 65 1 Erweitern 65 2 Kürzen 67 3 70 Kleinerrelation 72 1 72 2 Systematische Behandlung 74 3 75 4 Zahlenstrahl 76 5 Vertiefung 77 10 11 14 17 19 22 25 25 26 29 31 42
4. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.1 4.4.2 4.4.3 5. 5.1 5.2 5.3 5.4 5.4.1 5.4.1 5.4.2 5.4.3 6. 6.1 6.2 6.3 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.4 6.5 6.5.1 6.5.2 6.5.3 6.5.4 6.5.5 6.5.6 Addition Gemischte Zahlen Schwierigkeitsfaktoren Vorbemerkungen Typische Fehler und mögliche Ursachen Bruchzahl plus Bruchzahl Kombinierter Fall (Bruchzahl und natürliche Zahl) Gegenmaßnahmen Subtraktion Gemischte Zahlen Schwierigkeitsfaktoren Typische Fehler und mögliche Ursachen Bruchzahl minus Bruchzahl Kombinierter Fall (Natürliche Zahl minus Bruchzahl) Gegenmaßnahmen Multiplikation Natürliche Zahl mal Bruchzahl Bruchzahl mal natürliche Zahl Bruchzahl mal Bruchzahl Von-Ansatz Gleichungsketten Flächeninhalt Isomorphie Bewertung Ergänzende Bemerkungen Abfolge im Schwierigkeitsgrad Multiplikation gleichnamiger Brüche Multiplikation ungleichnamiger Brüche Natürliche Zahl mal Bruchzahl / Bruchzahl mal natürliche Zahl Multiplikation gemischter Zahlen Regelformulierung und Begründung 81 81 87 88 90 90 91 91 93 94 97 97 100 101 102 102 103 104 105 107 108 109 111 114 115 115 116 117 118 120 120
6.5.7 6.5.8 7. 7.1 7.2 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.3 7.4 7.5 7.5.1 7.5.2 7.5.3 7.5.4 7.5.5 7.5.6 7.5.7 7.5.8 8. 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 Über Probleme bei der rechnerischen Umsetzung von "von"-situationen Hinweise zu Gegenmaßnahmen Division Bruchzahl durch natürliche Zahl Bruchzahl durch Bruchzahl / Natürliche Zahl durch Bruchzahl Messen Gleichungsketten Umkehroperation Doppelbrüche Bewertung Natürliche Zahl durch natürliche Zahl Ergänzende Bemerkungen Abfolge im Schwierigkeitsgrad Bruchzahl durch Bruchzahl Bruchzahl durch natürliche Zahl / Natürliche Zahl durch Bruchzahl Natürliche Zahl durch natürliche Zahl Regelformulierung und Begründung Division von Brüchen und praktische Anwendungen Unterrichtserfolg und benutzte Methode Hinweise zu Gegenmaßnahmen - Zusammenfassung und Schlußfolgerungen Mängel bei den anschaulichen Bruchvorstellungen Wichtige Fehlerrahmen Problembereich: "Gemischte" Fälle Zur Bedeutung sorgfältiger Regelableitungen Additions- oder Multiplikationsbeginn in der Bruchrechnung? Bemerkungen zum Operatorkonzept Schlußbemerkung 121 122 123 123 124 124 125 126 127 128 130 131 133 133 134 135 136 137 138 139 142 144 144 144 145 145 146 146 147
IV. V. 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 3 4 4. 5. 5.1 5.2 6. 6.1 6.2 7. 7.1 7.1 7.2 7.2 7.3 7.4 MATHEMATISCHE FUNDIERUNG DER BRUCHRECHNUNG Divisible Größenbereiche Einfache Folgerungen Zur mathematischen Fundierung von Aussagen über Bruchzahlen DEZIMALBRUCHRECHNUNG endlicher Dezimalbrüche Vergleichen endlicher Dezimalbrüche Erweitern / Kürzen Größenvergleich Dezimalbrüche und gemeine Brüche Endliche Dezimalbrüche Umformung durch Erweitern / Kürzen Umformung durch Division Periodische Dezimalbrüche Systembrüche Runden Addition Subtraktion Multiplikation Multiplikation mit Zehnerpotenzen / Division durch Zehnerpotenzen Multiplikation mit Zehnerpotenzen Division durch Zehnerpotenzen Multiplikation mit natürlichen Zahlen Multiplikation mit Dezimalbrüchen 148 148 155 158 163 163 163 166 168 168 170 170 171 173 173 174 174 175 179 180 181 182 182 185 186 186 187 188 188 188 190 190 192 194
8. Division 198 8.1 Division durch Zehnerpotenzen 198 8.2 Division durch natürliche Zahlen 198 8.3 Division durch Dezimalbrüche 201 8.4 202 VI DIAGNOSTISCHE TESTS 207 Diagnostische Tests zu den gemeinen Brüchen 208 1 Gemeine Brüche - Teiltest A 208 2 Gemeine Brüche - Teiltest B 216 Diagnostische Tests zu den Dezimalbrüchen 223 1 Dezimalbrüche - Teiltest A 223 2 Dezimalbrüche - Teiltest B 229 LITERATURVERZEICHNIS 235