Wachstums- und Abnahmevorgänge

A B C D E Lineare Gleichungen Lösen linearer Gleichungen - Grundlagen 6 Umformungen mit Klammern 7 3 Bruchgleichungen 0 4 Formvariablen und Formeln 5 Textaufgaben 6 Test 6 Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 7 Zeichnerische Lösung von LGS 9 3 Rechnerische Lösung von LGS 0 4 Test 3 Quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen Die Funktion f (x) = a x² 4 Die Funktion f (x) = a x² + b x + c und ihre Scheitelpunktform f (x) = a (x - d) + e 5 3 Reinquadratische Gleichungen 7 4 Die Lösung von quadratischen Gleichungen der Form x² + p x + q = 0 8 5 Textaufgaben 3 6 Test 3 Potenzen und Wurzeln Die Potenzgesetze 34 Potenzen mit negativen Exponenten 36 3 Zehnerpotenzen 37 4 Wurzeln 40 5 Umformungen von Wurzeltermen 4 6 Test 4 Wachstums- und Abnahmevorgänge Prozentuale Veränderungen 43 Mehrfache prozentuale Veränderungen 44 3 Zinseszinsen 46 4 Lineare und quadratische Veränderungsprozesse 48

5 Exponentielles Wachstum 50 6 Exponentielle Abnahme exponentieller Zerfall 53 7 Test 57 F G H I Trigonometrie Die Definitionen der Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck 58 Berechnungen von Seitenlängen und Winkelgrößen in rechtwinkligen Dreiecken 59 3 Berechnungen in ebenen Figuren 60 4 Die allgemeine Sinusfunktion und Kosinusfunktion 63 5 Berechnungen im allgemeinen Dreieck 64 6 Anwendungen 65 7 Test 66 Figuren und Körper Grundlagen 67 Kreis und Kreisteile 68 3 Prisma und Zylinder 7 4 Pyramide und Kegel 74 5 Kugel 78 6 Test 79 Basiskompetenzen Flächenberechnung 80 Zuordnung (Dreisatzrechnung) 8 3 Prozentrechnung 83 4 Zinsrechnung 84 5 Daten und Zufall 85 Probearbeiten Probe-Prüfungsarbeit 88 Probe-Prüfungsarbeit 9 Lösungen 96 Stichwortverzeichnis 59

A Lineare Gleichungen Lösen linearer Gleichungen - Grundlagen Gleichungen werden durch schrittweise Vereinfachung systematisch gelöst. Damit die entstehenden Gleichungen untereinander gleichwertig (äquivalent) bleiben, dürfen nur Äquivalenzumformungen vorgenommen werden: Auf beiden Seiten der Gleichung darf dieselbe Zahl oder derselbe Term addiert oder subtrahiert werden. Auf beiden Seiten der Gleichung darf mit derselben Zahl oder demselben Term (ungleich Null) multipliziert oder dividiert werden. Auf beiden Seiten der Gleichung dürfen Termumformungen wie z. B. das Zusammenfassen gleichartiger Terme vorgenommen werden. Die Menge aller Zahlen, die man für die Variable in die gegebene Gleichung einsetzen darf, heißt Grundmenge (G). Die Menge aller Zahlen aus der Grundmenge, die zur Lösung der Gleichung führen, heißt Lösungsmenge (L); wenn keine Zahl aus G die Gleichung löst, ist die Lösungsmenge leer (L = { ). Beispiele a) 6 x + 8 = x - 5 u - 8 Û 6 x = x - 70 u - x Û 4 x = - 70 u : 4 Û x = - 7,5 Probe 6 (- 7,5) + 8 = (- 7,5) - 5-05 + 8 = - 35-5 - 87 = - 87 (wahr) Lösungsmenge bestimmen: Wenn G =, G =, dann L = { Wenn G =, dann L = {-7,5 b) y - 3-0,5 y = - 8 +,9 y +, Û,5 y - 3 =,9 y - 5,8 u -,9 y + 3 Û 8,6 y = 7, u : 8,6 Û y = Probe - 3-0,5 = - 8 +,9 +, 4-3 - = - 8 + 5,8 +, 0 = 0 (wahr) Lösungsmenge bestimmen: Wenn G =, G =, G =, dann L = {. Löse die linearen Gleichungen und bestimme die Lösungsmenge für G =. a) 3 + 3 x + 8 = x + b) 3 x + 9 = 5 x + 0 c) 0,9 x -,5 = 0,4 x + 3 d) 3,5 z - 4, = 6,3 z - 3,6 + 0,7 z 3 e) 4 x - = 5 f ) 6 z - 3 = 3 - z 6

Umformungen mit Klammern Umformungen mit Klammern Klammern auflösen Beim Auflösen einer Plus-Klammer verändern sich die Rechenzeichen der Summanden in der Klammer nicht. a + (b + c) = a + b + c a + (b - c) = a + b - c Beim Auflösen einer Minus-Klammer erhalten die Summanden entgegengesetzte Rechenzeichen. a - (b + c) = a - b - c a - (b - c) = a - b + c Hat die folgende Gleichung eine Lösung in N, oder? 3 x + (x - ) = x - (x + 7) Klammern auflösen 3 x + x - = x - x - 7 zusammenfassen 4 x - = x - 7 u - x + ordnen 3 x = - 6 u : 3 Variable isolieren x = - Probe 3 (- ) + (- - ) = (- ) - (- + 7) Punkt- vor Strichrechnung! - 6 + (- 3) = - 4-5 - 9 = - 9 (wahr) Lösungsmenge Ist G = N, dann L = { ; ist G = oder G =, dann L = {-.. Bestimme die Lösungsmenge für G = und führe die Probe durch. a) 8 + (3 y + 4) = -(7 y + 8) b) 4 z - ( - 7 z) = 3 - (7-8 z) c) 00 - (4 + 3 x) = (5 x - 3) - 7 d) -,4 + (-, y + 0,7) = - (,4 y - 8,3) Beispiel 3. Wie lauten hier die Lösungsmengen für G =? Tipp: Verschachtelte Klammern werden von innen nach außen aufgelöst. a) 00 - [7 - (48 + 8 x)] = - [(9 x - 6) + (3 x + 3)] b) 0 - [(4 a + 3) - (5 a - 7)] = - a - [8 - (7 + 5 a)] 4. Löse ebenfalls in der Menge der rationalen Zahlen. a) x + 35 - ( 3 4 x - 8 ) = (4-3 x ) + ( 5 6 x - 5 ) b) ( z - ) - 5 6 z = 3 - ( 3 - z ) 7

A Lineare Gleichungen Summen multiplizieren Eine Summe wird mit einem Faktor multipliziert, indem man jeden Summanden mit diesem Faktor multipliziert. m (a + b) = m a + m b m (a - b) = m a - m b Die Umkehrung dieses Vorgangs heißt Ausklammern eines gemeinsamen Faktors oder kurz Faktorisieren. r s + r t = r (s + t) x y - x z = x (y - z) Beispiele a) 4 (y + 0,) = 4 y + 0,4 b) (3 y - 0,5) (- ) = - 6 y + 3 c) 7,5 a + 5 b =,5 (3 a + b) d) z - y = (3 z - y) Zwei Summen werden miteinander multipliziert, indem jeder Summand der ersten Summe mit jedem Summanden der zweiten Summe multipliziert wird. (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d Beispiele a) ( x + y) (3 x - 4 y) = x 3 x + x (- 4 y) + y 3 x + y (- 4 y) = 6 x - 8 x y + 3 x y - 4 y = 6 x - 5 x y - 4 y b) Hat die folgende Gleichung eine ganzzahlige Lösung? ( - z) ( z + 8) = (z + ) (0 - z) Ausmultiplizieren 4 z + 6 - z - 8 z = 0 z - z + 0 - z u + z Zusammenfassen - 4 z + 6 = 8 z + 0 u - 8 z - 6 - z = - 6 u :(- ) Variable isolieren z = 0,5 Ausrechnen Probe: ( - 0,5) ( 0,5 + 8) = (0,5 + ) (0-0,5),5 9 =,5 9 (wahr) 0,5 löst zwar die gegebene Gleichung, aber L = {, denn 0,5 Ï. Wenn nicht anders angegeben gilt in den folgenden immer G =. 5. Löse zunächst die Klammern auf, führe dann die Probe durch. a) 3 (x - ) = - b) - 4 (y - ) = 4 c) ( z + 5) - (3 - z) = 0 d) 4 (r - 7) - ( r - 5) = - (5-8 r) 3 6. Löse die 5 a) und b) noch einmal. Dividiere zunächst durch eine geeignete Zahl, um nicht mehr ausmultiplizieren zu müssen. 8

Umformungen mit Klammern 7. Löse die Gleichung, indem du zunächst die Klammern ausmultiplizierst. a) 3 + (3 z - 7) = 4 (z - 4,5) - 5 b) 3 x - 6 (x - 5) = 9 x - 3 (8 - x) c), (y - ) = 5, -,4 (y - ) d) - 3 4 (b + 4) = ( b - 7) 8. Bestimme die Lösungsmenge und führe die Probe durch. a) ( - x) (x + 4) = (x + ) (5 - x) b) (z - ) (z - 4) = z + (z - ) (z - 3) c) - 4 z (3 - z) = ( z + 5) ( z - 5) + d) (y + 4) (y - 3) + 3 ( y - 6) = y (y - 3) Binomische Formeln anwenden Sehr wichtig beim Multiplizieren von Summen sind die binomischen Formeln.. binomische Formel: (a + b) = a + a b + b. binomische Formel: (a - b) = a - a b + b 3. binomische Formel: (a + b) (a - b) = a - b Lerne die Formeln auswendig. a) (3 x + 4) = (3 x) + 3x 4 + 4 = 9 x + 4 x + 6 b) (y - 3 z) = y - y 3 z + (3 z) = y - 6 y z + 9 z c) ( z + 5 )( z - 5 ) = ( z ) - 5 5 = 4 z - 5 d) Hat die folgende Gleichung eine Lösung in? ( x + ) = (x - 4) + 3 x Bin. Formeln anwenden 4 x + 4 x + = x - 8 x + 6 + 3 x u - 4 x Vereinfachen 4 x + = - 8 x + 6 u + 8 x - x = 5 u : x = 5 4 =,5 Probe: (,5 + ) = (,5-4) + 3,5 3,5 = (-,75) + 4,6875,5 =,5 (wahr) Þ L = {,5 Beispiele 9. Forme die Terme um. a) ( + 4 x ) b) ( 3 x - ) c) (3 r - 0,5) d) (,5 y + 5 z) (,5 y - 5 z) 0. Löse die Gleichung und führe die Probe durch. a) (6 + y) - 3 y = (y + 3) (y - 3) b) (z - 5) + (z + 3) = (z + ) + (z - ) + 8 c) ( x + ) + ( x - ) = x (8 x - 5) d) ( x + 4 ) + ( x - 4 ) = x - 4 x 9

A Lineare Gleichungen 3 Bruchgleichungen Eine Gleichung mit mindestens einer Variablen im Nenner, z. B. x + =, nennt man Bruchgleichung. Zur Definitionsmenge D einer Bruchgleichung gehören alle Zahlen der Grundmenge G, für die kein Nenner dieser Bruchgleichung 0 wird. Im Beispiel = bedeutet das, dass D nicht die Zahl - enthalten darf. x + Der Nenner würde sonst 0 werden, durch 0 darf aber nicht dividiert werden. Beispiel Löse in : y - 3 = 6 y +. Definitionsmenge bestimmen D = \ {3; -, da sonst (y - 3) = 0 oder (y + ) = 0. Gemeinsamen Nenner (GN) beider Terme bestimmen GN: (y - 3) (y + ) Beide Seiten mit dem GN multiplizieren: u (y - 3) (y + ) y - 3 = 6 y + = y - 3 (y - 3) (y + ) 6 (y - 3) (y + ) y + anschließend so weit wie möglich kürzen. 3. Gleichung jetzt wie gewohnt lösen: (y + ) = 6 (y - 3) y = 5 4. Probe durchführen 5-3 = 6 5 + = 6 6 (wahr) 5. Prüfen, ob die gefundene Lösung zur Definitionsmenge gehört und L angeben. L = {5. Löse die Bruchgleichung in, führe dann die Probe durch. 4 a) c) 5 z - 7 0 z = 0 b) x + 9 x + 4 = x + 3 x 4-5 x - 6 = 8 6 x 3 x + 7 x + 5 x 6 y - 3 y + 4 3 y = 35 d) 5. Fasse zunächst Brüche mit gleichem Nenner zusammen, wenn dieses möglich ist. 6 a) + x - 4 + x = 3 + x b) y y - 3 = + y c) 5 4 - z = 4-5 z 4 - z d) 7 x + 5 + x 7 + x = 3 7 + x + x x + 5 0

4 Formvariablen und Formeln 4 Formvariablen und Formeln Enthält eine Gleichung mehrere Variablen, z. B. a x + b = c x, und soll diese Gleichung nach einer dieser Variablen, z. B. x, aufgelöst werden, dann heißt diese Variable Lösungsvariable. Die übrigen Variablen heißen Form variablen. Du findest hierfür auch die Begriffe Konstanten oder Parameter. Gleichungen mit Formvariablen werden ebenfalls durch die Anwendung von Äquivalenzumformungen gelöst. Für die Oberfläche O eines Quaders gilt die Formel O = a b + a c + b c Diese Formel soll nach der Lösungsvariablen a aufgelöst werden. c Beispiel b a a b + a c + b c = O Seitentausch; Lösungsvariable links a b + a c + b c = O u - bc Ordnen a b + a c = O - b c Ausklammern von a a ( b + c) = O - b c u :( b + c), da ( b + c) > 0 a = O - bc b + c O oder auch: a = b c O = b c O b c b + c b + c b + c (b + c) b + c b + c 3. Löse die Oberflächenformel aus dem obigen Beispiel nach der Länge der Seite c auf. 4. Die folgenden Formeln zur Flächenberechnung sollen nach der jeweils genannten Lösungsvariablen aufgelöst werden. a) A = g h a + c ; nach h b) A = h; nach a c) A = (g + g ) h ; nach g d) A = p r a 80 ; nach a 5. Löse diese Formeln aus der Physik nach der angegebenen Variablen auf. a) f = 5 g + 3; nach g 9 b) m a s P = ; nach t t c) n n = M ; auflösen nach n M d) = + ; auflösen nach R R G R R Tipp zu b) und c): Multipliziere zunächst mit der Lösungsvariablen.

A Lineare Gleichungen 5 Textaufgaben In Textaufgaben wird die Abhängigkeit von Zahlen und Größen durch Worte (Texte) ausgedrückt. Das Übersetzen dieses Textes in die mathema ti sche Sprache der Algebra nennt man das Aufstellen einer Gleichung. Lösungsplan für Textaufgaben Lies den text mehrmals durch. Was ist gegeben? Markiere wichtige Textstellen, beachte alle Einzelheiten. Was ist gesucht? Wonach wird gefragt? Wähle hierfür die Variable x. Lege eine Übersicht (Tabelle) an. Trage hier die Terme und die Beziehungen zwischen den Termen ein. Stelle mit Hilfe dieser Terme eine Gleichung auf. Achte auf Gleichheit. Löse diese Gleichung. Überlege, ob die Lösung der Gleichung bereits das Endergebnis ist. Kontrolliere das Ergebnis am text. Schreibe einen Antwortsatz. Beispiel Zahlenrätsel Multipliziert man die Summe aus dem Vierfachen einer natürlichen Zahl und 6 mit 6, so erhält man 68. Wie heißt die Zahl? () Gesuchte Zahl: x () Das Vierfache dieser Zahl: 4 x (3) Summe aus dem Vierfachen und 6: 4 x + 6 (4) Summe multipliziert mit 6: (4 x + 6) 6 (5) man erhält 68: = 68 (6) Gleichung daraus aufstellen: (4 x + 6) 6 = 68 (7) Gleichung wie üblich lösen: x = 3 (8) Probe am text: Multipliziert man die Summe aus 4 3 und 6 mit 6, so erhält man 68 (wahr). (9) Antwort: Die gesuchte Zahl lautet 3 (3 Î ). 6. Das Zweifache einer um vergrößerten ganzen Zahl ist um 4 kleiner als das Dreifache dieser Zahl. 7. Die Summe von drei aufeinander folgenden ganzen Zahlen ist - 3. Wie lauten die drei ganzen Zahlen?

5 Textaufgaben 8. Der Zähler einer Bruchzahl ist um 8 größer als der Nenner. Vermehrt man Zähler und Nenner um 4, so entsteht der Bruch 5 7. 9. Die Zahl 79 wird in zwei Summanden zerlegt. Dividiert man einen Summanden durch 4 und den anderen Summanden durch 7, so ergibt die Summe der beiden Quotienten 57. Wie lauten die beiden Summanden? 0. Die Summe aus einer gesuchten ganzen Zahl und 4 wird multipliziert mit der Differenz aus dieser ganzen Zahl und 4. Vermehrt man das Produkt um, so ergibt sich das Quadrat der gesuchten Zahl vermehrt um das Siebenfache der gesuchten Zahl. Geometrie In einem Rechteck ist eine Seite um 5 cm länger als die andere. Wenn man die kürzere Seite um 4 cm verlängert und die längere um cm, so entsteht ein neues Rechteck. Dieses hat einen Flächeninhalt, der 44 cm größer ist als der des ursprünglichen Rechtecks. Welche Seitenlängen haben beide Rechtecke?. Kurze Seite des ursprünglichen Rechtecks: ursprüngliches Rechteck Lösungsvariable x. Skizze anlegen: ursprüngliches Rechteck, neues A = x (x + 5) x Rechteck; und Seiten benennen: x + 5 3. Flächeninhalt ursprüngliches Rechteck: x (x + 5) neues Rechteck 4. Flächeninhalt neues Rechteck: (x + 4) (x + 6) 5. Gleichung aufstellen: x (x + 5) = (x + 4) (x + 6) - 44 oder: x (x + 5) + 44 = (x + 4) (x + 6) A = (x + 6) (x + 4) x + 4 6. Gleichung wie üblich auflösen: x = 4 (x + 5) + 7. Lösung am Text überprüfen: A (Rechteck) = 4 cm 9 cm = 696 cm ; A (neues Rechteck) = 8 cm 30 cm = 840 cm = 696 cm + 44 cm (wahr). 8. Antwort: Das ursprüngliche Rechteck hat die Seitenlängen 4 cm und 9 cm, das neue Rechteck hat die Seitenlängen 8 cm und 30 cm.. Die beiden Seiten eines Rechtecks unterscheiden sich um 3 cm. Verlängert man die längere Seite um 7,5 cm und verkürzt die kürzere Seite um 4 cm, so haben beide Rechtecke den gleichen Flächeninhalt. Ist der Umfang beider Rechtecke auch gleich groß? Beispiel. Ein rechteckiger Bauplatz ist viermal so lang wie breit. Er hat dieselbe Größe wie ein Bauplatz, der 5 m länger, aber 3 m schmaler ist. Für welches Grundstück wird mehr Zaun benötigt? 3

A Lineare Gleichungen 3. Ein Brückenpfeiler steht wegen des weichen Untergrunds zu einem Drittel seiner Gesamtlänge im Boden. 4 m des Pfeilers sind sichtbar. Wie lang ist der Pfeiler insgesamt? 4. Ein großer Leuchtbuchstabe soll hergestellt werden. a) Stelle die beiden Formeln auf, um Flächeninhalt und Umfang berechnen zu können. b) Wie groß muss a gewählt werden, wenn der Flächeninhalt 3600 cm betragen soll? 5a a a a a Beispiel Mischungsrechnen In einem Labor wird Alkohol in verschiedener Konzentration benötigt. 870 cm 3 3%iger Alkohol sollen mit der notwendigen Menge 7 %igem Alkohol gemischt werden, sodass 4%iger Alkohol zur Verfügung steht. Welche Menge 7%igen Alkohols ist notwendig?. Lösungsvariable x: Gesuchte Menge 7%iger Alkohol.. Darstellung der Informationen in einer übersichtlichen Tabelle: Sorte Volumen Alkoholanteil A: 3%iger Alk. 870 cm 3 3 % von 870 cm 3 = 0,3 870 cm 3 B: 7%iger Alk. x cm 3 7 % von x cm 3 = 0,7 x cm 3 C: 4%iger Alk. (870 + x) cm 3 4 % von (870 + x) cm 3 = 0,4 (870 + x) cm 3 Das Zusammenschütten der beiden Sorten A und B ergibt Mischung C. 3. Also kann die Gleichung aufgestellt und gelöst werden: 0,3 870 cm 3 + 0,7 x cm 3 = 0,4 (870 + x) cm 3 Die Einheiten kannst du jetzt weglassen: 0,3 870 + 0,7 x = 0,4 (870 + x) 78,4 + 0,7 x = 365,4 + 0,4 x 0,3 x = 87,0 x = 90 4. Probe. 0,3 870 cm 3 + 0,7 90 cm 3 = 78,4 cm 3 + 08,8 cm 3 = 487, cm 3. 0,4 (870 + 90) cm 3 = 487, cm 3 5. Die Lösung stimmt, denn in beiden Fällen ergibt sich derselbe Alkoholgehalt. 6. Antwort: Es sind 90 cm 3 des 7%igen Alkohols erforderlich. 4

5 Textaufgaben 5. 40 l einer 30%igen Salzsäure werden mit 0 l einer 90%igen Salzsäure gemischt. Welchen Säuregehalt hat die Mischung? 6. Ein Chemiker hat 80%ige und 43%ige Schwefelsäure zur Verfügung. Er benötigt 700 ml 50%ige Schwefelsäure. Wie viel ml muss er von jeder Sorte nehmen? 7. Im Süßwarengeschäft werden für 5 kg einer Weingummimischung drei Sorten ausgewählt: kg von Sorte A zu,50 pro 00 g, 8 kg von Sorte B zu,00 pro 00 g, den Rest von Sorte C. Wie viel darf Sorte C pro 00 g kosten, wenn 00 g der Mischung,80 kosten sollen? 8. Wieviel dm 3 Wasser müssen zu, dm 3 einer 8%igen Kochsalzlösung gegosssen werden, damit eine 5%ige Kochsalzlösung zur Verfügung steht? Bewegungsaufgaben Marcel und sein jüngerer Bruder Julian trainieren für einen Laufwettbewerb. Marcel läuft 6,5 m pro Sekunde, Julian legt 6 m in der Sekunde zurück. Marcel gibt Julian einen Vorsprung von 75 m. Wann und nach wie vielen Metern holt Marcel Julian ein?. Lösungsvariable x: Anzahl der Sekunden bis zum Einholpunkt P.. Skizze für die Situation: Beispiel Startpunkt T m 75m Julian 6 s m Marcel 6,5 s Einholpunkt P 3. Am Einholpunkt P ist die insgesamt zurückgelegte Strecke von Julian genauso groß wie die von Marcel. 4. Also lässt sich die Gleichung aufstellen: 75 m + 6 m s x s = 6,5 m s x s 5. Lösung der Gleichung: 75 + 6 x = 6,5 x 0,5 x = 75 x = 50 6. Probe: Julian läuft: 75 m + 6 m s Marcel läuft: 6,5 m s 50 s = 75 m + 900 m = 975 m 50 s = 975 m 7. Antwort: Marcel holt Julian nach 50 Sekunden ein. Die zurückgelegte Strecke beträgt dann für beide 975 m. 5

A Lineare Gleichungen 9. Die beiden Brüder Marcel und Julian fahren täglich mit dem Fahrrad zur Schule. Julian fährt durchschnittlich mit km pro Stunde, Marcel legt etwa 7 km pro Stunde zurück. Obwohl Marcel erst 0 Minuten später als Julian losfährt, kommen beide doch gleichzeitig in der Schule an. a) Wie lange ist Marcel unterwegs? b) Wie weit ist es bis zur Schule? 30. Zwei Flugzeuge begegnen sich auf der Strecke Hamburg - New York über dem Atlantik. Die eine Maschine fliegt 0 km pro Stunde schneller als die andere. Eine Viertelstunde nach ihrer Begegnung sind sie bereits 450 km voneinander entfernt. Mit welcher Geschwindigkeit fliegen sie jeweils? 6 Test 3. Ermittle die Lösung () in und () in. a) 8 + (3 y - 56) = -(7 y + 8) b),5 - (8,5-4 x) = x - ( - 3,5 x) 4 ( 3 a - 3 ) = 3 c) d) (y - 3) (y + 7) = y + 3 3. Löse in der Menge der rationalen Zahlen und führe die Probe durch. a) (x - 4) - x = 6 x - 4 (3 x + ) b) (y + ) - 5 = 4 + (y - ) 33. Finde fünf aufeinander folgende ganze Zahlen, deren Summe 5 ist. 34. Bestimme den Definitionsbereich und löse die Bruchgleichung in. 4 a) 3 x + x = 6 b) y + 3 y - 6 = y - y - 5 35. Löse die Formeln nach der genannten Variablen auf. a) z = k p t 00 360 ; p b) a = ( b + c ) ; b 36. Vergrößert man die Kantenlänge eines Würfels um cm, so vergrößert sich seine Oberfläche um 4 cm. Wie groß ist die ursprüngliche Kantenlänge? 37. Der Teeladen in Nicoles Nachbarschaft führt drei Sorten Roibostee: Sorte A: 9,00 pro kg; Sorte B:,00 pro kg; Sorte C: 4,50 pro kg. Nicole lässt sich 500 g einer Mischung aus allen drei Sorten herstellen und bezahlt insgesamt,00. Wieviel g der Sorten A und C enthält ihre Mischung, wenn 00 g der Sorte B dabei sind? 6

B Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungen mit zwei Variablen Gleichungen der Form a x + b y = c heißen lineare Gleichungen mit zwei Variablen (x und y). Grundmenge sind im allgemeinen die rationalen Zahlen. Die Lösungsmenge dieser Gleichungen besteht aus unendlich vielen geordneten Zahlenpaaren (x u y). Jede Lösung (x u y) entspricht einem Punkt (x u y) in einem x-y-koordinaten system. Alle diese Punkte liegen auf einer Geraden, diese ist der Graph (das Bild) der Lösungsmenge. Bestimme fünf Lösungen der Gleichung 3 x - y = 4.. Löse die Gleichung nach y auf. 3 x - y = 4 y =,5 x -. Setze jetzt für x Zahlen ein und ermittle die zugeordneten y-werte. z. B. x = : y =,5 - = z. B. x = : y =,5 - = - 0,5 usw. 3. Stelle die gefundenen Lösungspaare x 0 - - übersichtlich in einer Tabelle dar. y - 0,5 - - 3,5-5 Beispiel 4. Zeichne die gefundenen Zahlenpaare als Punkte in ein Koordinatensystem ein und zeichne eine Gerade durch die Punkte. Der Graph hat die Geradengleichung y =,5 x - 5. Weitere Lösungspaare kannst du jetzt vom Graphen ablesen. 6 4 6 4 4 y 4 x 6 6 Zum Zeichnen des Graphen genügen zwei Lösungspaare. Nimmst du ein drittes Paar hinzu, kannst du deine Rechnung und den Verlauf der Geraden überprüfen. Tipp 7

B Lineare Gleichungssysteme Eine Funktion, deren Graph eine Gerade ist, heißt lineare Funktion. Ihre Funktionsgleichung hat die Form y = m x + c mit m, c Î Der Graph verläuft durch den Punkt (0 u c) der y-achse und hat die Steigung m. Die Steigung kann mithilfe des Steigungsdreiecks gezeichnet werden. Steigung m = Höhendifferenz ( h ) Seitendifferenz( s) y s s m negativ h h m positiv x Beispiel Tipp Zeichne die Lösungsgerade der Gleichung 6 x + y = 4 mithilfe des Steigungsdreiecks.. Forme die Gleichung in die Geradengleichung y = m x + c um. 6 x + y = 4 Þ y = 4-6 x Þ y = - 3 x +. Zeichne den Graphen: Da c =, wird (0 u ) y auf der y-achse markiert. m = - 3 = 3 = h s bedeutet: Von (0 u ) aus um nach rechts (s) s und um - 3 nach unten (h). h 3. Zeichne die Gerade durch die Punkte (0 u ) x und ( u - ). 3 4. Berechne einen Kontrollpunkt. z. B. x = ergibt y = - 3 + = - 4 Die Gleichungsschreibweise in der Form y = mx + c nennt man Normalform der Geradengleichung.. Zeichne die Graphen in ein Koordinatensystem. a) y = 4 x - 3 b) y = x + 3 c) y = - 0,5 x - d) y = - 3 x + 5. Eine Gerade verläuft durch P (- u 3) und Q (4 u - 7). a) Bestimme die Geradengleichung. b) Notiere die Gleichung von zwei Geraden, die parallel zu dieser verlaufen. Tipp: Bestimme zunächst m mit einem geeigneten Steigungsdreieck. 3. Zeichne die Lösungsgraphen in ein Koordinatensystem. a) y - x - 3 = 0 b) 8 x + 4 y = 8 c) (x + y) = - x + 3 y 4. Gegeben ist y = a x + 3. Wie verläuft der Graph für a > 0, a < 0, a = 0? 8

Zeichnerische Lösung von LGS Zeichnerische Lösung von LGS Zwei lineare Gleichungen mit den gleichen zwei Variablen (z. B. x und y) bilden zusammen ein lineares Gleichungssystem (LGS). Ein Zahlenpaar (x u y) ist Lösung dieses LGS, wenn es jede der beiden Gleichungen erfüllt. Zeichnet man die zu beiden Gleichungen gehörenden Geraden, gibt es genau drei Möglichkeiten:. Die beiden Geraden schneiden sich: Das LGS ist eindeutig lösbar. Die Koordinaten des Schnittpunkts bilden das Zahlenpaar der Lösungsmenge.. Die beiden Geraden verlaufen parallel zueinander: Das LGS hat keine Lösung, die Lösungsmenge ist leer. 3. Die beiden Geraden sind identisch (Doppelgerade): Das LGS hat unendlich viele Lösungen. Löse das LGS zeichnerisch. () x + y = 6; () 6 x - 4 y = -. Löse beiden Gleichungen nach y auf: () y = - x + 3 () y =,5 x + 0,5. Zeichne die beiden Graphen. 3. Lies die Lösung ab: S ( u ) (Koordinaten des Schnittpunkts). 4. Überprüfe die Werte durch Einsetzen in die Gleichungen. () + = 6 (wahr) () 6-4 = - (wahr) 5. Gib die Lösungsmenge an. L = {( u ) 3 y S(u) x 3 Beispiel 5. Löse das LGS zeichnerisch und führe die Proben durch. a) x + 3 y = b) 3 x + 3 y = 9 c) 6 x - 4 y = - 3 x - 3 y = 3 x + y = 3 x - y = - Tipp: Setze die Lösungen immer in die Ausgangsgleichung ein. Löse die folgenden drei ebenfalls zeichnerisch. 6. Für welche ganzen Zahlen gilt: Die Summe zweier Zahlen ist 5, ihre Differenz ist ebenfalls 5? 7. Ein Gästehaus bietet Zweibettzimmer und Dreibettzimmer an. Die 8 Zimmer verfügen über insgesamt 8 Betten. 9

B Lineare Gleichungssysteme 8. Frau Hinz vergleicht die Kontoführungsgebühren von zwei Banken. Die K-Bank verlangt eine Monatsgebühr von 5, zuzüglich 0,0 pro Buchung; die L-Bank berechnet monatlich 4, plus 0,5 pro Buchung. Für welche Bank sollte Frau Hinz sich entscheiden? 9. Gegeben ist das LGS () y + a x = - 4 () y - 3 x = c. Ersetze die Formvariablen a und c durch geeignete rationale Zahlen, sodass die Geraden a) parallel verlaufen b) eine Doppelgerade bilden c) den Schnittpunkt (- u - 3) haben. 3 Rechnerische Lösung von LGS Um ein LGS rechnerisch zu lösen, bieten sich drei Verfahren an. Bei allen Verfahren ist es das Ziel, aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen eine Gleichung mit einer Variablen zu gewinnen. Setzt man diese Lösung dann in eine der Gleichungen ein, kann die fehlende Variable bestimmt werden. Beim Gleichsetzungsverfahren werden beide Gleichungen nach der gleichen Variablen aufgelöst. Die beiden rechten Gleichungsseiten können dann gleichgesetzt werden. Beispiel Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren. () y - 6 x = - 0 () 3 y - x = - 7. Löse beide Gleichungen nach y auf: () y = 3x - 5 () y = 4 x - 9. Setze die rechten Seiten gleich und löse nach x auf: 3 x - 5 = 4 x - 9 x = 4 3. Setze x = 4 in () oder () ein und löse nach y auf: () y - 6 4 = - 0 y = 7 4. Überprüfe die Werte durch Einsetzen in die Gleichungen und gib die Lösungsmenge an: () 7-6 4 = - 0 (wahr) () 3 7-4 = - 7 (wahr) L = {(4 u 7) 0

3 Rechnerische Lösung von LGS 0. Löse das LGS mit dem Gleichsetzungsverfahren. a) y - 5 x = - 3 b) x + 9 y = 70 c) 3 x + 3 y = 5 y + = 3 x x - 8 = - y 8 y + x = 4 Tipp: Überlege immer erst, ob es leichter ist, nach x oder y aufzulösen.. Löse ebenfalls mit dem Gleichsetzungsverfahren. a) 9 y - 3 x = b) x + 3 y = 5 c) 4 x + 3 y = - 3 - x + 5 y = 5 3 x - 4 y = -8 y + x = 8 Tipp: Du kannst beide Gleichungen auch nach dem Vielfachen einer Variablen auflösen und dann gleichsetzen.. Welches dieser Gleichungssysteme besitzt keine Lösung, eine Lösung oder unendlich viele Lösungen? a) () 3 x - y + = 0 () x - 3 y + 9 = 0 b) () - x + 5 y - 0 = 0 () 4 x - 0 y + 0 = 0 c) () 6 x - y - 8 = 0 () y - 3 x +3 = 0 Beim Einsetzungsverfahren wird eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst. Den erhaltenen Term setzt man dann in der anderen Gleichung für die gewählte Variable ein. Löse mit dem Einsetzungsverfahren. () 6 x + 0 y = 68 y () x + y =. Löse () nach y auf: () y = - x. Setze den Term für y aus () ein für y in () und löse die Gleichung nach x auf: 6 x + 0 ( - x) = 68-04 x = - 5 x = 0,5 3. Setze x = 0,5 in () oder () ein und löse nach y auf: () 6 0,5 + 0 y = 68 y = 6,5 4. Gib nach der Probe die Lösungsmenge an: L = {(0,5 u 6,5) 3. Löse das LGS mit dem Einsetzungsverfahren. a) x - 7 y = 4 b) 8 x - y = - 34 c) 3 y - 4 x = 6 5 x + y = 0 5x - y = - x + y = Beispiel

Stichwortverzeichnis A Abnahme lineare und quadratische 48 exponentielle 53 Abnahmefaktor 43 Additionsverfahren Änderungsrate 48 Äquivalenzumformungen 6 B Barometrische Höhenformel 56 Bewegungsaufgaben 5 Berechnung von Seiten und Winkeln im allgemeinen Dreieck 64 in ebenen Figuren 60 im rechtwinkligen Dreieck 59 Binomische Formeln 9 Bogenlänge 70 Bruchgleichungen 0 D Definitionsmenge einer Bruchgleichung 0 einer quadratischen Funktion 4 Diagramme für Daten 85 Diskriminante 8 Dreisatz 8 E Einsetzungsverfahren Endwert 43 F Flächeninhalt von Dreiecken 67, 80 von Kreisen 68 von Kreissektoren 70 von Vierecken 67, 80 Formvariable Funktion lineare 8 quadratische 4 G Giga (Vorsatz) 37 Gleichsetzungsverfahren 0 Gleichungssysteme 9 Grundmenge 6 Grundwert 43 H Häufigkeit 85 K Kegel 76 Kennwerte 85 Klammern auflösen 7 Kosinus eines Winkels 58 Kosinusfunktion 63 Kosinussatz 64 Kreisring 69 Kreissektor 70 Kreiszahl p 68 Kugel 78 L Lösen von Gleichungssystemen 7 f. von linearen Gleichungen 6 von quadratischen Gleichungen 8 f. von Textaufgaben Lösungsmenge 6 Lösungsvariable M Mantel eines Kegels 76 eines Prismas 7 eines Zylinders 73 Mega (Vorsatz) 37 Mikro (Vorsatz) 37 Mischungsrechnen 4 N Nano (Vorsatz) 37 58

Stichwortverzeichnis Normalform der Geradengleichung 8 Normalparabel 4 O Oberfläche eines Kegels 76 eines Prismas 7 einer Pyramide 74 eines Zylinders 73 P Parabel 4 Scheitelpunkt der P. 4 Pfadregel 87 Pico (Vorsatz) 37 Potenz 34 Potenzgesetze 34 Prisma 7 Proportionale Zuordnung 8 Prozentrechnung 83 Prozentuale Veränderungen 43 f. Pyramide 74 Pythagoras, Satz des 67 Q Quadratische Ergänzung 8 R Radikand 39 Radioaktiver Zerfall 54 Reinquadratische Gleichungen 7 S Satz des Pythagoras 67 von Vieta 3 Scheitelpunktform 5 Schrägbild 67 Sinus eines Winkels 58 Sinusfunktion 63 Sinussatz 64 Steigungsdreieck 8 Stufenzahlen 37 Summen multiplizieren 8 T Tangens eines Winkels 58 Tera (Vorsatz) 37 U Umfang eines Kreises 68 Umgekehrt proportionale Zuordnung 8 Umkehroperation 40 V Vieta, Satz von 3 Volumen einer Kugel 78 einer Pyramide 74 eines Kegels 76 eines Prismas 7 eines Zylinders 73 Vorsatzzeichen 37 W Wachstum lineares und quadratisches 48 f. exponentielles 48 f. Wachstumsfaktor 43, 46, 5 Wahrscheinlichkeit 86 Winkelfunktionen 58 Wurzel 40 Wurzelgesetze 4 Wurzelterme 4 Z Zahlenrätsel Zehnerpotenzen 37 Zehnersystem 37 Zinsrechnung 84 Zinseszinsen 46 Zufall 86 Zufallsexperimente 86, 87 Zuordnungen 8 Zylinder 73 59