Kurven und Flächen. Kapitel Kurven im R n Definition von Kurven

Kapitel 7 Kurven und Flächen Mit dem vorliegenden siebenten Kapitel leiten wir anhand elementarer differentialgeometrischer Begriffe die Grundlagen der Differentialrechnung für Abbildungen mehrerer Veränderlicher ein. Dabei orientieren wir uns hauptsächlich an den Lehrbüchern Forster [7] und Sauvigny [35]. 7.1 Kurven im R n Zunächst betrachten wir vektorwertige Abbildung auf nichtleeren, offenen oder abgeschlossenen, beschränkten, halbbeschränkten oder unbeschränkten Intervallen I R mit Bildwerten im R n für n 1. 7.1.1 Definition von Kurven Wir beginnen mit der Definition 7.1. Unter einer stetigen Kurvenparametrisierung verstehen wir eine vektorwertige Abbildung c: I R n vermöge c(t) = (c 1 (t),...,c n (t)), t I, mit stetigen Funktionen c k : I R, k = 1,...,n, auf einem Intervall I R. Unter der zur Parametrisierung gehörigen Kurve verstehen wir die Bildmenge c(i) R n. Im Falle n = 3 schreiben wir auch c 1 (t) = x(t), c 2 (t) = y(t) und c 3 (t) = z(t). Wir wollen erwähnen, dass der Begriff der Kurve in der Literatur nicht einheitlich verwendet wird. 203

204 7 Kurven und Flächen 7.1.2 Beispiele 1. Eine nicht zur y-achse des [x, y]-koordinatensystems parallele Gerade kann durch eine Funktion y = f (x) wie folgt beschrieben werden y = f (x) = mx + n für x R und mit m,n R. Setzen wir t := x, so erhalten wir hieraus die Parametrisierung c(t) = (t,mt + n), t R. Allgemeiner kann auf diese Weise jede funktionale Darstellung parametrisiert werden gemäß y = f (x), x R, c(t) = (t, f (t)), t R. 2. Ein Kreis vom Radius R > 0 mit dem Zentrum (0,0) R 2 ist die Menge S 1 R := {(x,y) R2 : x 2 + y 2 = R 2 } R 2. Unter Benutzung sogenannter Polarkoordinaten x(t) := Rcost, y(t) := Rsint mit der Eigenschaft x(t) 2 + y(t) 2 = R 2 cos 2 t + R 2 sin 2 t = R 2 gewinnen wir eine Kreisparametrisierung vermöge c(t) = (Rcost,Rsint) = R(cost,sint), t [0,2π). 3. Die Neilsche Parabel ist die Menge {(x,y) R 2 : x 3 y 2 = 0} R 2. Eine mögliche Parametrisierung lautet x(t) = t 2, y(t) = t 3 bzw. c(t) = (t 2,t 3 ), t R. 4. Eine gewöhnliche Schraublinie lässt sich parametrisch wie folgt darstellen c(t) = (Rcost,Rsint,kt) R 3, t R, mit einem reellen Schraubparameter c R.

7.1 Kurven im R n 205 5. Bei der sogenannten Weierstraßfunktion handelt es sich um folgende Klasse stetiger, aber in keinem Punkt differenzierbarer Funktionen: f (x) := k=1 mit reellen Parametern λ > 1 und s (1,2). λ (s 2)k sin(λ k x), x [0,1], 6. Im Jahre 1891 stellte D. Hilbert ein Beispiel einer überall stetigen, nirgends differenzierbaren und flächenfüllenden Abbildung f : [0,1] [0,1] [0,1] vor. Hier die wesentlichen Konstruktionsschritte: Die Strecke [0,1] R teilen wir in 4 gleiche Teilstrecken 1, 2, 3, 4 und das Quadrat [0,1] 2 R 2 in 4 kongruente Teilquadrate 1, 2, 3, 4. Jeder Teilstrecke wird ein Teilquadrat zugeordnet (linkes Bild). Teile jede der 4 Teilstrecken in 4 gleiche Teilstrecken 1 bis 16 und jedes der 4 Teilquadrate in 4 kongruente Teilquadrate 1 bis 16. Jedes Quadrat lehne sich dabei mit einer Seite an das vorhergehende an (Bild Mitte). Dieses Teilungsverfahren wird fortgesetzt. Jedem Punkt der Geraden wird im Grenzfall ein Punkt des Quadrats zugeordnet (rechtes Bild). 2 3 6 7 5 4 3 1 4 1 2 16 1 2 3 4 1 16 Die so erhaltene Abbildung f : [0,1] [0,1] 2 ist eindeutig und stetig, aber nirgends differenzierbar. Sie ist nicht eineindeutig, denn einem jeden Punkt des Quadrats entsprechen ein, zwei, drei oder vier Urbilder. Die Abbildung ist außerdem flächenfüllend. Die beiden letzten Beispiele verdeutlichen, dass die Forderung nach Stetigkeit allein für viele analytische Untersuchungen nicht genügt.

206 7 Kurven und Flächen 7.1.3 Reguläre Kurvenparametrisierungen Für die Kurvenparametrisierungen, die wir in dieser Vorlesung betrachten, wollen wir daher neben Stetigkeit auch Differenzierbarkeit oder sogar stetige Differenzierbarkeit voraussetzen. Wir kommen daher zu der Definition 7.2. Unter einer (stetig) differenzierbaren Kurvenparametrisierung verstehen wir eine vektorwertige Abbildung c: I R n vermöge c(t) = (c 1 (t),...,c n (t)) mit (stetig) differenzierbaren Funktionen c k : I R, k = 1,...,n. Im Falle einer stetig differenzierbaren Kurvenparametrisierung c: I R n schreiben wir abkürzend c C 1 (I,R n ). Beispiel 7.1. Die Parametrisierung c(t) = R(cost,sint), t [0,2π), des Kreises vom Radius R > 0 mit Mittelpunkt (0,0) R 2 ist ein Beispiel einer stetig differenzierbaren Kurvenparametrisierung. Beispiel 7.2. Auch die Darstellung c(t) = (t 2,t 3 ), t R, der Neilschen Parabel ist eine stetig differenzierbare Kurvenparametrisierung, die allerdings im Koordinatenursprung eine Singularität aufweist, welche sich analytisch ausdrückt durch c 1 (0) = 0, c 2 (0) = 0. Definition 7.3. Die Kurvenparametrisierung c C 1 (I,R n ) heißt im Punkt t 0 I regulär, falls gilt q c (t 0 ) := c 1 (t 0) 2 +... + c n(t 0 ) 2 > 0. Sie heißt regulär, falls richtig ist c (t) > 0 für alle t I. Unsere Parametrisierung c(t) = (t 2,t 3 ) der Neilschen Parabel ist im Punkt t 0 = 0 nicht regulär. Tatsächlich existiert für die Neilsche Parabel überhaupt keine reguläre, stetig differenzierbare Kurvenparametrisierung mit x(0) = y(0) = 0. Darauf werden wir in den Übungen zurückkommen.

7.1 Kurven im R n 207 7.1.4 Der Tangentialvektor Der gerade betrachtete Ableitungsvektor c : I R n einer Kurvenparametrisierung c C 1 (I,R n ) kann als folgender Grenzwert verstanden werden c (t) = lim h 0, h6=0 c(t + h) c(t). h Die Zähler c(t + h) c(t) auf der rechten Seite gibt die Richtung der die Kurvenpunkte c(t + h) und c(t) verbindenden Sekante an. Definition 7.4. Es sei c C 1 (I,R n ), n 1, eine reguläre Kurvenparametrisierung. Dann heißt c (t) := (c 1 (t),...,c n (t)), t I, ihr Tangentialvektor. 7.1.5 Schnittwinkel zwischen Kurven Es seien c 1,c 2 C 1 (I,R n ) zwei reguläre Kurvenparametrisierungen, deren Bilder sich in einem Punkt c 1 (t 0 ) = c 2 (t 0 ) schneiden. Der Schnittwinkel ϑ beider Kurven ist gegeben durch den Schnittwinkel ihrer Tangentialvektoren, d.h. implizit durch Hierin bedeutet cosϑ := hc 1 (t 0),c 2 (t 0)i c 1 (t 0) c 2 (t 0). h, i: R n R n R, hx,yi := n k=1 x k y k, das bereits in Abschnitt 6.1.4 benutzte Euklidische Skalarprodukt. 7.1.6 Reguläre Parametertransformationen Kurven lassen sich durch verschiedene Parametrisierungen darstellen. Damit aber zwei verschiedene Parametrisierungen, etwa c: I R n und ec: I R n, auch wirklich ein und dieselbe Kurve als Bild besitzen, verlangen wir, dass die Parametrisierungen durch reguläres Umparametrisieren auseinander hervorgehen.

208 7 Kurven und Flächen Definition 7.5. Auf I R sei die reguläre Kurvenparametrisierung c C 1 (I,R n ) gegeben. Sei ferner eine reguläre Parametertransformation gegeben vermittels einer diffeomorphen, d.h. bijektiven und stetig differenzierbaren Abbildung ϕ : I I, deren Umkehrabbildung ϕ 1 : I I ebenfalls stetig differenzierbar ist. Dann heißt ec: I R n vermöge ec(t ) := c ϕ(t ) = c(ϕ(t )), t I, eine reguläre Umparametrisierung von c(t). Für eine solche diffeomorphe Abbildung ϕ(t ), wie hier gefordert, gilt ϕ (t ) > 0 für alle t I. Können Sie das beweisen? Unter regulären Umparametrisierungen bleibt die geometrische Regularität einer Kurvenparametrisierung erhalten, wie unser nächster Satz lehrt. Satz 7.1. Es sei c: I R n eine reguläre Kurvenparametrisierung, und mit einer regulären Parametertransformation ϕ : I I setzen wir ec: I R n vermöge ec(t ) := c ϕ(t ). Dann ist auch ec(t ) eine reguläre Kurvenparametrisierung. Beweis. Mit Hilfe der Kettenregel berechnen wir nämlich dec k (t ) dt = dc k(ϕ(t )) dt = dc k(ϕ(t )) dϕ dϕ dt = dc k(t) dϕ dt dt für alle k = 1,2,...,n, woraus wir schließen ec (t ) 2 = n k=1 ec k (t ) 2 = n k=1 c k (t) 2 ϕ (t ) 2 = c (t) 2 ϕ (t ) 2. Nach Voraussetzung gelten aber c (t) > 0 in I sowie ϕ (t ) > 0 in I, also auch ec (t ) > 0 in I. Die wesentliche Aussage dieses Satzes besteht darin, dass reguläre Umparametrisierungen Äquivalenzklassen erzeugen: c(t) ec(t ) genau dann, wenn ec(t ) = c ϕ(t ). Oft versteht man daher unter einer Kurve die Äquivalenzklasse aller zueinander äquivalenten Kurvenparametrisierungen. Wir wollen darauf nicht näher eingehen, sondern verweisen auf C. Bärs Lehrbuch zur Differentialgeometrie.

7.1 Kurven im R n 209 Umparametrisierungen unterscheidet man gewöhnlich nach ihrer Orientierung: Die reguläre Umparametrisierung heißt orientierungserhaltend, falls gilt ϕ (t) > 0 für alle t I. Die reguläre Umparametrisierung heißt orientierungsumkehrend, falls gilt ϕ (t) < 0 für alle t I. Beispiel 7.3. 7.1.7 Die Bogenlänge Wir wollen schließlich die Länge von ebenen und räumlichen Kurven ermitteln. Dazu beginnen wir mit der Definition 7.6. Die reguläre Kurvenparametrisierung c: I R n heißt eine Bogenlängenparametrisierung, falls gilt c (t) = 1 für alle t I. Der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung, den wir in der Vorlesung Analysis 1 kennengelernt haben, sichert, dass reguläre Kurvenparametrisierungen stets in eine Bogenlängenparametrisierung überführt werden können. Satz 7.2. Zu jeder regulären Kurvenparametrisierung c C 1 (I,R n ) existiert eine Abbildung ϕ C 1 (I,I), so dass die orientierungserhaltende Umparametrisierung ec(s) := c ϕ(s), s I, eine Bogenlängenparametrisierung darstellt. Wir bemerken, dass Bogenlängenparameter gewöhnlich mit dem Buchstaben s bezeichnet werden. Beweis. Es sei c: I R n, und wir wählen ein t 0 I beliebig. Setze Z t s(t) := c (τ) dτ, t t 0. t 0 Wegen c C 1 (I,R n ) und c (t) > 0 für alle t I erhalten wir mit dem Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung s(t) C 1 (I,R) mit der Ableitung s (t) = c (t) > 0 in I. Es ist also s(t) streng monoton wachsend und injektiv.

210 7 Kurven und Flächen Daher stellen s(t): I I := s(i) eine reguläre Parametertransformation dar und ec(s) := c ϕ(s), s ϕ(s) = id, eine reguläre Umparametrisierung. Wegen s (t) = c (t) und t = ϕ(s) berechnen wir nun mit der Kettenregel bzw. dec(s) ds = dc(ϕ(s)) ds = dc dt dϕ ds = 1 c (t) dc dt = c (t) c (t) dec(s) ds = 1 für alle s I. Also ist c ϕ(s) eine Bogenlängenparametrisierung. Beispiel 7.4. Im Falle der Kreisparametrisierung c(t) = (Rcost,Rsint), t [0,2π), berechnen wir beispielsweise Z t s(t) = 0 Z t c (t) dt = 0 Rdt = Rt. Also stellt die reguläre Umparametrisierung ec(s) = Rcos s R,Rsin s, s [0,2πR), R eine Bogenlängenparametrisierung dar: c (s) 1. Es ist übrigens die Zahl 2πR gleich dem Umfang bzw. der Länge des Kreises vom Radius R. Das motiviert zu der folgenden Definition 7.7. Es sei c C 1 (I,R n ) eine reguläre Kurvenparametrisierung. Dann bezeichnen wir durch Z L [c] := c (t) dt die Länge der durch c(t) erzeugten Kurve. Im Falle I L [c] < heißt die durch c(t) parametrisierte Kurve rektifizierbar oder streckbar. Dass diese Bezeichnung auch einen von der jeweils gewählten Parametrisierung unabhängigen, d.h. geometrischen Sinn besitzt, lehrt unser nächster

7.2 Flächen im R n 211 Satz 7.3. Es sei c: I R n eine reguläre Kurvenparametrisierung. Dann ist das Funktional L [c] invariant gegenüber regulären Umparametrisierungen. Beweis. Übungsaufgabe. Benutze die Transformationsformel für eindimensionale Integrale. Die Länge einer rektifizierbaren ebenen oder räumlichen Kurve lässt sich auch durch in die Kurve einbeschriebene Polygonzüge mit endlich vielen, die Kurve berührenden Ecken approximieren. Die Qualität einer solchen Approximation wird dabei bestimmt, wie genau die Polygonzüge die Kurve annähern. Im Grenzfall unendlich vieler, die Kurve berührender Ecken stimmt der Wert des Funktionals L [c] mit der dann als unendliche Reihe gegebenen elementargeometrischen Länge der approximierenden Polygone überein. Wir wollen an dieser Stelle weitere Details übergehen und verweisen u.a. auf die Lehrbücher zur Differentialgeometrie von C. Bär oder W. Kühnel. Ausführlichen Untersuchungen ist L. Cesaris Monographie Surface Area gewidmet. 7.2 Flächen im R n Wir wollen nun unsere Untersuchungen über eindimensionale Kurven aus dem vorigen Abschnitt auf den Fall mehrdimensionaler Flächen verallgemeinern. Dabei werden wir uns jedoch nur auf wenige, in die Differentialgeometrie einführende Begriffe konzentrieren. 7.2.1 Definition von Flächen Wir beginnen mit der Definition 7.8. Unter einer stetigen Flächenparametrisierung verstehen wir eine vektorwertige Abbildung f : Ω R n vermöge f (x 1,...,x m ) = ( f 1 (x 1,...,x m ),..., f n (x 1,...,x m )) mit stetigen Funktionen f k : Ω R auf einer Menge Ω R m. Unter der zur Parametrisierung gehörigen m-fläche verstehen wir die Bildmenge f (Ω) R n. Beispiel 7.5. Es stellt die Parametrisierung f (x,y) = (x,y,x 2 + y 2 ), (x,y) R 2, ein zweidimensionales Rotationsparaboloid im Euklidischen Raum R 3 dar.

212 7 Kurven und Flächen 7.2.2 Reguläre Flächenparametrisierungen Um die geometrische Regularitätsbedingung aus Definition 7.3 für eindimensionale Kurven auf den Fall höherdimensionaler Flächen zu verallgemeinern, benötigen wir unseren ersten Begriff der mehrdimensionalen Differentialrechnung. Definition 7.9. Die Abbildung f (x) = ( f 1 (x 1,...,x m ),..., f n (x 1,...,x m )): Ω R n auf der offenen Menge Ω R m heißt im Punkt ex Ω bez. der j-ten Koordinatenrichtung partiell differenzierbar, falls die Abbildung Φ j (t) := f (ex 1,...,ex j 1,t, ex j+1,..., ex m ), t (ex j ε, ex j + ε), im Punkt t = ex j differenzierbar ist. Wir schreiben in diesem Fall j f (ex) x j f (ex) f (ex) x j := dφ j(t) dt. t=ex j Die Abbildung f (x) heißt partiell differenzierbar, falls j f (x) für alle x Ω existiert. Wir bezeichnen j f (ex) auch als die j-te partielle Ableitung von f (x) im Punkt ex Ω. Die j-te partielle Ableitung einer Abbildung f (x) nach der Variablen x j ist also die bereits in Abschnitt 7.1.4 kennengelernte Ableitung der Kurvenparametrisierung Φ j (t), wobei alle anderen Variablen als fest angesehen werden. Existieren schließlich alle partiellen Ableitungen 1 f (x),..., m f (x) in jedem Punkt x Ω und sind darüberhinaus stetig, so schreiben wir f C 1 (Ω,R n ). Zum Zweck der eingangs angesprochenen Verallgemeinerung der geometrischen Regularitätsbedingung führen wir nun für Abbildungen f C 1 (Ω,R n ) ein: Funktionalmatrix oder Jacobimatrix: 1 f 1 (x) m f 1 (x) fi (x) f (x) := = x.. R n m. j i=1,...,n j=1,...,m 1 f n (x) m f n (x) Definition 7.10. Die Flächenparametrisierung f C 1 (Ω,R n ) heißt in einem Punkt x 0 Ω regulär, falls gilt Rang f (x 0 ) = m. Sie heißt regulär, falls richtig ist Rang f (x) = m für alle x Ω.

7.2 Flächen im R n 213 7.2.3 Tangentialvektoren Es sei f C 1 (Ω,R n ) eine reguläre Flächenparametrisierung. Die zugehörigen Ableitungsvektoren xk f (x) = ( xk f 1 (x),..., xk f n (x)) R n, k = 1,...,m, bezeichnen wir als ihre Tangentialvektoren. Die erste Regularitätsbedingung aus Definition 7.10 besagt, dass diese Tangentialvektoren in dem betreffenden Punkt x 0 Ω linear unabhängig sind und dort den folgenden, m-dimensionalen Tangentialraum aufspannen T f (x 0 ) := Lin{ 1 f (x 0 ),..., m f (x 0 )} R m. Beispiel 7.6. Betrachte erneut das durch f (x,y) = (x,y,x 2 + y 2 ) gegebene Rotationsparaboloid. Wir berechnen 1 f (x,y) = (1,0,2x), 2 f (x,y) = (0,1,2y) bzw. im Koordinatenursprung (x, y) = (0, 0) 1 f (0,0) = (1,0,0), 2 f (0,0) = (0,1,0). Die Tangentialebene stimmt also in diesem Punkt mit der [x,y]-ebene überein. 7.2.4 Darstellungen für Flächen Unter einer m-fläche verstehen wir eine m-dimensionale Punktmenge im Euklidischen Raum R n mit n > m. Welche analytischen Darstellungen für solche m-flächen werden wir zukünftig antreffen? Parametrische Darstellung Wir haben bereits die parametrische Darstellung kennengelernt f (x) = ( f 1 (x),..., f n (x)), x Ω R m. Beispiel 7.7. Die 2-Sphäre S 2 R := {(x,y,z) R3 : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 } R 3 vom Radius R > 0 lässt sich darstellen vermittels der Parametrisierung f (ϕ,ϑ) := (Rcosϕ sinϑ,rsinϕ sinϑ,rcosϑ). Die Koordinaten (ϕ,ϑ) [0,2π) [0,π) heißen sphärische oder Kugelkoordinaten.

214 7 Kurven und Flächen Implizite Darstellung Eine implizite Flächendarstellung ist von der Form g( f 1,..., f n ) = 0 mit einer hinreichend oft stetig differenzierbaren Funktion g: R n R. Beispiel 7.8. Ein Beispiel ist die folgende implizite Darstellung der Sphäre S 2 R R3 durch die Funktion (n = 1) g(x,y,z) := x 2 + y 2 + z 2 R 2 = 0. Funktionale Darstellung Eine m-dimensionale Fläche im R n kann eventuell auch durch n m Funktionen dargestellt werden: z 1 := h 1 (x 1,...,x m ),...,z n m := h n m (x 1,...,x m ). Beispiel 7.9. Hier soll uns die obere Halbsphäre vom Radius R > 0 dienen: z(x,y) = p R 2 x 2 y 2. Sie ist offenbar ein Spezialfall der impliziten Darstellung g(x,y,z) := z p R 2 x 2 y 2 = 0. Eine Aufgabe der Analysis besteht nun darin, notwendige und hinreichende Bedingungen aufzustellen, die es ermöglichen, diese verschiedenen Flächendarstellungen ineinander zu überführen. Wir werden hierauf zurückkommen.