Vorkurs Mathematik 2016

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Natürliche Zahlen Der grundlegende Zahlenbereich ist die Menge der natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3,...}. In vielen Fällen ist es sinnvoll die Zahl 0 mit einzubeziehen: N 0 = N [ {0} = {0, 1, 2,...}. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 1

Ganze Zahlen Die Menge der ganzen Zahlen ist Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Die natürlichen Zahlen sind eine echte Teilmenge der ganzen Zahlen. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 2

Rationale Zahlen Brüche aus ganzen und natürlichen Zahlen (ungleich Null) bilden die rationalen Zahlen n m o Q = n : m 2 Z, n 2 N. Rationale Zahlen lassen sich als endliche Dezimalzahlen oder unendliche periodische Dezimalzahlen darstellen. Beispiele: 1 2 = 0.5; 633 25 = 25.32; 1 = 0.3333... = 0.3; 3 14 44 = 0.3181818... = 0.318; 73 18 = 4.05. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 3

Was versteht man unter Erweitern und Kürzen von Brüchen? Wird der Wert eines Bruches dabei geändert oder beibehalten? Abb. 1: Addition von Brüchen Abb. 2: Hauptnenner bilden Wiederholen Sie an selbstgewählten Beispielen, wie man Brüche addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert. Formulieren Sie jeweils eine entsprechende Gesetzmäßigkeit mit Hilfe von Variablen. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 4

Irrationale Zahlen Irrationale Zahlen sind nicht periodische, unendliche Dezimalzahlen. p 2 ist eine irrationale Zahl. Beispiele: p 2 = 1.14142...; º = 3.14159...; e = 2.71828... Reelle Zahlen Die Menge der rationalen Zahlen Q und die Menge aller irrationalen Zahlen bilden die Menge der reellen Zahlen R. Bei allen bisherigen Beispielen handelt es sich also um reelle Zahlen. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 5

Zur Visualisierung reeller Zahlen benutzt man oft den Zahlenstrahl. Markieren Sie auf diesem die Zahlen 2, 0.5,0, 2 3, 3 2,p 2, p 3 und º. Ein Beweis der Irrationalität von p 2 findet sich bereits in Euklids Elementen aus dem 3. oder 4. Jh. v. Chr. bis zur 2. Hälfte des 19. Jh. das nach der Bibel weitverbreitetste Buch der Weltliteratur. Erarbeiten Sie sich Euklids Beweisidee anhand geeigneter Quellen. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 6

Einer der einfachsten Gleichungstypen ist die lineare Gleichung ax = b Dabei sind a,b 2 R gegeben und x 2 R gesucht. Im Fall a 6= 0 ist die eindeutige Lösung gegeben durch x = b a. Wie verhält es sich mit der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen im Fall a = 0? Finden Sie Argumente, weshalb die Division durch Null nicht sinnvoll definiert werden kann. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 7

Erste binomische Formel (a +b) 2 = a 2 +2ab +b 2 Statt eines Beweises verdeutlichen wir die Aussage geometrisch: TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 8

Zweite binomische Formel (a b) 2 = a 2 2ab +b 2 (a b) 2 +b 2 +2(ab b 2 ) = a 2 () (a b) 2 +2ab b 2 = a 2 () (a b) 2 = a 2 2ab +b 2 TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 9

Dritte binomische Formel (a +b)(a b) = a 2 b 2 Versuchen Sie sich nun an einem Beweis, d. h. multiplizieren Sie aus. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 10

Die quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax 2 +bx +c = 0, mit a, b, c 2 R, a 6= 0. Dividiert man beide Seiten durch a erhält man die Normalform x 2 +px +q = 0, wobei p = b a und q = c a zu setzen sind. Assoziiert mit diesen Gleichungen ist die quadratische Funktion f (x) = ax 2 +bx +c, a, b, c 2 R, a 6= 0, deren Nullstellen (Argumente x 0 mit f (x 0 ) = 0) genau die Lösungen der erstgenannten quadratischen Gleichung sind. Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 11

Satz 1 (p q Formel, Mitternachtsformel). Im Falle D := p2 4 q 0 hat die Gleichung die reellen Lösungen x 2 +px +q = 0 x 1/2 = p 2 ± s p 2 4 q. Für D < 0 gibt es hingegen keine reelle Lösung. Lösen Sie die quadratischen Gleichungen x 2 +4x 5 = 0 und x 2 2x +1 = 0. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 12

Gleichungen, die sich auf quadratische zurückführen lassen Hierbei ist vor allem an folgendes zu denken: Ausklammern von x bzw. einer Potenz x m, Substitutionen der Form t = x m (z. B. t = x 2 bei der biquadratischen Gleichung), Mischformen aus vorgenannten Methoden. Machen Sie sich die Vorgehensweisen folgender Beispiele klar: x 5 2x 4 2x 3 = 0, x 4 +4x 2 5 = 0, x 7 +4x 5 5x 3 = 0. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 13

Scheitelpunktdarstellung von Parabeln Durch simples Ausmultiplizieren bestätigt man: Satz 2. Eine Parabel y = ax 2 +bx +c (a 6= 0) kann äquivalent in der Scheitelpunktform y = a(x x S ) 2 +y S mit x S = b 2a und y S = c b2 4a dargestellt werden. Der Punkt (x S,y S ) heißt Scheitelpunkt der Parabel. Die Parabel ist für a > 0 nach oben und für a < 0 nach unten geöffnet. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 14

Beispiel 1 f (x) = (x 1) 2 4 = x 2 2x +1 4 = x 2 2x 3 TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 15

Beispiel 2 f (x) = (x 1) 2 +4 = x 2 +2x 1+4 = x 2 +2x +3 TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 16

Exkurs: Kegelschnitte Bei der Parabel handelt es sich um einen Kegelschnitt. Weitere Kegelschnitte sind die Ellipse (Spezialfall: Kreis) und die Hyperbel. Bild: Duk/OgreBot (Wikimedia Commons) TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 17

Auf der Ellipse ist die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Brennpunkten F 1 und F 2 gleich einer gegebenen Konstante. Bild: Ag2gaeh (Wikimedia Commons) Stimmen die Brennpunkte überein, ergibt sich der Kreis als Spezialfall. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 18

Auf der Hyperbel ist die Differenz der Abstände zu zwei gegebenen Brennpunkten gleich einer gegebenen Konstante. Bild: Ag2gaeh (Wikimedia Commons) Wo finden sich Kegelschnitte in Natur und Umwelt wieder? TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 19

Die Gleichung des Kreises mit Radius r und Mittelpunkt (x M,y M ) lautet (x x M ) 2 +(y y M ) 2 = r 2. Liegt der Mittelpunkt im Ursprung ((x M,y M ) = (0,0)), ergibt sich speziell x 2 +y 2 = r 2. Die Gleichungen von Ellipse und Hyperbel mit Mittelpunkt im Ursprung, Koordinatenachsen als Hauptachsen und Halbachsen a und b lauten x 2 a 2 + y2 x2 = 1 und b2 a 2 y2 b 2 = 1. Wählt man als Mittelpunkt (x M,y M ), so sind x und y wieder durch x x M bzw. y y M zu ersetzen. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 20

Grad n p(x) =a n x n + a n 1 x n 1 +...+ a 1 x + a 0 führender Koeffizient Absolutglied a n, a n 1,..., a 1, a 0... Koeffizienten a n = 1... normiertes Polynom Motivierende Frage: Kann z. B. man die Nullstellen von p(x) = x 3 5x 2 +5x 1 analytisch bestimmen? TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 21

Exkurs: Der Satz von Vieta Sind x 1,x 2 die Lösungen der quadratischen Gleichung x 2 +px +q = 0, d. h. die Nullstellen des Polynoms p(x) = x 2 +px +q, so lässt sich das Polynom auch in der Form p(x) = (x x 1 )(x x 2 ) schreiben. Durch Ausmultiplizieren und Vergleichen ergibt sich Satz 3 (von Vieta). Für die Lösungen x 1 und x 2 der quadratischen Gleichung x 2 +px +q = 0 gilt p = (x 1 +x 2 ) und q = x 1 x 2. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 22

Satz 4 (Polynomdivision). Sind f (x) und g(x) Polynome mit g(x) 6= 0, dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome q(x) und r(x) mit f (x) = g(x)q(x) +r(x) bzw. f (x) g(x) = q(x) + r(x) g(x). Entweder ist r(x) = 0, d.h. f (x) ist durch g(x) (ohne Rest) teilbar, oder der Grad von r(x) ist kleiner als der Grad von g(x). Satz 5 (Abspaltung von Linearfaktoren). x x 0 ist Linearfaktor des Polynoms p(x) genau dann, wenn x 0 Nullstelle des Polynoms ist. p(x) ist also in diesem Fall ohne Rest durch x x 0 teilbar. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 23

Vorkurs Mathematik Doch wie gelangt man an Nullstellen von Polynomen höherer Ordnung? Mitunter hat man bei ganzzahligen Koeffizienten Glück: Satz 1. Besitzt das normierte Polynom p(x) ganzzahlige Koeffizienten, so ist jede ganzzahlige Nullstelle Teiler des Absolutglieds. Beispiel: Das Absolutglied des Polynoms p(x) = x 3 12x 2 +47x 60 ist 60. Als ganzzahlige Nullstellen kommen somit ±1,±2,±3,±4,±5, ±6,±10,±12,±15,±20,±30 und ±60 in Frage. Durch systematisches Probieren erhalten wir x 1 = 3 als Nullstelle, denn 3 3 12 3 2 +47 3 60 = 27 108 +141 60 = 0. Wir wissen jetzt also, dass p(x) ohne Rest durch x 3 teilbar ist. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 2

Die quadratische Gleichung x 2 9x +20 = 0 besitzt die Lösungen s x 2/3 = 9 2 ± ( 9) 2 4 20 = 9 2 ± s 81 4 80 4 = 9 2 ± 1 2, d. h. die restlichen beiden Nullstellen sind x 2 = 4 und x 2 = 5. Das Polynom p(x) lässt sich faktorisieren gemäß p(x) = (x 3)(x 4)(x 5). Ermitteln Sie auf diese Weise die Lösungen der kubischen Gleichung x 3 5x 2 +5x 1 = 0. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 25

WO STECKT DER FEHLER? s µ 2 +2 = 4 9 2 + 9 2 = 4 9 2 s = 16 2 4 9 2 + s s µ 9 2 = 20 + + 9 2 2 = = s 5 2 2 5 9 2 + = 5 9 2 + 9 2 = 5 2 + 9 2 µ 9 2 + 9 2 µ 9 2 2 + 9 2 = s 2 = 16 36 + µ 9 2 25 45 + + 9 2 2 s µ 5 9 2 + 9 2 2 µ 9 2 + 9 2 2 Folglich ist 4 = 5. TU Bergakademie Freiberg Fakultät 1 S. Bernstein, M. Helm, S. Dempe et al Vorkurs Mathematik 2016 26