Quantenphänomene und Strahlungsgesetze

Quantenphänomene und Strahlungsgesetze Ludwig Prade, Armin Regler, Pascal Wittlich 17.03.2011 Inhaltsverzeichnis 1 Quantenphänomene 2 1.1 Ursprünge....................................... 2 1.2 Photoeffekt...................................... 2 1.3 Comptoneffekt..................................... 4 1.4 Paarerzeugung..................................... 5 1.5 Röntgenstrahlung und Bragg-Reflexion....................... 6 2 Strahlungsgesetze 7 2.1 Schwarzer Strahler und Hohlraumstrahlung..................... 7 2.2 Wiensches Verschiebungsgesetz........................... 8 2.3 Energiedichte und Strahlungsintensität....................... 8 2.4 Plancksches Strahlungsgesetz............................ 8 2.5 Rayleigh-Jeans-Gesetz................................ 8 2.6 Wiensches Strahlungsgesetz............................. 9 2.7 Stefan-Bolzmann-Gesetz............................... 9 2.8 Anmerkung zur Wellenlängendarstellung...................... 9 1

1 Quantenphänomene 1.1 Ursprünge Zu Anfang des 20. Jahrhunderts stelle man vermehrt fest das die klassische Auslegung von Licht als Welle und Elektronen oder anderen Teilchen als rein festen Teilchen mit einem festen Ort nicht immer korrekt sind. Man bemerkte Wellencharakter von Teilchen: Beugung, wie sie für Wellen (Licht, Schall) bekannt ist, funktioniert auch mit Teilchen wie Elektronen oder Neutronen p = h k (de Brogile Beziehung) mit k = 2π λ Zuordnung einer Wellenlänge für einen beliebigen Impuls möglich λ = h p = h m v = h 2m Ekin Teilchencharakter von Wellen: Beim Photoeffekt tritt Licht mit einer gequantelten Energie auf und beim Comptoneffekt kann es in Form eines elastischen Stoßes mit Elektronen wechselwirken Energie eines Photons: E γ = hν = hω = hc λ Impuls eines Photons: p γ = Eγ c Masse eines Photons: m γ = hν Gravitationsrotverschiebung: ν ν c 2, Ruhemasse m 0 = 0! = g H c 2 Unschärferelation: Ort und Impuls können gleichzeitig nicht scharf bestimmt werden x p h Ebensowenig können Lebensdauer τ = t und Energie eines Übergangs nicht gleichzeitig scharf bestimmt werden E t h Achtung, falls eine Halbwertszeit angegeben ist, beachte T 1/2 = ln(2)τ. Aufgrund der speziellen Relativitätstheorie gilt außerdem: E = mc 2 = m 0 1 γ c2,mit γ = v 2 c 1.2 Photoeffekt Eine Metallkathode mit niedriger Austrittsarbeit wird mit monochromatischem Licht bestrahlt (Abb. 1 ). Durch die auftreffenden Photonen werden Elektronen freigeschlagen, die zur Anode wandern und so einen sogenannten Photostrom erzeugen. Allerdings tritt der Strom nur auf, falls eine materialspeziefische Wellenlänge unterschritten wird, unabhängig von der Strahlungsintensität.Dies war bei Entdeckung der erste Nachweis dafür, dass Photonen eine diskrete Energie besitzen. Für die 1905 verfasste genaue Erklärung erhielt Einstein den Nobelpreis. 2

Abbildung 1: Versuchsaufbau Photoeffekt Folgende Eigenschaften lassen sich aus dem Versuchsverlauf gewinnen (siehe Abb. 2 ) bereits bei negativer Spannung ist ein Photostrom messbar U min hängt nicht von der Lichtintensität, sondern lediglich von der Wellenlänge ab (was ein Widerspruch zur klassischen Vorstellung ist!) für konstantes λ ist die Sättigungsstromstärke proportional zur Lichtintensität (also ist die Intensität Anzahl der Photonen pro Zeit und Fläche) mit Hilfe einer Gegenspannung kann die Stromstärke verringert oder ganz unterdrückt werden es entstehen Elektronen mit kinetischer Energie E kin = m 2 v2 = e U min Abbildung 2: Verwendung unterschiedlicher Wellenlängen oder Strahlungsintensitäten 3

Führt man nun den Versuch für verschiedene Materialien und verschiedene Wellenlängen durch, so erhält man immer Geraden der gleichen Steigung, allerdings unterschiedlichem Y- Achsenabschnitt. Abbildung 3: Berechnung von h Die Lösung dieser Geraden bildet die Einstein Gleichung: E kin = hν W A (1) wobei W A, Austrittsarbeit des verwendeten Metalls und h das Plancksche Wirkungsquantum sind. Man sieht also das sich das Plancksche Wirkungsquantum aus der Steigung dieser Kurvern berechnen lässt h = E ν 1.3 Comptoneffekt Abbildung 4: Impulsvektoren beim Comptoneffekt Hierbei handelt es sich um Streuung von hochenergetischen Photonen an freien, ruhenden Elektronen. Gebundene Elektronen können dann als frei betrachtet werden, falls die Photonenenergie groß genug ist, also hν 100 kev. 4

Für die Energie beider beteiligten Teilchen gilt: (relativistische Energie-Impuls-Beziehung) Aufgrund der Energieerhaltung muss nun also gelten: E 2 = p 2 c 2 + m 0 2 c 4 (2) p γ c + m e c 2 = p γ c + Mit Hilfe der Impulserhaltung finden wir Mit Hilfe des Kosinussatzes folgt p e 2 c 2 + m 2 ec 4 (3) p e = p γ p γ (4) p 2 e = ( p γ p γ ) 2 = p 2 γ + p 2 γ 2p γ p γ cos(θ) (5) Nun setzen wir dies in (3) ein und lösen auf. Dann erhalten wir E γ = E γ m e c 2 m e c 2 + E γ (1 cos θ) (6) Für die Änderung der Wellenlänge erhält man mit Hilfe der debroglie Beziehung wobei λ c (= λ = λ λ = λ c (1 cos θ) (7) h m ec ) die Compton-Wellenlänge bezeichnet. 1.4 Paarerzeugung Befindet sich ein hochenergetisches Photon in der Nähe eines Atomkerns, so kann es spontan in ein Elektron-Positron-Paar zerfallen. Hierzu muss die Energie des Photons mindestens so groß sein, wie die Ruhemassenenergie der beiden Teilchen. Es gilt also: E γ 2m e c 2 1MeV (8) Würde diese Umwandlung nicht in der Gegenwart eines Atomkerns geschehen, so wäre nun die Impulsbilanz verletzt, da im Schwerpunktsystem der beiden neu enstandenen Teilchen der Gesamtimpuls verschwindet, das Photon allerdings in diesem System einen nicht-verschwindenden Impuls hatte. Ist nun also ein Atomkern in der Nähe, so wird ein gewisser Teil der Energie in einem Stoß abgegeben. Vollständiger lautet nun also die minimal benötigte Energie: E γ 2m e c 2 (1 + m e ) (M= Masse des Atomkerns) (9) M Ist die Photonenenergie nun größer als dieser Schwellenwert, so besitzen die beiden Teilchen nach ihrer Entstehung eine gewiße kinetische Energie. 5

1.5 Röntgenstrahlung und Bragg-Reflexion Um Röntgenstrahlung zu erzeugen ist es notwendig hochenergetische Elektronen (ab einigen kev Beschleunigungsspannung) auf eine Metallanode zu schießen. Wird das Elektron nun einfach abgebremst und emittiert dadurch ein Photon, so entsteht sogenannte Bremsstrahlung, die ein kontinuierliches Spektrum aufweist. Das Maximum ist durch die Beschleunigungsspannung der Röntgenröhre gegeben. Es können allerdings auch Elektronen des jeweiligen Materials freigeschlagen werden.das dadurch entstandene Loch wird durch weiter außen gelegenen Elektronen aufgefüllt, wodurch auch ein Photon emittiert wird. Man spricht hier von charakteristischer Strahlung. Eine mögliche Anwendung ist die Kristallanalyse mit Hilfe von Bragg-Relexion. Hier wird monochromatische Röntgenstrahlung auf einen Kristall geschossen(abb. 5) und die reflektierte Strahlung nach Winkeln genau vermessen. Abbildung 5: Strahlverlauf bei Braggreflexion Für 2 parallele, unter einem Winkel θ eintreffende Strahlen ergeben sich verschiedene Reflexionspunkte im Kristallgitter (Ebenenabstand d). Dies sorgt für einen Wegunterschied δ, wobei wir durch hinsehen finden δ = 2 d sin(θ) (10) Bei bestimmten Winkeln (Glanzwinkeln) enspricht der Wegunterschied einem vielfachen der eingestrahlten Wellenlänge, so inteferieren beide Strahlen konstruktiv miteinander. Um Maxima in der Intensitätsverteilung zu erhalten muss also gelten: 2 d sin(θ) = n λ (11) 6

Ferienkurs ExPhys3 2 Strahlungsgesetze 17.03.2011 2 Strahlungsgesetze 2.1 Schwarzer Strahler und Hohlraumstrahlung Ein beliebiger Körper absorbiert, materialabhängig, gewisse Wellenlängen und reflektiert den Rest. Allgemein muss gelten: α(ν, T ) + ρ(ν, T ) = 1 (12) wobei hier α der Absorbtionskoeffizient, und ρ der Reflektionskoeffizient sind. Auerdem strahlt ein beliebiger Körper gegebener Temperatur aus sich selbst heraus. ɛ = Emissionsgrad) ɛ(ν, T ) = α(ν, T ) (Gesetz von Kirchhoff) (13) Einen schwarzen Strahler zeichnet die Tatsache aus, das er jegliche Strahlung absorbiert, also α = 1. Daraus folgt, dass ρ = 0 und ɛ = 1 T. Über das das abgestrahlte Spektrum kann man wichtige Aussagen treffen: das Spektrum ist kontinuierlich es hängt nur von der Temperatur ab, die den Schwerpunkt der Intensitätsverteilung vorgibt Experimentell annähernd realisieren lässt sich das durch Hohlraumstahlung. Für einen farbigen (also realen) Körper muss die Strahlungsintensität folgendermaßen angepasst werden: I(ν, T ) = ɛ(ν, T )I schwarz (ν, T ) (14) Abbildung 6: Plancksches Strahlungsspektrum bei verschiedenen Temperaturen 7

Ferienkurs ExPhys3 2 Strahlungsgesetze 17.03.2011 2.2 Wiensches Verschiebungsgesetz Wie man in Abbildung 6 sieht, ergibt sich aus der Temperatur eines Strahlers eine unterschiedliche Intensitätsverteilung der einzelnen Wellenlängen (bzw. Frequenzen). Für das Maximum der Verteilung gilt: λ max = 0.2898cm K (15) T Die Farbtemperatur ist im Bezug auf diese Wellenlänge definiert. 2.3 Energiedichte und Strahlungsintensität Energiedichte u(t ) spektrale Energiedichte u ν (ν, T ) oder u λ (λ, T ) Energiedichte in gewissem Frequenzbereich (analog für Wellenlängenbereich) u(t ) = ν2 ν 1 u ν (ν, T )dν (16) Strahlungsintensität I(T ) = 1 cu(t ) (17) 4 2.4 Plancksches Strahlungsgesetz u ν (ν, T ) = 8πh ν 3 (18) c 3 e hν/k BT 1 Diese Formel gibt das natürliche Strahlungsspektrum von zum Beispiel Sternen sehr genau wieder. Unter Abb. 6 kann man eine Intensitätsverteilung bezogen auf die Wellenlänge für verschiedene Temperaturen sehen. 2.5 Rayleigh-Jeans-Gesetz u ν (ν, T ) = 4ν3 c 3 k BT (19) kann für kleine Frequenzen direkt aus (18) abgeleitet werden, da für kleine Exponenten gilt e hν/k BT 1 + (hν/k B T ) Diese Darstellung entspricht der klassischen Lösung, die vor der quantenmechanischen Interpretation von Planck postuliert wurde. Bis zu Wellenlängen im Infrarotbereich sind die Lösungen sehr genau. 8

Ferienkurs ExPhys3 2 Strahlungsgesetze 17.03.2011 2.6 Wiensches Strahlungsgesetz u ν (ν, T ) = 8π2 ν 3 e hν/k BT Diese Näherung gilt sehr gut für große Frequenzen, da dort gilt c 3 (20) 2.7 Stefan-Bolzmann-Gesetz e hν/k BT 1 e hν/k BT Um die gesamte Strahlungsleistung berechnen zu können ist es notwendig das Integral über die spektrale Energiedichte im gesamten Frequnzbereich auszurechnen. Hierzu verwenden wir folgende Substitution Außerdem nutzen wir folgende Identität x = hν k B T dx = h dν (21) k B T 0 x 3 π4 dx = e x 1 15 (22) nun erhalten wir mit Hilfe von (17) folgendes Ergebnis: I(T ) = 2π k 4 T 4 c 2 h 3 0 x 3 2π5 dx = e x 1 15 k 4 c 2 h 3 T 4 = σ T 4 (23) mit σ (= 5, 67 10 8 W ) der Stefan-Bolzmann-Konstante sowie A der abgestrahlten Fläche m 2 K 4 folgt P = σ A T 4 (24) 2.8 Anmerkung zur Wellenlängendarstellung machnmal wird die Darstellung der spektralen Energiedichte in Anhängigkeit von der Wellenlänge benutzt. Die Umrechnung von einer in die andere Darstellung ist allerdings nicht trivial. Man muss die Nichtlinearität aufgrund der Nachdifferenziation beachten. Es gilt u λ (λ, T ) = u ν ( c λ, T ) dν dλ = 8πhc 1 λ 5 λk B T 1 Will man analog dazu das Maxima der Intensitätsverteilung im Bezug auf die Frequenzen ausrechnen, so findet man folgendes Ergebnis e hc (25) ν max = 5, 88 10 10 T Hz (26) K 9