Mengenlehre ALGEBRA Kapitel 1 MNProfil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 21. August 2016
Inhaltsverzeichnis 1 Mengenlehre 1 1.1 Die Menge im mathematischen Sinne................ 1 1.2 Darstellungsformen.......................... 4 1.3 Teilmengen.............................. 8 1.4 Rechnen mit Mengen......................... 9 1.5 Mengen im Koordinatensystem................... 15 1.6 Rechnen in Mengen.......................... 22 I
1 Mengenlehre Eine zentraler Begriff in der Mathematik ist die Menge. Aufgrund ihrer grossen Bedeutung werden wir unseren ALGEBRA-Lehrgang mit der Repetition der Mengenlehre beginnen. Repetition deshalb, weil die Menge sowohl im Lehrplan des Untergymnasiums als auch im Lehrplan der 1. - 2. Sekundarschule vorkommt. Wir werden die notwendigen Grundlagen kurz und schnell wiederholen. Da eure Vorkenntnisse je nach vorheriger Schule eine unterschiedliche Tiefe haben wird, ist es von entscheidender Bedeutung, dass wenn etwas zu kurz oder zu schnell geht, ihr euch meldet und nachfragt. Beachtet bitte: Wenn keine Fragen kommen, gehe ich davon aus, dass ihr den Stoffinhalt verstanden habt und ich im Thema weitergehen kann und werde. Wir beginnen mit der Definition der Menge im mathematischen Sinn und werden uns dann intensiv mit den Darstellungsformen befassen. Das anschliessende Kapitel über das Rechnen mit Mengen wird uns die Möglichkeit bieten, die Darstellungsformen zur Anwednung zu bringen und uns insbesondere mit der mathematischen Schreibweise weiter vertraut zu machen. Ausführlich werden wir uns mit den Mengen im Koordinatensystem befassen und abschliessend besprechen wir noch das Rechnen in Mengen, was uns zu zentralen Begriffen der Algebra führen wird. 1.1 Die Menge im mathematischen Sinne Wir beginnen mit einem Überblick über (bekannte) mathematische Mengen: 1. N :=... =... 2. N g :=... =... 3. N u :=... =... 1
4. V n :=... Bsp.: V 4 =... V 12 =... 5. T n :=... Bsp.: T 4 =... T 12 =... 6. Z :=... =... 7. Z n :=... Bsp.: Z 4 =... Z >22 =... 8. Q :=... =... 9. Q + :=... 10. R :=... 11. R 5 =... Doch was unterscheidet die obigen Mengen von der Menge aller netten Menschen, einer Menge Zucker? 2
Wir wollen nun den Begriff einer mathematischen Menge definieren: Def.: Eine (mathematische) Menge ist... Einige Bemerkungen : eindeutig bestimmt bedeutet... Die Objekte einer Menge heissen... wohlunterscheidbar bedeutet... Schreibweisen: Beispiel 1.1 die Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen die Menge aller netter Menschen die Menge allen Wassers in einer Kanne Die Menge aller Schüler einer Klasse Algebra-Aufgaben: Mengenlehre 1 (Zugehörige Lösungen) 3
1.2 Darstellungsformen Um eine (mathematische) Menge darzustellen verwenden wir drei verschiedene Formen, die aufzählende Form, die (mathematisch) beschreibende Form, Mengendiagramme. Beispiel 1.2 An den folgenden Beispielen werden wir diese Darstellungsformen besprechen: 1. Die Menge aller Teiler von 12 = { } = {x x ist ein T eiler von 12}... und als Mengendiagramm: 2. Die Menge aller Vielfachen von 7 = { } =... und als Mengendiagramm: 4
Mit den folgenden Beispielen wollen wir die mathematisch beschreibende Form der Darstellung etwas üben: Beispiel 1.3 Stelle die folgenden Mengen in aufzählender Form dar: 1. {x x ist ein Teiler von 33} =... 2. {x x ist ein Vielfaches von 21} =... 3. {c c ist ein Vielfaches von 21} =... 4. {x x < 4} =... 5. {x N x < 4} =... 6. {r Z r < 4} =... 7. {x N 5.3 < x 3.5} =... 8. {w Z 5.3 < w 3.5} =... 9. {x V 6 x T 54 } =... 10. {q N x q < 25} =... 11. {q N x q < 25 und x T 4 } =... 12. {t N x t 25 und x T 4 } =... 13. {x N x t 25 und t T 4 } =... 14. {t T 12 x t 250 und x N 8 } =... 15. {s N 2 s 1 15} =... 16. {q Z q 3 < 64} =... 17. {q Z q 3 < 64} =... 18. {a N a = 5g und g T 20 } =... 19. {y N y = 2t und t V 3 } =... 20. {h Z h = 3x 21 und x N 12 } =... 21. {h N h = 3x 21 und x N 12 } =... 22. {b N b = r 2 und r N 0 } =... 23. {f N 20 > 5f} =... 24. {j Z 20 > 5j} =... 25. {f Z 20 < j} =... 5
Beispiel 1.4 Stelle die folgenden Mengen in der mathematisch beschreibenden Form dar: 1. {1, 2, 3, 4, 5,...} =... 2. {1, 3, 5, 7, 9,...} =... 3. {17, 18, 19, 20, 21} =... 4. {..., 17, 18, 19,...} =... 5. {4, 8, 12, 16,...} =... 6. {64, 68, 72, 76, 80,...} =... 7. {333, 336, 339, 342,... 660, 663, 666} =... 8. {1, 2, 3, 6} =... 9. {117, 130, 143,...} =... 10. { 4, 3, 2,... 4, 5} =... 11. {3, 17, 31, 45, 59,...} =... 12. {10, 17, 24, 31,...} =... 13. {4, 15, 26, 37,... 114} =... 14. {..., 88, 68, 48, 28} =... 15. {10, 9.5, 9, 8.5,... 0} =... 16. {1, 1.2, 1.44, 1.728,...} =... 17. {2, 3, 4.5, 6.75, 10.125,...} =... 18. {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...} =... 19. {1, 4, 9, 16, 25,...} =... 20. {10, 40, 90,... 810, 1000} =... 21. { 1 1, 1 2, 1 3, 1 4,...} =... 22. { 1 1, 1 4, 1 9, 1 16,...} =... 23. { 1 2, 2 3, 3 4, 4 5,...} =... 24. { 5 13, 5 14, 5 15, 5 16,...} =... 25. {0.1, 0.01, 0.001, 0.0001,...} =... 6
Aufgaben : Formuliere drei eigene Beispiele im Stil von Bsp. 1.3 Formuliere drei eigene Beispiele im Stil von Bsp. 1.4 Algebra-Aufgaben: Mengenlehre 2 (Zugehörige Lösungen) Algebra-Aufgaben: Mengenlehre 2b (Zugehörige Lösungen) 7
1.3 Teilmengen Def.: Eine Menge A heisst eine Teilmenge der Menge B, genau dann wenn jedes Element von A auch ein Element von B ist. Einige Bemerkungen: Schreibweise: Beispiel 1.5 N N 0 Z Q V 2... V 4 T 6... T 12 Aufgaben : Sei A := {a, b, c}. Bestimme alle Teilmengen von A. Abschliessend noch zwei Bemerkungen: Algebra-Aufgaben: Mengenlehre 3 (Zugehörige Lösungen) 8
1.4 Rechnen mit Mengen Ähnlich zu den bekannten Rechenoperationen...,...,... und..., welche uns das Rechnen mit Zahlen ermöglichen, existieren Mengenverknüpfungen, welche uns das Rechnen mit Mengen ermöglichen: Wir betrachten die folgenden Mengen A = {1, 2, 4, 8, 9} und B = {1, 2, 3, 4, 6, 12} und wollen mit Hilfe der Darstellung durch ein Mengendiagramm die Mengenverknüpfungen besprechen: Wir stellen fest, dass es Elemente gibt, welche zu A, aber nicht zu B gehören:... diese bilden die sogenannte....... Schreibweise:...... Sprechweise:....... welche zu B, aber nicht zu A gehören:... diese bilden die sogenannte....... Schreibweise:...... Sprechweise:....... welche zu A und zu B gehören:... diese bilden die sogenannte....... Schreibweise:...... Sprechweise:....... welche zu A oder zu B gehören:... diese bilden die sogenannte....... Schreibweise:...... Sprechweise:....... 9
Wir wollen die Mengenverknüpfungen am Beispiel zweier beliebiger Mengen in einem Mengendiagramm betrachten und einige Bemerkungen und zwei neue Begriffe festhalten: Beispiel 1.6 Die Diagrammdarstellung hilft uns auch Fragen von folgendem Typ zu beantworten: Sei A B 1. A B = 2. A \ B = Sei A = B 3. A B = 4. A \ B = Seien A und B disjunkt 5. A B = 6. A \ B = 7. B \ A = Algebra-Aufgaben: Mengenlehre 4 (Zugehörige Lösungen) 10
Mit Hilfe der mathematisch beschreibenden Form der Darstellung von Mengen lassen sich Differenz-, Schnitt-, Vereinigung- und Komplementärmenge sehr kurz und elegant definieren: Def.: Seien A und B zwei nicht-leere Mengen und G eine Grundmenge. A \ B := B \ A := A B := A B := A c := Mit den folgenden beiden Mengendiagrammen (ohne Grundmenge) wollen wir noch auf zwei Regeln aufmerksam machen, welche beim Verknüpfen von mehreren Mengen zu beachten sind: Stelle die folgende Veknüpfung im nebenstehenden Diagramm dar: A \ B C Stelle die schraffierte Fläche im nebenstehenden Diagramm durch Mengenverknüpfungen dar: zu beachten gilt: Algebra-Aufgaben: Mengenlehre 5 (Zugehörige Lösungen) 11
Aufgaben : In einem Wohnblock mit 20 Familien finden wir die folgende Verteilung von CD-Player, Radios und Fernsehgeräten vor: Zwölf Familien besitzen ein Radio. Ein Fernseher steht bei elf Familien im Wohnzimmer. Eine Familie besitzt einen CD-Player, aber kein weiteres Unterhaltungsgerät. Vier Familien besitzen alle drei Geräte. Zwei Familien besitzen Radio und Fernseher, aber keinen CD-Player. Sieben Familien haben einen Radio und einen CD-Player. Fünf Familien besitzen mindestens einen Fernseher und einen CD-Player. Wir definieren weiter: C := Menge aller Familien, mit einem CD-Player. R := Menge aller Familien, mit einem Radio. F := Menge aller Familien, mit einem Fernseher. Stelle die obigen Bedingungen mit Hilfe von Mengen/ Mengenverknüpfungen dar und bestimme die zugehörige Mächtigkeit. 12
Stelle die vorherige Situation in einem Mengendiagramm dar und die folgenden Fragen in einer Mengenverknüpfung und beantworte sie: 1. Wie viele Familien besitzen keinen Radio? 2. Wie viele Familien besitzen keinen Fernseher? 3. Wie viele Familien besitzen keinen CD-Player? 4. Wie viele Familien besitzen keines dieser drei Geräte? 13
Aufgaben : Gegeben sind die Mengen A und B und die Grundmenge G, mit A, B G. Welche Beziehungen bestehen zwischen den Mengen A, B und G falls gilt: 1. A B = A 2. A B = { } 3. A \ B = B \ A 4. A \ B = G 5. A \ B = A 6. A \ B = A c (Überlege dir, ob z.b. A = B gilt, oder B A, oder A und B disjunkt sind,.... ) Algebra-Aufgaben: Mengenlehre 6 (Zugehörige Lösungen) 14
1.5 Mengen im Koordinatensystem In diesem Abschnitt wollen wir das Koordinatensystem mengentheoretisch betrachten und beginnen mit einer kurzen Wiederholung der wichtigsten Begriffe im Zusammenhang mit einem KS. Um ein (ebenes) Koordinatensystem eindeutig festlegen zu können benötigen wir Bem.: Ein Koordinatensystem heisst kartesisch :... Ein Beispiel für ein nicht-kartesisches Koordinatensystem: 15
Mit der Hilfe eines Koordinatensystems können wir Punkte eindeutig festlegen: Beispiel 1.7 Zeichne die folgenden Punkte im nebenstehenden KS ein: 1. A = (1/2) 2. B = (2.5/0.5) 3. C = (0/ 2) 4. D = ( 2/1.5) 5. E = ( 2/0) 6. F = ( 1/ 1) Beispiel 1.8 Bestimme umgekehrt die Zahlenpaare, welche die im nebenstehenden KS eingezeichneten Punkte eindeutig festlegen: 1. A = 2. B = 3. C = 4. D = 5. E = 6. F = 10 5 16
Mengentheoretisch betrachtet ist ein (2-dimensionales) Koordinatensystem eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer, eindeutig bestimmter Punkte der Ebene zu einem Ganzen (also eine.......................................... ) und dieses Ganze lässt sich mathematisch elegant wie folgt beschreiben: Sprechweise:... E := {(x/y) x, y R} Vereinbarung:... Diese Darstellung ermöglicht uns auch geometrische Objekte wie Geraden, Strecken, Flächen... mengentheoretisch zu beschreiben und zwar als eine Menge von Punkten (x/y) deren Koordinaten gewisse Eigenschaften erfüllen, d.h. als {(x/y) Eigenschaften für x und y} Beispiel 1.9 Stelle die im folgenden KS eingezeichneten Geraden und Strecken mengentheoretisch dar: 17
Beispiel 1.10 Stelle nun umgekehrt die folgenden Mengen im untenstehenden KS graphisch dar: 1. A = {(x/y) x = 5 y = 2} 2. B = {(x/y) x = 3 y = 0} 3. C = {(x/y) x = 2 y N} 4. D = {(x/y) x = 2 y R} 5. E = {(x/y) y = 4 x R} 6. F = {(x/y) y = 0 x Z } 18
Aufgaben : Die folgenden Mengen sind gegeben: A = {(x/y) x = 1.5} B = {(x/y) y = 2} Schraffiere die folgenden Mengen im untenstehenden KS: 1. C = A B 2. D = A B 3. E = A \ B 4. F = {(x/y) x 1} 5. G = {(x/y) y > 3.4} Vereinbarung: 19
Aufgaben : Schraffiere die folgenden Mengen im untenstehenden KS: 1. H = {(x/y) x > 3} 2. I = {(x/y) y 1} 3. J = {(x/y) y > 2} 4. K = {(x/y) x > 4 y = 4} 5. L = {(x/y) x = 4 y > 2.5} 20
Aufgaben : Stelle die im untenstehenden KS schraffierten Flächen durch eine Menge dar: Algebra-Aufgaben: Mengenlehre 7 (Zugehörige Lösungen) 21
1.6 Rechnen in Mengen In diesem Abschnitt wollen wir das Rechnen mit den Elementen einer Menge betrachten. Wir wollen in den ersten Beispielen die Elemente einer Menge so miteinander verknüpfen, dass das Resultat wieder ein Element der ursprünglichen Menge ist. Beispiel 1.11 Menge Verknüpfung Menge Verknüpfung Menge Verknüpfung Wir wollen Verknüpfungen dahingehend unterscheiden, ob die Verknüpfung ein Resultat in oder ausserhalb der ursprünglichen Menge liefert. Dies führt uns auf die folgende Definition: Def.: Eine nicht-leere Menge A heisst abgeschlossen bezüglich einer Verknüpfung : a, b A : a b A Bem.: Die Bedeutung der Abgeschlossenheit besteht darin, dass wir ohne das Resultat einer Verknüpfung explizit zu kennen, dessen Eigenschaften kennen. Beispiel 1.12 V 2 ist abgeschlossen bzgl. der Multiplikation N ist nicht abgeschlossen bzgl. der Subtraktion. Beweis: 22
Wir wollen jedoch eine Zahlenmenge haben, die bzgl. der Subtraktion abgeschlossen ist. Dafür müssen wir die Menge N erweitern, was uns auf die Menge........................... führt: Es gilt: Z ist abgeschlossen bzgl. der Subtraktion. Aber:... Wir wollen eine Zahlenmenge haben, die auch bzgl. der Division abgeschlossen ist. Dies führt uns auf die Menge............................ Es gilt: Q ist abgeschlossen bzgl. der Division. Aber: Obwohl Q eine Menge mit (abzählbar) unendlich vielen Zahlen ist, kennen wir jetzt schon Zahlen, die nicht zur Menge Q gehören: Beispiele: 2, π, 0, 1011011101111...,... Aufgaben : Beweise: 2 / Q 23
Wenn wir mit den rationalen Zahlen auch die Wurzeln und die nicht-periodischen Dezimalbrüche in einer Zahlenmenge zusammenfassen wollen, welche bezüglich all unseren bekannten Verknüpfungen abgeschlossen ist, müssen wir die Menge Q vervollständigen. Dies führt uns auf die Menge............................ Es gilt: R ist abgeschlossen bzgl. der Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und dem Potenzieren (mit natürlichen Exponenten). Wichtig sind u.a. noch die folgenden Eigenschaften von R: R ist total geordnet R ist ordnungsvollständig 24
In den Definitionen für die folgenden Begriffe ist jeweils A eine nicht-leere Menge, a, b und c A und und sind (innere) Verknüpfungen. Def.: heisst kommutativ :... Bsp.: heisst assoziativ :... Bsp.:, erfüllen das Distributivgesetz : Bsp.: Def.: e A heisst ein Neutralelement bzgl. : a e = a, a A Beispiel :... Def.: a 1 heisst ein Inverses zu a (bzgl ) : a a 1 = e mit e = zugehöriges Neutralelement. Beispiel :... Def.: (A, ) heisst eine Gruppe : 1. ist assoziativ 2. A ist abgeschlossen bzgl. 3. ein Neutralelement e bzgl., mit e A 4. a A ein Inverses a 1 bzgl., mit a 1 A 25
Beispiel 1.13 (Z, +) denn...... Aufgabe : Wir betrachten die folgende Behauptung: (R, ) ist eine kommutative Gruppe. 1. Überlege dir, was zu zeigen ist, um diese Behauptung zu beweisen. 2. Ist die Behauptung wahr? 26
Aufgaben : Wir betrachten die folgende Menge: (N, ), mit := 2x 10y Berechne 1. 5 2 2. 2 2 3. 4 4 4. 1 (2 3) und untersuche die Verknüpfung auf Kommutativität & Assoziativität, die Menge N auf Abgeschlossenheit bzgl.. Algebra-Aufgaben: Mengenlehre 8 (Zugehörige Lösungen) 27