Ohne Einstein kein GPS

Ohne Einstein kein GPS Peter Hertel Fachbereich Physik 03.11.2005

Übersicht Was ist das GPS? Wie funktioniert GPS? Technische Probleme Grundlegende Probleme Ausblick 1

Was ist das GPS? Global positioning system Ein satellitengestütztes System zur weltweiten Ortsbestimmung From US-Verteidigungsministerium eingerichtet, teilweise für die zivile Nutzung freigegeben Inzwischen Alltagspraxis: Navigation für Flugzeuge, Schiffe und Autos, Autobahnmaut, Vermessungswesen, Erdbebenwarnung... 2

Das Prinzip Für einen Kilometer braucht der Schall 3 Sekunden 4

Ein Satellit r 1 = c( t 1 t 1 ) t 1 Das Signal wird zur Zeit t 1 gesendet und zur Zeit t 1 empfangen. Es breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit c aus. 5

Zwei Satelliten r 1 = c( t 1 t 1 ) t 1 t 2 r 2 = c( t 2 t 2 ) Der Empfänger muss beide Bedingungen erfüllen 6

Drei Satelliten Im dreidimensionalen Raum Jeder Satellit ergibt eine Kugelschale an möglichen Positionen Zwei Kugelschalen durchdringen sich in einem Kreis Der Schnitt mit einer dritten Kugelschale ergibt i.a. zwei Punkte Einer davon kann ausgeschlossen werden, weil er fast immer weit im Weltraum liegt 7

Vier Satelliten Bei vier Satelliten ist das Problem überbestimmt Die Uhr des Empfängers kann so vor- oder nachgestellt werden, dass die Übereinstimmung so gut wie möglich wird Daher muss die Empfänger-Uhr nicht sehr genau sein. Trotzdem zeigt sie (nach der Korrektur) die Zeit mit der Genauigkeit der Satelliten-Uhren an. 8

24 Satelliten (nahezu) Kreisbahnen, 20200 km über der Erde, 2032 kg, 1.14 kw 9

Ersatz Block II Replacement 12 10

Umlaufbahnen 6 Bahnen mit 55 Grad Neigung bez. Ekliptik 4 Satelliten auf jeder Bahn 11

Umlaufszeit, Geschwindigkeit ω = 2π T mω 2 r = G Mm r 2 r 3 T = 2π GM = 11.97 h v = ωr = 3874 m/s Genau zwei Umläufe pro Sterntag 12

Atomuhren Moderne Cäsium-Fontäne als Zeitnormale. Die Genauigkeit ist besser als 10 15. Die GPS-Satelliten haben vier kompaktere Cs- und Rb-Atomuhren an Bord (jeweils etwa 5 kg, 100 kusd). Diese erzielen eine Genauigkeit von nicht ganz 10 14. 13

Noch genauer Nobelpreis 2005 in Physik an Theodor Hänsch MPI für Quantenoptik, München für optischen Frequenzkamm-Synthesizer. Optische Uhr mit Genauigkeit von 10 18 ist möglich! 14

Signale L1 bei 1575.42 Mhz, L2 bei 1227.60 Mhz Jeder Satellit sendet eigenen Pseudo-Zufallskode. Signal enthält Zeit und Bahndaten, diese legen die Satellitenposition dezimetergenau fest. Empfänger erkennen den Satelliten, erzeugen seinen Pseudo-Zufallskode, synchronisieren und stellen Zeitverschiebung zur eigenen Uhr fest. L1 wird nicht mehr künstlich verrauscht (Clinton), L2 kann nur vom Militär dekodiert werden. 15

Technische Probleme In der Ionsosphäre und in der Toposphäre weicht die Signalgeschwindigkeit von c ab. Intensitäten Einflüsse von Mond und Sonne auf die Satelliten-Bahnen Abschattung... usw. 17

Albert Einstein, 1879-1955 19

Spezielle Relativitätstheorie Eine bewegte Uhr (Geschwindigkeit v, Takt τ ) geht langsamer als eine ruhende Uhr (Takt τ): τ = τ 1 (v/c) 2 Vor dem Start muss der Takt der Uhr um den Faktor (1 δ SR ) verkleinert werden, dammit er auf der Umlaufbahn wieder τ ist: δ SR = 1 1 (v/c) 2 Mit v = 3874 m/s egibt sich δ SR = 0.835 10 10 20

Allgemeine Relativitätstheorie 1 Auch das Schwerefeld beeinflusst den Gang einer Uhr... und damit auch die Frequenz ν eines Photons. Die Summe aus Photonenenergie hν und potentieller Energie U ändert sich nicht. Mit ν in Satellitenhöhe (Abstand r) und ν auf der Erdoberfläche (Abstand R) gilt also hν G Mm r = hν G Mm R... mit mc 2 = hν hν 21

Allgemeine Relativitätstheorie 2 Man erhält damit... oder ν ν = 1 GM c 2 τ τ = 1 + GM c 2 { 1 R 1 } r { 1 R 1 } r Vor dem Start muss der Takt der Uhr um den Faktor (1+δ AR ) vergrößert werden, dammit er auf der Umlaufbahn wieder τ ist: δ AR = GM c 2 { 1 R 1 } r = 5.283 10 10 22

GPS: Die Korrekturen sind wichtig! Insgesamt muss vor dem Start eines Satelliten der Takt der Atomuhr um den Bruchteil δ = δ AR δ SR = 4.446 10 10 vergrößert werden, damit diese auf der Umlaufbahn wieder richtig tickt. Ohne Korrektur hätte man einen Fehler in der Längenmessung, der mit c δ anwächst... Nach einem Umlauf der Satelliten wäre der Fehler bereits 7.8 km... Ohne Einstein kein GPS! 23

Zahlen 1 % SI-Einheiten: Kilogramm, Meter, Sekunden 2 c=2.998e8; % Lichtgeschwindigkeit 3 G=6.674e-11; % Gravitationskonstante 4 M=5.974e24; % Masse der Erde 5 R=6371e3; % mittlerer Erdradius 6 % GPS Satelliten 7 r=20200e3+r; % Abstand vom Erdmittelpunkt 8 T=2*pi*sqrt(r^3/(G*M)); % Umlaufszeit (siderisch) 9 v=2*pi*r/t; % Geschwindigkeit 10 % Korrekturen wegen Einstein 11 deltasr=1-sqrt(1-(v/c)^2); % speziell-relativistisch 12 deltaar=g*m/c^2*(1/r-1/r); % allgemein-relativistisch 24

Allgemeine Relativitätstheorie 3 Wirkung des Schwerefeldes der Erde auf Uhren ist winzig, kann aber bedeutsam sein...... bei genügend großer Masse kann Licht nicht mehr entweichen, massive Teilchen erst recht nicht (Schwarze Löcher) Nicht nur Uhren, auch Längenmaßstäbe werden durch starke Massen verändert. Der Raum wird gekrümmt. 1919: Von Einstein vorhergesagte Lichtablenkung an der Sonne nachgewiesen (Gravitationslinse). Die logische Konsequenz ist der expandierende Kosmos (Urknall, Hintergrundstrahlung). 25

Schwarzes Loch Im Zentrum der Milchstraße rotieren alle Sterne um ein unsichtbares Zentrum von etwas 3 Millionen Sonnenmassen. Der Stern S2 (Pfeile) ist nur 17 Lichtstunden davon entfernt. 26

Gravitationslinse Ein sehr massiver Galaxienhaufen (Abell 1689) in 2 Milliarden Lichtjahren Entfernung krümmt den Raum. 27

Differentielles GPS Ein benachbarter GPS-Empfänger, der seine Position kennt, kann systematische Fehler feststellen und weitermelden. 29

Miniaturisierung Dezember 2004: Epson stellt neuen GPS-Chip für Handys vor. Empfindlichkeit -160 dbm, d.h. 10 19 Watt (!) 30

Schöne Aussichten... 31

Danke fürs Zuhören! peter.hertel@uni-osnabrueck.de www.physik.uni-osnabrueck.de 32