55 Lokale Extrema unter Nebenbedingungen

55 Lokale Extrema unter Nebenbedingungen Sei f : O R mit O R n differenzierbar. Notwendige Bescheinigung für ein lokales Extremum in p 0 ist dann die Bedingung f = 0 (siehe 52.4 und 49.14). Ist nun F : O R m differenzierbar, dann suchen wir nach einer notwendigen Bedingung, dass f auf der Nullstellenmenge N = F 1 ({0}) = {p O : F (p) = 0} ein lokales Extemum besitzt. Hierzu definieren wir zunächst 55.1 Lokale Extrema unter Nebenbedingungen Sei O R n offen und f : O R. Sei F : O R m. Dann sagen wir f hat in p 0 O ein lokales Maximum (bzw. lokales Minimum) unter der Nebenbedingung F (x) = 0, wenn gilt p 0 gehört zur Nebenbedingungsmenge N = F 1 ({0}), und es eine Umgebung U von p 0 gibt, so dass f Maximum (bzw. Minimum) von f(u N) ist, also wenn gilt f f(p) (bzw. f f(p)) für alle p U N. Die Begriffe lokales Maximum und lokales Minimum unter Nebenbedingungen faßt man zum Begriff lokales Extremum unter Nebenbedingungen zusammen. Sei nun f : O R in p 0 O differenzierbar. F : O R m mit O R n m R m erfülle die Voraussetzungen des Satzes 53.8 über implizite Funktionen. Dann gilt nach 53.8 (ii) wenn p 0 = ( p 0, q 0 ) N = F 1 ({0}) ist, N (U 1 U 2 ) = {( p, ϕ( p)) : p U 1 } wobei U 1 Umgebung von p 0 und U 2 Umgebung von q 0 ist. Dann besitzt also f in p 0 ein lokales Extremum unter den Nebenbedingungen F = 0, genau dann, wenn h definiert durch h( p) = f( p, ϕ( p)), p U 1 ein lokales Extremum (ohne Nebenbedingungen) in p 0 besitzt. Dies führt zu 55.2 Lagrangesche Multiplikatorenregel Sei O offene Teilmenge des R n. Es sei f : O R im Punkte p 0 O differenzierbar. Ferner sei F := (F 1,..., F m ) : O R m stetig differenzierbar sowie m < n. Es sei rg(d p0 F ) = m. Es besitze f in p 0 ein lokales Extremum unter der Nebenbedingung F (x) = 0. Dann existieren λ 1,..., λ m R (Lagrangesche Multiplikatoren) mit f = m i=1 λ i F i. C 1 [55] 1

Kapitel XII Implizite Funktionen, der Umkehrsatz und Extrema unter Nebenbedingungen Beweis. Setze R n = R l R m mit l := n m > 0. Sei o.b.d.a. O = O 1 O 2 mit O 1 offen im R n m und O 2 offen im R m. Dann gilt (1) p 0 = ( p 0, q 0 ) mit p 0 O 1, q 0 O 2. Setze y i = x m m+i, also (x 1,..., x n m, y 1,..., y m ) = (x 1,..., x n ). Es gilt (2) m = rg(d p0 F ) = rg(j p0 F ) F 1 F 1 n = rg F m F n Wegen (2) sei o.b.d.a F 1 1 F 1 m (3) rg = m F m 1 F m Wegen (3) gibt es nach 53.8 (i) eine Umgebung U 1 von p 0 und eine Umgebung U 2 von q 0 mit U i O i und eine Funktion ϕ = (ϕ 1,..., ϕ m ) mit (4) ϕ : U 1 U 2 stetig differenzierbar, ϕ( p 0 ) = q 0. [ ] 1 (5) J p0 ϕ = F ( p 0, ϕ( p 0 )) F ( p 0, ϕ( p 0 )) sowie (6) N (U 1 U 2 ) = {( p, ϕ( p)) : p U 1 }. Besitzt daher F ein lokales Extremum in p 0 unter der Nebenbedingung F (x) = 0, so besitzt h( p) := f( p, ϕ( p)), p U 1 ein lokales Extemum in p 0 U 1. Da h als Komposition differenzierbarer Funktionen in p 0 differenzierbar ist (beachte (4)), folgt 0 = D p0 h, d.h. (7) grad p0 h = 0. Aus der Kettenregel zusammen mit 49.16 folgt (8) grad p0 h = f ( ) En m J p0 ϕ wobei E n m die Einheitsmatrix des R n m ist. Aus (7), (8) folgt zusammen mit (5) ( ) (9) 0 = ( Setzt man n m m ) E n m ( F ) 1 F (λ 1,..., λ m ) := ( 1 m )( F ) 1 so gilt nach Definition (10) ( 1 m ) = (λ 1,..., λ m ) F. Andererseits folgt aus (9) [55] 2 C 1.

Lokale Extrema unter Newbenbedingungen (11) 0 = ( n m ) (λ 1,..., λ m ) F. Aus (11) und (10) ergibt sich also die Behauptung. (f) = (λ 1,..., λ m )( F, F ) = (λ 1,..., λ m )J p0 F = (λ 1,..., λ m ) = m i=1 λ i F i, ( ) gradp0 F 1 F m Sei f : O R differenzierbar und F : O R m stetig differenzierbar. Um die möglichen Stellen eines lokalen Extremums von f unter der Nebenbedingung F (x) = 0 zu bestimmen, geht man folgendermaßen vor: Man betrachtet das System der n m Gleichungen F (L) i (p) + λ 1 F 1 i (p) + λ 2 F 2 i (p) +... + λ m m i (p) = 0 für i = 1,..., n F j (p) = 0 für j = 1,..., m. Setzt man G(p, λ 1,..., λ m ) = f(p) + m j=1 λ jf j (p), so ist die Bedingung (L) auch äquivalent zu dies folgt aus G λ j (p, λ 1,..., λ m ) = F j (p) (G) J (p0,λ 0 1,...,λ0 m) G = 0; G und i (p, λ 1,..., λ m ) = i (p) + m j=1 λ j F j i (p). Man versucht nun das Gleichungssystem (L) (oder (L) ) zu lösen. Jeder Punkt p 0 = (p 0 1,..., p0 n) der Anfang einer Lösung (p 0 1,..., p0 n, λ 0 1,..., λ0 n) von G ist und für den rgj p0 F = m ist, kann dann Stelle eines lokalen Extremums von f unter der Nebenbedingung F (x) = 0 sein. Die einzigen weiteren Stellen p 0 die sich ebenfalls als Stellen eines lokalen Extremuns erweisen konnten, sind die Punkte mit F = 0 und rg(d p0 F ) < m. Die beiden folgenden Bemerkungen helfen gelegentlich bei der Anwendung des Lagrangeschen Verfahrens. Ist n := {p O : F (p) = 0} kompakt, so besitzt f N nach 36.19 eine Minimal- und Maximalstelle. Es besitzt also f unter der Nebenbedingung ein globales Minimum und Maximum. Der kleinste bzw. der größte der Werte f, die man mit Hilfe des obigen Verfahren erhält, ist dann das absolute Minimum bzw. Maximum von f unter der Nebenbedingung F (x) = 0. Vielfach sind Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Abstandsaufgaben. Diese besitzen häufig aus anschaulichen Gründen eine Lösung. Manchmal kann die Existenz einer Lösung eines solchen Problems mit Hilfe des folgenden Satzes gezeigt werden. 55.3 Kompakte und abgeschlossene Mengen besitzen minimalen Abstand voneinander. Sei K R n kompakt und A R n abgeschlossen mit K und A. Dann gibt es ein k 0 K und a 0 A mit k 0 a 0 = inf{ k a : k K, a A}. C 1 [55] 3

Kapitel XII Implizite Funktionen, der Umkehrsatz und Extrema unter Nebenbedingungen Beweis. Setze a := inf{ k a : k K, a A}. Dann gibt es k n K und a n A mit (1) k n a n n α. Da K kompakt ist, gibt es eine Teilfolge k ϕ (n) von k n und ein k 0 K mit (2) k ϕ(n) n k 0. Aus (1) und (2) folgt dann (3) k 0 a ϕ(n) n α. Somit ist die Folge a ϕ(n) beschränkt, und es gibt daher eine weitere Teilfolge a ψ(n) die gegen ein Element a 0 konvergiert. Da A abgeschlossen ist, gilt a 0 A. Aus k 0 a ψ(n) α und a ψ(n) a 0 folgt somit α = k 0 a 0 mit k 0 K und a 0 A. Zum Abschluss dieses Pragrafen bringen wir zwei Beispiele. Das erste Beispiel benutzt den Satz 55.3, das zweite die Kompaktheit der Menge N. 55.4 Beispiel Gesucht sei derjenige Punkt au der Ebene F (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 + x 2 x 3 = 0 der vom Punkt (1, 0, 0) den kleinsten Abstand hat. Es ist K = {(1, 0, 0)} kompakt und A = {p R 3 : F (p) = 0} abgeschlossen. Nach Satz 55.3 gibt es dann (mindestens) einen solchen Punkt. Zu minimieren ist also (1, 0, 0) (x 1, x 2, x 3 ) unter der Nebenbedingung F (x 1, x 2, x 3 ) = 0. Äquivalent hierzu ist es, die Funktion f(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 1) 2 +x 2 2 +x2 3 unter der Nebenbedingung zu minimieren. Da D p F = (1, 1, 1) maximalen Rang hat muss jeder gesuchte Punkt p 0 den Bedingungen (L) genügen. Also muss gelten i + λ F i = 0 für i = 1, 2, 3; F = 0. 2(p 1 0 1) + λ = 0 2p 2 0 + λ = 0 2p 3 0 λ = 0 p 1 0 + p2 0 p3 0 = 0. Aus Addition der zweiten und dritten Gleichung folgt p 2 0 = p3 0. Somit erhält man aus der vierten Gleichung p 2 0 = p1 0 2 und aus der zweiten daher λ = p 1 0. Daher folgt aus der ersten Gleichung p 1 0 = 2/3. Der einzig mögliche Punkt für ein Minimum ist daher (2/3, 1/3, 1/3). Da es nach Satz 55.3 aber ein solches Minimum geben muss, ist (2/3, 1/3, 1/3) der Punkt der Ebene der minimalen Abstand von Punkt (1, 0, 0) hat. Man könnte die Lösung einfacher erhalten, wenn man in der Funktion f(x 1, x 2, x 3 ) die Variable x 3 wegen der Nebenbedingung durch x 1 + x 2 ersetzt. Man hätte dann die Funktion f 0 (x 1, x 2 ) = f(x 1, x 2, x 1 + x 2 ) = (x 1 1) 2 + x 2 2 + (x 1 + x 2 ) 2 auf R 2 zu minimieren. Dies kann mit Hilfe von 52.6 (ii) geschehen. 55.5 Bestimmung der Extrema unter einer kompakten Nebenbedingung Man bestimme das absolute Minimum und Maximum der Funktion f(x 1, x 2, x 3 ) = 5x 1 + x 2 3x 3 auf dem Schnitt der Ebene x 1 + x 2 + x 3 = 0 mit der Kugeloberfläche x 2 1 + x 2 2 + x2 3 = 1. Die Nebenbedingungsmenge ist also kompakt und wird beschrieben durch [55] 4 C 1

Lokale Extrema unter Newbenbedingungen F 1 (x 1, x ( 2, x 3 ) = x 1 + x 2 + ) x 3 = 0 und F 2 (x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1 + x2 2 + x2 3 1 = 0 Es ist 1, 1, 1 J p F =. Die Matrix ist auf der Nebenbedingungsmenge regulär. Die 2x 1, 2x 2, 2x 3 absoluten Extrema die ja auch relative Extrema sind, müssen sich also mit Hilfe der Lagrangeschen Multiplikatoren berechnen lassen. Es muss also für die absolute Maxima und Minima gelten 5 + λ + 2µ x 1 = 0 1 + λ + 2µ x 2 = 0 3 + λ + 2µ x 3 = 0 x 1 + x 2 + x 3 = 0 x 2 1 + x2 2 + x2 3 1 = 0. Addiert man die ersten drei Gleichungen, so erhält man wegen der vierten Gleichung 3 + 3λ = 0, d.h. λ = 1. Hiermit ergibt sich aus den ersten beiden Gleichungen 4 + 2µ x 1 = 0 und 2µ x 2 = 0. Es muss also µ 0 und daher x 2 = 0 sein. Aus den letzten beiden Gleichungen erhalten wir daher x 3 = x 1 und 2x 2 1 = 1, also x 1 = ± 1/ 2. Man rechnet nach, dass (1/ 2, 0, 1/ 2) zusammen mit λ 1 und µ = 2 2 sowie ( 1/ 2, 0, 1/ 2) zusammen mit λ 1 und µ = 2 2 das Lagrangesche Gleichungssystem erfüllen. Es gilt f(1/ 2, 0, 1/ 2) = 4 2 f( 1/ 2, 0, 1/ 2) = 4 2. Da also höchstens zwei relative Extrema existieren, anderseits aber ein absolutes Maximum und Minimum wegen der Kompaktheit von N existiert, muss 4 2 das absolute Maximum und 4 2 das absolute Minimum von f unter der Nebenbedingung N sein. C 1 [55] 5