005 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 005: Pflichtbereich Aufgabe P1: erechnung des Pyramidenvolumens: ür das Volumen V p einer Pyramide gilt: V P = 1 3 a h Dabei ist a die Kantenlänge der quadratischen Grundfläche und h die öhe der Pyramide Zur erechnung des Volumens müssen also die Kantenlänge a und die öhe h bestimmt werden erechnung der Kantenlänge a: Die Kantenlänge a berechnet man, indem man die angegebene Mantelfläche M = 54,9 cm und die Seitenhöhe h s = 6,1 cm in die Mantelformel einer a hs quadratischen Pyramide M = 4 = a h s einsetzt: 54,9 = a 6,1 54,9 = 1,a : 1, 4,5 = a bzw a = 4,5 cm erechnung der öhe h: ür die öhe h gilt im Dreieck MD : h = h s,5 h = 6,1,5 h = 5,67 cm Damit erhält man für das Pyramidenvolumen V P = 1 3 a h : V P = 38,7 cm 3 M 4,5 cm h h s = 6,1 cm,5 cm D Aufgabe P: erechnung der Oberfläche des zusammengesetzten Körpers: Die Oberfläche O ges des zusammengesetzten Körpers setzt sich aus dem Kegelmantel M Ke, dem Mantel des Zylinders M Z und der kreisförmigen Grundfläche G des Zylinders Es gilt also: O ges = M Ke + M Z + G O ges = π r Ke s + π r Z h z + π r Z (siehe ormelsammlung) Mathematik-Verlag 011, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur Ansicht! 1
005 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 005: Pflichtbereich erechnung des Kegel- bzw Zylinderradius r Ke = r Z : Der Kegelradius kann man mithilfe des angegebenen Kegelvolumens berechnet werden Ke Es gilt: V Ke = π 3 r h Und mit den angegebenen Werten folgt Ke s = h Z r Ke = r Z 9,0 cm 115 = π 3 r Ke 9 h Z 115 = 9,4 r Ke 1,1 = r Ke :9,4 r Z 3,49 = r Ke bzw r Ke = 3,5 cm Und damit auch: r Z = 3,5 cm erechnung der Zylinderhöhe h Z bzw der Seitenlänge s: Die Seitenlänge s erhält man mit dem Satz des Pythagoras Im Dreieck AM gilt: s = 3,5 + 9,0 s = h Z 9,0 cm s = 93,5 s = 9,66 cm A 3,5 cm M Damit ist laut Aufgabenstellung auch h Z = 9,66 cm h Z 3,5 cm Durch Einsetzen der oben berechneten Werte in die Oberflächenformel O ges = π r Ke s + π r Z h z + π r Z erhält man: O ges = π 3,5 9,66 + π 3,5 9,66 + π 3,5 O ges = 106, cm + 1,43 cm + 38,48 cm O ges = 357,13 cm Mathematik-Verlag 011, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur Ansicht!
005 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 005: Pflichtbereich Aufgabe P3: Die Lösung der Gleichung: ( 5) (3 + 4) ( 3) = ( + 3) + 67 (4 10) (3 + 4) (4 1 + 9 ) = + 6 + 9 + 67 1 + 16 30 40 4 + 1 9 = + 6 + 76 3 44 = + 6 + 76 ( + 6 + 76) 8 10 = 0 : 4 60 = 0 p p Mit der p,q-ormel 1, ( ) = + +60 = 10 1 = +60 = 6 = ± q erhält man: Damit lautet die Lösungsmenge: IL = { 6; 10 } Aufgabe P4: erechnung der Parabelgleichung: Zur erechnung der Parabelgleichung benötigt man deren Scheitelpunkt Da der Scheitelpunkt der Schnittpunkt zwischen den Geraden g 1 und g sein soll, muss man beide Geraden miteinander schneiden Dazu benötigt man allerdings zuerst die Geradengleichung von g erechnung der Geradengleichung von g : Da die Steigung der Geraden g bekannt ist (m = 1 ), fehlt zur vollständigen unktionsgleichung nur noch der y-achsenabschnitt b: g : y = 1 + b Den Wert für b erhält man durch Einsetzen der Punktkoordinaten von P(0 3): 3 = 1 0 + b 3 = b bzw b = 3 Die Gerade g hat also die Gleichung: y = 1 + 3 Ende der Musterseiten zum Pflichtteil 005 (Die Original-Datei umfasst 5 Seiten) Mathematik-Verlag 011, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur Ansicht! 3
005 Wahlbereich Aufgabe W1 Lösungen zur Prüfung 005: Wahlbereich - Aufgabe W1 Aufgabe W1a: Lösungsübersicht: Zur erechnung der Länge G muss man das Dreieck G einzeichnen (siehe igur 1) Darin kann G mit der Sinusfunktion berechnet werden Die dazu benötigte Strecke ist die Oberseite des gleichschenkligen Trapezes In diesem Trapez gilt: = = Außerdem sind beide asiswinkel gleich groß (= ) (siehe igur ) Mit diesen Werten kann die Strecke und damit auch G berechnet werden Zur erechnung des lächeninhalts des Vierecks G muss man das Viereck in das Trapez und in das rechtwinklige Dreieck G aufteilen Um sowohl die Trapezfläche als auch die Dreiecksfläche berechnen zu können, benötigt man außer den im ersten Teil berechneten Längen, und G noch die Länge der Trapezhöhe h und der Strecke G (siehe igur 3) Die öhe h kann mit der Sinusfunktion berechnet werden, die Strecke G kann mit dem Satz des Pythagoras im Dreieck G berechnet werden erechnung der Strecke G: Da alle Seiten der Pyramide gleichschenklig sind, ist der Winkel ŒS genauso groß wie β = Und wegen der Parallelität von und ist auch der Winkel ŒG Somit gilt im Dreieck G mit der Sinusfunktion: G sin = E S G 65,0 G = sin A erechnung der Strecke : igur 1 65,0 ür die Strecke gilt: = 5,6 cm Und die Strecke kann mit der Kosinusfunktion im markierten Dreieck berechnet werden Es gilt: cos = 3,0 = 1,7 cm 3,0 5,6 cm Und damit folgt: = 3,06 cm igur Und für G = sin erhält man: G =,77 cm Mathematik-Verlag 011, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur Ansicht! 4
005 Wahlbereich Aufgabe W1 Lösungen zur Prüfung 005: Wahlbereich - Aufgabe W1 erechnung des lächeninhalts des Vierecks G: Der lächeninhalt des Vierecks G setzt sich aus dem Trapez und dem rechtwinkligen Dreieck G zusammen: A = A T + A D,77 cm 3,06 cm G Es gilt also (siehe ormelsammlung): A = 5,6 + 3,06 h +,77 G 5,6 cm h igur 3 erechnung der Trapezhöhe h: Die Trapezhöhe h kann mit der Sinusfunktion im grünen Dreieck berechnet werden Darin gilt: sin = 3,0 sin = h h 3,0 3,0,77 cm 3,06 cm G h h =,7 cm 5,6 cm igur 4 erechnung der Strecke G: Die Strecke G erhält man mit dem Satz des Pythagoras im blauen Dreieck G Es gilt: G = 3,06 -,77 G = 1,70 G = 1,30 cm Damit folgt für den gesuchten lächeninhalt A = 5,6 + 3,06 h +,77 G : A = 5,6 + 3,06,7 +,77 1,30 A = 11,78 + 1,80 A = 13,6 cm Mathematik-Verlag 011, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur Ansicht! 5
005 Wahlbereich Aufgabe W1 Lösungen zur Prüfung 005: Wahlbereich - Aufgabe W1 Aufgabe W1b: Lösungsübersicht: Die zu beweisende ormel kann im markierten Dreieck der igur 1 nachgewiesen werden, wenn man die Strecken und y in Abhängigkeit von e kennt Die Strecke kann im Dreieck A mithilfe der Kosinusfunktion in Abhängigkeit von e ausgedrückt werden (siehe igur ) Die Strecke y kann im Dreieck AD mit dem Satz des Pythagoras in Abhängigkeit von e ausgedrückt werden (siehe igur 3) Nachweis der ormel tan α 1 = 1 / 3 : ür tan α 1 gilt im blau markierten Dreieck: tan α 1 = y e 5 e α 1 y igur 1 erechnung der Strecke : Die Strecke kann mit der Kosinusfunktion im Dreieck A in Abhängigkeit von e berechnet werden ür den Winkel ŒA gilt: ŒA = 135 90 = 45 ür gilt: cos 45 = e e cos 45 = e α 1 e 5 y igur 45 A 135 e = e cos 45 Mit cos 45 = folgt: (s ormelsammlung) = e Mathematik-Verlag 011, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur Ansicht! 6
005 Wahlbereich Aufgabe W1 Lösungen zur Prüfung 005: Wahlbereich - Aufgabe W1 erechnung der Strecke y: Die Strecke y kann mit dem Satz des Pythagoras im Dreieck AD in Abhängigkeit von e berechnet werden Darin gilt: e 5 e y = ( ) y = e 5 e 4 y = 5e 0,5e D α 1 e 5 y igur 3 = A e e y = 4,5e y = e 4,5 Durch Einsetzen von = e und y = e 4,5 in tan α 1 = y tan α 1 = e e 4,5 erhält man: e e 4,5 4,5 4,5 9 4,5 4,5 4,5 (Rationalmachen des Nenners) 3 9 1 3 Was zu beweisen war Ende der Musterseiten zum Wahlteil 005 (Die Original-Datei umfasst 5 Seiten) Mathematik-Verlag 011, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur Ansicht! 7