Allgemeine Mechanik Musterlösung 5. HS 014 Prof. Thomas Gehrmann Übung 1. Rotierende Masse. Eine Punktmasse m rotiere reibungslos auf einem Tisch (siehe Abb. 1). Dabei ist sie durch einen Faden der Länge l, der durch ein Loch im Tisch geführt ist, mit einer zweiten Masse M verbunden. (a) Formulieren Sie die Zwangsbedingungen. Wie viele Freiheitsgrade besitzt das System? Wählen Sie die geeignetsten Koordinaten um das System zu beschreiben. (b) Finden Sie die Lagrange-Funktion des Systems und formulieren Sie die Bewegungsgleichungen (Lagrangegleichungen zweiter Art). Welche Koordinate ist zyklisch? Welchen Erhaltungssatz impliziert sie? (c) Unter welchen Bedingungen bewegt sich M (i) nach oben, (ii) nach unten oder (iii) gar nicht? (d) Lösen Sie die Bewegungsgleichungen für den Fall ω = 0. z y r ω m x M Abbildung 1: Rotierende Masse m und Gewicht M. (a) The constraint conditions for the system are x 1 + y 1 z l = 0 z 1 = 0 x = 0 y = 0 (L.1) (L.) (L.3) (L.4) Since we have mass points and 4 constraints, the number of degrees of freedoms is 6 4 =. Two coordinates are therefore required to describe this system. Let us choose the following system [ϕ, r]: x 1 = r cos ϕ y 1 = r sin ϕ z 1 = 0 x = 0 y = 0 z = r l (L.5) 1
(b) The Lagrangian: The Lagrange equations T = 1 m(ẋ 1 + ẏ 1) + 1 Mż = 1 m(ṙ + r ϕ ) + 1 Mṙ (L.6) V = Mgz = Mgr Mgl (L.7) L = T V = 1 m(ṙ + r ϕ ) + 1 Mṙ Mgr + Mgl (L.8) d dt ṙ r = d dt (mṙ + Mṙ) mr ϕ + Mg (L.9) = m r + M r mr ϕ + Mg = 0 (L.10) d dt ϕ ϕ = d dt (mr ϕ) = 0 (L.11) The only cyclic coordinate is ϕ (the Lagrangian does not depend on it). The second Lagrange equation gives us mr ϕ = const (L.1) which tells us that the angular momentum in this system is conserved. Therefore ϕ = ω. (L.13) (c) From the first motion equation we have r = mrω Mg m + M (L.14) If M moves up, the coordinate r increases r > 0. Therefore mrω > Mg. If M moves down, we have r < 0 and thus mrω < Mg In case M is not moving, r = 0 and mrω = Mg (d) if ω = 0, the angular momentum is equal to zero and ϕ = ϕ 0 = const. For the coordinate r we have r = Mg M + m The solution is only valid as long as r 0. r(t) = r 0 + v 0 t 1 Mg m + M gt (L.15) Übung. Umschlagendes Seil. Ein Seil der Länge l und Dichte ρ, wie in der Abb. dargestellt, wird senkrecht in die Luft geworden. Das Seil sei voll beweglich, so dass der Knick über das Seil laufen kann. (a) Verwenden Sie h 1 und h als generalisierte Koordinaten und stellen die Bewegungsgleichung auf. (b) Substituieren Sie h 1 h = x und stellen die Bewegungsgleichung für die Wanderung der Knickstelle auf, also für x (x = 0 bedeutet, dass das Seil in zwei gleiche Teile gefaltet ist, x = l bedeutet, dass es gerade ist). Zeigen Sie, dass ẋ gegen Unendlich geht, wenn der wandernde Knick das Seilende erreicht (Peitschenknall). (c) Berechnen Sie die Seilspannung Z = ρs(ḧ + g) in einem beliebigen Punkt P in Distanz s zum unteren Seilende. Erklären Sie die Auswirkungen der Ergebnisse.
h 1 s P h h Abbildung : Geometrie für das umschlagende Seil. (a) The Lagrangian of the system is L = T V, = 1 (h h 1)ρḣ 1 + 1 (h h )ρḣ ρ(h h 1 )g h + h 1 Using (h h 1 ) + (h h ) = l, we replace h by (L.16) ρ(h h )g h + h. (L.17) h = l + h 1 + h (L.18) and arrive at L = ρ [ḣ 4 1 (l h 1 + h ) + ḣ (l + h 1 h )] ρg [ l(h1 + h ) + (h 1 h ) ]. (L.19) 4 The Lagrange s equations are: d dt ḣ1 d dt ḣ h 1 = 0 (l h 1 + h )ḧ1 1 (ḣ1 ḣ) = gl + g(h 1 h ), (L.0) h = 0 (l + h 1 h )ḧ 1 (ḣ1 ḣ) = gl g(h 1 h ). (L.1) Adding and subtracting them give us the equations of motion l(ḧ1 + ḧ) (h 1 h )(ḧ1 ḧ) (ḣ1 ḣ) = gl, l(ḧ1 ḧ) (h 1 h )(ḧ1 + ḧ) = +g(h 1 h ). (L.) (L.3) (b) Substitute h 1 h = x and eliminating h 1 + h into the previous two equations we get (l x )ẍ = xẋ. (L.4) The trivial solution ẋ = 0 represents the case of a rigid rope and is of no interest here. For ẋ > 0, d dt ln(ẋ) = ẍ ẋ = c ẋ = l x. xẋ l x = 1 d dt ln(l x ), (L.5) (L.6) 3
For x ±l, ẋ. This is what is responsible for the crack of the whipped rope. In reality, ẋ does not really go to infinity as the bend has a finite radius, which unfolds when it reaches the end of the rope. In this exercise, we have taken the bend to be infinitely sharp. (c) From (L.3) we get ( ) lẍ = x (g + ḧ) + ẍ g + ḧ = 1 ẍ(l x) x (L.7) and using (L.4) and (L.6) g + ḧ = Therefore the tension in the rope is ẋ (l + x) = c (l + x)(l x ). (L.8) Z = ρs(ḧ + g), = (L.9) ρsc (l + x)(l x ). (L.30) For x ±l, Z. This is the cause of the flip that happens when the bend reaches the end of the rope. Übung 3. Zwei mit einer Feder verbundene Körper. Zwei Teilchen der Massen m 1 und m sind über eine schwache Feder mit Federkonstante k und Ruhelänge l miteinander verbunden. Sie befinden sich in Ruhe auf einer reibungsfreien, horizontalen Oberfläche. Durch einen kurzen Stoss zum Zeitpunkt t = 0 wird der Impuls I auf die Masse m 1 in Richtung der zweiten Masse m übertragen. Beschreiben Sie das System durch den Lagrange-Formalismus. Wie weit wird sich die Masse m bewegen, bevor sie zum ersten Mal wieder zur Ruhe kommt? The Lagrangian of the system is L = T V, (L.31) where by convention x 1 (t = 0) = 0 and x (t = 0) = l. Lagrange s equations then give us = 1 m 1ẋ 1 + 1 m ẋ 1 k(x x 1 l), (L.3) m 1 ẍ 1 = +k(x x 1 l), m ẍ = k(x x 1 l), (L.33) (L.34) which are combined to obtain the following equation of motion ẍ ẍ 1 = k(x x 1 l)(m 1 + m ) m 1 m. (L.35) 4
Let u = x x 1 l and ω = k(m 1+m ) m 1 m. ü + ω u = 0, (L.36) u = a cos(ωt + α), (L.37) where a and α are constants. The initial conditions x 1 = 0, x = l, ẋ 1 = I/m 1 and ẋ = 0 at time t = 0 then give α = π, a = I m 1 ω. (L.38) Hence x x 1 = l + I (ωt m 1 ω cos + π ) = l I sin (ωt). m 1 ω (L.39) Conservation of momentum gives us m 1 ẋ 1 + m ẋ = I, m 1 x 1 + m x = It + m l. (L.40) (L.41) Combining this with Eqn. L.39 gives It x = l + I sin(ωt) m 1 + m (m 1 + m )ω, (L.4) I ẋ = I cos(ωt). m 1 + m m 1 + m (L.43) m comes to rest for the first time when ẋ = 0, i.e. when cos(ωt) = 1. This happens at t = π ω. At that time m has moved a distance πi x l = ω(m 1 + m ), m1 m = πi k(m 1 + m ) 3. (L.44) (L.45) Übung 4. Lagrange-Relation zur Energieerhaltung. Zeigen Sie folgende Gleichung, wobei L eine allgemeine Lagrange-Funktion abhängig von den Koordinaten q k, Geschwindigkeiten q k und der Zeit t ist: ( ) d q k L = dt q k t. Expand the LHS. LHS = = d dt ( ) q k + q k q k q k + q k dl q k dt, q k dl q k dt. (L.46) (L.47) 5
Replacing in the previous equation dl dt = = dq k q k dt + d q k q k dt + t q k + q k q k + q k t, (L.48) (L.49) we arrive at the RHS. 6