Inhalt Kapitel I: Nichtlineare Gleichungssysteme I Nichtlineare Gleichungssysteme I. Nullstellenbestimmung von Funktionen einer Veränderlichen I.2 I.3 Newton-Verfahren Kapitel I (UebersichtKapI) 3 Bisektionsverfahren am Beispiel f = x 2 Bisektion Bisektion 3 2 2 x 2 Startwert:, Fehlerschranke 2 2 3 4 6 3 2 4 6 8 Lineare Konvergenz In jedem Schritt Halbierung der Intervalllänge Pro Schritt eine Funktionsauswertung Kapitel I (nonlin) 2
2 Regula falsi am Beispiel f = x 2 Regula falsi Regula falsi 2 x 2 Startwert:, 2 3 4 Fehler 2 3 4 2 2 Lineare Konvergenz Reduktion der Intervalllänge variabel Pro Schritt eine Funktionsauswertung Kapitel I (nonlin6) 3 2 Sekantenverfahren Sekantenverfahren Sekantenverfahren 2 x 2 Startwert:, Fehler 2 3 4 2 4 6 8 2 Konvergenzordnung i.d.r. p = (+ )/2 Pro Schritt eine Funktionsauswertung Reduktion der Intervalllänge variabel Kapitel I (nonlin7) 4
3 2. 2. x = x (Start x = 7) Wurzelfunktion Fehler... 2 3 4 6 7. 2 4 6 8 Fixpunkt: Φ(x) = x = x, Nullstelle: g(x) = x x Pro Schritt eine Funktionsauswertung, lin. Konvergenz Φ () = 2 Kapitel I (nonlin2) : Kritischer Einfluss der Wahl von Φ am Beispiel 2 x 2 e x = (Start x =.4) Konvergenz: Φ(x) = log(2 x 2 ).7... Fehler.. log(2 x 2 )..4.4..7. Keine Konvergenz: Φ(x) = 2 e x Iterierte 4..2 Fehler.6...4 2.... 2 4 6 8.4 2 Kapitel I (nonlin3) 6
: Kritischer Einfluss des Startwerts am Beispiel x 2 = x,φ(x) = x 2 Divergenz 3 4 3 2 x 2 : Divergenz Startwert:. 2 3 4 Iterierte 2 2.8.6.4.2 quad. Konvergenz gegen x =, (x = instabil) x 2 : Konvergenz Startwert:.99 Iterierte 2 3.2.4.6.8 4 Kapitel I (nonlin4) 7 : Konvergenzgeschwindigkeit in Abhängigkeit von Φ bzw. Φ Verschiedene en mit Fixpunkt x = : φ (x) = x /4, φ (x ) = 4, φ 2 (x) = x /2, φ 2 (x ) = 2, φ 3 (x) = x 3/4, φ 3 (x ) = 3 4, Fehlerabnahme φ φ 2 φ 3 Startwert x = 2. 2 4 6 8 Für < φ j (x ) = q j < lokal lineare Konvergenz mit φ j (x k ) x q j x k x. Kapitel I (nonlin24) 8
Wurzelberechnung mit dem Newton-Verfahren Beispiel Gesucht sei x = n a, a >, 2 n N. Umformung ergibt x n a =. Setze f(x) := x n a. Anwendung des Newton-Verfahrens ergibt die Folge (x k ) mit x k+ = ( (n )xk +ax n ) k. n Beispiel: Für die Berechnung von 3 8 ergibt sich mit x = 2.9 k x k e k e k /e 2 k 2.9 9.e- 2.2467224733 2.e-.3 2 2.2683624964 2.68e-2.43 3 2.336349749 3.4e-4.49 4 2.6249 6.2e-8. 2.2.78e-.46 6 2. < eps Kapitel I (nonlin8) 9 Wurzelberechnung mit dem Newton-Verfahren Konvergenzbetrachtung Das Newton-Verfahren ist lokal quadratisch konvergent, d.h. ε > : x k+ x ω 2 x k x 2, x k [x ε,x +ε]. Beispiel 2 e k e k e k /e 2 k 2 3 4 k konstant quadratische Konvergenz Kapitel I (nonlin9)
Wurzelberechnung 3 8 mit dem Newton-Verfahren Iterationsverlauf abhängig vom Startwert x = x = 2 2 3 4 2 2 4 6 Kapitel I (nonlin) Lokale Konvergenz beim Newtonverfahren.... Startwert: Startwert:.3 Startwert:.39......... 3 2 2 3. 3 2 2 3. 3 2 2 3 Startwert:.3974. 2.... 2 Sei s die kritische Schranke gegeben durch: 2s (+s 2 )arctan(s) =. Oben: Konvergenz für x ( s,s) Unten: Divergenz für x ( s,s). Startwert:.397422773... 2.... 2 2.... Startwert:.39746 2 2 2 2 2 abs. Fehler 2..3.3.39.397.3974 Kapitel I (nonlin4) 2
Newton-Verfahren: Berechnung von π/4 Setze f(x) := tanx. Anwendung des Newton-Verfahrens ergibt die Folge (x k ) mit Beispiel: Mit x =. x k+ = x k 2 sin2x k +cos 2 x k. k x k e k e k /e 2 k. 7.e-.434443747669844 6.49e-.27 2.3822324396.33e-.26 3.387437423732 3.3e-.24 4.933826273973.48e-.9.894388864263 2.4e-2.9 6.78982363.87e-4.2 7.78398887326 3.4e-7. 8.7839863397672.9e-3. 9.78398633974483 < eps e k /e 2 k konstant quadratische Konvergenz Kapitel I (nonlin) 3 Newton-Verfahren: Berechnung von π/4 Konvergenzbetrachtung Fehler Visualisierung 2 e k e k 2 4 6 8 k.8.2.4 Kapitel I (nonlin2) 4
Vergleich Newton und Sekantenverfahren Nullstellenbestimmung von f(x) = 2 x 2 e x : Startwerte: x =, x = 2. Fehler e k = x k x k e k Sekant e k Newton 4.6272e- 4.6272e- 2.462726e+ 9.8224e-2 2 3.27232e-.882243e-3 3 2.338e- 2.29946e- 4 4.768e-2 3.49879e-.732e-3 < eps 6.4366892e-4 7.2e-7 8.2863e- 9.223e-6 x muss numerisch bestimmt werden. e k Sekant e 2k Sekant e k Newton 2 3 4 6 7 Aufwand: Newton 2 Sekant Konvergenz: 2 = p new > p sek.68 p new < (p sek ) 2 2.68. Kapitel I (nonlin23) Verfahren im Vergleich (Startwert abhängig)... atan(x). 4 2 2 4 6 8 x 3 6x 2 8 6 4 2 2 (4sin x 2 +x 3 +.) exp(.2(x.) 2 ) 4 2 Regula falsi Sekanten Newton 3 2 x 3 6 x 2 Sekanten Bisektion Newton Regula falsi 2 3 4 Sekanten Regula falsi Bisektion 2 3 4 versus Fehlernorm (Mitte: typisch) Kapitel I (nonlin) 6
Gedämpfte Variante des Newton-Verfahrens (F(x i ) < F(x i )).......... 4 2 2 4.. 2 2 Unterschiedliche Startwerte: Iterierte (oben), Fehler (unten links).9.8.7.6..4.3. 2 4 6.2. Dämpfungsparameter 2 3 4 6 7 Dämpfungsparameter (unten rechts) geht gegen, lokal quadratische Konvergenz Kapitel I (nonlin6) 7 Newton-Verfahren mit festem Dämpfungsparameter λ = 2..4.3.2......2.4.6 2 4 2 2 4 Unterschiedliche Startwerte: Iterierte (oben) und Fehler (unten).. 2. 2.8864... 2 4 6 8 Fester Dämpfungsparameter führt zu Verlust der lokal quadratischen Konvergenz! Kapitel I (nonlin7) 8
Newton-Verfahren: System Berechnet wird die Nullstelle (x,y ) = (,2) von Startwert (x,y ) := (3,3). f : R 2 R 2 ; f(x,y) = ( ) (y 2)(3x 2 +x+) (x )(y 2. y +4) k x k y k e k e k /e 2 k 3. 3. 2.24e+.46666666666667 3.83333333333333.69e+.34 2.328698697.72483239999.e-.2 3.298378299 2.278327496474 2.98e-.97 4.4689736 2.3833972 4.8e-2.46.2744648627 2.78627349442 8.7e-4.48 6.46297 2.292974 3.9e-7.48 7. 2.43 4.2e-4.47 8. 2. < eps Kapitel I (nonlin8) 9 : Wahl von φ Nullstellenbestimmung von 2 x 2 e x :......... φ (x) = ln(2 x 2 ), x =.99 Konvergenz... φ 2 (x) = 2 e x, x =.6 Divergenz Kapitel I (nonlin22) 2
Rang--Verfahren von Broyden Gegeben seien der Startwert x und die Startmatrix B (z.b. durch Differenzenbildung). Für k bis Konvergenz berechne d k := B k f(x k), x k+ := x k λ k d k, p k := x k+ x k, q k := f(x k+ ) f(x k ), B k+ := B k + p T k p (q k B k p k )p T k. k Das Verfahren konvergiert lokal superlinear, d.h. x k+ x lim k x k x =. Kapitel I (nonlin2) 2 Rang--Verfahren von Broyden, Beispiel Funktion f, Startwert (x,y ) wie oben, λ k :=. Vergleich Broyden vs. exakt Broyden exakt k e k e k /e k 2.24e+.69e+ 7.e- 2.e+.9e- 3 8.2e- 8.22e- 4 6.6e- 7.3e- 3.37e-.e- 6 2.27e-2 6.7e-2 7 7.6e-3 3.34e- 8 2.99e-3 3.94e- 9.8e-4.87e- 2.2e-6 4.2e-3 4.27e-8.69e-2 2 8.3e-.96e-2 3 6.82e-3 8.6e-4 4 < eps Kapitel I (nonlin2) 22
2 2 Newton-Verfahren: Funktionswert vs. Fehler f(x) = tan(x) 3/2 x = 3/2.2.4 k e k f k.7e.26e + 4.4e.93e + 2 3.49e 2.6e + 3 2.3e 9.6e 4 6.62e 2 2.39e 6.76e 3 2.22e 2.2 f(x) = atan(x) 3/2 x = 2...2 2 4 6 8 2 k e k f k.9e + 2.8e 2 2.46e +.49e 2 2 4.26e 2.2e 3 3.28e 2 6.4e 4.e.78e 8 9.4e 2 4.7e 4 Residuum nicht immer gutes Abbruchkriterium (Kondition!) Kapitel I (nonlin3) 23