e a b c e e a b c a a b c e b b c e a c c e a b (ii)

Aufgaben zur linearen Algebra, SS 2 Version: 29. Juni 2 Ich habe versucht, einige Aufgabe nach meinem Geschmack zu lösen. Es gibt mehrere Gründe dafür. In den Übungen ist es beim besten Respekt unmöglich, den schulgeprägten Stil mancher Lösungen entscheidend zu betonen, zu korrigieren und in der Ausdrucksweise zu verbessern. Ich habe viele Übungsblätter korrigieren müssen. Dabei diese zum Teil sogar Satz für Satz lesen müssen. Manche Sätze mehrere Male, bis ich genau die Stelle fand, wo der logische Fehler (eher den unlogischen nicht ausgesprochenen Gedanken) fand. Anschließend war ich oft gezwungen, keine Punkte zu verteilen. Von einem einfachen Stil kann man deutlicher die Ideen ablesen. Ich versuche immer in der mathematischen Prosa: möglichst kurze Sätze zu Bilden, nur die Verbe haben oder sein zu verwenden, am Anfang der Lösung dem Korrektor/Leser klar zu machen, was ich demnächst tue, dabei lasse ich mir Zeit, um die Behauptungen und Annahmen ruhig und genau zu schildern. Als Faustregeln im Umgang mit Symbolen, Variablen, eigenen Funktionen, etc. gilt: Zuerst ein Symbol, einen Buchstaben, eine Variabel, eine Funktion einführen, dann verwenden. Blatt 5 Aufgabe Sei M := {e, a, b, c} eine Menge. Auf M führt man drei Verknüpfungen : M M M ein, welche jeweils mit bezeichnet werde und welche durch die folgenden Tabellen erklärt sind: (i) e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e (ii) e a b c e e a b c a a b c e b b c e a c c e a b (iii) e a b c e e a b c a a b a e b b c e a c c e a b Welche Multiplikationstabelle erklärt eine Gruppenstruktur auf M? (iii) Die Multiplikationstabelle (iii) erklärt keine Gruppenstruktur auf M, da die Assoziativität verletzt ist: (ab)c = ac = e, a(bc) = aa = b. (Ein Moment! Und was spricht dagegen, daß e und b gleich sein könnten? Eigentlich kein Satz aus der Aufgabenstellung! Versuchen wir also unter der Annahme e = b zu sehen, inwieweit (M, ) doch eine Gruppe sein könnte... Falls e = b ist, dann müssen in der Multiplikationstabelle die Zeilen und Spalten von e und b respektive übereinstimmen. Es folgt a = c. Nun verspreche ich, daß die Multiplikationstafel einer Gruppe ist! (M)eine Lösung zum Aufgabenteil (iii) ist also: e a e e a a a e

2 (M, ) bildet eine Gruppe genau dann, wenn e = b und a = c gilt/gelten... ) (ii) Meine Behauptung: (M, ) bildet eine Gruppe mit e als neutrales Element ( offensichtlicher Check ), und mit inversen Elementen: e = e, a = a, b = b und c = c ( offensichtlicher Check ). Noch zu beweisen ist die Assoziativität: (xy)z = x(yz) für alle möglichen Wahlen von x, y, z M! Es sind also (in einer Lösung der Arbeiterklasse) ungefähr 4 3 Gleichheiten zu verifizieren. Man kann diese Anzahl leicht abspecken, falls man bemerkt: In M gilt (xy)z = x(yz) für alle x, y, z M, so daß mindestens eine der Elemente x, y, z gleich zu e ist: Es sind immer noch 3 3 = 27 Gleichheiten zu verifizieren! Wenn ich diese Lösung in einer Klausur geben möchte, dann muss ich sofort anfangen zu schreiben. Nach fünf Minuten wird die Arbeit fertig sein und kein Korrektor wird sich später die Mühe geben, Zeile für Zeile diese Gleichheiten nachzuprüfen. Im besten Fall wird er zählen, ob es tatsächlich 3 3 = 27 Zeilen sind. Aus diesem Grund ist keinesfalls unter Klausurbedingungen empfehlenswert, diese Zeilen selbst durchzunummerieren! Um den Korrektor mehr abzuschrecken ist es empfehlenswert, diese Zeilen auf zwei (oder besser gleich drei) Seiten zu etablieren. Letzter Tip: Niemals = unter = schreiben. Damit ist sogar der letzte Zweifel des Korrektors unterdrückt. Die Strukturelle Lösung ist die folgende: Es gibt eine bekannte Gruppe mit vier Elementen, die Gruppe Z/4Z. Allgemein definiert man die Menge Z/NZ für N N, N 2, als Menge der Reste von ganzen Zahlen bei der Division mit Rest mit N : Z/NZ := {,,..., N }. Wir führen die Notation ṅ für jede ganze Zahl n und betrachten ṅ und ṁ, m, n Z beliebig, genau dann, wenn n m durch N teilbar ist, d.h. genau dann, wenn n und m den gleichen Rest bei der Division mit N ergeben. Die Operation: : (Z/NZ) (Z/NZ) (Z/NZ), definiert durch: ṅ ṁ := n + m ist wohldefiniert, d.h. sie hängt nicht von der Wahl der Vertreter n, m von ṅ, ṁ ab. Aus der Grupenstruktur von (Z, +) folgt sofort, daß (Z/NZ, ) auch eine Gruppe ist. Wir geben nun die Multiplikationstafel von Z/4Z: 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 3 2 Diese Multiplikationstabelle stimmt mit der Multiplikationstabelle von (ii) nach dem Struktur Transport e a b 2 c 3 überein. Es folgt aus strukturellen Gründen, daß (M, ) aus (ii) eine Gruppe ist. (ii) Die Strukturelle Die Multiplikationstabelle aus (i) stimmt nach einem naheliegenden Struktur Transport mit der Multiplikationstabelle der Gruppe (Z/2Z) (Z/2Z) überein. Die Gruppe (Z/2Z) (Z/2Z) hat als Elemente Paare (ṅ, ṅ 2) von Elementen ṅ, ṅ 2 Z/2Z. Die Verknüpfung ist komponentenweise definiert: (ṅ, ṅ 2) (ṁ, ṁ 2) := (ṅ ṁ, ṅ 2 ṁ 2). Dann ist die Multiplikationstabelle von (Z/2Z) (Z/2Z) die folgende: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, )

3 Der Struktur Transport ist also: e (, ), a (, ), b (, ), c (, ). Aufgabe 2 Sei G eine nichtleere Menge, versehen mit eine assoziativen Verknüpfung : G G G. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen: (i) G ist eine Gruppe. (ii) Für alle a, b G gilt: Es gibt genau ein x G mit ax = b und es gibt genau ein y G mit ya = b. Wir zeigen zuerst die triviale Richtung (i) (ii). Seien a, b G. Dann gilt a(a b) = (aa )b = eb = b und (ba )a = b(a a) = be = b. Hiermit ist die (explizite) Existenz von zwei Elementen x := a b und y := ba mit den Eigenschaften von (ii) unter Verwendug der Gruppenstruktur von G nachgewiesen. Nun die Eindeutigkeit: Sei x G mit ax = b. Es folgt: x = ex = (a a)x = a (ax) = a b. Dies zeigt die Eindeutigkeit von x. Analog für die Eindeutigkeit von y: Sei y G mit ya = b. Es folgt: Dies zeigt die Eindeutigkeit von y. y = ye = y(aa ) = (ya)a = ba. (Man hätte natürlich gleichzeitig die Existenz und Eindeutigkeit wie in den letzten zwei zentrierten Formeln direkt beweisen können... ) Die Richtung (ii) (i). Wir nehmen an, daß (G, ) eine nicht leere Menge mit einer assoziativen Verknüpfung ist, welche die Eigenschaft (ii) aus der Aufgabenstellung erfüllt. Wir zeigen nun, daß G eine Gruppe ist. () Da G nicht leer ist, gibt es ein Element a G. (2) Die Eigenschaft (ii) sichert, daß es ein Element e a gibt, welches erfüllt: ae a = a. (Bemerkung: Die unorthodoxe Bezeichnung e a möchte betonen, daß e a noch kein neutrales Element sein muß. Es ist nur gut für a, und zwar nur von der linken Seite... ) (3) Behauptung: Für alle b G gilt: e ab = b. Beweis der Behauptung: Sei b G. Dann gilt unter Verwendug der Assoziativität: a(e ab) = (ae a)b = ab. Die Gleichung ax = ab in x hat also die zwei Lösungen e ab und b. Aus der Eindeutigkeitsaussage der Eigenschaft (ii) folgt die Gleichheit e ab = b. Insbesondere gilt auch: e aa = a. (4) Behauptung: Für alle b G gilt: be a = b. Beweis der Behauptung: Sei b G. Dann gilt unter Verwendug der Assoziativität: (be a)a = b(e aa) = ba. Die Gleichung ya = ba in y hat also die zwei Lösungen e ab und b. Aus der Eindeutigkeitsaussage der Eigenschaft (ii) folgt die Gleichheit be a = b. (5) Es folgt, daß e := e a ein neutrales Element von G ist. (6) Behauptung: Für jedes Element a G gibt es ein inverses Element a G mit aa = a a = e.

4 Beweis: Die Gleichungen ax = e und ya = e haben wegen der Eigenschaft (ii) jeweils (genau eine) Lösung. Es existieren also a, a G mit: aa = e und a a = e. daraus folgt unter der Verwendung der Neutralität von e und der Assoziativität in G: a = ea = (a a)a = a (aa ) = a e = a, also a = a. Damit ist die Behauptung (6) bewiesen. Es folgt G Gruppe. (Die Assoziativität war gegeben.) Aufgabe 3 Auf R 2 definieren wir eine Verknüpfung : R 2 R 2 R 2 : [ ] [ ] [ ] [ ] x y x + y x := für alle x 2 y 2 x 2 + y 2 x 2, [ y y 2 ] R 2. Auch definieren wir eine gemischte Verknüpfung : R R 2 R 2 : [ ] [ ] x λx λ := für alle λ R, x 2 [ x x 2 ] R 2. Ist (R 2,, ) ein Vektorraum? Welche Vektorraum Axiome sind erfüllt, welche nicht? Kann das Vektorraum Axiom von der Neutralität der Zahl bei der skalaren Multiplikation weggelassen werden, weil es aus den anderen Axiomen folgt? Erklären Sie bitte stets Ihre Antworten. Frage: Ist (R 2,, ) ein Vektorraum? Antwort: Nein: Das Axiom x = x, alle x R, ist verletzt für x := Frage: Welche Vektorraum Axiome sind erfüllt, welche nicht? Das obige Axiom: x = x, alle x R ist nicht erfüllt. Alle anderen Vektorraum Axiome sind erfüllt: Die Strukturen (R 2, +) und (R 2, ) stimmen per Definition überein. Die Struktur (R 2, +) ist eine abelsche Gruppe. So ist auch (R 2, ) eine abelsche Gruppe. Die anderen Axiome zwei Distributivitäten und die gemischte Assoziativität der skalaren Multiplikation folgen komponentenweise von der Körperstruktur von (R, +, ). Frage: Kann das Vektorraum Axiom von der Neutralität der Zahl bei der skalaren Multiplikation weggelassen werden, weil es aus den anderen Axiomen folgt? Antwort: Nein: Wir haben in der Aufgabe ein illustratives Beispiel gefunden, in welchem alle Axiome bis auf die Neutralität der Zahl gelten. Aufgabe 4 In einer affinen Ebene sei (P, Q ) eine gerichtete Strecke, P Q. Sei P (P, Q ) ein weiterer Punkt in der gegebenen affinen Ebene. Sei h die zu P Q parallele Gerade durch P. Sei k die zu P P parallele Gerade durch Q. Leiten Sie aus den Axiomen (A), (A2), (A3), (A4), (A5), (A6) her, daß der Schnitt h k aus höchstens einem Punkt besteht. Gut. Ich darf also nur die obigen Axiome verwenden! Widerspruchsbeweis: Wir nehmen an, daß der Schnitt h k aus mindestens zwei Punkten besteht. Aus dem Axiom (A) Existenz und Eindeutigkeit einer Geraden durch zwei verschiedene Punkte folgt h = k. Es folgt P Q h = k P P. Die Parallelität ist eine Äquivalenzrelation (A4). Es folgt P Q P P. Es entstehen also zwei paralle Geraden zu P P, welche durch P gehen: P Q P P und P P P P. Aus dem Axiom (A) explizit aus der Eindeutigkeitaussage von (A) stimmen diese zwei Geraden überein: P Q P P. Die Punkte P, P, Q befinden sich also auf einer Geraden. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme: P (P, Q ). [ ]. Unsere Annahme ist falsch. Es folgt: Der Schnitt besteht h k aus höchstens einem Punkt.

5 Aufgabe 5 In einer affinen Ebene seien g, h zwei verschiedene Geraden. (a) Warum gibt es Punkte P, Q mit den Eigenschaften: P g \ h, Q h \ g? (b) Seien P, Q Punkte, P g \ h, Q h \ g. Wir definieren eine Funktion Φ : g h wie folgt: Sei X g. Sei g X die zu P Q parallele Gerade durch X. (Sie existiert und ist eindeutig bestimmt: Axiom (A5).) Zeigen Sie, daß der Schnitt g X h aus genau einem Punkt besteht. Wir bezeichnen diesen Schnittpunkt mit Φ(X). Dies beendet die Definition der Zuordnung Φ : g h. Zeigen Sie, daß Φ bijektiv ist. (a) Seien g, h zwei verschiedene Geraden wie in der Aufgabenstellung. Laut Axiom (A) besteht der Schnitt g h aus höchstens einem Punkt. Laut Axiom (A2) hat jede der Geraden g, h mindestens zwei Punkte. Es folgt leicht die Aussage (a). (b) Seien g, h zwei verschiedene Geraden. Seien P, Q Punkte, P g \ h, Q h \ g. Sei X g. Sei g X die zu P Q parallele Gerade durch X. Behauptung: Der Schnitt g X h besteht aus genau einem Punkt. Beweis der Behauptung: Widerspruchsbeweis: Wir nahmen an, daß der Schnitt nicht aus genau einem Punkt besteht. Dann besteht er aus keinem Punkt oder aus mindestens zwei Punkten. In beiden Fällen folgt g X h. (Das Axiom (A) wurde z.b. verwendet.) Aus P Q g X h folgt mittels (A3) P Q h. Da Q sich auf P Q und auf h befindet, folgt P Q = h: Axiom (A), die Eindeutigkeit einer Parallelen zu P Q durch Q. Es folgt P h. Widerspruch zur Annahme P h. Wir zeigen nun, daß Φ eine Bijektion ist. Um die Notation sinnvoll zu komplizieren, möchte ich diese in der Aufgabe eingeführte Funktion Φ mit bezeichnen. Der Grund: Behauptung: Die Funktion Φ g,h;p,q : g h Φ h,g;q,p : h g ist die Umkehrfunktion zu Φ g,h;p,q : g h. Beweis der Behauptung: Die Wohldefiniertheit wurde im Vorfeld geklärt. Zu zeigen sind die Gleichheiten: Φ h,g;q,p (Φ g,h;p,q (X)) = X, alle X g, Φ g,h;p,q (Φ h,g;q,p (Y )) = Y, alle Y Y. Ohne die allgemeine Lage einzuschränken, reicht es, die erste Gleichheit zu beweisen. (Die zweite folgt durch Symmetrie, oder analog oder durch Umbenennung g h, P Q, etc.) Sei also X g. Wir bilden die Gerade g X, g X P Q, X g X. Sie schneidet h in einem Punkt, den wir mit Y bezeichnen. Dann ist Φ g,h;p,q (X) = Y. Um Φ h,g;q,p (Y ) zu bilden, müssen wir zuerst die Parallele durch Y zu QP bilden. Diese ist g X. (Eventuell wurde dabei Axiom (A5) verwendet... ) Diese Gerade schneidet g in X. Es folgt: X = Φ h,g;q,p (Y ) = Φ h,g;q,p (Φ g,h;p,q (X)). Dies schließt den Beweis der letzten Behauptung. Damit ist die Aussage der Aufgabenstellung bewiesen.

6 Blatt 6 Aufgabe 6 Seien v, v 2,..., v n; v R m, n, m N. Seien λ, λ 2,..., λ n R mit: v = λ v + λ 2v 2 + + λ nv n. Welches lineare Gleichungssystem wird von den Koeffizienten λ, λ 2,..., λ n R erfüllt? Welche ist die Matrix des Systems? Welche ist die inhomogene Spalte des Systems? Die Relation kann als Blockmatrixmultiplikation aufgefaßt werden: v = λ v + λ 2v 2 + + λ nv n λ λ 2 [v v 2... v n]. = v. λ n Man betrachtet dabei v,..., v n als Spaltenvektoren, d.h. Matrizen m. Durch Konkatenation der Vektoren v, v 2,..., v n, gesehen als Blockuntermatrizen, entsteht eine Matrix m n: Diese ist die Matrix des Gleichungssystems. Die freie Spalte ist die m Matrix v. Aufgabe 7 Seien [v v 2... v n]. x := 2 3, x2 := 8 5, x3 := [,, 2, ]. 4 Bestimmen Sie in (x, x 2, x 3) ein maximales linear unabhängiges Teilsystem. Wir wenden das Gauss Verfahren an: x x 2 x 3 2 8 3 5 2 4 6 3 2 6 3 6 3 Es folgt, daß das System (x, x 2, x 3) linear abhängig ist, eine Matrix vom Rang 2 bildet, in welcher die ersten zwei Vektoren unabhängig sind. Ein maximales linear unabhängiges Teilsystem ist (x, x 2). Aufgabe 8 Sei (x, x 2, x 3, x 4) eine Basis eines reellen Vektorraumes. Seien v := x, v 2 := x + 3x 2, v 3 := x + 3x 2 x 3, v 4 := x + 3x 2 x 3 2x 4. Zeigen Sie, daß (v, v 2, v 3, v 4) eine Basis des gegebenen reellen Vektorraumes bilden.

7 Seien λ, λ 2, λ 3λ 4 R mit λ v + λ 2v 2 + λ 3v 3 + λ 4v 4 =. (Wir werden gleich zeigen, daß die Skalare λ, λ 2, λ 3λ 4 alle gleich Null sind.) Es folgt nach der Definition von v, v 2, v 3, v 4 die Relation: (λ + λ 2 + λ 3 + λ 4)x +3(λ 2 + λ 3 + λ 4)x 2 (λ 3 + λ 4)x 3 2λ 4x 4 =. Da (x, x 2, x 3, x 4) eine Basis des gegebenen reellen Vektorraumes bilden folgt: (λ + λ 2 + λ 3 + λ 4) =, +3(λ 2 + λ 3 + λ 4) =, (λ 3 + λ 4) =, 2λ 4 =,. Daraus folgt der Reihe nach: λ 4 =, λ 3 =, λ 2 =, λ =. Aus dieser ganzen Diskussion folgt, daß (v, v 2, v 3, v 4) eine Basis des gegebenen reellen Vektorraumes bilden/bildet. Aufgabe 9 Seien 2 x :=, x 2 :=, x 3 := ; 2 y := 2, y :=. 2 2 4 3 (a) Zeigen Sie, daß (x, x 2, x 3) eine Basis von R 3 ist. (b) Untersuchen Sie, welche Vektoren unter x, x 2, x 3 durch y ersetzt werden kann. (c) Untersuchen Sie, welche Vektoren unter x, x 2, x 3 durch y ersetzt werden kann. Wir werden gleichzeitig die folgenden Schritte durch das Gauss Verfahren erledigen: Wir zeigen, daß das System λ x + λ 2x 2 + λ 3x 3 = nur die triviale Lösung λ = λ 2 = λ 3 = hat, wir schreiben y als lineare Kombination von (x, x 2, x 3), und wir schreiben y als lineare Kombination von (x, x 2, x 3): λ λ 2 λ 3 2 2 2 2 2 4 3 2 2 3 2 3 3 Wir sehen bereits, daß die einzige Lösung des Gleichungssystems λ x + λ 2x 2 + λ 3x 3 = nur die triviale ist. Aus λ λ 2 λ 3 2 2 2 2 2 4 2 2 3 2 3 Folgt (zu explizit) sukzessive λ =, dann λ 3 = und schließlich λ 2 = 2. Man hätte aber auch direkt y = 2x 2 = x + 2 x 2 + x 3 sehen und schreiben können. Nur der Vektor x 2 der Basis (x, x 2, x 3) darf durch y ersetzt werden, damit eine Basis entsteht.

8 Aus λ λ 2 λ 3 2 2 2 3 2 3 2 3 3 folgt (zu explizit) sukzessive λ =, dann λ 3 = und schließlich λ 2 =. Man hätte aber auch direkt y = x x 2 +x 3 schreiben können. Alle drei Vektoren der Basis (x, x 2, x 3) dürfen durch y ersetzt werden, damit eine Basis entsteht. Blatt 7 Aufgabe Seien U, W Untervektorräume eines Vektorraumes V über einem Körper Λ. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen: (a) U W = U + W. (b) U W oder W U. Wir zeigen zuerst (a) (b). Die ist äquivalent zu NICHT(b) NICHT(a). (Allgemeine Aussagenlogik... ) Wir nehmen also NICHT(b) an: U W und W U. Es folgt die Existenz von u U \ W und von w W \ U. Das Element u + w liegt in U + W. Das Element u + w liegt nicht in U, da sonst gilt: w = (u + w) u U U = U, in Widerspruch zur Wahl von w aus W \ U. Das Element u + w liegt nicht in W, da sonst gilt: u = (u + w) w W W = W, in Widerspruch zur Wahl von u aus U \ W. Es folgt also NICHT(a). Die Richtung: (b) (a). Wir nehmen [ U W oder W U ] an. Im Fall U W gilt offensichtlich: U W = W, und W = + W U + W W + W = W, U + W = W. also gilt überall statt sogar =, also: Aus U W = W = U + W folgt (a). Der Fall W U wird analog (oder durch Symmetrie oder durch Umbenennung der Unterräume U W ) betrachtet. Es folgt die Äquivalenz der Aussagen (a) und (b). Aufgabe Gegeben sind die Vektoren x, x 2, x 3, x 4 RR 3 : x :=, x 2 :=, x 3 :=, x 4 :=. 2 Bestimmen Sie eine Basis von L(x, x 2) L(x 3, x 4).

9 Ein Vektor x R 3 befindet sich in L(x, x 2) L(x 3, x 4) genau dann, wenn Skalare λ, λ 2, λ 3λ 4 R existieren, so daß gilt: λ x + λ 2x 2 = x = λ 3x 3 + λ 4x 4. Um solche ektoren zu bestimmen, lösen wir die daraus folgende Gleichung: Gauss Verfahren Einsatz: λ x + λ 2x 2 λ 3x 3 λ 4x 4 =. λ λ 2 λ 3 λ 4 2 2 2 2 3 2 2 2 3 Jede Lösung der dritten Gleichung 2( λ 3) + 3( λ 4) = liefert genau eine Lösung für die ursprüngliche Gleichung. Die allgemeine Lösung ist z.b. λ 3 = 3α, λ 4 = 2α für α R Parameter. Es folgt: L(x, x 2) L(x 3, x 4) = { x R 3 : x = (3α)x 3 + ( 2α)x 4 mit α R } = { α(3x 3 2x 4) : α R} 5 = { α : α R }. Der Vektor 5 bildet also eine Basis des Vektorraumes L(x, x 2) L(x 3, x 4). Aufgabe 2 Sei M eine Menge, welche als disjunkte Vereinigung zweier Mengen M, M 2 geschrieben werden kann. Sei Λ ein Körper. Sei V der Vektorraum der Abbildungen von M nach V mit der wertweisen Addition und Multiplikation von Skalaren: Für f, g V, λ Λ und m M beliebig definiert man f + g unf λf, so daß gelten: (f + g)(m) := f(m) + g(m), (a) Für i =, 2 sei per Notation U i die Untermenge von V : Zeigen Sie, daß U, U 2 Unterräume von V sind. (b) Zeigen Sie: V = U U 2. (λ.f)(m) := λ.(f(m)). U i := { f : M Λ : f(m) = für alle m M }. (a) Es reicht zu zeigen, daß U i für i {, 2} eine Untermenge von V ist, welche abgeschlossen bzgl. Addition und Skalarmultiplikation ist und welche die Nullfunktion enthällt. Die Nullfunktion befindet sich in U, U 2. (Unbedingt erwähnen! Kein Kommentar.) Sei i {, 2} fest. Seien f, g U i und λ, µ Λ. Es reicht zu zeigen, daß λf + µg in U i liegt.

Sei m M i beliebig. Dann gilt: (λf + µg)(m) := (λf)(m) + (µg)(m) := λ f(m) + µ g(m) = λ + µ... da f, g U i ; m M i... =. Es folgt (λf + µg) U i. Wir haben damit gezegt, daß U, U 2 Unterräume von V sind. (b) Es reicht zu zeigen, daß im Durchschnitt U und U 2 nur der Nullvektor (die Nullfunktion) liegt, und daß sich jede Funktion f V als Summe von zwei geeigneten Funktionen f U, f 2 U 2 schreiben läßt. (Die Existenz dieser zwei Funktionen muß explizit gezeigt werden.) Sei f U U 2. (Wir zeigen f =.) Sei m M = M M 2 beliebig. Dann liegt m entweder in M oder in M 2. Dann gilt im ersten Fall m M die Gleichheit f(m) =, da f in M liegt, bzw. im zweiten Fall m M 2 die Gleichheit f(m) =, da f in M 2 liegt. Es folgt f(m) =. Es folgt f =. (f ist die Nullfunktion. Nicht zu verwechseln mit dem Nullvektor V.) Sei nun f V beliebig. (Wir zeigen, daß f sich als Summe von zwei geeigneten Funktionen f U, f 2 U 2 schreiben läßt.) Wir definieren die Funktionen f, f 2 : M Λ: f (m) := Dann gelten offensichtlich die Relationen: { für m M f(m) für m M 2 f 2(m) := f U, f 2 U 2 ; f + f 2 = f. { f(m) für m M für m M 2 Dies schließt den Beweis von (b) Aufgabe 3 (a) Sei V = U W die Darstellung eines Vektorraumes V als direkte Summe von zwei Unterräume U, V V. Sei f : V V die Parallelprojektion auf den Unterraum U parallel zu W. Zeigen Sie die Gleichheiten: U = {v V : f(v) = v }, W = {v V : f(v) = }. (b) Eine lineare Abbildung f : V V heißt idempotent genau dann, wenn gilt: f f = f. Zeigen Sie die Äquivalenz der Aussagen: (i) f ist idempotent. (ii) f ist eine Parallelprojektion. (a) Wir zeigen U {v V : f(v) = v }: Sei u U beliebig. (Wir zeigen f(u) = u... ) Aus der Darstellung u = u + = u U W folgt f(u) = u. OK. Wir zeigen U {v V : f(v) = v }: Sei v V mit der definierenden Eigenschaft f(v) = v der obigen Menge... (Wir zeigen zu explizit für meinen Geschmack: v U.) Sei v = u w U W die Darstellung von v als Summe von geeigneten Vektoren u U, w W. Es folgt f(v) = u. Schließlich: v = f(v) = u U. Wir zeigen W {v V : f(v) = }. Sei w w beliebig. (Wir zeigen f(w) =... ) Aus der Darstellung w = + w = w U W folgt f(w) =. OK. Wir zeigen W {v V : f(v) = }: Sei v V mit der definierenden Eigenschaft f(v) = der obigen Menge... (Wir zeigen zu explizit für meinen Geschmack: v W.) Sei v = u w U W die Darstellung von v als Summe von geeigneten Vektoren u U, w W. Es folgt f(v) = u. Schließlich: = f(v) = u, also v = u + w = + w = w W.

Bemerkung: Man hätte vielleicht direkt die zwei Gleichheiten zeigen können, wenn man geschickt argumentiert hätte. Beim Korrigieren hatte ich jedoch große Schwierigkeiten... Es war für viele Studenten nicht klar, was zu zeigen ist, wie man startet und wann man fertig ist... (b) Wir zeigen (i) (ii) zuerst. Wir nehmen f idempotent an. (Nun müssen wir explizit die Räume U, W einführen/ konstruieren/ definieren, und dann ausgehend von dieser Konstruktion/ Definition zeigen, daß f eine Parallelprojektion bzgl. der Darstellung V = U W auf U ist.) Wir definieren (führen ein): U := Bild f, W := Kern f. Dann sind U, W Unterräume von V. Wir zeigen nun die Gleichheit V = U W : Dabei zeigen wir: U W = {}, U + W = V : Sei v U W. (Wir wollen v = zeigen.) Aus v U = Bild f folgt die Existenz eines v V mit v = f(v ). Aus v W folgt f(v) =. Es folgt daraus: v = f(v ) = (f f)(v ) = f(f(v )) = f(v) =. Dies beweist U W = {}. Wir zeigen nun: U + W = V, eigentlich nur U + W V Sei v V. Dann hat v die Darstellung: v = f(v) + (v f(v)) }{{}}{{} Bild f Kern f Begründung: f(v) liegt offensichtlich in Bild f = U, (v f(v)) liegt in Kern f = W, da gilt: Dies beweist U + W = V. f(v f(v)) = f(v) f(f(v)) = f(v) f(v) =. Wir zeigen nun, daß f eine Parallelprojektion auf U bzgl. der Darstellung V = U W ist. Dies folgt aus der bereits geklärten Darstellung für ein beliebiges v V : v = f(v) + (v f(v)) = f(v) (v f(v)) U W, }{{}}{{} Bild f Kern f da aus dieser Darstellung der obige U Anteil f(v) durch die Parallelprojektion auf U parallel zu W isoliert wird. (b) Wir zeigen des weiteren (ii) (i): Sei f eine Parallelprojektion auf U bzgl. einer Darstellung V = U W. Sei v V. Wir zeigen f(f(v)) = f(v). Sei v = u + w = u w U W die Darstellung von v mit Komponenten u U, w W. Aus der Darstellung u = u + = u U W folgt f(u) = u. Fazit: f(f(v)) = f(u) = u = f(v).. Folglich ist f idempotent. Aufgabe 4 Wir betrachten die Basis b = (x, x 2, x 3) in R 3 und die Basis c = (y, y 2) R 2 : [ ] [ ] x :=, x 2 :=, x 3 := ; y :=, y 2 :=. Sei f : R 3 R 2 die Abbildung: λ [ ] f λ 2 2λ λ 3 := λ λ +λ 2 +λ 3 3 für alle λ λ 2 R 3. λ 3 (a) Bestimmen Sie die Bilder der kanonischen Basis von R 3 durch f und schreiben Sie f in Matrizenform bzgl. der kanonischen Basen von R 3 und R 2. (b) Bestimmen Sie die Bilder der Basis b von R 3 durch f, schreiben Sie diese bzgl. der Basis c von R 2 und schreiben Sie f in Matrizenform bzgl. der Basen b von R 3 und c von R 2.

2 (a) Es gilt für die kanonische Basis e = e R 3 = (e, e 2, e 3) von R 3 bzgl. der kanonischen Basis e = e R 2 = (e, e 2) von R 2 (Sorry: Notationsmißbrauch für e und e 2... ): f(e ) = f = f(e 2) = f = f(e 3) = f = [ ] 2 = 2e + e 2, [ ] = e 2, [ ] = e + e 2. Nicht für diese Aufgabe wichtig vielleicht jedoch für ein besseres Gefühl im Umgang mit formalen Berechnungen in Bezug auf den Basiswechsel Formalismus ist es die Bemerkung, daß man die obigen drei Gleichheiten sehr formal in das Format einer Matrizen Gleichheit bringen kann: e 2e +e 2 2 [ ] f e 2 = e 2 = e. e e 3 e +e 2 2 In der letzten Matrizen Gleichheit sind die Einträge kompliziert, auf jeden Fall nicht reelle Zahlen, nicht Elemente des Grundkörpers R. Andererseits könnte man f auch so in Matrizen Gleichheit λ f λ 2 = λ 3 [ 2 ] λ λ 2. λ 3 Die Matrizenform von f bzgl. der kanonischen Basen in R 3 und R 2 ist: [ ] 2. Bemerkung: Die transponiert dieser Matrix erschien auch in einem dualen Kontext. Es wäre gut, sich die Gemeinsamkeiten und die Unterschiede der Objekte in den letzten Zeilen einzuprägen. Das Beispiel ist hier einfach und der Rahmen der kanonischenbasen läßt alle Gleichheiten leicht neacprüfen. Die Lage wird aber demnächst unübersichtlicher, wenn andere Basen auch im Spiel sind. (b) Bzgl. der Basen b, c kann man dann schreiben: f(b ) = f = f(b 2) = f = f(b 3) = f = [ ] 2 = c + c 2, [ ] 2 = 2c 2 2, [ ] = 2c 3 2 + 3c 2. Nicht für diese Aufgabe wichtig vielleicht jedoch für ein besseres Gefühl im Umgang mit formalen Berechnungen in Bezug auf den Basiswechsel Formalismus ist es die Bemerkung, daß man die obigen drei Gleichheiten sehr formal in das Format einer Matrizen Gleichheit bringen kann: b c +c 2 [ ] f b 2 = 2c 2 = 2 c. c 2 b 3 2c +3c 2 2 3 Die Matrizenform von f bzgl. der kanonischen Basen b in R 3 und c in R 2 istdie transponierte Matrix zur obigen 3 2 Matrix, also die Matrix: [ ] 2 2 2.

3 Die drei Spaltenvektoren dieser Matrix wurden explizit in der ursprünglichen Aufgabenstellung gefragt... Blatt 8 Aufgabe 5 Sei (G, ) eine Gruppe mit neutralem Element e. Seien a, b G. Dann sind die folgenden zwei Aussagen äquivalent: (i) [ ab = a oder ab = b ], (ii) [ a = e oder b = e ]. Gehen Sie schrittweise vor und geben Sie für jeden Schritt ein Argument an! Wir zeigen die Richtung (i) (ii): Wir nehmen (i) an, und zwar zuerst den Fall ab = a. Dann folgt daraus sehr schrittweise: b = eb, e ist neutrales Element = (a a)b, a, das Inverse zu a, existiert in G und erfüllt a a = e = a (ab), Assoziativität = a a, ab = a war gegeben in der Hypothese = e, a ist erneut invers zu a. Wir nehmen nun ab = b an. Dann folgt analog: a = ae, e ist neutrales Element = a(bb ), b, das Inverse zu b, existiert in G und erfüllt bb = e = (ab)b, Assoziativität = bb, ab = b war gegeben in der Hypothese = e, b ist erneut invers zu b. Die Richtung (ii) (i) ist trivial. Sie verwendet die Neutralität von e. Aufgabe [ ] 6 In R 2 sei die Addition wie üblich erklärt und die Multiplikation eines Skalars λ R mit einem Vektor λ R 2 wie folgt: λ 2 λ [ λ λ 2 ] := 2λ Überprüfen Sie auf ihre Gültigkeit (a) das Assoziativgesetz der Multiplikation mit Skalaren und (b) eines der Distributivgesetze! [ λ λ 2 ] [ ] 2λλ =. 2λλ 2 (a) Das Assoziativgesetz der Multiplikation mit Skalaren gilt nicht: [ ] [ ] [ ] 2 ( ) = = 2 ( [ ]) [ ] [ ] 2 4 = = 2 4,, (Bemerkung: Um die weiteren Berechnungen übersichtlicher zu gestalten, werde ich mit v einen Vertreter des Geschlechts der Vektoren in R 2 bezeichnen. Dann hat man für alle v (für einen hätte es gereicht... ): ( ) v = v = 2v und ( v) = (2v) = 4v,

4 und es folgt aus 2v 4v anschließend ( ) v ( v). Es ist mir ein Rätsel, warum die Aufgabe mit einer komplizierteren Notation gestellt wurde.) (b) Seien λ, µ Λ, u, v R 2 beliebig. Dann gelten die Distributivgesetze: (λ + µ) v := 2(λ + µ)v = 2λv + 2µv übliche Distributivität in R 2, =: λ v + µ v, λ (u + v) := 2λ(u + v) = 2λu + 2λv übliche Distributivität in R 2, =: λ u + λ v. Aufgabe 7 U, U 2, U 3 seien Untervektorräume eines Vektorraumes V über einem Körper Λ. (a) Zeigen Sie die Inklusion: (U U 2) + U 3 (U + U 3) (U 2 + U 3). (b) Geben Sie ein Beispiel, in welchem die obige Inklusion strikt ist. (a) Sei v (U U 2) + U 3. (Wir zeigen: v (U + U 3) (U 2 + U 3).) Dann existieren u,2 (U U 2), u 3 U 3 mit v = u,2 + u 3. Es folgt v = u,2 + u 3 (U + U 3) und v = u,2 + u 3 (U 2 + U 3), also v (U + U 3) (U 2 + U 3). (b) Wir geben das Beispiel im Vektorraum R 2 über R. Wir wählen dabei die folgenden Unterräume von V : [ ] U ist der Unterräum von V mit der Basis bestehend aus dem einzigen Vektor e :=. [ ] U 2 ist der Unterräum von V mit der Basis bestehend aus dem einzigen Vektor e 2 :=. [ ] U 3 ist der Unterräum von V mit der Basis bestehend aus dem einzigen Vektor v :=. Dann gilt: (U U 2) + U 3 = + U 3 = U 3, (U + U 3) (U 2 + U 3) = V + V = V. Dabei gilt (U + U 3) = (U 2 + U 3) = V, da {e, v} und {e 2, v} Basen von V = R 2 sind. Aufgabe 8 Sei M eine Menge und V der Vektorraum aller Abbildungen von M nach dem Körper Λ mit der wertweisen Addition und Multiplikation mit Skalaren. Seien M, M 2 Untermengen von M, welche M überdecken, M M 2 = M, und einen nichtleeren Schnitt haben, M M 2. Seien U, U 2 die Unterräume von V : Untersuchen Sie, ob V = U U 2 gilt. U := { f : M Λ : f(m ) = für alle m M }, U 2 := { f : M Λ : f(m 2) = für alle m 2 M 2 }. Nein, das gilt nicht. Wir zeigen, daß U + U 2 V ist. Aus M M 2 folgt, daß es ein Element m M M 2 gibt. Sei f V die Funktion, welche an jeder Stelle den Wert Λ annimmt. Wir begründen nun kurz, warum f nicht von der Gestalt f + f 2 mit f U, f 2 U 2 ist. Es gilt nähmlich mit den obigen Notationen: f(m ) = und (f +f 2)(m ) = f (m )+f 2(m ) = + =.

5 Aufgabe 9 Sei V = { φ : R R } der Vektorraum aller reellen Funktionen mit der wertweisen Addition und der wertweisen Skalarmultiplikation. Die Abbildung f : V R 2 sei definiert durch: [ ] φ() f(φ) :=. φ(π/4) Untersuchen Sie, ob die folgenden Eigenschaften von f gelten oder nicht: (a) f ist linear. (b) Seien s, c V die Funktionen s, c : R R, s(x) := sin(2x), c(x) := cos(2x), alle x R. Ist (f(s), f(c)) ein linear unabhängiges System in R 2? (c) Ist (s, c) ein linear unabhängiges System in V? (a) Ja, f ist linear: Wir zeigen (für weniger Verwirrung) zuerst die Additivität von f und dann die Homogenität von f (und nicht beide Eigenschaften zusammen... ). Seien φ, ψ V und λ R beliebig. Dann gilt: f(φ + ψ) = Es folgt die Linearität von f. [ ] [ ] (φ + ψ)() φ() + ψ() = (φ + ψ)(π/4) φ(π/4) + ψ(π/4) = f(φ) + f(ψ). [ ] (λφ)() f(λφ) = = (λφ)(π/4) = λf(φ). = [ ] [ ] λφ() φ() = λ λφ(π/4) φ(π/4) [ ] [ ] φ() ψ() + φ(π/4) ψ(π/4) (b) Es gilt: f(s) = [ ] s() = s(π/4) [ ], f(c) = [ ] c() = c(π/4) [ ]. Die Vektoren f(s), f(c) aus R 2 sind offensichtlich unabhängig. (c) Da f linear ist und (f(s), f(c)) ein linear unabhängiges System in R 2 ist, ist dann das System (s, c) linear unabhängig in V. (Eine lineare Funktion bildet linear abhängige Systeme von Vektoren in linear abhängige Systeme von Vektoren ab.) Aufgabe 2 Sei V ein Vektorraum und seien U, W Unterräume von V mit der Eigenschaft V = U W. Sei g : V V eine Parallelspiegelung von V an U parallel zu V : Dies bedeutet Folgendes: Ein Vektor v = u + w V, wobei u U, w W (eindeutig) geeignet gewählt sind, wird durch g auf den Vektor abgebildet. Zeigen Sie die folgenden Gleichheiten: g(v) := u w U = {v V : g(v) = v }, V = {v V : g(v) = v }. (a) Sei u U. Dann ist u = u + = u U W die Direkte Summe Darstellung ( so kann man angeblich in der neuen Schreib Reform die Anzahl der Groß Buchstaben maximieren... ) von u. Es folgt g(u) = u = u. Wir haben dadurch die Inklusion U {v V : g(v) = v }. Die andere Inklusion: Sei v V mit der Eigenschaft g(v) = v. Sei v = u + w = v w U W, u U, w W, die eindeutige Direkte Summe Darstellung von v. Dann gilt Die andere Inklusion ist auch bewiesen. v = g(v) = u U. (b) Sei w W. Dann ist w = + w = w U W die Direkte Summe Darstellung von w. Es folgt g(w) = w = w. Wir haben dadurch die Inklusion W {v V : g(v) = v } gezeigt.

6 Die andere Inklusion: Sei v V mit der Eigenschaft g(v) = v. Sei v = u + w = v w U W, u U, w W, die eindeutige Direkte Summe Darstellung von v. Dann gilt v = g(v) = w W. Die andere Inklusion ist auch bewiesen. Aufgabe 2 Seien V, W zwei Vektorräume über einem Körper Λ und sei f : V W eine bijektive lineare Abbildung. Zeigen Sie, daß f homogen ist. Seien w W, λ Λ beliebig. Dann gilt: f (λw) = f ( λf(f (w)) ) f ist invers zu f = f ( f(λf (w)) ) da f linear ist = f (f (λf (w)) ) ein TEX Spiel mit einem leeren Raum = λf (w). Das war s. Aufgabe 22 Seien V, W zwei Vektorräume über einem Körper Λ. Sei L(V, W ) die Menge (in der Vorlesung bereits der Vektorraum über Λ) aller linearen Abbildungen von V nach W. Seien f L(V, W ) und λ Λ. Dann liegt die Abbildung λf auch in L(V, W ). Wir zeigen dirkt, daß die Abbildung λf linear ist: Seien v, v 2 V, λ λ 2 Λ. Dann gilt: (λf) (λ v + λ 2v 2) = λ f(λ v + λ 2v 2) Definition der Skalarmultiplikation auf L(V, W ) = λ ( λ f(v ) + λ 2f(v 2) ) da f linear ist... = λλ f(v ) + λλ 2f(v 2) Distributivität in W... = λ λf(v ) + λ 2λf(v 2) Kommutativität von Λ... = λ (λf)(v ) + λ 2(λf)(v 2) Definition der Skalarmultiplikation auf L(V, W ). Es folgt die Linearität von λf, also λf L(V, W ).