ZAHLENTHEORIE. Skriptum zur Vorlesung von Prof. Michael DRMOTA

ZAHLENTHEORIE Skritum zur Vorlesung von Prof. Michael DRMOTA

Inhaltsverzeichnis Teilbarkeit in ganzen Zahlen. ggt und kgv............................2 Fundamentalsatz der Zahlentheorie............... 3.3 Gaußsche ganze Zahlen...................... 4 2 Kongruenzen 6 2. Eulersche ϕ-funktion....................... 6 2.2 Chinesischer Restsatz....................... 7 2.3 Primitivwurzeln.......................... 8 2.4 Polynomiale Kongruenzen.................... 8 2.5 Die Carmichaelfunktion..................... 9 3 Quadratische Reste 0 3. Legendresymbol.......................... 0 3.2 Quadratisches Rezirozitätsgesetz................ 3.3 Jacobisymbol........................... 2 3.4 Gaußsche Summen modulo................... 2 4 Diohantische Gleichungen 4 4. Lineare diohantische Gleichungen............... 4 4.2 Quadratische diohantische Gleichungen............ 4 4.3 Summen von Potenzen...................... 6 5 Kettenbrüche 7 6 Primzahlen 20 6. Zahlentheoretische Funktionen.................. 20 6.2 Analytischer Beweis des Primzahlsatzes............. 23 i

Kaitel Teilbarkeit in ganzen Zahlen. Größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches Definition.. Seien a, b Z. a heißt teilbar durch b (a teilt b, b ist Vielfaches von a), wenn es ein q Z mit a q = b gibt. Man schreibt dafür auch a b. Lemma... a b, c Z a b c 2. a b a c, β, γ Z a β b + γ c 3. a b b a a = ±b Satz.. Für je zwei ganze Zahlen a, b mit b 0 gibt es ganze Zahlen q, r mit a = q b + r, wobei 0 r < b gilt. (q heißt Quotient und r Rest.) Definition..2 Seien a, b Z. Eine ganze Zahl d > 0 heißt größter gemeinsamer Teiler von a, b, wenn folgende zwei Eigenschaften erfüllt sind:. d a d b 2. t a t b t d. Man schreibt dafür d = ggt(a, b) oder d = (a, b). Definition..3 Seien a, b Z. Eine ganze Zahl v > 0 heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches von a, b, wenn folgende zwei Eigenschaften erfüllt sind:

. a v b v 2. a w b w v w. Man schreibt dafür v = kgv(a, b) oder v = [a, b]. Satz..2 Zu je zwei ganzen Zahlen a, b gibt es einen eindeutig bestimmten größten gemeinsamen Teiler d. Weiters gibt es ganze Zahlen x, y mit ax+by = d. Definition..4 Zwei ganze Zahlen a, b heißen teilerfremd, wenn (a, b) = ist. Lemma..2 Ist d der größte gemeinsame Teiler von a, b, so sind a d, b d teilerfremd: (a, b) = d ( a d, b d ) =. Lemma..3 (a, b) = a b c a c. Satz..3 Zu je zwei ganzen Zahlen a, b gibt es ein eindeutig bestimmtes kleinstes gemeinsames Vielfaches v. Weiters gilt v = a b (a,b). Definition..5 Seien a j, j n, ganze Zahlen. Eine ganze Zahl d > 0 heißt größter gemeinsamer Teiler von a j, j n, wenn folgende zwei Eigenschaften erfüllt sind:. d a j, j n 2. t a j, j n t d. Man schreibt dafür auch d = ggt(a,..., a n ) oder d = (a,..., a n ). Entsrechend heißt eine ganze Zahl v > 0 kleinstes gemeinsames Vielfaches von a j, j n, wenn folgende zwei Eigenschaften erfüllt sind:. a j v, j n 2. a j w, j n v w. Man schreibt dafür auch v = kgv(a,..., a n ) oder v = [a,..., a n ]. Satz..4 Zu jeder Auswahl von ganzen Zahlen a j, j n, gibt es eindeutig bestimmte größte gemeinsame Teiler d = (a,..., a n ) und kleinste gemeinsame Vielfache v = [a,..., a n ]. d und v lassen sich rekursiv bestimmen, etwa durch d = (a,..., a n ) = ((... ((a, a 2 ), a 3 )...), a n ) v = [a,..., a n ] = [[... [[a, a 2 ]a 3 ]...], a n ]. Weiters gibt es ganze Zahlen x j, j n mit a x +... + a n x n = d. 2

.2 Fundamentalsatz der Zahlentheorie Definition.2. Eine ganze Zahl > heißt Primzahl, wenn sie nur die trivialen Teiler ±, ± hat. Die Menge aller ganzzahligen Primzahlen wird durch P bezeichnet. Lemma.2. P a b a b Satz.2. (Fundamentalsatz der Zahlentheorie) Jede natürliche Zahl n läßt sich bis auf die Reihenfolge eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen. Bemerkung.2.2 Jede natürliche Zahl n läßt sich daher auch durch n = ν (n) P, n reräsentieren, wobei ν (n) die Vielfachheit von P in n bezeichnet. Definiert man für jene P mit teilt nicht n ν (n) = 0, so erhält man auch formal das unendliche Produkt n = P ν (n). Satz.2.2 P = Satz.2.3 (a,..., a n ) = P min(ν(a ),...,ν (a n)) [a,..., a n ] = P max(ν (a ),...,ν (a n )) Satz.2.4 (Wilson) Für m > gilt: m P m (m )! +. Bemerkung.2.3 Führt man die Kongruezschreibweise a b (m) für m b a ein, so kann m (m )!+ auch durch (m )! (m) dargestellt werden. 3

.3 Gaußsche ganze Zahlen Definition.3. Z[i] = {a + bi a, b Z} wird als Menge der Gaußschen ganzen Zahlen bezeichnet. Bezüglich der gewöhnlichen Addition (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i und der gewöhnlichen Multilikation (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i ist Z ein Integritätsbereich. N(a + ib) = a + ib 2 = (a + ib) (a ib) = a 2 + b 2 wird als Norm von a + ib bezeichnet. z = a + ib Z[i] heißt teilbar durch z 2 = c + id Z[i], wenn es ein z 3 = e + if Z[i] mit z z 3 = z 2 gibt. Man schreibt auch z z 2. Lemma.3.. z, z 2 Z[i], z z 2 N(z ) N(z 2 ) ( Z) 2. N(z) = z {±, ±i}. 3. z z 2 z 2 z z = ε z 2, ε {±, ±i} Satz.3. Für je zwei Gaußsche ganze Zahlen z, z 2 Z[i] mit z 2 0 gibt es q, r Z[i] mit z = q z 2 + r, wobei N(r) < N(z 2 ) gilt. Bemerkung.3.2 Satz.3. ist das Analogon zu Satz.., der grundlegend für alle weiteren Eigenschaften (Sätze..2 -.2.3 ) ist. Es gelten daher die entsrechenden Eigenschaften auch für Z[i]. Insbesondere gibt es eine bis auf die Reihenfolge und mögliche Faktoren ±, ±i eindeutige Primfaktorzerlegung. Lemma.3.3 Für P ist die Kongruenz x 2 () genau dann lösbar, wenn 3 (4). Für = 2 ist x = Lösung und für (4) x = ±( )! 2. Lemma.3.4 Für P und x Z gibt es a, b Z mit a <, b < und ax b (). Lemma.3.5 Sind a, b, c, d Z mit 0 < a < b und 0 < c < d, so dass a 2 + b 2 = c 2 + d 2 P, dann gilt a = c und b = d. 4

Satz.3.2 Für jede Primzahl P mit (4) gibt es eindeutig bestimmte natürliche Zahlen a < b mit a 2 + b 2 =. Satz.3.3 Die Primzahlen in Z[i] sind. ±, ±i, 2. ε mit ε {±, ±i}, und P, 3 (4), und 3. ε (a + ib) mit ε {±, ±i} und a 2 + b 2 = P, (4). Satz.3.4 Eine natürliche Zahl n ist genau dann als Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen darstellbar, wenn alle Primteiler P von n mit 3 (4) in gerader Vielfachheit ν (n) 0 (2) auftreten. 5

Kaitel 2 Kongruenzen 2. Die Eulersche ϕ-funktion Definition 2.. Seien a, b Z, m N. Man sagt a ist kongruent zu b modulo m, a b (m), wenn m (a b). Die Menge ā = {b Z a b (m)} = a + mz heißt die von a erzeugte Restklasse modulo m. Auf den Restklassen wird duch a + b = a + b, a b = a b eine Addition und eine Multilikation erklärt. Bezeichnet man mit Z m die Menge aller Restklassen modulo m, so ist Z m = m und Z m, +, ein kommutativer Ring mit Einselement. Die Einheitengrue Z m besteht aus jenen Restklassen ā, die ein multilikatives Inverses besitzen. Ihre Ordnung ϕ(m) = Z m wird als Eulersche ϕ-funktion bezeichnet. Lemma 2.. a b (m), c d (m) a + c b + d (m), a c b d (m) Lemma 2..2 ā Z m (a, m) = Folgerung 2.. ϕ(m) = { a m (a, m) = } Satz 2.. ϕ(m) = m P, m ( ) = P, m ν(m) ( ) 6

Satz 2..2 (m, n) = ϕ(m n) = ϕ(m) ϕ(n) Satz 2..3 d m, d m ϕ(d) = m Satz 2..4 Z m ist Körer Z m ist Integritätsbereich m P Satz 2..5 (Kleiner Fermatscher Satz) (a, m) = a ϕ(m) (m) Folgerung 2..2 / P, teilt nicht a a () Folgerung 2..3 P, a Z a a () 2.2 Chinesischer Restsatz Satz 2.2. Seien a, b Z, m N. Die Kongruenz ax b (m) ist genau dann lösbar, wenn (a, m) b. In diesem Fall ist die Lösung modulo m (a,m) eindeutig. Lemma 2.2. Seien m, m 2,..., m r aarweise teilerfremd und a 0 (m j ), j r. Dann gilt a 0 (m m 2 m r ). Satz 2.2.2 (Chinesischer Restsatz) Seien m, m 2,..., m r N aarweise teilerfremd und a, a 2,..., a r Z. Dann gibt es eine Lösung des Kongruenzensystems x a j (m j ), j r, die modulo m = m m 2 m r eindeutig ist. Folgerung 2.2. Sind m,, m r m = m m 2 m r, so gilt N aarweise teilerfrend und bezeichne Z m, +, = Z m, +, Z mr, +,, also auch Z m, = Z m, Z m r,. Bemerkung 2.2.2 Für aarweise teilerfremde m,, m r N gilt daher ϕ(m) = ϕ(m ) ϕ(m 2 ) ϕ(m r ), wie auch aus Satz 2..2 folgt. Weiters reicht es, um Z m zu charakterisieren, für Primzahlen P zu bestimmen. Z e 7

2.3 Primitivwurzeln Definition 2.3. Eine natürliche Zahl g > heißt Primitivwurzel modulo m, wenn die Potenzen von g alle rimen Restklassen modulo m durchlaufen, d.h. ḡ ist erzeugendes Element von Z m. Satz 2.3. (Gauß) Genau für die Module m =, 2, 4, e, 2 e, wobei eine ungerade Primzahl ist und e ist, gibt es eine Primitivwurzel modulo m, d.h. Z m ist zyklisch. Lemma 2.3. Z ist für jede Primzahl zyklisch. Lemma 2.3.2 Sei g Primitivwurzel modulo einer Primzahl. Dann gilt entweder g ( 2 ) oder (g + ) ( 2 ). Lemma 2.3.3 Sei g Primitivwurzel modulo einer ungeraden Primzahl, für die g ( 2 ) gilt. Dann ist g k 2 ( ) ( k ) für alle k 2. Folgerung 2.3. Z und e Z 2e sind für alle ungeraden Primzahlen und alle e zyklisch. Lemma 2.3.4 Sind m, n > 2 zwei teilerfremde natürliche Zahlen mit (m, n) =, dann ist Z m n nicht zyklisch. Satz 2.3.2 Z 2 e = { 5, 5 2,..., 5 2e 2, 5, 5 2,..., 5 2e 2 } für alle e 3. 2.4 Polynomiale Kongruenzen Satz 2.4. Seien m, m 2,..., m r N teilerfremd, m m 2,, m r und f(x) ein ganzzahliges Polynom. Dann ist die Kongruenz f(x) 0 (m) genau dann lösbar, wenn die Kongruenzen f(x) 0 (m ), f(x) 0 (m 2 ),, f(x) 0 (m r ) jeweils lösbar sind. Lemma 2.4. Für eine Primzahl und ein ganzzahliges Polynom f(x) vom Grad n hat die Kongruenz f(x) 0 () höchstens n inkongruente Lösungen modulo. Satz 2.4.2 Sei e > und seien n, n 2,..., n k ein vollständiges System von modulo e inkongruenten Lösungen von f(x) 0 ( e ), so erhält man ein vollständiges System von inkongruenten Lösungen von f(x) 0 ( e ), indem man für jedes u j die Zahlen u j + v e bildet, wobei v alle (mod inkongruenten) Lösungen der linearen Kongruenzen f (u j )v f(u j) () e durchläuft. Folgerung 2.4. Ist f(u) 0 () für eine Primzahl und f (u) 0 (), so sind alle Kongruenzen f(x) 0 ( e ) für e lösbar. 8

2.5 Aendix: Die Carmichaelfunktion λ(u) Definition 2.5. λ(n) = max{ord Z n (a) a Z n} Satz 2.5. λ(2) = ; λ(4) = 2; λ(4 e ) = 2 e 2 (e 2); λ( e ) = e ( ) ( P, (2), e ); n = e r e r λ(n) = kgv(λ( e ),..., λ( r e r )). 9

Kaitel 3 Quadratische Reste 3. Legendresymbol Lemma 3... Eine allgemeine quadratische Kongruenz ax 2 +bx+c = 0 (m) ist genau dann lösbar, wenn die Kongruenz (2ax + b) 2 b 2 4ac (4am) lösbar ist. e e 2. Sei m = r r die Primfaktorenzerlegung von m. Eine reinquadratische Kongruenz x 2 a (m) ist genau dann lösbar, wenn x 2 e a ( j j ) für alle j =, 2,..., r lösbar ist. 3. Sei P und e. Weiters sei a = f b mit (b, ) =. Eine reinquadratische Kongruenz x 2 = a ( e ) ist für f < e genau dann lösbar, wenn f gerade ist und die Kongruenz y 2 b (b e f ) lösbar ist. 4. Sei P ungerade und (a, ) =. Ist die Kongruenz x 2 a () lösbar, so auch die Kongruenzen x 2 a ( e ) für alle e. 5. Sei a ungerade. Dann ist die Kongruenz x 2 a (2) immer lösbar, die Kongruenz x 2 a (4) nur im Fall a (4) lösbar und schließlich die Kongruenz x 2 a (2 e ) für e 3 nur im Fall a (8) lösbar. Bemerkung 3..2 Die Lösbarkeit allgemeiner quadratischer Kongruenzen ist daher auf den Fall x 2 a () (mit (a, ) =, siehe (4.)) zurückgeführt worden. ( P ungerade) Definition 3.. Sei P und (a, ) =. a heißt quadratischer Rest modulo, wenn die Kongruenz x 2 a () lösbar ist und quadratischer 0

Nichtrest modulo, wenn die Kongruenz x 2 a () keine Lösung hat. Das Legendresymbol ( a ) ist durch ( a +, falls a quadratischer Rest modulo ist, = 0, falls ggt(a, ), d.h. a, ), falls a quadratischer Nichtrest modulo ist. definiert. Lemma 3..3 Sei g Primitivwurzel modulo ( P) ungerade. Dann gilt für alle k N ( ) ( ) g 2k g 2k+ = und =. Lemma 3..4 ( ) ( ) ( ) a b a b = Satz 3.. (Eulersches Kriterium) ( ) a a 2 (). ( P ungerade) 3.2 Quadratisches Rezirozitätsgesetz Satz 3.2. (. Ergänzungssatz) ( ) = ( ) 2 ( P ungerade) Lemma 3.2. (Gauß) Sei P ungerade und (a, ) =. Bezeichnet n die Anzahl der Zahlen der Menge {a, 2a, ( ) 3a,..., a}, deren Reste bei 2 Division durch größer als sind, so gilt a = ( ) n. 2 Satz 3.2.2 (2. Ergänzungssatz) ( ) 2 = ( ) 2 8 ( P ungerade) Lemma 3.2.2 P ungerade, a ungerade, ( ) a (a, ) = = ( ) P 2 j= [ ja ]. Satz 3.2.3 (Quadratisches Rezirozitätsgesetz) Für verschiedene ungerade Primzahlen, q P gilt ( ) ( ) q = ( ) 2 q 2. q

3.3 Jacobisymbol Definition 3.3. Für ganze Zahlen a und ungerade ositive Zahlen b mit (a, b) = wird das Jacobisymbol ( ) a b durch ( a ) ( ) ( ) a a = b definiert, wobei b = l eine( Zerlegung von b in nicht notwendigerweise a verschiedene Primzahlen ist und das Legendresymbol bezeichne. j ) Satz 3.3. Für ganze Zahlen a, a 2 bzw. ungerade Zahlen b, b 2 bzw. a, b gilt. ( ) ( a a 2 b = a ) ( b a2 ) b ( ) ( ) ( ) a a a 2. b b 2 = b b 2 3. ( ) b b = ( ) 2 4. ( ) b 2 b = ( ) 2 2 5. ( a b ) ( b a ) = ( ) a 2 b 2. Bemerkung ( ) 3.3. Mit Hilfe des Jacobisymbols kann das Legendresymbol auch ohne Primfaktorenzerlegung von a berechnet werden. a 3.4 Gaußsche Summen modulo Definition 3.4. Sei eine ungerade Primzahl und n 0 (). Dann wird durch ( ) r G (n) = e 2πinr r= die quadratische Gaußsche Summe modulo definiert. Lemma 3.4. (. G (n) = n ( 2. G () 2 = ) G () ) l 2

Lemma 3.4.2, q P ungerade G () q = ( ) q r =... r q = ( r r q ), r + +r q q () Lemma 3.4.3, q P ungerade... r = ( ) r r q (q), r + +r q r q = Satz 3.4., q P ungerade ( q ) ( q ) = ( ) 2 q 2 q () Satz 3.4.2 (Gauß) G () = { für (4) i für 3 (4). 3

Kaitel 4 Diohantische Gleichungen 4. Lineare diohantische Gleichungen Satz 4.. Seien a,..., a n, b Z\{0}. Die diohantische Gleichung a x + + a n x n = b (4.) ist genau dann lösbar, wenn (a,..., a n ) b. Sei x (0) = (x (0),..., x n (0) ) Z n eine Lösung. Dann gibt es n linear unabhängige ganzzahlige Lösungen x (),..., x (n ) Z n der homogenen Gleichung a x + + a n x n = 0, so dass alle Lösungen von 4. durch x = x (0) + k x () + + k n x (n ) mit k, k 2,..., k n Z gegeben sind. 4.2 Quadratische diohantische Gleichungen Satz 4.2. Sei P (x, y) Q[x, y] ein Polynom zweiten Grades. Dann hat die Gleichung P (x, y) = 0 entweder keine rationalen Lösungen oder unendlich viele rationale Lösungen (x, y) Q 2. Im letzteren Fall lassen sich alle Lösungen rational arametrisieren, d.h. es gibt rationale Funktionen x = ϕ(t), y = ψ(t) (t Q), die alle Lösungen von P (x, y) = 0 in Q 2 beschreiben. Lemma 4.2. Sei Q(x, y, z) Z[a, y, z] ein homogenes Polynom zweiten Grades. Dann entsrechen die ganzzahligen Lösungen (x, y, z) der diohantischen Gleichung Q(x, y, z) = 0 mit z 0 und (x, y, z) = genau den rationalen Lösungen der Gleichung P (x, y) = Q(x, y, ) = 0. 4

Folgerung 4.2. Die einzigen Lösungen von x 2 + y 2 = z 2 mit (x, y) = und x 0 (2) sind durch mit a, b Z, (a, b) = gegeben. x = 2ab, y = a 2 b 2, z = a 2 + b 2 Satz 4.2.2 Die Gleichung x 4 + y 4 mit x 0 und y 0. = z 2 hat keine ganzzahligen Lösungen Folgerung 4.2.2 Die diohantische Gleichung x 4 +y 4 = z 4 hat keine ganzzahligen Lösungen mit x 0 und y 0. Satz 4.2.3 Sei D eine ositive ganze Zahl, die keine Quadratzahl ist. Dann hat die Pellsche Gleichung y 2 Dx 2 = unendlich viele ganzzahlige Lösungen. Sei x = U, y = T jene Lösung mit U > 0, T > 0, wo x = U den kleinstmöglichen Wert hat. Dann lassen sich alle Lösungen (x, y) Z 2 durch mit n Z darstellen. y + x D = ±(T + U D) n Lemma 4.2.2 Sei α R\Q und > eine ganze Zahl. Dann gibt es x, y Z, 0 < x q mit y αx < q. Lemma 4.2.3 Es gibt unendlich viele Paare x, y Z mit y 2 Dx 2 < + 2 D Bemerkung 4.2.4 Hat die diohantische Gleichung y 2 Dx 2 = k (k Z\{b}) eine Lösung, so hat sie unendlich viele, die sich ähnlich wie in Satz 4.2.3 aus endlich vielen Basislösungen generieren lassen. Es ist aber bisher ungelöst für welche D und k es überhaut Lösungen gibt. 5

4.3 Summen von Potenzen Satz 4.3. = Satz.3.4 Eine natürliche Zahl n ist genau dann als Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen darstellbar, wenn alle Primteiler P von n mit 3 (4) in gerader Vielfachheit ν (n) 0 (2) auftreten. Satz 4.3.2 Eine natürliche Zahl n ist genau dann als Summe dreier Quadrate ganzer Zahlen darstellbar, wenn n von der Form n = 4 k (8j + 7) mit k 0 und j 0 ist. Satz 4.3.3 (Satz von Lagrange) Jede natürliche Zahl n ist als Summe von vier Quadraten ganzer Zahlen darstellbar. Lemma 4.3. (a 2 + a 2 2 + a 3 2 + a 4 2 )(b 2 + b 2 2 + b 3 2 + b 4 2 ) = (a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 + a 4 b 4 ) 2 + (a b 2 a 2 b + a 3 b 4 a 4 b 3 ) 2 + (a b 3 a 3 b + a 4 b 2 a 2 b 4 ) 2 + (a b 4 a 4 b + a 2 b 3 a 3 b 2 ) 2 Lemma 4.3.2 Sei P ungerade. Dann gibt es x 0, y 0 x 0, y 0, sodass x 2 0 2 + y 2 0 + 2 + 0 2 0 () ist. Z mit 0 Definition 4.3. Sei k 2. g(k) ist das Minimum aller g N, so dass jede natürliche Zahl als Summe von höchstens g k-ten Potenzen natürlicher Zahlen darstellbar ist. [z.b. g(2) = 4] [ ( Lemma 4.3.3 g(k) 2 k + 3 ) ] k 2 2 ( Satz 4.3.4 g(k) 2 +[ k 3 ) ] k 2 für alle k 2 mit höchstens endlich vielen Ausnahmen, die, wenn sie überhaut existieren, alle größer als 47 600 000 2 sind. Bemerkung 4.3.4 Die Behautung g(k) < (k 2) wurde von Waring aufgestellt [Waringsches Problem], allerdings ist kein Beweis überliefert. Erst Hilbert löste das Waringsche Problem g(k) < schlüssig. Übrigens wurde der Beweis von g(4) = 9 erst vor wenigen Jahren erfolgreich erbracht. Der Nachweis, dass es nur höchstens endlich viele Ausnahmen für die Formel von g(k) gibt, stammt von Mashler. 6

Kaitel 5 Kettenbrüche Definition 5.0.2 Ein rationaler Ausdruck der Form r(a 0, a,..., a n ) = a 0 + a + a 2 +...... a n + a n heißt endlicher Kettenbruch [a 0, a,..., a n ]. Die a i heißen Teilnenner. Satz 5.0.5 Definiert man rekursiv Polynome i = i (a 0,..., a i ), q i = q i (a 0,..., a i ) durch 2 = 0, =, i = a i i + i 2 (i 0) so gilt Satz 5.0.6 q 2 =, q = 0, q i = a i q i + q i 2 (i 0), [a 0, a,..., a n ] = n q n. n q n n q n n q n 2 n 2 q n = ( ) n = ( ) n a n Satz 5.0.7 Ist a 0 Z und a n N (n ), so sind n, q n teilerfremde ganze Zahlen (d.h. ( n, q n ) = ) und 0 < q 0 < q <... sind unbeschränkt. Weiters konvergiert die Folge X n = [a 0, a,..., a n ] gegen eine reelle Zahl α. Dieser Grenzwert ist der unendliche Kettenbruch [a 0, a,...]. 7

Satz 5.0.8 Jede relle Zahl α besitzt eine Kettendruchentwicklung. Sie bestimmt man rekursiv durch α 0 = α, a n = [α n ], α n+ = α n a n =. α n [α n] Bei irrationalem α entsteht ein unendlicher Kettenbruch, der dieser Zahl eineindeutig entsricht. Bei rationalem α bricht die Kettenbruchentwicklung ab: α = [a 0, a,..., a n ] mit a n 2. Unter der Voraussetzung a n 2 ist die Darstellung eindeutig. (Im allgemeinen ist [a 0, a,..., a n, ] auch eine Kettenbruchentwicklung von α. Sonst gibt es keine weiteren.) Definition 5.0.3 α R. Die a n der Kettenbruchentwicklung heißen Teilnenner von α und die Brüche n q n Näherungsbrüche von α. q n Satz 5.0.9 q n = [a n, a n,..., a ]. D.h. zwei aufeinanderfolgende Nenner von Näherungsbrüchen bestimmen den Anfangsabschnitt der Kettenbruchentwicklung. Satz 5.0.0 α R, α 0 = α, α n+ = α n [α n ].. a n α n < a n +, für α / Q : a n < α n < a n +. 2. α n = [a n, a n+,...] 3. q n α n = ( ) n α n+ q n +q n ; q n α n = ( )n α n+2 α n+2 q n+ +q n 4. 2q n+ q n (a n+ +2) } < < q n α n < < q n + q n+ q n+ q n a n+ < a q n Satz 5.0. Gibt es ein ɛ > 0, sodass für unendlich viele n : a n+ ist, so ist α = [a 0, a,...] transzendent. > q n ɛ Satz 5.0.2 (Satz von Hurwitz) Sei α / Q. Dann gibt es unendlich viele Brüche mit α < q q 5q 2. Definition 5.0.4 a mit b > 0 heißt beste Aroximation von α R, wenn b für jeden von a verschiedenen Bruch c mit 0 < d b b d gilt. dα c > bα a 8

Satz 5.0.3 Jeder Näherungsbruch von α (mit der möglichen Ausnahme 0 q 0 ) ist eine beste Aroximation und umgekehrt. Satz 5.0.4 Gilt für einen Bruch a b mit b > 0 α a b < b 2, so ist a b Näherungsbruch. Definition 5.0.5 Ein unendlicher Kettenbruch [a 0, a,...] ist eriodisch, wenn es j, n N mit a k = a k+n für alle k j gibt. Satz 5.0.5 Ein unendlicher Kettenbruch ist eriodisch genau dann, wenn sein Wert eine quadratische Irrationalzahl ist. Definition 5.0.6 α R heißt schlecht aroximierbar, falls es ein c > 0 gibt, sodass für alle Brüche qα > c gilt. q q Satz 5.0.6 α R ist schlecht aroximierbar genau dann, wenn die Teilnenner a n beschränkt sind. Satz 5.0.7 e = [2,, 2,,, 4,,, 6,,, 8,...], a 0 = 2, a 3m = a 3m 2 =, a 3m+ = 2m 9

Kaitel 6 Primzahlen 6. Zahlentheoretische Funktionen Definition 6.. Eine Abbildung a : N = {, 2, 3,...} C heißt zahlentheoretische Funktion. Jeder zahlentheoretischen Funktion entsricht eine (formale) Dirichletsche Reihe A(s) = a(n) n s. Definition 6..2 Durch c(n) = (a + b)(n) = a(n) + b(n) wird die Summe zweier zahlentheoretischer Funktionen definiert. Ihr entsricht die Dirichletsche Reihe C(s) = c(n) n s = Definition 6..3 Durch a(n) + b(n) n s = c(n) = (a b)(n) = d n a(d)b( n d ) = a(n) n s + d d 2 =n b(n) n s a(d ) b(d 2 ) = A(s) + B(s). wird das Dirichletrodukt zweier zahlentheoretischer Funktionen definiert. Ihm entsricht die Dirichletsche Reihe c(n) a(d )b(d 2 ) C(s) = = = A(s) B(s). n s d s d s 2 d d 2 =n Satz 6.. Die zahlentheoretischen Funktionen bilden mit +, einen Integritätsbereich, insbesondere ist assoziativ und kommutativ. Weiters besteht die Einheitengrue genau aus jenen zahlentheoretischen Funktionen a mit a() 0. 20

Definition 6..4 Eine zahlentheoretische Funktion a heißt multilikativ, falls für alle m, n mit (m, n) = a(m n) = a(m) a(n) gilt und a(0) = ist. Eine zahlentheoretische Funktion a heißt vollständig (oder stark) multilikativ, falls für alle m, n a(m n) = a(m) a(n) gilt und a(0) = ist. Satz 6..2 Sind die zahlentheoretischen Funktionen a, b multilikativ, so auch a b und a. Bemerkung 6.. Sind a, b vollständig multilikativ, so ist i.a. a b bzw. a nicht mehr vollständig multilikativ, aber multilikativ. Bemerkung 6..2 Multilikative Funktionen a sind durch die Werte a( k ), P, k, wohlbestimmt. Ist n = k l k l, so gilt a(n) = a( k ) a( l k l) und für die Dirichletsche Reihe gilt (formal) A(s) = a(n) n s = P ( + a() ) + a(2 ) +. s 2s Für vollständig multilikative Funktionen a gilt überdies, dass sie bereits durch die Werte a(), P, wohldefiniert sind: a( k l k l ) = a( ) k a( l ) k l. Für die Dirichletsche Reihe gilt daher a(n) A(s) = = ( + a() ( ) 2 a() + + ) n s s s P =. P a() s Die Produktdarstellung heißt Eulersches Produkt. Sezielle zahlentheoretische Funktionen: (M... multilikative Funktion, VM... vollständig multilikative Funktion). I(n) = S n = { n = 0 n > VM I(n) n s = 2

2. J(n) = für n VM J(n) n s = n s = ζ(s)... Riemannsche Zetafunktion 3. N α (n) = n α J = N 0 VM N α (n) n s = n α = ζ(s α) ns 4. d(n) = d n... Anzahl der Teiler von n d = J J M d(n) n s = ζ(s) 2 5. σ(n) = d n d... Summe aller Teiler von n σ = N J M σ(n) n s = ζ(s)ζ(s ) 6. σ α (n) = d n dα σ α = N α J M σ α (n) n s = ζ(s)ζ(s α) 7. 8. µ(n) = n = ( ) k n = k und alle,..., k verschieden 0 sonst µ(n) n s = ζ(s) µ J = I, µ = J M... Möbiussche My-Funktion M φ(n) = {k k n, (k, n) = } M... Eulersche Phi-Funktion 22

φ(n) n s = φ J = N, φ = µ N, φ(n) = n n ζ(s ) ζ(s) ( a ), φ (n) = n ( ) n 9. λ(n) = { n = ( ) k + +k l n = k l k l M... Liouvillesche Lambda-Funktion (λ J)(n) = λ(n) n s = ζ(2s) ζ(s) { n = m 2 0 sonst, λ = µ 0. Λ(n) = { log n = k 0 sonst / M Λ(n) n s = ζ (s) ζ(s)... Mangoldtsche Lambda-Funktion (Λ J)(n) = log n Satz 6..3 Ist a vollständig multilikativ, so gilt a (n) = a(n) µ(n). 6.2 Analytischer Beweis des Primzahlsatzes Definition 6.2. π(x) = x = { P x} ϑ(x) = x log... Tschebyscheffsche ϑ-funktion ψ(x) = ν x log... Tschebyscheffsche ψ-funktion Lemma 6.2. ϑ(x) x ψ(x) x π(x) log x x log x + ϑ(x) x 2 log log x log x log x + ψ(x) x 2 log log x log x Satz 6.2. π(x) x (x ) x (x ) ϑ(x) x (x ) ψ(x) log x 23

Satz 6.2.2 ψ(x) = O(x) (x ) Folgerung 6.2. π(x) = O( x ) (x ) log x Satz 6.2.3 Die Reihendarstellung für die Riemannsche Zetan s Funktion ζ(s) konvergiert für alle s C mit Re(s) > absolut und stellt dort eine analytische Funktion dar. Im selben Bereich (Re(s) > ) konvergiert das Eulerrodukt P stimmt dort mit ζ(x) = überein. n s Weiters besitzt die Funktion f(s) = ζ(s) s für Re(s) > 0 eine analytische Fortsetzung bis auf einen P ol.ordnung mit Residuum an der Stelle s s 0 =. (meromorhe Fortsetzung) Satz 6.2.4 Re(s) =, s ζ(s) 0. Satz 6.2.5 Für Re(s) > gilt: Λ(n) n s = s ψ(x)x s dx = ζ (s) ζ(s). Bemerkung 6.2.2 Aus Satz 6.2.3 und Satz 6.2.4 folgt, dass die Funktion ζ (s) (bis auf einen Pol. Ordnung mit Residuum an der Stelle s ζ(s) 0 = ) in ein Gebiet fortgesetzt werden kann, das die Gerade Re(s) = umfasst. Satz 6.2.6 Sei F : (0, ) C eine beschränkte Funktion, die in jedem komakten Intervall I (0, ) integrierbar ist und sei G(z) = 0 F (t)e zt dt (Lalacetransformierte von F (t)) für t C mit Re(z) > 0 gegeben. Läßt sich G(z) in ein die Halbebene {z C Re(z) 0} umfassendes Gebiet analytisch fortsetzen, dann existiert das uneigentliche Integral 0 F (t)dt. Satz 6.2.7 Sei f : [, ) R monoton wachsend und f(x) = O(x) (x ). Weiters sei g(s) = s f(x)x s dx für s C mit Re(s) > definiert. Gibt es ein c > 0, so dass g(s) c s in ein die Halbebene {s C Re(s) } umfassendes Gebiet analytisch fortgesetzt werden kann, dann gilt: f(x) c x (x ). Satz 6.2.8 ψ(x) x (x ) Folgerung 6.2.2 (Primzahlsatz) π(x) x log x (x ). und 24