Der Satz des Pythagoras Das rechtwinklige Dreieck Jedes rechtwinklige Dreieck besitzt eine Hypotenuse (c), das ist die längste Seite des Dreiecks (bzw. diejenige gegenüber dem rechten Winkel). Die anderen beiden Seiten heißen Katheten (a, b). Abb. 1 Jeder Winkel besitzt eine An- und eine Gegenkathete. Die Ankathete ist diejenige Seite, die direkt am Winkel anliegt. Die dem betreffenden Winkel gegenüberliegende Seite heißt Gegenkathete. Die Ankathete vom Winkel α ist b. Sie ist gleichzeitig die Gegenkathete von β. Die Gegenkathete von α ist a. Sie ist gleichzeitig die Ankathete von β. Umgekehrt gilt das ebenso. Der Satz des Pythagoras Das Seitenverhältnis der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ist im Satz des Pythagoras beschrieben: a 2 + b 2 = c 2 Er lässt sich mithilfe von Umformungen nach den verschiedenen Seiten auflösen, um deren Länge zu berechnen: c = a 2 + b 2 a = c 2 b 2 b = c 2 a 2 Der Satz des Pythagoras gilt unabhängig von den Bezeichnungen der Seiten. Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks kann auch anders genannt werden, zum Beispiel z oder a. Grundsätzlich gilt: Quadrat der Hypotenuse = Summe aus den Quadraten der Katheten Hierbei sind einfach die Bezeichnungen in den Aufgaben zu beachten und einzusetzen. 1
Höhen- und Kathetensatz Hier wird die Hypotenuse c in die Teilstücke p und q unterteilt. Unabhängig von den Bezeichnungen einer Grafik ist p dasjenige Stück, das an die Kathete a angrenzt. Umgekehrt ist q der Teil von der Hypotenuse c, das direkt an b anliegt. Abb. 2 Höhensatz: h 2 =p q Kathetensatz: a 2 =c p bzw. b 2 =c q Die beiden entstandenen Flächen sind jeweils gleich groß. Für b gilt das gleiche. 2
Diagonale im Rechteck Auch die Diagonale eines Rechtecks lässt sich über den Satz des Pythagoras bestimmen: l b d b l Das Rechteck lässt sich in zwei deckungsgleiche rechtwinklige Dreiecke mit der Hypotenuse d teilen. Will man nun die Diagonale d berechnen, kann man den Satz des Pythagoras aufstellen und nach d auflösen: d = l 2 + b 2 Soll man in einem Quadrat die Diagonale berechnen, sind l und b gleich. l = b = a Damit sieht die Formel dann so aus: d = a 2 + a 2 = 2 a 2 = a 2 3
Beispielaufgaben Satz des Pythagoras Seitenlänge a b c a) 3cm 4cm b) 6m 10m c) 8dm 20dm d) 3 mm 5mm a) a = 3cm; b = 4cm Der Satz des Pythagoras lautet a 2 +b 2 =c 2. a und b sind gegeben, also muss nur nach c aufgelöst werden, indem man die Quadratwurzel zieht: c = a 2 +b 2 = 3 2 +4 2 = 25 = 5 => c = 5cm b) a = 6m; c = 10m a und c sind gegeben. Der Satz muss also nach b aufgelöst werden: b = c 2 a 2 = 10 2 6 2 = 64 = 8 => b = 8m c) b = 8dm; c = 20dm b und c sind gegeben. Der Satz muss also nach a aufgelöst werden: a = c 2 b 2 = 20 2 8 2 = 336 18,3 => a 18,3dm d) a = 3 mm ; c = 5mm a und c sind gegeben. Also dieselbe Vorgehensweise wie in b). Dass a als Wurzel angegeben ist, ist unerheblich, da die Wurzel quadriert wird und damit verschwindet. b = c 2 a 2 = 5 2 ( 3) 2 = 25 3 4,6 => b 4,6mm Seitenlänge a b c a) 3cm 4cm 5cm b) 6m 8m 10m c) 18,3dm 8dm 20dm d) 3 mm 4,6mm 5mm 4
Beispielaufgaben Satz des Pythagoras und Flächensätze kombiniert Seitenlänge a b c p q h A a) 4cm 9cm b) 7m 3m a) p = 4cm; q = 9cm Beide Variablen sind in h 2 = p q enthalten => h 2 = p q muss nach h aufgelöst werden: h 2 =p q h = p q = 4 9 = 36 = 6 => h = 6cm In Dreieck ALC gilt: b 2 =h 2 +q 2 In Dreieck LBC gilt: a 2 =h 2 + p 2 => b = h 2 + q 2 = 36 + 81 10,8 => b = 10,8cm => a = h 2 + p 2 = 36 + 16 7,2 => a = 7,2cm Nach dem Satz des Pythagoras gilt: c = a 2 + b 2 = 18 4,2 Der Flächeninhalt A kann auf zwei Wegen berechnet werden: A = 1 2 h c oder A = 1 2 a b => c = 4,2cm Je nachdem, welche Größen gegeben sind, sollte man die Formel wählen. Grundsätzlich gilt: Flächeninhalt des Dreiecks = 1 Grundlinie Höhe 2 Je nachdem, wie man das Dreieck dreht, sind Höhe und Grundlinie andere Seiten. Sind alle nötigen Größen für beide Formeln gegeben, hat man freie Wahl. A = 0,5 h c = 3 cm 4,2cm = 12,6 cm 2 b) c = 7m; q = 3m Seite c setzt sich aus p und q zusammen: c = p + q p = c q = 7 m 3m = 4 m => p = 4m p und q sind im Höhensatz enthalten: h 2 =p q => h = p q = 4 3 3,5 => h = 3,5m a und b können wie in a) berechnet werden. => a = 5,3m; b = 4,6m A kann wie oben berechnet werden.. => A = 12,25cm 2 Seitenlänge a b c p q h A a) 7,2cm 10,8cm 4,2cm 4cm 9cm 6cm 12,6cm 2 b) 5,3m 4,6m 7m 4m 3m 3,5m 12,25m 2 5
Beispielaufgaben aus dem BMT 10 BMT 10, 2009: Aufgabe 7 a) Es gilt 6 2 = ( 11) 2 + 5 2. Verwenden Sie diese Gleichung, um mit Hilfe des Satzes von Pythagoras eine Strecke der La nge 11 cm zu konstruieren. Markieren Sie diese Strecke in der Zeichnung. Der Satz des Pythagoras lautet: c 2 = a 2 +b 2 Hier ist er so formuliert: 6 2 = ( 11) 2 + 5 2 c entspricht also 6cm, a entspricht 11 cm, b entspricht 5cm. Will man ein rechtwinkliges Dreieck konstruieren, benötigt man einen Thaleskreis, der eine Halbkreis um die Mitte der Hypotenuse c mit dem Radius c 2 ist: Jeder Punkt, den man nun auf dem Thaleskreis setzt und mit den Punkten A und B verbindet, erzeugt nun ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 6cm. c Es wird nach der Seitenlänge 11 cm, also nach a, gesucht. Schlägt man nun einen Kreisbogen um A mit dem Radius b = 5cm, erhält man am Schnittpunkt mit dem Thaleskreis den Punkt C. Die Strecke BC ist dann a = 11 cm. Sie ist in der Zeichnung unten rot markiert. 6
b) Vereinfachen Sie den Term (n+1) 2 n 2 und beschreiben Sie, wie sich damit jede Strecke, deren La ngenmaßzahl die Wurzel aus einer ungeraden Zahl gro ßer 1 ist, mit Hilfe des Satzes von Pythagoras konstruieren la sst. Die Vereinfachung des Terms lautet: (n+1) 2 n 2 = (n+1) (n+1) n 2 = n 2 + 2 n + 1 n 2 = 2n + 1 (=> der Wert des Terms ist immer eine ungerade Zahl) Der Satz des Pythagoras lautet c 2 = a 2 +b 2. Das passt jedoch nicht zum angegebenen Term (n+1) 2 n 2. Der Satz des Pythagoras lässt sich so umformen, dass es ein Minuszeichen gibt: a= c 2 b 2. Dann entspricht (n+1) der Hypotenuse c und n entspricht der Kathete b. Wenn man die Länge c und die Länge b weiß, kann man die Länge a genau wie in Aufgabe a) konstruieren. Ihre Länge ist (n+1) 2 n 2. BMT 10, 2010: Aufgabe 5 b) Zeigen Sie: Die Ho he eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenla nge a hat die La nge h = 1 3 a 2 a Um die Höhe mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen zu können, braucht man zunächst ein rechtwinkliges Dreieck. In der Abbildung ist die gesuchte Höhe in rot eingetragen. Sie teilt das gleichseitige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Dreiecke ALC und LBC. Sie sind identisch. Die Hypotenuse der Dreiecke ist a, die Katheten sind h und weil h die Mittelsenkrechte von a ist, ist die zweite Kathete a 2. Stellt man hier den Satz des Pythagoras auf, lautet er: a 2 = h 2 + ( a 2 ) 2 a Nach h aufgelöst: h 2 = a 2 ( a 2 ) 2. Zieht man hier die Wurzel, lautet der Term: h = a2 ( a 2 2 ) = a2 1 4 a2 = 3 4 a2 7
Man kann hier teilweise radizieren: 3 4 a2 = 3 2 2 a2 = 1 2 3 a => h = 1 3 a ist korrekt. 2 BMT 10, 2011 Aufgabe 4 Die Abbildung zeigt eine Pyramide der Ho he h. Die quadratische Grundfla che hat die Seitenla nge a, jedes Seitendreieck die Ho he m. a) Erga nzen Sie die Gleichung h = durch einen Term, mit dem h aus a und m berechnet werden kann. h und m schließen mit der Hälfte der Seite a ein rechtwinkliges Dreieck ein. m ist hierbei die Hypotenuse, h und 1 2 a. Der Satz des Pythagoras lautet dann: m 2 = h 2 + ( 1 2 a) 2 Diesen kann man nach h auflösen: h = m2 ( 1 2 2 a) 8