Modellbildung und Simulation

Modellbildung und Simulation 6. Vorlesung Wintersemester 2007/2008 Klaus Kasper

Value at Risk (VaR)

Gaußdichte Gaußdichte der Normalverteilung: f ( x) = 1 2π σ x e 2 2 x ( x µ ) / 2σ x Gaußdichte der Standardnormalverteilung: f ( x) = 1 e 2π x 2 / 2 WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 3

Erwartungsvektor und empirische Kovarianzmatrix µ x N = n= 1 x( n)/ N cov X cov( x1, x1) cov( x1, xm ) = cov( xm, x1) cov( xm, xm ) N cov( x, x ) = ( x µ )( x µ )/( N 1) = cov( x, x ) i j i i j j j i n= 1 WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 4

Berechnung des Korrelationskoeffizienten ρ ( x, x ) 1 2 = σ cov( x, x ) 1 2 ( x ) ( x ) σ 1 2 ρ ( x, x ) = 0 : 1 2 Unabhängigkeit der beiden Variablen ρ ( x, x ) = 1: 1 2 exakte positive lineare Abhängigkeit ρ ( x, x ) = 1: 1 2 exakte negative lineare Abhängigkeit WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 5

Mehrdimensionale Gaußdichte f ( x) = n 1 (2 π ) det(cov ) x e 1 ( ) T (cov ) 1 x µ x x ( x µ x ) 2 WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 6

Konzepte zur Berechnung des VaR Historische Simulation Monte Carlo Simulation WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 7

Historische Simulation Verfahren: historisch/empirisch Historische Beobachtungen der Modellgrößen werden gesammelt. Aus den historischen Beobachtungen werden Wertänderungen des aktuellen Portfolio berechnet. Aus der geordneten (empirischen) Messreihe der berechneten Änderungen des Portfolio wird das Quantil bestimmt. Hinweis: Für die Anwendung der historischen Simulation muss keine Annahme über die zu Grunde liegende Verteilung getroffen werden. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 8

Monte Carlo Simulation Verfahren: parametrisch/empirisch An Hand empirischer Daten werden die Parameter einer zu Grunde gelegten Verteilung der Modellgrößen geschätzt. Es werden zufällig Werte (Wertänderungen) erzeugt, die der geschätzten Verteilung gehorchen. Für jede zufällig erzeugte Wertänderung wird die Auswirkung auf das aktuelle Portfolio berechnet. Aus der geordneten (empirischen) Messreihe der simulierten Änderungen des Portfolio wird das Quantil bestimmt. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 9

Zufallsprozesse Radioaktiver atomarer Zerfall Thermisches Rauschen (Widerstand) Zufallsprozesse sind reale physikalische Prozesse. Zur Durchführung von Simulationen werden häufig Zufallszahlen benötigt. Nur sehr selten werden zur Erzeugung von Zufallszahlen reale Zufallsprozesse beobachtet. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 10

Zufallsgeneratoren Meist werden für Simulationen Zufallsgeneratoren eingesetzt, die algorithmisch Zufallszahlen erzeugen. Hierbei handelt es sich um deterministische Pseudo-Zufallszahlen, die sich periodisch wiederholen. Es werden also immer die selben Zufallszahlen aufeinander folgen. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 11

Beispiel rand() unter BSD-Unix (Linear Kongruenter Generator LCG) x( n) = ( a x( n 1) + c) mod m a c m = 1103515245 = 12345 = 2 31 Periode: 2 31 x ist die aktuell berechnete Zufallszahl, die von der vorher berechneten eindeutig abhängt. Daher ist die Initialisierung von x von großer Bedeutung. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 12

Anwendung Initialisierung erfolgt über einen Seed (Saat)-Wert. Häufig wird die aktuelle Systemzeit verwendet. srand( time(0)) Der von rand() generierte Wert liegt im Bereich: 0 x m Für die Erzeugung von Zufallszahlen aus einem speziellen Wertebereich sollte das Ergebnis von rand() sollte mit m und dem gewünschten Wertebereich skaliert werden. Üblicherweise kann m als Konstante abgefragt werden. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 13

Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen Eine Normalverteilung N ist mit einer Kovarianzmatrix cov und einem Erwartungsvektor µ x x vollständig definiert. Zufallsvektoren y, die der Normalverteilung N genügen, können durch folgende Operation erzeugt werden: y = Du + µ x, wobei u ein Zufallsvektor ist, der einer Standardnormalverteilung folgt, und D die untere Dreiecksmatrix der Cholesky-Zerlegung der Kovarianzmatrix ist. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 14

Cholesky-Zerlegung B sei die Kovarianzmatrix cov. x B T = DD wird als Cholesky-Zerlegung bezeichnet. Die Koeffizienten d ij der Matrix D können in folgender Weise berechnet werden: 0 für i < j i 1 2 dij = bii d ik für i = j k= 1 > d j 1 1 b ij d ik d jk für i j jj k= 1 WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 15

Erzeugung standardisierter normalverteilter Zufallszahlen 1. Erzeugung zweier gleichverteilter unabhängiger Zufallszahlen x 1 und x 2 zwischen 0 und 1. 2. Umformungen: v = 2x 1, v = 2x 1, s = v + v 2 2 1 1 2 2 1 2 3. Falls s 1, zurück zu 1. u = v (2/ s)ln( s), u = v (2/ s)ln( s) 4. 1 1 2 2 u 1 und u 2 sind zwei unabhängige Zufallszahlen, die der Standardnormalverteilung folgen. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 16

Zusammenfassung 1. Berechnung von Kovarianzmatrix und Erwartungsvektor. 2. Berechnung der Cholesky-Zerlegung der Kovarianzmatrix. 3. Erzeugung von Zufallsvektoren, die der Standardnormalverteilung folgen. 4. Auf Basis des Erwartungsvektors und der Cholesky-Zerlegung der Kovarianzmatrix kann für jeden erzeugten Zufallsvektor aus 3. ein Zufallsvektor generiert werden, der der Normalverteilung folgt, die durch die in 1. berechneten Parameter definiert wird. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 17

Berechnung des VaR mit einer Monte Carlo Simulation An Hand historischer Daten werden der Erwartungsvektor und die empirische Kovarianzmatrix für den Vektor der Kursänderungen geschätzt. Wobei der Vektor die Kurse der Papiere enthält, die im aktuellen Portfolio enthalten sind. Es wird eine große Zahl von Zufallsvektoren erzeugt, die der geschätzten Normalverteilung der Kursänderungen der Werte des Portfolios folgen. Für jede zufällig erzeugte Wertänderung wird die Auswirkung auf das aktuelle Portfolio berechnet. Aus der geordneten (empirischen) Messreihe der simulierten Änderungen des Portfolio wird das Quantil bestimmt. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 18

Berechnung des VaR Monte Carlo Simulation Sammlung und Analyse historischer Daten. Modellierung der Verteilung. Simulation von Kursentwicklungen gemäß der modellierten Verteilung. Große Zahl an Simulationen. Prognose von Kursentwicklungen. Berechnung des monetären Risikos für die Entwicklung des Portfolios. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 19

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Gehirn - Mikroprozessor Zeitskala Anzahl Prozessoren Parallelität Konnektivität Repräsentation Zuverlässigkeit Leistung Gehirn ms (10-3 s) 10 10-10 14 Neuronen fein 10 3-10 5 Synapsen verteilt einzelne Neurone sterben, wenig Einfluss auf das System <<10-6 W/Neuron 10 2 Watt/Mensch Mikroprozessor ns (10-9 s) ~10 9 Transistoren grob < 10 direkte Verbindungen lokal Transistoren fallen selten aus, Ausfall hat großen Einfluss auf das System 10-1 W low power CPU 10 4 W Supercomputer WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 23

Aufbau eines Neurons WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 24

Künstliche Neuronen WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 25

McCulloch-Pitts Neuron WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 26

Perzeptron Output Gewichte Input WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 27

Historie 1943 1949 1957 1969 1972 1974 1986 McCulloch & Pitts, erste Modelle Hebb, Postulat des Lernens Rosenblatt, Perzeptron Minsky & Papert, Limitierungen des Perzeptrons Kohonen, selbstorganisierende KNN Werbos, Lernregel für mehrschichtige Perzeptrons (nicht beachtet) Rumelhart & McClelland, Popularisierung der Lernregel für MLP (Beginn des Revival) WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 28