4. Einsteins Gleichungen und das Standardmodell der Kosmologie

4. Einsteins Gleihungen und das Standardmodell der Kosmologie 4.. Die Einsteinshen Gleihungen (EG) in obertson-walker- Metrik Wir haben die beiden Friedmann-Gleihungen bereits in Newtonsher Näherung abgeleitet. Ist es dann überhaupt notwendig, die Ableitung noh einmal mit der AT zu wiederholen? Dafür gibt es eine ganze eihe guter Gründe. Der aum der Newtonshen Physik ist ein 3- dimensionaler statisher, euklidisher aum. Das gilt auh noh für die Mehanik im ahmen die speziellen elativitätstheorie (Minkowski-Metrik). Die aummodelle, auf die wir in der Kosmologie geführt werden, sind i.a. gekrümmte äume. Selbst wenn der reale physikalishe aum näherungsweise euklidish ist, so expandiert er doh, ein Phänomen, das in der Newtonshen Theorie keinen Platz hat. Dazu kommen die Beobahtungen der Lihtwege über große Entfernungen, die entsprehend der Materieverteilung im Kosmos gekrümmt sind. Wir müssen deshalb akzeptieren, dass die AT die korrekte Theorie für kosmologishe Fragen ist. Wir haben Glük, wenn wir feststellen, dass die Newtonshe Näherung für dieses oder jenes Problem hinreihend exakt ist, oder dass sie mit einer Ergänzung und Uminterpretation weiter verwendet werden kann (s. Kap. ). Im Allgemeinen ist jedoh Vorsiht geboten. Die Newtonshe Physik darf in der Kosmologie keinesfalls naiv und ungeprüft eingesetzt werden. Fig.4.. David Hilbert a. 9 (!86 943) 9, fünf Jahre nah der Veröffentlihung seiner Arbeit über die spezielle elativitätstheorie shrieb Einstein an Arnold Sommerfeld in Münhen: Ih beshäftige mih jetzt ausshließlih mit dem Gravitationsproblem...Aber das eine ist siher, daß ih mih im Leben noh niht annähernd so geplagt habe...gegen dieses Problem ist die ursprünglihe (spezielle) elativitätstheorie eine Kinderei. Am 5. November 95 konnte er endlih nah vielen unbefriedigenden Ansätzen die Ergebnisse des erfolgreihen Abshlusses seiner Überlegungen vor der Preußishen Akademie der Wissenshaften bekannt geben. Wenige 37

Wohen vorher hat er seine noh unvollständigen Überlegungen im Mathematishen Seminar in Göttingen in Anwesenheit von David Hilbert vorgetragen, der sih damals intensiv mit physikalishen Problemen befasste. Dieser begriff sehr bald, worauf es Einstein ankam und konnte shon am. November 95 der Göttinger Akademie der Wissenshaften seine elegante Ableitung dessen präsentieren, was als Einsteinshe Gleihungen in die Literatur eingegangen ist. Hilbert shien aber Einsteins Priorität anzuerkennen, obwohl er die rihtige Lösung mit 5 Tagen Vorsprung bekannt mahte. Die Allgemeine elativitätstheorie (AT) geht von der Gleihheit träger und shwerer Massen aus, die experimentell sehr gut bestätigt ist. Eine praktishe Folge davon ist, dass alle Massen gleih shnell fallen. Das gilt z.b. auh für Passagiere und Gegenstände in einer aumkapsel. Geringe Abweihungen davon werden als Gezeitenkräfte wirksam. Unter dieser Voraussetzung lässt sih ein Inertialsystem in der AT durh ein frei fallendes System, in welhem sonst keine mehanishen oder elektromagentishe Kräfte wirken (z.b. eine aumkapsel) ersetzen. Da Massen im aum i. a. ungleihförmig verteilt sind (z.b. Sterne, Sternhaufen, Galaxien), wird ein frei fallendes System (etwa eine Galaxie in einem Galaxiehaufen) eine gekrümmte Bahn beshreiben. Nah Newton würde man die Bahn aus den Gravitationskräften der umgebenden Massen bestimmen. In der AT dagegen bestimmen die Massen die Geometrie des aumes und umgekehrt die Geometrie die Massenverteilung. Das frei fallende System bewegt sih in dieser Geometrie auf extremalen Bahnen, den so genannten Geodäten. (s. a. Geodätengleihung A.8.3). Die Geodäte ist der kürzeste Abstand zwishen zwei Punkten mithin das esultat der Variation von B A B = ds (4.) A δ ds = oder δ ds = (4.) Das Ergebnis, was hier niht bewiesen werden soll, heißt Geodätengleihung, in allgemeiner Form mit d x ds + Γ λ dx ds λ dx ds = (4.3) σ Γ λ = g ( gσ, λ + gσλ, gλ, σ ) (4.4) Das erste Glied beshreibt die Änderung der Tangente entlang ds, das zweite Glied subtrahiert davon den Anteil der Parallelvershiebung. Auf einer Geodäten kompensieren sih beide Anteile. (Bei der Parallelvershiebung wird der Winkel zwishen Tangente und Kurve konstant gehalten) In der AT verlaufen kräftefreie Bewegungen von Massen immer auf Geodäten, d.h. das Extremalprinzip Gl. A.8.3 ist dabei immer erfüllt. Man kann sih eine gewisse Veranshaulihung dieser ungewohnten Vorstellung Geometrodynamik (John A. Wheeler) vershaffen, indem man gekrümmte -dim. Flähen in einem 3-dimensionalen aum betrahtet. Wir denken dabei an eine gespannte ebene 38

Gummie-Membran, die eine euklidishe Ebene veranshaulihen soll (s. Fig. 4.). Eine Styroporkugel als Probemasse, die man angestoßen hat, beshreibt auf der Membran eine geradlinige Bahn. Legt man eine Stahlkugel als Modell eines Gravitationszentrums auf die Membran, so entsteht eine trihterförmige Vertiefung. Die Flähe ist jetzt gekrümmt und die Bahn der Probemasse ist eine geshlossene oder offene Kurve, je nah ihrer Anfangsgeshwindigkeit. Die Bahn wird im Modellversuh durh die Verformung der Gummimembran bestimmt. Die Verallgemeinerung des Modells führt auf einen gekrümmten aum (in der Übung Kap.3.7 werden 3-dim. Hyperflähen in einer 4-dim. aumeinbetung betrahtet). Seine lokalen Eigenshaften können mit Hilfe der iemannshen Geometrie beshrieben werden. Wir haben im vorigen Kapitel bereits gesehen, dass sih gekrümmte äume als 3- dimensionale Hyperflähen beshreiben lassen, die in einen 4-dim. euklidishen aum eingebettet sind. Diese Beshreibung war allerdings redundant. Wir konnten die 4. aumdimension w wieder eliminieren. Statt der Bogenlänge im euklidishen aum dl = dr + r dθ + r sin θdφ (4.5) Fig. 4.. Euklidisher aum als ebene Flähe veranshauliht. 39

4 Fig. 4.3. Krümmung der Flähe durh Anwesenheit einer Masse hier im Modell. Fig. 4.4. Veranshaulihung: Bahn auf gekrümmter Flähe erhielten wir in der obertson-walker-metrik Gl. 3.7b + + = sin φ θ θ κ d r d r r dr dt ds (4.6)

Was wir mit der Substitution r = r in folgende Form bringen dr ds = dt + r dθ + r sin θdφ (4.7) κr wobei wir hier wieder = ( t) = a( t) (4.8) gesetzt haben. In den esultaten kommt am Ende r niht mehr vor. Fig. 4.5. Albert Einstein (879 955) a. 9 Die Einsteinshen Gleihungen (EG) verknüpfen diese Geometrie mit der Massenverteilung, indem sie eine Beziehung zwishen -stufigen Tensoren herstellen πg Gˆ 8 = Tˆ (4.9) 4 Die linke Seite Gˆ = ˆ g ˆ heißt Einstein-Tensor. Sie enthält die Geometrie der aum-zeit im ii-tensor ˆ, dem metrishen Tensor g und dem ii Skalar ˆ ˆ. (4.) = g 4

Wir folgen hier der Einstein-Konvention und lassen (wie shon in Kap. 3) in Summationen die Summenzeihen über gleihe Indizes weg. Während der Einstein-Tensor G die lokale Geometrie der aum-zeit beshreibt, enthält die rehte Seite die Information über das physikalishe System. Tˆ ist der (auh aus der Elektrodynamik bekannte) Energie- Impulstensor, der das physikalishe Feld durh die lokale Energiedihte, lokalen Druk und Spannungen beshreibt. Der ii-tensor ˆ ist ein -stufiger, symmetrisher Tensor. Er lässt sih aus den λ Konnektionen Γ (auh Christoffelsymbole genannt) und ihren Ableitungen berehnen ˆ + Γ Γ Γ Γ (4.) λ λ = Γ, λ Γλ, λ σ λσ σ λ λ σ Die Konnektionen seiner Ableitungen Γ λ enthalten Produkte der Komponenten des metrishen Tensors g λ g, sind also letztlih aus dem metrishen Tensor zu gewinnen s. Gl. σ, λ (4.7). Dabei ist vorausgesetzt, dass es sih um einen torsionsfreien aum handelt, was in der Kosmologie gewährleistet ist. Es gilt dann die Symmetriebeziehung Γ = Γ (4.) λ λ und Ahtung, die Γ λ sind selbst keine Tensoren! Die gewöhnlihe Ableitung nah einer (kontravarianten) Koordinaten x wird durh ein Komma bezeihnet. Für die kovariante Ableitung steht ein Semikolon anstelle des Kommas: A x = A, g x σλ, = g σλ, und A A x λ ; = + Γ λ A (4.3) Die ko- und kontravariante Form des metrishen Tensors sind miteinander über das Kroneker-Symbol verknüpft λ λ g g = δ (4.4) Für die Komponenten der Diagonalform gilt λλ λ g g = δ (4.5) 4.. Die Berehnung des ii-tensors. Um die EG (4.9) auszuwerten, shreiben wir zunähst die g in Polarkoordinaten und definieren ( dx dx dx dx ) ( dt dr,,, 3 =,, dθ, dφ). (4.6) Wir shreiben aus Bequemlihkeit wieder r anstelle von r. Dann wird 4

g, g /( κr ) = =, g = r, g 33 = r sin θ (4.7) Nah Gl. (4.5) sind die Komponenten der kontravarianten Form die reziproken Werte von Gl. (4.7), also g = ( κr )/ et. Damit können die Konnektionen berehnet werden. Die von Null vershiedenen Komponenten lauten wie folgt Γ = ( κ ) & / r, r & Γ =, Γ = r θ & 33 sin, & Γ = /, = κr /( κr ) ( κr ) θ Γ33 = sin r, Γ, = r( κ ) Γ, r & Γ = /, Γ / r, Γ = sin θosθ = 33, 3 & 3 3 Γ = /, Γ / r, Γ = tgθ 3 3 = 3 (4.8) λ Dazu kommen noh alle Γ, die durh Vertaushung der unteren beiden Indizes nah Gl. (4.) aus den angegebenen Komponenten hervorgehen. Gl. (4.8) eingesetzt in Gl. (4.) ergibt die 4 Diagonalglieder des ii-tensors ˆ ˆ 3& =, ˆ = ( & + & + κ) /( κr ) / r = &, ( & + & + κ), ˆ r = sin θ ( & + & + κ) 33 & (4.9) Nun müssen wir noh nah Gl. (4.) den ii-skalar berehnen, wozu wir die reziproken Werte von g aus Gl. (4.5) benutzen Wir erhalten λλ g = g λλ (4.) g =, g ( κr )/ =, g = / r, g θ 33 = / sin r (4.) Der ii-skalar wird dann ˆ = g = 6 ( & + & + κ) / & (4.) 4.3. Der Energie-Impuls-Tensor. 43

Wir wenden uns jetzt der rehten Seite der EG zu, welhe die Physik enthält. Die kosmishe Materie betrahten wir hier als klassishe Flüssigkeit. In einem beliebigen Inertialsystem erhalten wir für den Energie-Impuls-Tensor T ( ε + p) u u pg = (4.3) Hier bedeutet ε = ρ (4.4) die Energie-Dihte. In vielen Lehrbühern wird von Anfang an = gesetzt, so dass ε = ρ wird. Die u sind kovariante Komponenten der Vierergeshwindigkeit.. Entsprehendes gilt für die kontravariante Form T = ε + p) uu pg ( (4.5) Eine besonders einfahe Gestalt bekommt der Energie-Impuls-Tensor im uhesystem oder im mit der Flüssigkeit mitbewegten System (was gleihbedeutend ist) in folgender Form g σ T σ = T ε = p p p (4.6) Im momentanen uhesystem ist die 4 Geshwindigkeit u = γ (,,,) (4.7) Es trägt also nur u u = bei. Damit erhalten wir in der obertson-walker-metrik unter Berüksihtigung vont = g g T : κλ κ T = ε, T p /( κr ) =, λ T =, pr T33 sin = pr θ (4.8) Wir berehnen die -Komponenten auf der linken und auf der rehten Seite der EG: und ˆ g ˆ = ( && + & + κ) & + (4.9) 3 / 3 / Das ergibt 3 8πG T 4 8πG = ε (4.3) 4 8πG ( κ) = ε & + (4.3) 44

In entsprehender Weise erhält man eine Gleihung der ()-Komponenten ( ) 8 G & π + & + κ = p & (4.3) Die ()- und (33)-Komponenten ergeben äquivalente Gleihungen, so daß wir auf ihre Auswertung verzihten können. 4.4. Erhaltungssätze und Friedmann-Gleihungen. Die kovariante Divergenz vershwindet für den Energie-Impuls-Tensor σ σ T = = T + Γ T + Γ T (4.33) ;, σ σ was der Erhaltung der Massenenergie und des Impulses entspriht. Das Entsprehende gilt auh für den Einstein-Tensor und wird in A. des Anhangs gezeigt. Die Auswertung von Gl. (4.33) ergibt (s. A.) & ε& + 3 ( ε + p) = (4.34) Es ist also bei allgemein relativistisher Behandlung kein ükgriff auf die Thermodynamik nötig, um die Fluid-Gleihung (Gl. 4.5 und Anhang A.) herzuleiten. Sie ergibt sih aus dem Vershwinden der kovarianten Divergenz des Energie-Impuls-Tensors. Wir leiten jetzt die Friedmann-Gleihungen her und eliminieren zunähst Hilfe von Gl. 4. aus 4.3 mit dem Ergebnis && 4πG = 3 ( ε 3p) + & + κ mit (4.35) Damit erhalten wir die erste Friedmanngleihung und eine Aussage über die Beshleunigung des Skalenparameters a&(t & ). Neu ist hier, dass auh der Druk p auftritt, der ebenso wie die Energiedihte ε zur Gravitation beiträgt. Bei Gasen aus Teilhen mit uhemasse ist i.a. p << ε. Im Strahlungsfeld oder bei einem ultrarelativistishen Gas (heißes Plasma im frühen Universum oder Neutrinos) kann allerdings p ε sein. 3 Als nähstes shreiben wir Gl. 4. in folgender Form & = H 8πG = ε 3 κ (4.36) 45

Das ist die zweite Friedmanngleihung, wie wir sie bereits in Kap. in Newtonsher & a& Näherung abgeleitet haben, wobei wir nah Gl. 4.a auh = setzen können. Für a t = t ist die Hubble-Konstante 8πG H = ε κ (4.37) 3 Der Faktor κ / bestimmt wieder die Krümmung, die im euklidishen Fall, also bei kritisher Dihte vershwindet. In allen anderen Fällen hängt die Krümmung von der Dihte ab. Diesen Zusammenhang kann ausshließlih die AT liefern. Mit Gl. 4.6 liefert sie unabhängig davon auh einen Ausdruk für die Beshleunigung. Die Friedmanngleihungen sheinen eine globale Aussage über den Kosmos (mit Skalenparameter und Krümmungsradius) zu mahen. Das ersheint zunähst als ein Widerspruh zur AT, die immer nur lokale Aussagen zulässt. Der Widerspruh löst sih, wenn man bedenkt, dass wir bei den hier besprohenen Modellen immer Isotropie und Homogenität des aumes voraus gesetzt haben. Über die Topologie (sein Zusammenhang über große Entfernungen) können dabei keine Aussagen gemaht. Auh ein euklidisher (oder fast euklidisher) aum kann eine niht triviale Topologie haben. Wie diese beshaffen sein könnte, diese Frage bleibt offen. 4.5. Historishes Einstein hatte in seiner Publikation Kosmologishe Betrahtungen zur allgemeinen elativitätstheorie, Sitzungsber. d. Preuß. Akademie der Wissenshaften 97, S. 4 5 das Modell eines statishen Kosmos behandelt. Dazu musste er eine kosmologishe Konstante (s. Kap. 5) einführen, die für einen negativen Druk sorgte, für die Einstein aber keinerlei physikalishe Begründung geben konnte. Erst Alexander Friedmann zeigte, dass Einsteins Modell instabil ist und dass der Normalfall (ohne kosmologishe Konstante) ein dynamishes Universum ergibt. Wer war Alexander Friedmann dessen Namen die Gleihungen 4.6 und 4.7 heute tragen? Friedmann publizierte seine Arbeiten über Kosmologie in der Zeitshrift für Physik, 377 (9) und, 36 (94). Aber sie fanden erst viel später Beahtung. Einstein las die Arbeiten Friedmanns, aber hielt sie für falsh und publizierte sofort einen entsprehenden Kommentar. Erst einige Monate später, als er den russishen Physiker Yuri A. Krutkov, einen Freund Friedmanns, traf und mit ihm die Arbeiten diskutierte, musste er seinen Irrtum zugeben. Einstein shrieb deshalb sofort an die Z. f. Physik und erkannte Friedmanns Lösungen ausdrüklih als korrekt an. 46

Fig. 4.6. Albert Einstein (879 955), Aufn. v. 95 Fig. 4.7. Alexander Alexandrowitsh Friedmann (888 95) Friedmann wurde 888 in St. Petersburg als Sohn eines Komponisten und einer Pianistin geboren. Er studierte Mathematik und Meteorologie. Am ersten Weltkrieg nahm er als Freiwilliger teil, leitete die Flugnavigation und fertigte Tabellen mit ballistishen Daten für die Artillerie und den Bombenabwurf an. Nah der evolution war er zunähst Professor für Mehanik in Perm. 9 kehrte er nah St. Petersburg zurük und arbeitete an der Akademie der Wissenshaften. Neben der Meteorologie beshäftige er sih mit Quantentheorie und der AT. Er starb 95 nah offiziellen Angaben an Typhus. Aber Georg Gamow (94 968), der ein Student von Friedmann war, behauptete, er sei an einer Lungenentzündung gestorben, welhe er sih bei einem seiner Ballonaufstiege im Dienste der Meteorologie geholt habe. 4.7. Zusammenfassung Nah Einführung der Einstein-Gleihungen werden die Komponenten des Einstein-Tensors in der obertson-walker-metrik abgeleitet. Der Energieimpuls-Tensor wird für eine 47

kosmishe Flüssigkeit der Energie/Materiedihte ε und des Druks P angegeben und für ein mitbewegtes Bezugssystem in der obertson-walker-metrik umgeshrieben. Aus den 4 Einstein-Gleihungen ergeben sih die beiden Friedmann-Gleihungen für a& & a und( a& a). Die Divergenz des Energie-Impuls-Tensors führt zu einem Erhaltungssatz der Masse bzw. der Energie (s.a. Fluidgleihung). Wenn die Zustandsgleihung, also der Zusammenhang zwishen ε und P, bekannt ist, kann a(t) durh Lösung der Friedmann-Gleihungen berehnet werden. 4.8. Literatur J.N. Islam: An introdution to mathematial osmology. Cambridge University Press 99 Hubert Gönner: Einführung in die Kosmologie. Spektrum Verlag 994. Hubert Gönner: Einführung in die spezielle und allgemeine elativitätstheorie. Spektrum Verlag 996..U. Sexl / H.K. Urbanke: Gravitation und Kosmologie. BI Wissenshaftsverlag 3. Aufl. 987 Sean M. Carroll: Leture Notes on General elativity. http://arxiv.org/ps_ahe/grq/pdf/97/979.pdf 4.9. Aufgaben 4.9.. Zeige, dass ˆ kl = Κ ( Tkl g klt ) eine andere Form der Einstein-Gleihungen ist. ik ik Hinweis: Benutze ˆ = g ˆ g ˆ kn n und den metrishen Tensor g g = δ (s. 4.9), k ik ik der hier in Diagonalform gegeben ist d.h. g g =, g g = et., weswegen gilt kk g kk g = 4. 4.9.. Die Energiedihte, die ein Beobahter misst, der sih mit der Geshwindigkeit 3 k l ( u, u, u, u ) bewegt, ist T klu u. Sie sollte in vernünftigen physikalishen Systemen immer positiv sein. Mit den Ergebnissen der vorigen Aufgabe lässt sih eine Bedingung für den ii-tensor ableiten. Leite daraus die Bedimgung ˆ k l klu u ab. 4.9.3. Berehne den ii-skalar aus den Komponenten des ii-tensors (4.) und der Beziehung (4.9) ab. 4.9.4. Zeige dass das räumlihe Volumenelement der obertson-walker-metrik wie folgt geshrieben werden kann kl k dv = dx dx dx 3 g (3) wobei (3) g die Determinante des räumlihen Teils des metrishen Tensors ist. 48