Statistische Physik, G. Schön, Karlsruher Institut für Technologie (Universität) 157

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1 Statistishe Physik, G Shön, Karlsruher Institut für Tehnologie (Universität) Phasenübergänge 91 Paramagnetismus Wir betrahten zunähst N wehselwirkungsfreie Teilhen mit Spin S = ½ und magnetishem Moment µ in einem externen Magnetfeld beshrieben durh H = µ N HS i i= 1 Für Elektronen ist µ = g µ B /, das Bohr'she Magneton µ B = e /(me) und g = Für ein Feld in z-rihtung betrahten wir nur die z-komponente S iz = (1/) σ i mit σ i = ±1 Damit wird H = h N σi mit h = i= 1 µ H z Die Zustandssumme des Systems ist Z = σ e β H = { i =± 1} { i =± 1} σ e β h i σ i = σ=± 1 βhσ e N = N osh N (βh) Daraus folgt die freie Enthalpie G(T, H z ) = kt ln Z 1 < σ > = M/Nµ und = kt N [ln + ln osh (βh)] M(T, H z ) = G H z = N µ tanh (βh) = N µ σ T 1 < T < T 3 h Der Mittelwert eines Spins ist also σ = tanh (βh) Dasselbe Ergebnis erhalten wir aus 1 βh σi 1 βhσ βhσ j j σj = i σj e = e σj e Z {σ i =± 1} σj=± 1 = tanh (βh) σj=± 1 Für Teilhen mit allgemeinem Spin S gilt S iz = m i ; m i = S, S+1, +S und Z S = s N βhm e = sinh [(S+1)βh] N m= s sinh (βh) Daraus ist wieder G(T,H z ) und die Magnetisierung direkt zu bestimmen

2 158 9 Molekularfeld-Näherung (mean field) für das Ising-Modell Wir betrahten nun wehselwirkende Spin-1/ Teilhen im Magnetfeld (in z-rihtung), beshrieben durh das Ising Modell 1 H= J σσ h σ i ij i j ij i Die Summen laufen über alle Gitterplätze Die Doppelzählung der Paare in der ersten Summe wird durh den Faktor 1/ kompensiert Oft betrahten wir den Fall nähster-nahbar- Wehselwirkung (nn) Dann ist J ij = J für i,j nähste Nahbarn, und J ij = sonst In 1 Dimension existiert eine exakte Lösung, die keinen Phasenübergang zeigt (siehe Kap 6) In Dimensionen existiert nur für h = eine exakte Lösung (von Onsager, siehe Kap 94) Sonst brauhen wir Näherungen, zb die Molekularfeld-Näherung, Numerik wie Monte-Carlo-Methoden, oder Renormierungsgruppenmethoden, die das singuläre Verhalten am Phasenübergang beshreiben Molekularfeld-Näherung Jeder Spin sieht ein Molekularfeld erzeugt durh das äußere Feld und alle anderen Spins H = h i ({σ j }) σ i mit h i ({σ j }) = h + 1 i j J ij σ j In der Molekularfeld-Näherung (MFA) wird (1) das lokale, konfigurationsabhängige Feld durh ein mittleres (effektives) Feld ersetzt h i ({σ j }) h eff = h + J ij σ j, j () σ j abhängig von h eff berehnet Dies liefert eine Selbstkonsistenzbedingung für σ j Zur Begründung (und Bestimmen der Faktoren) nehmen wir an, dass die Abweihungen vom Mittelwert σ i σ klein sind Bei Vernahlässigung von Termen Ordnung erhalten wir dann H MF = 1 ij J ij { σ + (σ i σ ) σ } h i σ i Also MF eff i ij eff ij i ij j H = h σ + J σ mit h = h + J σ Wir definieren nun J j J ij Für nn-kopplung bei z nähsten Nahbarn gilt J = z J

3 H MF = i (h + J σ ) σ i + 1 N J σ Die Zustandsumme und die weiteren thermodynamishen Größen können nun wie beim paramagnetishen System bestimmt werden, 159 H Z = e β 1 MF = NJ σ (h J ) i i e e β + σ σ = { σ } { σ } i i 1 NJ e σ N osh N (βh+ β J σ ) Die Gibbs'she freie Energie ist nun NJ G(T,H) = kt ln Z = N kt { ln ln osh[β(h + J σ )]} + σ Daraus folgt die Magnetisierung M(T,H) ( ) σ = tanh h J β + σ = G / H bzw der Mittelwert von σ Wir haben also ein Selbstkonsistenzproblem zu lösen Die Auflösung der transzendenten Gleihung nah σ ist analytish niht möglih Es bietet sih aber ein graphishes Verfahren an, das hier für h = verdeutliht ist Oberhalb der kritishen Temperatur, T > T, gibt es nur 1 Lösung: σ = Unterhalb der kritishen Temperatur, T < T, gibt es 3 Lösungen: σ = und σ = ± σ, dabei sind nur σ = ± σ stabile Lösungen, dagegen ist σ = instabil (su) Bei der kritishen Temperatur T ist die Gerade σ gerade die Tangente der Funktion tanh(βj σ ) am Ursprung Dies bedeutet dass β J = 1, dh

4 16 kt = J Für T < T ist σ auh ohne angelegtes Feld von Null vershieden Es gibt also eine geordnete Phase mit spontaner Symmetrieberehnung und spontaner Magnetisierung M = N µ σ Wir können σ als einen Ordnungsparameter ansehen In der ungeordneten Hohtemperaturphase vershwindet der Ordnungsparameter, σ = Dagegen ist σ in der geordneten Tieftemperaturphase Für endlihe Felder, h, sehen die Lösungen wie folgt aus Die ausgezogenen Linien sind die stabilen Lösungen, die gestrihelten Lösungen bezeihnen instabile bzw metastabile Lösungen Da σ = tanh [β(h + J σ ], gilt osh[β(h + J σ ] = 1/ Gibbs'she freie Energie in Molekularfeld-Näherung ( ) 1 σ 1 N G(T,H) = N kt ln + ln 1 σ (T,H) + kt σ(t,h) Damit erhalten wir für die

5 161 Damit finden wir für G(T,H) die folgende Skizze (am einfahsten, indem wir von der obigen Skizze für M(T,H) ausgehen und diese über die Relation M(T,H) = G / H integrieren): Für die freie Energie erhalten wir F(T,M) = G(T,H(M)) + M H(M), M = Nµ σ Um H(M) zu eliminieren, lösen wir die Selbstkonsistenzgleihung nah βh auf β h = Arth 1 1+ σ T σ βj σ = ln 1 σ T σ Mit Hilfe dieses Ausdruks können wir M H σ h durh σ ausdrüken und erhalten F(T,M) = N kt σ σ σ ln + ln (1 ) + ln 1 σ 1 N kt σ Das Ergebnis (am einfahsten wieder durh Integration der Relation H = F(T, M) / M zu erhalten) ist unten dargestellt In dieser Form wäre F(T,M) niht überall eine konvexe Funktion von M Wir korrigieren dies durh die Maxwell-Konstruktion Dies zeigt dann auh, welhe Zweige von M(H) thermodynamish stabil und welhe instabil (oder metastabil) sind

6 16 Singuläres Verhalten am Phasenübergang T Die Potenzgesetze bzw das singuläre Verhalten in der Nähe des Phasenübergangs definiert so genannte kritishe Exponenten Um sie zu bestimmen, entwikeln wir die oben hergeleitete Relation zwishen h und σ für kleine σ σ T T 1 3 β h = ln σ σ 1 (*) 1 T + σ T + σ 3 Wir definieren die Größe ε erhalten: T T T T T T, die nahe T ein kleiner Parameter ist, und a) Für h = und T < T gilt σ = 3ε Unterhalb T wähst der Ordnungsparameter also wie die Wurzel σ ( ε) β Der Exponent wird mit β bezeihnet und ist in Molekularfeld- Näherung β = 1/ b) Für ε = (dh T = T ) finden wir für die Magnetfeldabhängigkeit σ 3 = 3βh σ h 1/δ mit δ = 3

7 ) Zur Berehnung der Suszeptibilität verwenden wir Ableiten der oben gegebenen Relation (*) folgt Oberhalb T ist ε Daraus folgt µ 1 N für T > T M σ kt ε χ T = =µ N = H H= h µ 1 N für T < T kt ε 163 σ / h =β/( ε+ σ ), was durh σ =, unterhalb gilt ε+ σ = Die Divergenz der Suszeptibilität bei T ist beshrieben durh die kritishen Exponenten γ und γ', γ ε für T > T χt γ' ε für T < T Dann gilt in MFA γ = γ' = 1 d) Die Wärmekapazität bei fester Magnetisierung vershwindet, C M = T F(T,M) T = M Die Wärmekapazität bei festem Feld, C H = T G(T,H) T, bestimmen wir am bequemsten H unter Verwendung der thermodynamishen Relation C H C M = T M T 1 H χ T (In Kap 17 ist die analoge Relation für C P C V = T( V/ T) P/ ( V/ P) Thergeleitet) Wieder gewinnen wir die Ableitung σ / T aus der Relation (*) Für H = vershwindet es σ σ 1 3 ε 1 oberhalb T Unterhalb gilt = = Daraus folgt in MFA T T ε+ σ T ε C H = für T > T 3 N k [1 + O(ε)] für T < T α ε für T > T α' ε für T < T Die Wärmekapazität hat einen Sprung bei T Also ist G/ Tstetig aber G/ T unstetig Dies bedeutet, dass der Phasenübergang von Ordnung ist Das Verhalten von C H am Phasenübergang definiert kritishe Exponenten Da keine Divergenz vorliegt gilt α = α'= Kritik an der Molekularfeld-Näherung: Die Fluktuationen sind niht (ausreihend) berüksihtigt Sie sind besonders groß diht bei T Dies hat zur Folge, dass das kritishe Verhalten und damit die Werte der kritishen Exponenten i A durh die MFA niht korrekt beshrieben sind

8 Die Landau-freie-Energie 1 Das freie-energie-funktional Das Landau-freie-Energie-Funktional ist eine effektive Hamilton-Funktion, die die wesentlihen Eigenshaften von Phasenübergängen enthält Es ist eine phänomenologishe Beshreibung, konstruiert für die Nähe des Phasenübergangs, ist aber auh oft aus mikroskopishen Modellen herleitbar Als Beispiel betrahten wir ein magnetishes System im Magnetfeld H = h/µ mit einer oarse grained Magnetisierung m(r) Diese ergibt sih durh Mitteln der mikroskopishen Konfiguration über Längen, die groß sind im Vergleih zum Gitterabstand, aber klein im Vergleih zu makroskopishen Längen m(r) m(r) ist ein lokaler Ordnungsparameter Die Summe in der Zustandssumme wird entsprehend aufgespalten: Z = tr e βh { } = βh D mr ( ) tr' e mr ( ) Summe über alle Konfigurationen m(r) 1 Spur über mikroskopishe Konfigurationen bei festem m(r) tr' e βh m(r) = W({m(r)}) e βe({m(r),h}) = e βf({m(r),h}) Zahl der Zustände mit m(r) Energie für freie-energie-funktional W = e S({m(r)})/k gegebenes m(r) für m(r) Das freie-energie-funktional F ({m(r)},h) ist niht die thermodynamishe freie Energie F(T,M) oder Enthalpie G(T,H) sondern ein Funktional der lokalen Magnetisierung m(r), über deren Konfigurationen mit e βf({m(r)},h) gewihtet zu summieren ist Die thermodynamishen Potentiale erhalten wir aus der Zustandssumme, nahdem diese Summation ausgeführt ist β ({ ( )}, ) βg(t, ) Z D ( )e F mr h H = mr = e Das freie-energie-funktional F kann wiederum als Raumintegral eines freie-energiedihte- Funktionals f geshrieben werden F({m(r)},h) = d drf({m(r)},h)

9 I A kennen wir das freie-energie-funktional niht, aber in der Nähe des Phasenüberganges, wo m(r) klein ist, können wir es durh eine Entwikung ausdrüken, die weitgehend durh allgemeine Überlegungen und Symmetrien festgelegt ist Der Einfahheit halber betrahten wir zunähst ein skalares Feld m(r) Auh vom Magnetfeld soll nur eine Komponente eine Rolle spielen, zb H = h/µ ê z Dann gilt 165 f a(t) b(t) 4 1 m(),h r = fn + f m() r + m() r + ξ m() r hm() r 4 ({ } ) Erläuterungen: (1) f N beshreibt die Eigenshaften der ungeordneten Phase, hat aber nihts mit dem Phasenübergang zu tun Daher kann f N oft ignoriert werden () Für h = können nur gerade Potenzen von m auftreten, da m und m gleihwertig sind (3) Wir haben eine Gradientenentwiklung gemaht ξ definiert eine natürlihe Längenskala (4) Für h kommt ein Feld-Term hinzu, an den m linear ankoppelt (5) a(t) hängt von der Temperatur ab Wir werden sehen, dass der Phasenübergang (bei T ) durh ein Vershwinden des Koeffizienten a(t) harakterisiert ist (6) Dagegen können wir b meist als temperaturunabhängig annehmen mit b > Sonst muss ein weiterer Term m 6 berüksihtigt werden, da die Stabilität erfordert, dass f( m ± ) (7) Hier haben wir a,b und m dimensionslos gewählt und geeignet normiert f enthält die nötige Energieskala Für räumlih konstante m erhalten wir also folgendes Bild (mit a(t) = ε):

10 166 Molekularfeld-Näherung Die Molekularfeld-Näherung ergibt sih als Sattelpunkt der Funktionalintegralbeshreibung: Der Hauptbeitrag zu Z kommt von dem m(r), das F({m},h) minimal maht = 1 δ F({m},h) 3 = a(t) m (r) + b m (r) ξ m (r) h f δm( r) f m Eine homogene Lösung für h = ist m = für a(t) > ± a(t) /b für a(t) < δ F Für diese Werte ist >, also F(m ) ein Minimum Dagegen ist für die bei a(t) < δm m=m ebenfalls existierende Lösung m = das Funktional ein lokales Maximum Es kommt also zu einem Phasenübergang, wenn a(t) von positiven nah negativ wehselt Nur für a < gibt es einen von Null vershiedenen Ordnungsparameter Die Temperatur, wo a(t) vershwindet, a(t ) =, ist die kritishe Temperatur T In einer Entwiklung nahe T gilt (bis auf einen möglihen konstanten Faktor, der in f absorbiert wird) a(t) = T T T ε Für T < T ist also m = ± ε /b Dies bedeutet, wir finden, wie zuvor bei der Molekularfeld- Näherung des Ising Modells, den Wert für den kritishen Exponenten β = 1/ Die Suszeptibilität und der damit verbundene kritishe Exponent sind χ α m h h= 1/f = ε+3b m (T) α 1/ ε für T > T 1/( ε ) für T < T γ = γ' = 1 Für die h-abhängigkeit bei T (ε = ) finden wir m (h,t ) = 3 h / bf δ = 3 In der MFA drüken wir das Funktionalintegral approximativ durh den Wert am Sattelpunkt aus (wir können das Integral aber auh besser auswerten, siehe Kap 94) und erhalten so für die Zustandssumme und das entsprehende thermodynamishe Potential Z e βf(m,h) G(T,H) F{m,h}

11 Dh G(T,H=) F{m, } = F N + f V( 1 ε m b m 4 ) 167 = FN für T > T fv FN ε für T < T 4b Der erste Beitrag F N ist regulär bei T Damit erhalten wir für die Wärmekapazität C H= = T G T = C N V f T für T > T C N + für T < T b T α = α' = Sie hat einen Sprung bei T, divergiert aber niht, dh der zugehörige kritishe Exponent vershwindet Alle hier gefundenen kritishen Exponenten sind also dieselben wie die der MFA des Ising Modells Mit dem Landau'shen freie-energie-funktional können wir auh inhomogene Lösung beshreiben, zb eine Domänenwand bei x, die Bereihe mit m = +m für x von anderen mit m = m für x trennt (Hier betrahten wir eine 1-dimensionale Abhängigkeit bei T <T und h = ) Eine Lösung der DGL ε m(x) + b m 3 (x) ξ die die Randbedingungen erfüllt, ist x m(x) =, x x m(x) = m tanh ξ(t) m(r) ξ(t) mit m = ε /b und ξ(t) = ξ / ε Die Skala der räumlihen Variationen ξ(t) divergiert beim Phasenübergang Mehr dazu s u 3 Korrelationsfunktion Neben dem Mittelwert m sind auh die Fluktuationen, dh die Stärke und Korrelationen der Abweihungen δm(r) = m(r) m interessant Sie sind harakterisiert durh die Korrelationsfunktion

12 168 G(r r') = m(r) m(r') m = δm(r) δm(r') Um sie zu bestimmen, entwikeln wir das Landau-freie-Energie-Funktional um den Sattelpunkt bis zur zweiten Ordnung f d F[{m},h] F[m,h] + d r δm(r) [ε + 3b m ξ ] δm(r) Es gibt keinen linearen Term, da m ein Extremum ist Zur Abkürzung definieren wir den Koeffizienten ε für h = und T > T A ε + 3b m = ε für h = und T < T f d F[{m},h] = F + d r δm(r) (A ξ ) δm(r) = F + f k δm(k) (A + ξ k ) δm( k) Die letzte Form ergibt sih nah Fourier-Transformation Im Fourier-Raum ist die Berehnung der Korrelationsfunktion nun reduziert auf die Berehnung eines Mittelwertes mit einer Gauß'shen Verteilung (siehe auh das Gauß'she Modell in Kap94) Es folgt δm(k) δm(k') = 1 Z k" dm( k ") δm(k) δm(k') e f β (A + ξ ) δm( ) k k k = δ k, k' kt f (A + ξ k ) Das Ergebnis ist konsistent mit dem Gleihverteilungssatz Die spezielle Form der Korrelationsfunktion im k-raum wird als Ornstein-Zernike-Form bezeihnet Durh Rük- Fourier-Transformation (in d Dimensionen) erhalten wir G(r) = δm(r) δm() = d dk d e ikr δm(k) δm( k) ( π) = = d kt d k ikr 1 e d ξ ( π) + ξ f k 1/ (T) d iqω kt r d d 1 e d Ω q dq d (π) f ξ k r mit r = r, q = k r, Ω = q + r /ξ (T) kr

13 Hier wurde die temperaturabhängige Korrelationslänge ξ(t) = ξ / A eingeführt, dh 169 -ν ξ / ε ε für T > T ξ(t) = -ν' ξ / ε ε für T < T Sie divergiert nahe T Die so definierten kritishen Exponenten sind in der betrahteten Näherung ν= ν' = 1 d d Ω beshreibt die Winkelintegration in d Dimensionen Für 3 Dimensionen ist das Integral bekannt, da es die Form des abgeshirmten Coulomb-Potenzials (Yukawa Potenzial) liefert In d Dimensionen ist es proportional zu x d/ 1 K d/ 1 (x) Dabei ist x = r/ξ(t) und K ν (x) eine modifizierte Bessel-Funktion mit dem asymptotishen Verhalten π e x für x x K ν (x) ν 1 x Γ(ν) für x Wir finden also für große Abstände im Vergleih zu ξ(t), bis auf einen numerishen Faktor α von der Ordnung 1, (3 d)/ kt ξ(t) (1 d)/ r/ξ(t) G(r,T) α r e, f ξ r/ξ»1 dh die Korrelationsfunktion zerfällt exponentiell auf der Skala der Korrelationslänge ξ(t) Genau bei T, wo ξ(t) =, zerfällt sie wie G(r,T ) r d Das singuläre Verhalten der Korrelationsfunktion genau bei der Übergangstemperatur ist beshrieben durh einen weiteren kritishen Exponenten η G(r,T ) r d η In der betrahteten Näherung gilt η = (Bemerkung: Für r divergiert der hier gegebene Ausdruk für G(r,T ) in d Dimensionen Terme höherer Ordnung in der Gradientenentwiklung des freien Energiefunktionals würden dies korrigieren)

14 17 4 Fluktuationen, Ginzburg-Kriterium Die Frage, wie gut die Molekularfeld-Näherung ist, hängt davon ab, wie groß die Fluktuationen im Vergleih zum Mittelwert (bei T < T ) sind Nahdem die räumlihen Korrelationen bis zu Abständen ξ(t) bestehen, ist es vernünftig r ξ(t) = ξ / ε als Vergleih zu wählen Wir betrahten das Verhältnis δm(r = ξ(t)) δm() kt ξ(t) d m f ξ ε /b kt f ξ d b ε (d 4)/ für d > 4 für d < 4 ε Dh in der Nähe des Phasenübergangs für ε vershwinden die relativen Fluktuationen für d > 4, und die Molekularfeld-Näherung ist eine gute Näherung Dagegen werden für d < 4 die Fluktuationen wihtig bei T, und die Molekularfeld-Näherung reiht niht aus Die Frage, wie relevant dies ist, hängt aber auh noh von dem Vorfaktor ab Dieser kann sehr klein sein ZB haben wir in einem 3-dimensionalen Supraleiter (das günstigste Beispiel) ξ v F /kt, f D(ε F ) (kt ), b 1, T 1K, E F = kt F k 1 4 K 4 δm(r = ξ(t)) δm() (kt ) m 3 3 F v D(E )(kt ) F ε -1/ kt π E F ε -1/ 1 5 ε -1/ Hier haben wir die Zustandsdihte der Elektronen an der Fermi-Kante durh den bekannten mvf Ausdruk D(ε F ) = ausgedrükt Das Beispiel zeigt, dass kritishe Fluktuation erst extrem 3 π nahe bei T für ε ( πkt ) 4 / EF 1 1 wihtig werden Dagegen gilt dies für -dimensionale Supraleiter shon für ε kt / EF 1 3 Und bei magnetishen Phasenübergängen sind Fluktuationen in der Regel immer wihtig 5 Allgemeine Ordnungsparameter n Komponenten in d Dimensionen: Oben haben wir die einfahste Situation betrahtet, wo der Ordnungsparameter ein Skalar ist Wenn der Ordnungsparameter ein Vektor ist, zb die Magnetisierung im Heisenberg-Modell, oder allgemeiner n Komponenten hat m = (m 1, m,, m n ), können wir wieder das freie-energiefunktional entwikeln Aber nun sind weitere Kombinationen beim Gradiententerm möglih

15 f = f N + f d εm + b( m ) + ξ α m ij m h m, 4 i,j=1 ri rj 171 wobei α ij ein symmetrieabhängiger Tensor ist In isotropen Systemen und kubishen Kristallen gilt α ij = δ ij In kubishen Kristallen ist auh ein quartisher Term wie 1 4 b' n ν=1 m ν 4 erlaubt Supraleitung: ( Ginzburg-Landau Theorie ) In Supraleitern ist der Ordnungsparameter ein komplexes, skalares Feld Weiterhin koppeln die Teilhen mit Ladung e an das elektromagnetishe Feld e f = f N + f εψ + bψ + ξ A ψ 4 i + H 8π Der letzte Term beshreibt die magnetishe Energiedihte Weitere Beispiele mit zunehmend komplexem Ordnungsparameter sind flüssige Kristalle, superflüssiges 3 He, 6 Phasenübergang 1 Ordnung Wenn der Koeffizient b negativ ist, muss die Entwiklung des freie-energie-funktionals weiter getrieben werden, bis eine Form gefunden ist, die garantiert ist, dass f (m ±, h) Wenn der nähste Entwiklungskoeffizient > erfüllt, gilt daher f({m(r)}, h) = f N + f a(t) b(t) 4 (T) 6 1 m() r + m() r + m() r + ξ m( r) h m( r ) 4 6 Damit ergibt sih nun für > das folgende Bild, abhängig vom Vorzeihen von a(t) und b(t) Es enthält auh einen Phasenübergang 1 Ordnung, bei dem ein diskontinuierliher Übergang von vom Minimum bei m = zu einem der beiden mit m stattfindet

16 17 94 Weitere Modelle 1 Onsager-Lösung des -dimensionalen Ising-Modells (h = ) Zum Vergleih und um einige Trends zu zeigen, zitieren wir die Ergebnisse der von Onsager gefundenen exakten Lösung des -dimensionalen Ising Modells ohne Feld (eine Herleitung findet sih in Appendix B von Stanley and in Feynman 'Statistial Mehanis') H = <ij> J σ i σ j Die exakte Lösung liefert die Bedingung für die Übergangstemperatur sinh J kt = 1, dh kt = J,69 J ln( + 1)

17 173 In Molekularfeld-Näherung in Dimensionen (mit z = 4 nähsten Nahbarn) finden wir dagegen MF MF kt = 4J, dh kt = 567 kt Hier sehen wir einen allgemein Trend: Die MFA vernahlässigt Fluktuationen und übershätzt daher T Spezifishe Wärme: C H (T,H = ) = k π J kt ln T T T + regulär Im Gegensatz zur MFA divergiert die spezifishe Wärme bei T, allerdings nur logarithmish dh der kritishe Exponent bleibt α = für T > T Magnetisierung: σ (T,H = ) = 4 1/8 1 1/ sinh ( J/kT) für T T Auh dieses Ergebnis weiht von der MFA ab β = 1/8 Das Gauß'she Modell Eine Entwiklung des Landau-Funktionals um ein Extremum bis zur quadratishen Ordnung (zb im Rahmen einer Sattelpunktsnäherung) liefert ein Gauß'shes Modell, das dann exakt ausgewertet werden kann Konkret betrahten wir ein System oberhalb T in d Dimensionen F = ε 1 d dr f m + ξ ( m) mh Nah Reskalierung r/ξ r, Fourier-Transformation mit m(k) = m*( k) und Einführen des Symbols J, sowie eines Skalarprodukts erhalten wir F = k f [ ] (ε + k ) m(k) 1 m(k) h( k) (m, J m) (m, h) und Z = Dm(r)) e βf ({m(r)}) = ( dm( ) k k ) e βf ({m(k)} Nah quadratisher Ergänzung wegen des linearen Terms kann die Gauß'she Integration durhgeführt werden, Z = β det (βj) e (h, J 1 h) Dabei ist eine Konstante, die Determinante ist det ( β J) = βf (ε+k ) = exp { 1 k k ln[βf (ε+k )]} = exp { 1 V d dk ln[βf d (ε+k )]}, (π)

18 174 und 1 (h, J 1 h) = 1 k 1 f (ε+k ) h(k) Für h = gilt also Z = exp { 1 d V dk (π) ln[βf d (ε+k )]} und G(T, H=) = 1 d kt V dk ln [βf d (ε+k )] = G reg + 1 d (π) kt V dk ln (ε+k ) d (π) Damit wird die Wärmekapazität C = T G T = Creg + k V k k d dk 1 d ( π) ( ε+ k ) Wir konzentrieren uns auf den singulären Teil, der vom oberen ut-off des Integrals abhängt sing k d 1 C k dk V (ε+k ) x d 1 d/ x ε α, x = k / ε ε dx (1+x ) (d 4)/ a) d < 4 Das Integral ist konvergent auh für x C ε α = (4 d)/ b) d = 4 Das Integral divergiert logarithmish C ln x ln ε α = ) d > 4 Das Integral ist ultraviolett-divergent, der ut-off k ist nötig Das Integral ist dominiert durh Beiträge von großen k k und wird unabhängig von ε C onst α = Dh nur für d 4 finden wir das Molekularfeld-Ergebnis 95 Kritishe Exponenten und Universalitätsklassen Beim Phasenübergang sind mehrere physikalishe Größen singulär Vershiedene Größen f(ε) verhalten sih am Phasenübergang wie f(ε) ε λ Dann wird λ kritisher Exponent genannt Mathematish genauer definiert man: Wenn λ ln f(ε) lim existiert, dann ist λ der kritishe Exponent von f(ε) ε ln ε Man verwendet dafür die Kurzbezeihnung: f(ε) ~ ε λ Beispiele Magnetishes System und Flüssig-Gas-Übergang

19 Ordnungsparameter für T < T 175 Magnetisierung m ~ ε β Dihteuntershied ρ fl ρ gas ~ ε β spezifishe Wärme C H= ε ε α α' für T > T für T < T ; H = C V α ε für T>T ; ρ=ρ gas(t) α' ε für T<T ; ρ=ρ fl(t) Response Funktionen Suszeptibilität Kompressibilität χ T ε ε γ γ' für T > T für T < T ; H = κ T γ ε für T>T ; ρ=ρ gas(t) γ' ε für T<T ; ρ=ρ fl(t) Korrelationsfunktion G(r) δm(r) δm() e r /ξ(t) mit ξ(ε) ε ε ν ν' für T > T für T < T Bei T divergiert die Korrelationslänge ξ(t) Dort gilt G(r) r d+ η kritisher Exponent bei T h m δ sgn (m) p p ( ρ ρ) sgn( ρ ρ) δ δ Ungleihungen Zwishen den kritishen Exponenten gelten Ungleihungen, die aus allgemeinen thermodynamishen Überlegungen und Stabilitätsbedingungen folgen Aus der Relation C H C M = T M T 1 H folgt C χ H T M T T Daraus folgt die Rushbrooke Ungleihung (eine exakte Relation) α ' + β+γ' 1 und ε H χ α' ε (β 1) ε γ' T Aus der Konvexität von F (siehe Stanley 4) folgt die Griffith's Ungleihung (exakte Relation) α ' +β (1 +δ) Daneben gelten weitere Relationen, die von den plausiblen (aber niht exakt begründeten) Saling Argumenten folgen

20 176 γ' β (δ 1) Widom γ (δ + 1) ( α) (δ 1) ( η) ν γ Fisher d ν' α' Josephson d ν α Die Tabelle gibt die Werte der kritishen Exponenten für vershiedene Modelle, die sih in der Zahl n der Komponenten des Ordnungsparameters und der Dimension d untersheiden In allen in der Tabelle aufgeführten Beispielen sind die Ungleihungen als Gleihung erfüllt Molekularfeld Näherung n=1 Ising d = Ising d = 3 n=3 n = Heisenberg d = 3 Sphärishes Modell, d ε d = 4 d α = α',1,6 ε d /( ε d ) β 1/ 1/8,31 1/ γ = γ' 1 7/4 1,5 1,38 /( ε d ) ν = ν' 1/ 1,64,7 1/( ε d ) δ , (6 ε d )/( ε d ) η 1/4,4,5 Rushbrook = = = Griffiths = = = Josephson für d 4 = für d Universalität Das kritishe Verhalten bei einem Phasenübergang Ordnung und damit die Werte der kritishen Exponenten hängen nur von n = Zahl der Komponenten des Ordnungsparameters und d = Dimension ab, aber niht von mikroskopishen Details der einzelnen physikalishen Modelle Vershiedene physikalishe Systeme, die zur selben "Universalitätsklasse" gehören, haben dieselben Werte der kritishen Exponenten In die Molekularfeld-Näherungen geht n und d niht ein - bzw die Definition ist so gewählt, dass die triviale n und d-abhängigkeit abgespalten ist (siehe die Korrelationsfunktion bei T ) Auh die Existenz eines Phasenübergangs hängt nur von n und d ab Dafür ergibt sih folgendes Bild

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